Bab I. Sistem Bilangan Real

Sistem Bilangan
Vmm b
SISTEM BILANGAN
1.1 Pendahuluan
pakah bilangan itu ?’, tampaknya tak seorangpun dapat memberikan jawaban yang
memuaskan. Apabila seseorang mencoba menjawabnya dengan mengatakan bahwa
bilangan adalah seperti -5, 1, 3, 4/3, tampaknya jawaban tersebut untuk sementara bisa
diterima, akan tetapi daftar (list) angka-angka tidak bisa membangun sebuah defenisi tentang
‘bilangan’. Ide tentang bilangan hanya bisa dipahami secara intuitif, persoalannya sekarang
adalah bagaimana kita mencoba memberikan sebuah defenisi yang memuaskan. Sejarah tentang
konsep bilangan dimulai bersamaan dengan lahirnya peradaban manusia, ketika mereka ingin
mengetahui berapa banyak hewan peliharaannya, mereka tampaknya sudah mempunyai
pengertian tentang bilangan (number sense). Ide peretama yang muncul adalah mencoba
melakukan perbandingan dengan menggunakan “lebih sedikit daripada…., sama dengan …, dan
lebih banyak dari….”, demikian juga untuk mengetahui posisi suatu obyek dari kelompok
tertentu mereka membandingkan dengan posisi obyek dari kelompok tetentu, mereka
membandigkannya dengan posisi objek pada kelompok lainnya.
Ide melakukan perbandingan pada dua kelompok / kumpulan mengilhami lahirnya “konsep
bilangan ‘ yang kita kenal hari ini dan betolak dari pemikiran tersebut, kita bisa mengembangkan
defenisi bilangan sebagai berikut:
A
Defenisi 1.1
“Bilangan (Number)” : Bilangan adalah suatu “sifat abstrak” (abstrackt
property) dari suatu himpungan yang menunjukkan suatu “kuantitatif atau
posisi”.
Dari definisi (1) diatas terlihat bahwa bilangan adalah suatu pemikiran yang abstrak yang hanya
ada dialam pemikiran (angan-angan), karena bilangan tidak dapat dilihat secara fisik. Hati-hati
jangan dicampur aduk antara bilangan dengan angka , sebab angka hanya sebuah simbol untuk
mempresentasikan sebuah bilangan, sesekali lagi itu hanya representative fisik dari ide tersebut.
Defenisi 1.2
“Angka (numeral)” : Sebuah angka adalah sebuah simbol untuk
mempresentasikan sebuah bilangan.
1
Sistem Bilangan
Perhatikan sebuah “team bola volley”, mudah dipahami bahwa team ini adalah sebuah
himpungan “(set) “ yang mempunyai sebuah bilangan Kita tahu bahwa dalam himpunan tersebut
terdapat enam pemain, dan kita menggunakan angka “6” untuk merepresentasikan bilangan
tersebut. Bilangan enam itu sendiri tidak eksist secara fisik, itu hanyalah sebuah sifat (property)
dari team bola voly tersebut. Selanjutnya, untuk mengetahui ‘beberapa banyak” unsur/objek
didalam suatu himpunan, digunakan “bilangan kardinal”.
Defenisi 1.3
“Bilangan cardinal” (cardinal number) : sebuah “bilangan cardinal” adalah
sebuah blangan yang menunjukkan sebuah kuantitas
Sedangkan untuk mengetahui “posisi relative” dari elemen-elemen suatu himpunan yangsudah
disusun menurut urutan tertentu, dapat digunakan “ bilangan-bilangan ordinal (ordinal numbers)
seperti ; pertama, kedua, ketiga, dst …
Defenisi 1.4
“Bilangan ordinal” (ordinal numbers) : sebuah “bilangan ordinal”
sebuah bilangan yang menunjukkan posisi
adalah
Sampai sekarang sudah banyak system/cara yang telah dikembangkan orang untuk
merepresentasikan bilangan, diantaranya adalah sebagai berikut
Hindu- Arab
4
Romawi IV
Mesir
IIII
Yunani

Babilonia
China
Tampak jelas bahwa bilangan empat direpresentasikan secara berbeda-beda oleh masing-masing
Negara menurut kebudayaannya. Tetapi penting dicatat behwa meskipun simbol-simbol tersebut
diatas berbeda-beda, namun mereka semuanya merepresentasikan sebuah ide atau bilangan yang
sama yaitu bilangan empat. Jelaslah bahwa angka empat “4” (hindu-arab) hanyalah sebuah
simbol yang secara fisik merepresentasikan “bilangan empat”, sedangkan “bilangan empat” itu
sendiri tidak dapat dilihat secara fisik karena hanya ada dalam benak pemikiuran kita ( Roethel &
Weinstein, Logic, Set and Numbers)
Dasar utama pengembangan matematika adalah teori bilangan dan geometri. Teori
bilangan terus berkembang dan mendasari berbagai cabang matematika lanjut. Pentingnya
bilangan untuk memahami alam semesta telah dirasakan oleh Phytagoras sejak 2500 tahun yang
lalu dengan ungkapan “ the number rule the universe”, demikian pula Kronecker (1823 -1891)
dengan ungkapannya “God made integers, all the rest is the work of man”. Pada pertengahan
abad ke-19, pentinganya bilangan sebagai suatu pengertian bebas diwujudkan , sehinga studi
tentang bilangan tidak bergantung lagi pada intuisi geometri. Sekarang kita akan membicarakan
system bilangan real. Untuk praktisnya dalam pembahasan ini, istilah “bilangan” bebas
diwujudkan.
2
Sistem Bilangan
1.2 Sistem Bilangan Real
“ Sistem bilangan real” adalah himpunan bilangan real R yang disertai dengan
operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu,
dinotasikan dengan : “ ( R , + , x )”.
Pada system bilangan real, diperlukan tiga aksioma, yaitu aksioma lapangan, urutan dan
kelengkapan.
 “Aksioma Lapangan” adalah aksioma yang mengatur tentang ketertutupan terhadap
operasi penjumlahan dan perkalian, sifat kumulatif, asosiatif, distributive, dan terdapatnya
unsur kesatuan 0 dan 1, serta terdapatnya unsur invers terhadap penjumlahan dan
perkalian. Dari aksioma ini dapat dibuktikan berbagai sifat yang mendasari operasi
aljabar atas berbagai objek kalkulus, yaitu konstanta, peubah dan parameter.
 “Aksioma Urutan” adalah aksioma yang mengatur tentang pemunculan bilangan positif
dan negatif, sehingga setiap bilangan real dapat diurutkan dari sampai besar. Dari
aksioma ini pula dapat diturunkan berbagai sifat yang mendasari penyelesaian suatu
pertidaksamaan. Selanjutnya dirancang konsep nilai mutlak sebagai ukuran jarak dua
bilangan real dan suatu alat untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang berkaitan dengan
limit.
 “Aksioma Kelengkapan”, aksioma ini mengatur tentang adanya batas atas terkecil atau
batas bawah terbesar bagi setiap himpunan bagian R yang tidak kosong dan terbatas diatas
atau dibawah. Selanjutnya terdapatnya korespondensi satu-satu diantara bilangan real dan
titik pada garis, dan diantara dua bilangan real terdapat tak terhingga banyaknya bilangan
rasional dan irrasional, kemudian diperkenalkan konsep selang hingga dan selang tak
hingga, yang akan berperan dalam kalkulus.
1.2.1 Aksioma Lapangan
Pandang ( R,, x ) adalah system bilangan real, dan misalkan a, b.c  R , maka berlaku
sifat-sifat berikut :
1.  a  b  R
(Sifat ketertutupan terhadap operasi penjumlahan) dan
 a..b  R
(Sifat ketertutupan terhadap operasi perkalian)
2.  a  b  b  a
(Sifat komutatif terhadap penjumlahan) dan
 a.b  b.a
(Sifat komutatif terhadap perkalian)
3.  a  b  c  a  b  c (Sifat assosiatif terhadap penjumlahan) dan
 abc  abc
(Sifat assosiatif terhadap perkalian).
4. ab  c  ab  ac (Sifat distributif)
5.  Terdapat unsur 0  R , sehingga a  0  a, a  R dan
 Terdapat unsur 1  R , sehingga a.1  a, a  R .
Bilangan 0 disebut unsur kesatuan terhadap penjumlahan dan
Bilangan 1 disebut unsur kesatuan terhadap perkalian
6.  Terdapat unsur invers  a  R sehingga a  (a)  0, a  R. dan
1
1
 Terdapat unsur invers  R, a  0 , sehingga a.  1, a  R, a  0 .
a
a
Bilangan real  a dinamakan “lawan” atau “negative” dari a , dan
3
Sistem Bilangan
1
dinamakan “kebalikkan “ dari a .
a
Adapun operasi pengurangan dan pembagian pada himpunan bilangan real didefinisikan sebagai
berikut :
Bilangan real
Defenisi 1.5
Misalkan a, b  R
 Pengurangan dari a dan b disebut “selisih” dari a dan b , ditulis a  b ,
didefenisikan sebagai bilangan real a  (b)
a
 Pembagian dari a dan b disebut “hasil bagi” dari a dan b , ditulis
dan
b
didefenisikan sebagai bilangan real a.b 1 , b  0 .
Berdasarkan aksioma lapangan diatas, kita dapat membuktikan berbagai sifat-sifat aljabar
bilangan real berikut, yang sering digunakan sebagai operasi aljabar dalam menyelesaikan soal
matematika, sebagaimana dalam teorema berikut :
Teorema 1.6
Misalkan a, b, c, d , R , maka berlaku :
(1 ). Jika a  b  a  c  b  c dan ac  bc
(2 ). Jika a  c  b  c  a  b (Hukum pencoretan untuk penjumlahan)
(3 ). Jika ac  bc ; c  0  a  b (Hukum pencoretan untuk perkalian)
(4 ). ab  c  ab  ac
(5 )  a b  ab ; a b   ab  ab ;
 a  b  a  b
 
(6 )   a   a ; a 1  a, a  0;
(7 ). Jika a  b  0 maka a  b
(8 ). Jika ab  0  a  0 atau b  0 (Salah satunya sama dengan 0 atau dua-duanya
samadengan 0
(9 ). a.0  0.a  0
a c
  ad  bc, b  0, d  0
(10).
b d
a b ab
a b a b
 
, c  0 dan
 
,c  0
(11).
c c
c
c c
c
a b ad  bc
a b ad  bc
 
 
, c  0, d  0
(12).
dan
c d
cd
c d
cd
1
a b ab
. 
, c  0, d  0 dan
c d cd
1
b
(14).
 , a  0, b  0
a
a
b
(13).
4
a
b
c
d
=
ad
; b  0, c  0, d  0
bc
Sistem Bilangan
1.2.2. Komponen Bilangan Real
Bilangan yang kita pergunakan sehari-hari adalah bilangan yang berbasis “sepuluh” yang
dikenal dengan bilangan “decimal” (dikelompokkan sepuluh-sepuluh). Pada bilangan berbasis
sepuluh angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9 yang disebut digit atau angka.
Sebuah bilangan merupakan susunan sekelompok angka yang memenuhi aturan tertentu,
misalnya 30, -70, 4 ;0,5; 3; 3 25 , 2 log 3 dan sebagainya.
3
Perhatikan contoh berikut :
1.
2375 (dua ribu tiga ratus tujuh puluh lima ), dapat diurai menjadi :
2375 = 2. (1000) + 3. (100) + 7. (10) + 5 . (1)
2375 = 2. 103 + 3 . 102 + 7 .101 + 5. 100
(dua ribuan + 3 ratusan + 7 puluhan + 5 satuan).
2.
432,069 (Empat ratus tiga puluh dua dan enampuluh sembilan perseribu)
432,069 = 4.(100) + 3.(10) + 2.(1) + 0.(1/10) + 6.(1/100) + 9 (1/1000)
432,069 = 4.102 + 3.101 + 2.100 + 0.10-1 + 6.10-2 + 9. 10-3
( 4 ratusan + 3 puluhan + 2 satuan + 0 ersepuluhan + 6 perseratusan + 9 perseribuan).
_._._._
__|__
__|__
__|__
__|__
__|__
__|__
__|__
103
102
101
100
10-1
10-2
10-3
(1000)
(100)
(10)
(1)
(1/10)
(1/100)
(1/1000)
Ribuan ratusan puluhan satuan
.
_._._._
persepuluhan perseratusan Perseribuan
Titik desimal
Bilangan Real dapat dikelompokan sebagai berikut:
 Bilangan Asli : 1, 2, 3, …, berfungsi sebagai bilanan kardinal
untuk menghitung banaknya objek suatu himpunan. Himpunan bilangan asli dinotasikan
dengan huruf N dengan N ={ 1, 2, 3, …}. Bilangan “asli” atau “bilangan bulat positif”
terdiri atas :
 Bilangan 1 adalah bilangan asli yang mempunyai tepat satu factor.
 Bilangan prima : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …, adalah bilangan asli yang mempunyai
tepat dua faktor.
 Bilangan komposisi : 4, 6, 8, 10, 12, 15 …, adalah bilangan asli yang mempunyai
lebih dari dua faktor.
 Bilangan Cacah : 0, 1, 2, 3, … adalah bilangan asli beserta unsur nol, biasanya
digunakan dalam kegiatan sensus . Bilangan cacah biasanya juga disebut “ blangan
bulat non negatif”.
 Bilangan Bulat Negatif ( lawan bilangan asli ) : -1, -2, -3, …
 Bilangan Bulat : ….-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … adalh bilangan bulat terdiri atasbilangan
genap dan bilangan ganjil.
 Bilangan genap : …-4, -2, 0, 2, 4, 6 … adalah bilangan bulat kelipatan dua yang
dinotasikan 2n , n bilangan bulat.
5
Sistem Bilangan
 Bilangan ganjil : …-3, -1, 1, 3, 5, 7, 9 …adaah bilangan bulat bukan kelipatan
dua, yang dinotasikan 2n+1 atau 2n-1 dengan n bilangan bulat.
 Bilangan Pecahan adalah bilangan berbentuk x  m n , dimana m bilangan bulat dan n
bilangan asli dengan m tidak dapat dibagi n. Bilangan bulat antara 0 dan 1 disebut
bilangan pecahan sejati.
 Bilangan Rasional adalah bilangan bulat beserta bilangan pecahan. Bilangan rasional
adalah bilangan berbentuk x  p
, dimana p bilangan bulat dan q bilangan asli.
q
Disini x “bilangan bulat” bilamana p habis dibagi q dan x “pecahan” bila p tidak habis
dibagi q.
Bilangan rasional bersifat selalu mempunyai bentuk decimal berakhir atau berulang, sebagaimana
diperlihatkan pada contoh berikut :
a) 13 = 13, 0
(berakhir)
b) - 2 12 = - 2,5
(berakhir)
c) 11
2
3
= 11, 6666……. = 11, 6 (berulang)
d) 0, 49999 …….. = 0,4 9 (berulang)
 103
 3,121212.........  3,12 (berulang)
e)
33
1
 0,142857142857142857.........  0,142857 (berulang)
f)
7
g) 3  8  2,000.......  2, 0  2
Catatan : Tanda bar yang dibubuhkan diatas angka pada contoh diatas
decimal yang berulang.
menunjukkan bagian
Contoh : Tunjukkan bahwa a). 1,09090909………. b). -2,03333……………
adalah bilangan rasional.
Solusi
: Ide adalah menunjukkan bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk x  p
q
dengan p bilangan bulat dan g bilangan asli.
a). Misal x  1,090909........  1, 09, maka
100 x  109,090909.......  109, 09 (dikalikan 100 karena ada dua digit yang berulang).
Jadi (100x - x) = (109, 09 - 1, 09 )  99x =108
108 12
12
x

jadi x 
adalah bilangan rasional.
99 11
11
b). Misal x = -2,0333……. = -2,0 3 maka 10x = - 20,333 …..= -20, 3
sehingga (10x - x) = -20, 3 - (-2,0 3 )  9x = -18,3
 18,3  183

 x=
adalah bilangan rasional.
9
90
Diskusikan di kelas (Dosen + Mahasiswa)
Tunjukkan bahwa bilangan 0,499999 ……adalah bilangan rasional.
6
Sistem Bilangan

Bilangan Irrasional adalah bilangan yang bukan rasional. Bilangan irrasional ini
bukan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli, sehingga tidak dapat dinyatakan
p
dalam bentuk
dan juga tidak mempunyai bentuk decimal berulang, sebagai contoh
q
bilangan irrasional.
2  1,414213562  (tidak berakhir dan tidak berulang)
3  1,732050807 (tidak berakhir dan tidak berulang)
1
 0,7071086 (tidak berakhir dan tidak berulang)
2
  3,14159265358 (tidak berakhir dan tidak berulang)
e  2,71828182845 (tidak berakhir dan tidak berulang)
Diskusikan dikelas (Dosen dan Mahasiswa)
Tunjukkan bahwa 2 bukan bilangan rasional.
 Bilangan Real adalah gabungan bilangan rasional dan irrasional.
Bilangan real dilambangkan dengan huruf kapital R. Semua himpunan bagian dari R dapat
digambarkan dalam bentuk diagram pohon berikut
Bil. 1
Bil
Genap
Bil.
Ganjil
Bil. Asli
Bil.
Bil. Prima
Prima
N
Bilangan
Bulat
Q
Bil. Komposisi
B
Negatif
Bilangan
Asli
Bil. Rasional
R
Bil
Bil.
Real
Real
0
Bilangan
Pecah
Bil.
Irrasional
Bil. Irrasional
7
Sistem Bilangan
Himpunan
Bilangan asli (Natural)
Bilangan Prima( Prime numbers)
Bilangan Komposisi (Composite numbers)
Bilangan Bulat (integer)
Nol (Zero)
Bilangan genap (even numbers)
Notasi
N
B
O
Bilangan Ganjil ( Odd numbers)
2n 1
Bilangan Cacah
Negatif Bilangan asli (Bil. Bulat negatif)
Bilangan Pecahan (Praction)
Bilangan Rasional (Rational number)
2n
-N
Q
Bilangan Irrasional (Irrational number)
Bilangan Real (Real number)
R
Representasi/Contoh
1,2,3,
2,3,5,7,11,
4,6,8,9,10,12,15,
,3,2,1,0,1,2,
0
x x  2n; n  B
x x  2n  1; n  B
0,1,2,
  3,2,1
, , , , 
3
2
1
2
7
3
1
4


p
 x x  , p  B, q  N 
q


1
1
2,
,  , e, ln 2,

3
x    x  
Kiranya jelas bahwa : N  B  Q  R
Catatan :  , bukan bilangan real.
Beberapa catatan bilangan asli
1. Setiap bilangan genap yang lebh besar 2, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua
bilangan prima.
Contoh : 4 = 2 + 2
10 = 3 + 7
6=3+3
12 = 5 + 7
8=3+5
24 = 11 + 13 dst
2. Setiap bilangan komposit selalu dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan
prima secara tunggal, yaitu :
K  P1n1 .P2n 2 . Pknk .
K = Bilangan komposisi ; Pi = bilangan prima ; ni = Bilangan asli
Contoh :
4
= 22
15 = 3 . 5
6
= 2.3
16 = 24
8
= 23
18 = 2 . 32
2
9
= 3
72 = 23 . 32
10 = 2 . 5
540 = 22 .33. 5
Sifat- Sifat Bilangan Nol
Bilangan 0 dalam bentuk pecahan muncul dalam 3 kasus :
8
Sistem Bilangan
0
0
, a  0 . Misal x   x.a  0, karena a  0 , maka haruslah x  0.
a
a
a
a  R, a  0
Jadi  0
0
a
a
, a  0. Misal x   0.x  a , berarti 0  a . Hal ini bertentangan
Kasus (ii)
dengan
0
0
a
pengandaian semula a  0. Jadi
adalah “tak terdefenisi”, a  R, a  0
0
0
0
. Misalkan x   0.x  0 , berarti ruas kanan bernilai nol untuk
Kasus (iii)
semua x.
0
0
0
Jadi adalah “tidak tentu”
0
Catatan :
Bilangan nol tidak termasuk bilangan positif maupun negatif..
Kasus (i)
1.2.3 Aksioma Urutan
Sampai disini kita belum dapat menyatakan apakah suatu bilangan lebih besar atau lebih
kecil dari bilangan lainnya, sebab kita belum mendefenisikan istilah “lebih besar” atau “lebih
kecil”. Aksioma lapangan yang sudah dibicarakan diatas belum dapat mengurutkan bilanganbilangan real.
Pada himpunan bilangan real R terdapat suatu himpunan bagian yang unsur-unsurnya
dinamakan “bilangan positif” yang memenuhi aksioma urutan berikut.
(i). Jika a bilangan real, maka hanya satu dari pernyataan- pernyataan dibawah ini yang benar
a positif a  P ; a  0a  P ;  a positif  a  P
(ii). Jumlah dua bilangan positif adalah positif dan hasil kali dua bilangan positif adalah positif.
Sekarang pada himpunan bilangan real, kita defenisikan istilah “lebih besar” dan “lebih
kecil” dengan menggunakan istilah “bilangan positif” yang telah dideskripsikan pada aksioma
urutan.
9
Sistem Bilangan
Defenisi 1.7
Misalkan a dan b bilangan real, maka :
a). a lebih kecil dari b , ditulis a  b Jika dan hanya jika b  a adalah bil. Positif.
b). a lebih besar dari b , ditulis a  b Jika dan hanya jika b  a adalah bil.
negatif.
c). Lambang  (lebih kecil atau sama dengan) dan  (lebih besar atau sama
dengan) menyatakan relasi :
a  b jika a  b atau a  b
a  b jika a  b atau a  b
d). Lambang-lambang < , > , ,  dinamakan “tanda pertidaksamaan” dan
pernyataan yang dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan disebut
“pertidaksamaan”
e). Bilangan real a dikatakan “negatif” bila  a adalah bilangan positif
Contoh :
1). 3< 5 oleh karena 5 -3 = 2 adalah bilangan positif
-7 < -3 oleh karena -3 – (-7) = 4 adalah bilangan positif
2). 8 > -2 oleh karena -2 – 8 = -10 adalah bilangan negatif
2 1
1 2
1

oleh karena    adalah bilangan negative
2 3
6
3 2
3). -0,35 adalah negatif, oleh karena – (-0,35) = 0,35 adalah bilangan positif.
Jelaslah bahwa a  b jika dan hanya jika b  a.
Untuk mempersingkat penulisan, maka kalimat panjang :
“ a bilangan positif “ dinotasikan dengan “ a  o ” dan
“ a bilangan negatif’ dinotasikan dengan “ a  0 ”.
Keterkaitan antara bilangan real positif dengan tanda pertidaksamaan dan berbagai sifat
untuk menyelesaikan pertidaksamaan diberikan dalam teorema berikut :
Teorema 1.8
(a). a  0  a bilangan positif.
(b). a  0  a bilangan negatif
(c). a  0  a  0
(d). a  0  a  0
Catatan Lambang “  ” dibaca “ jika dan hanya jika” atau “ekivalen”.
Bukti a) a  0  0  a . Akan tetapi 0  a  a  0  a adalah bilangan positif.
Jadi
a  0  a bilangan positif.
Bukti b) a  0  0  a  a adalah bilangan positif. Jadi a  0  a bilangan negatif
Bukti c) a  0  a bilangan positif  (a ) bilangan positif  a bilangan negatif
 a  0 . Jadi a  0  a  0
Bukti d) a  0  a bilangan negatif  (a ) bilangan negatif  a bilangan positif
 a  0 Jadi a  0  a  0
10
Sistem Bilangan
Teorema 1.9
Andaikan a, b, c, d bilangan real, maka berlaku :
(a). jika a  b dan b  c maka a  c (sifat transitif).
(b). jika a  b dan c  d maka a  c  b  d
(c). jika a  b dan c bilangan real sembarang, maka a  c  b  c
(d). jika a  b dan c  0 , maka ac  bc
(e). jika a  b dan c  0 , maka ac  bc
(f). jika 0  a  b dan 0  c  d , maka ac  bc
1 1
(g).jika 0  a  b , atau a  b  0 , maka 
a b
Catatan :
Sifat-sifat diatas juga berlaku apabila tanda < diganti dengan  atau tanda
dengan  .
> diganti
Contoh :
(a1). 2 < 5 dan 5 < 9 maka 2 <9
(a2). -3 < -1 dan -1 < 0 maka -3 < 0
(b ). 5 < 7 dan 4 < 6 maka 5 + 4 < 7 + 6  9  13
(d ). 3 < 5 dan c = 2  2.3  5.2  6  0
(e ). 3 < 5 dan c  2  (2).3  5(2)  6  10
(f ). 0 < 5 < 7 dan 0  3  4  5.3  7.4  15  28
1 1
(g1). 0  2  5  
2 5
1
1
(g2).  4  2  0    
4
2
Diatas sudah dibicarakan aksioma lapangan dan aksioma urutan. Namun demikian hal
tersebut belum cukup untuk menggambarkan secara lengkap tentang sistem bilangan real.
Misalnya himpunan bagian bilangan real R yang terdiri atas bilangan rasional adalah lapangan
yang terurut yang tidak memuat bilangan real seperti 2 ,  , e , dsb. Oleh karena itu masih
diperlukan satu aksioma lagi yaitu aksioma kelengkapan.
1.2.4 Aksioma Kelengkapan
Aksioma kelengkapan pada sistem bilangan real menyatakan bahwa setiap himpunan
bagian dari R yang terbatas selalu mempunyai batas atas terkecil. Akibatnya setiap himpunan
bagian tak kosong dari R yang terbatas dibawah selalu mempunyai batas bawah terbesar. Sifat
ini tidak dimiliki oleh himpunan bilangan rasional, dan inilah yang membedakan antara
himpunan bilangan rasional dan bilangan real.
Defenisi 1.10
Himpunan bilangan real adalah “lapangan (medan) terurut lengkap”
11
Sistem Bilangan
Bentuk-Bentuk Aljabar
 Bentuk Perpangkatan
Misalkan a sebuah bilangan real,
(a). a 2  axa; a 3  axaxa ; a n  axaxax xa , n  N
n faktor
(b). Untuk a  0 berlaku
1
a 1 
;
a0  1 ;
a
1
1
Contoh : 5  2  2 
;
5
25
a 2 
1
a2
10 3 
; a n 
1
an
1
1

.
3
10
1000
Untuk setiap bilangan real a dan b yang tidak nol dan untuk setiap bilangan bulat p dan, n
maka :
(a) a n xa p
(b) (a n ) p
(c) (ab) n
(d) a n
ap
(e)  a  n
 
b
=
=
=
=
a n p
a np
a n .b n
a n p
=
an
bn
Contoh *
*
*
*
*
2 3 x2 2
(2 2 ) 3
(2x5) 3
32
33
3
3
 
2
=
=
=
=
25
26
2 3 x53
31
=
=
=
=
=
33
23
=
32
64
1000
1
3
27
8
Kesamaan Istimewa
Misal a, b  R , maka :
(a). (a  b) 2  a 2  2.ab  b 2
Contoh * (n  3) 2  n  6n  9
(b). (a  b) 2  a 2  2.ab  b 2
* (4x  5) 2  16x  40x  25
(c). (a  b) 3  a 3  3a b  3ab  b 3
* (2x  3 y) 3  8x 3  36x 2 y  54xy2  27 y 3
(d). (a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
12
Sistem Bilangan
. Bentuk Akar:
Definisi 1.11
a) Akar Kuadrat dari bilngan positif a ditulis a , dideenisikan sebagai bilangan
positif x yang memenuhi x 2  a . Dengan kata lain, a satu-satunya bilangan real
 
2
positif yang memenuhi a  a .
Contoh. :
 25  5 , karena 5 adalah bilangan positif yang memenuhi x 2  25 .
(2) 2  4  2 , karena 2 adalah bilangan positif yang memenuhi x 2  4 .

b) Akar kubik dari bilangan real a, ditulis 3 a , didefenisikan sebagai bilangan real x
yang memenuhi x 3  a . Contoh :
 3 8 = 2, karena 2 adalah bilangan real yang memenuhi x 3  8

3

3
2
8
8
2
 , karena adalah bilangan real yang memenuhi x 3 
3
27
27 3
3
(27)  3 , karena -3 adalah bilangan real yang memenuhi x  27
c) Jika “ n bilangan genap positif”, akar ke –n dari bilangan positif a, ditulis
didefenisikan sebagai bilangan positif x yang memenuhi x n  a
Contoh : 4 81  3, karena 3 bilangan positif yang memenuhi x 4  81
n
a,
d). Jika “n bilangan ganjil positif”, n > 1, akar ke-n dari bilangan real a , ditulis
didefenisikan sebagai bilangan real x yang memenuhi x n  a
Contoh : 5 (32)  2 , karena -2 bilangan real yang memenuhi x 5  32 .
n
a,
Sifat-Sifat Bilangan Bentuk Akar Kuadrat
Misal a dan b bilangan real positif, maka :
(a).
a.b  a . b
(b).
a

b
(c).
1
a

a
b
a
a
Contoh : * 12  4 x3  4 x 3  2 3
*
*
5
5
5


9
3
9
1
5

5
5
13
Sistem Bilangan
PENGURAIAN DAN FAKTORISASI
Defenisi 1.12
(a). “Penguraian” adalah suatu transformasi bentuk perkalian ke dalam bentuk jumlahan
Contoh : (2x  3)( x  1)  2x 2  2x  3x  3  2x 2  x  3
(b). “Faktorisasi” adalah suatu transformasi bentuk jumlahan ke dalam bentuk perkalian.
Contoh : 2x 3  6x 2  8x  2x( x 2  3x  4)  2x( x  4)( x  1)
Untuk memfaktorkan sebuah jumlah dapat ditempuh berbagai cara :
(i ). Kita dapat membuat faktor bersama pada setiap suku jumlahan.
Contoh : f ( x)  8x 5  13x 2  24x
= 8x 4 .x  13x.x  24.x  x(8x 4  13x  24) .
(ii). Kita dapat menggunakan kesamaan istimewa :
Contoh : f ( x)  9x 2  12x  4
= (3x 2 )  2.(3x).2  2 2 , ingat bentuk (a  b) 2
f ( x)  (3x  2) 2
(iii). Gabungan metode (i) dan (ii) dan berbagai manipulasi aljabar
Contoh
G( x)  4x 4  12x 3  9x 2
 4 x 2 .x 2  12 x.x 2  9 x 2
 x 2 (4x 2  12x  9)
 x 2 (2x) 2  2.(2x).3  32 , ingat bentuk (a  b) 2
G( x)  x 2 (2x  3) 2
Berikut ini ditunjukkan beberapa cara menguraikan suatu bentuk aljabar atas faktor-faktor linier
dan/atau kuadrat definit-positif. Berdasarkan Teorema 1.6 dan berbagai teknik manipulasi aljabar
diperoleh uraian berikut:
a). x 2  a 2  x 2  (ax  ax)  a 2 ; tambahkan dan kurangkan faktor ax
 ( x 2  ax)  (ax  a 2 ) ; kumpulkan faktor-faktor yang bersesuain
 x( x  a)  (ax  a) ; keluarkan faktor yang sama, sehingga diperoleh
faktorisasinya
x2  a2  ( x  a)( x  a)
x 3  a 3  x 3  (ax 2  ax 2 )  (a 2 x  a 2 x)  a 3
 ( x 3  ax 2 )  (ax 2  a 2 x)  (a 2 x  a 3 )
= x 2 ( x  a)  ax( x  a)  a 2 ( x  a)
= ( x  a)( x 2  ax  a 2 )
c) x3  a3  x3  ax 2  ax 2  a 2 x  a 2 x  a3
 x 3  ax 2   ax 2  a 2 x   a 2 x  a 3 
b).
 x 2 x  a   ax( x  a)  a 2 ( x  a)
x 3  a 3  ( x  a)( x 2  ax  a 2 )
14
Sistem Bilangan
d). x 4  a 4  ( x 2  a 2 )( x 2  a 2 )  ( x 2  a 2 )( x  a)( x  a)
e). x 4  a 4  ( x 2  a 2 ) 2  2 x 2 a 2  ( x 2  a 2 ) 2  ( 2ax) 2
 ( x 2  a 2  2ax)( x 2  a 2  2ax )
x 4  a 4  ( x 2  2ax  a 2 )( x 2  2ax  a 2 ).
Definit Positif dan Definit Negatif
Bentuk kuadrat ax 2  bx  c ; dengan a  0 , dikatakan bersifat “definit positif” bilamana nilainya
selalu positif x  R . Perhatikan bahwa :
b
c
ax 2  bx  c  a( x 2  x  ), a  0
a
a
 a( x 
b
(b 2  4ac)
a) 2 
2
4a
b 2 D
) 
’dimana D  b 2  4a.c disebut deskriminan
2a
4a
maka bentuk kuadrat ax 2  bx  c, a  0 bersifat definitive positif jika dan hanya jika a>0 dan
D<0.
Contoh: Bentuk kuadrat x 2  2 x  3 adalah definit positif’ karena a = 1>0 dan
D = 4 – 12 = - 8 < 0.
 a( x 
Diskusikan Di Kelas ( Dosen Dan Mahasiswa)
1) Berikan defenisi bentuk kuadrat yang definit negative dan tentikan syarat-syaratnya , kemudian berikan contohnya.
2) Uraikan bentuk x 6  a 6 dan x 6  a 6.
Soal Latihan
(1). Pada setiap pernyataan berikut, berikan argumentasinya bila pernyataannya
berikan contoh penyangkal bila argumentasinya salah
a) bilangan 27 adalah bilangan prima
b) setiap bilangan prima yang lebih besar dari 2 adalah bilangan ganjil
c) bilangan 0 adalah bilangan yang tidak positif dan tidak negatif
d) bilangan 0 adalah bilangan yang tidak genap dan tidak ganjil
e) kuadrat sebuah bilangan ganjil adalah bilangan ganjil
f) jika x bilangan ganjil maka x2 juga bilangan ganjil
g) jika x2 bilangan genap maka x juga bilangan genap
h) setiap bilangan yang tidak positif adalah bilangan negatif
i) jika x2 adalah bilangan bulat kelipatan 3, maka x bilangan bulat kelipatan 3
j) bilangan 0 tidak dapat ditulis dalam bentuk decimal berulang
benar, dan
15
Sistem Bilangan
k) himpunan bilangan real positif tidak mempunyai unsur terkecil
1

l) jika S  R , maka himpunan S   : x  0 tidak mempunyai unsur terbesar
x

m) 4  2 bukan bilangan rasional
3
n)
adalah bilangan irrasional.
2 3
(2). Apakah himpunan bilangan bulat B disertai operasi penjumlahan dan perkalian membentuk
suatu lapangan (medan)? Jika tidak, sebutkan aksioma-aksioma mana saja yang tidak
dipenuhi ?
(3). Dengan memberikan contoh-contoh, tunjukkan bahwa jika a  R, a  0 , maka (a) dapat
merupakan bilangan positif atau negatif. Hal ini tergantung daripada x.
(4). Ubahlah bilangan-bilangan rasional berikut sebagai hasil bagi bilangan bulat ( p
q
p , q  B , q  0) .
a. 21,212121…,
d. 0,037037037…,
b. -0,027027027…,
e. 23,82037037037…,
c. 13,153153153…,
f. 4,157404040…,
(5). Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk desimal
a). (7 x10 2 )  (0x101 )  (3x100 )  (5x10 1 )  (3x10 2 )
b). (5x100 )  (8x10 1 )  (7 x10 2 )
(6). Uraikan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk seperti soal no 5
a). 20,0043
c). -4,72
e). 960
b). 304,607
d). 0,0019
(7). Jika m , n , p , q adalah bilangan bulat dengan p  0, q  0, tunjukkan bahwa
m n
a).     Q
 p q
 m 

 p 

Q
c). apakah 
 n 

 q 

 m  n 
b).     Q
Q = himpunan bilangan rasional.
 p  q 
(8). Hitung nilai tiap bentuk berikut (jika ada). Dalam tidak terdefenisi sebutkan.
0
3
3x0
a). 0 + 0 dan 0 – 0
c).
dan
e).
3
0
4 x0
0
0
b). 0 . 0 dan
d). 0 0
5
(9). Bilangan-bilangan manakah yang berikut rasional atau irrasional ?
a). 16
d). 3,7125
g). (1  3 )(1  3 0
j). 3  8
b).
225
e). 1 3
h).  2
c). (1  2 ) 2
f). 8 4
i). 2,718281...
(10).Tentukan pernyataan berikut benar atau salah
16
k).
5
2 5
l). (3 3 )12
Sistem Bilangan
44
5

59
7
4
3
g). 3  4
f). 
a). 0 < -2
b). 3 < -15
1
c).  5 
3
6 34

d).
7 39
e). -5 > -25
h).
i).
3
 27  3  8
1
6 2

1
4

6 2

1.2.5 Garis Bilangan Dan Selang (Interval)
Hal-hal mengenai bilangan real yang telah dibicarakan diatas dapat diberikan
interpretasi geometri, dengan mengkaitkan bilangan real dengan titik-titik pada sebuah garis.
Setiap bilangan real dapat digambarkan sebagai titik pada garis, dan setiap titik pada
garis dapat dinyatakan sebagai representasi bilangan real. Hal ini berarti terdapat “korespondensi
satui-satu” diantara bilangan real dan titik pada garis. Diantara dua bilangan real terdapat tak
hingga banyaknya bilangan rasional dan irrasional. Akibatnya, kita dapat menggambarkan
bilangan real R sebagai himpunan titik sepanjang suatu garis lurus, yang dikenal sebagai “garis
bilangan real”, lihat gambar berikut :
* mula-mula kita meletakkan
|
titik 0 sebagai titik asal (origin),
0
lihat gambar 1.a
titik asal
(titik nol)
Gambar 1.a
* selanjutnya kita dapat memilih suatu
|
|
|
|
|
|
titik sembarang disebelah kiri atau kanan
-2
-1
0
1
2
3
titik asal yang mempunyai jarak tertentu
dari titik asal, lihat gambar 1.b
Gambar 1.b
* akhirnya kita dapat menggambarkan setiap bilangan real (rasional maupun
kita kehendaki pada garis bilangan, lihat gambar 1.c
irrasional) yang
5
2
|
|
-3
-2 -1½ -1
|
|
|
|
0
1
Gambar Garis Bilangan
|
2
2
5
| |
|
|
|
3
4
4½
5
Gambar 1.c
Catatan
Perhatikan bahwa bilangan real positif terletak disebelah kanan titik 0,
dan bilangan real negatif terletak disebelah kiri titik 0.
Sekarang kita defenisikan himpunan bilangan real yang memenuhi suatu pertaksamaan
tertentu, yang dikenal sebagai “selang hingga” dan “selang tak hingga”.

“Selang hingga” adalah himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas diatas dan
dibawah.

“Selang tak hingga” adalah tidak terbatas diatas atau dibawah.
17
Sistem Bilangan
Berikut ini diberikan defenisi selang (interval) sebagai himpunan titik dan representasinya pada
garis bilangan.
Tabel 1.
SELANG (INTERVAL) HINGGA
Pertaksamaan
Selang sebagai
Representasi selang pada garis
No
yang dipenuhi
himpunan titik
bilangan.
bil real x
1
a xb
(a, b)  x  R : a  x  b
(
)
a
b
2
a xb
a, b  x  R; a  x  b


a
b
b
3
)
a xb
a, b  x  R, a  x  b
a
b
4
a xb
a, b  x  R; a  x  b
(

a
b
Catatan : Selang a, b yang tidak memuat kedua titikujungnya dinamakan “selang terbuka”
Selang a, b yang memuat sekaligus kedua titik ujungnya dinamakan “selang tertutup”
Selang yang hanya memuat salah satu ujungnya dinamakan “selang setengah
tutup/buka”.
Untuk selang tak hingga digunakan lambang  dan -  yang memenuhi relasi urutan
   x   untuk setiap x  R . Berdasarkan hal tersebut, lambang  digunakan untuk suatu
yang lebih besar dari setiap bilangan real (membesar tanpa batas) dan lambing   digunakan
untuk sesuatu yang lebih kecil dari setiap bilangan real (mengecil tanpa batas). Kedua lambang
ini ( dan - ) bukan bilangan real.
Tabel 2.
SELANG TAK HINGGA
Pertaksamaan
Selang sebagai
Representasi Selang pada garis
NO yang dipenuhi bil
Himpunan Titik
bilangan
real x
1
xb
(, b)  x  R, x  b
)
2
xb
b
 , b  x  R, x  b

b
3
xa
a,   x  R, x  a
4
xa
a,   x  R, x  a
5
  x  
 ,   R
(
a

a
Catatan ; Selang  , b dan a,  adalah selang terbuka
Selang  , b dan a,   adalah selang setengah tutup
18
I
0
Sistem Bilangan
Sebagai latihan, pembaca diharapkan melengkapi tabel berikut (diberikan contoh pada
baris ketiga).
Tabel 3.
Pertaksamaan yg
No
dipenuhi bil. real x
1 1  x  4
2
...
3
4
5
6
7
8
Notasi
Selang
 1,4
 1,3
Representasi selang pada garis
bilangan
…
(
-1
2, 
x2
2 x  4
....
x  1

-1
  
0 1 2
 
3 4

0
2
...
(-1, 5)
 ,1
x  0 x  2

3
...
...
x  R : x  2

4
x  R : 2  x  4
....
....
.....
.....
.....
...
 1,1  2,3
....


1
Himpunan Titik
]
(
0
2
....
x  R : 1  x  1 
.....
atau 2  x  3 }
GABUNGAN DAN IRISAN DUA BUAH SELANG
 Perhatikan soal 2 dan 3 pada tabel 3 diatas. Misalkan I 2   1,3 dan I 3  2,  , maka
gabungan I2 dan I3 adalah I 2  I 3   1,3  2,    1, 
Irisan I2 dan I3 adalah I 2  I 3   1,3  2,   2,3 .
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
(




I2
I 2   1,3

I 3  2,  
-1

-1
maka
I 2  I 3  (1, )
dan
I 2  I 3  [2,3]
(
-1
0

3


2
0

0

0

3

4
I3
I2 I3


2

3
I2 I3
Dengan cara yang sama diperoleh:
I 2  I 6   1,3   ,1   ,1  (1,3] (titik -1 tidak masuk angota gabungan)
dan
I 2  I 6   1,3   ,1   (himpunan kosong) lihat gambar
(




I 2  (1,3]
-1
0
)

0



0

0


-1
)(
-1
3

3

I 6  (,1)
I 2  I 6  (,1)   1,3
3


I2  I6  
19
Sistem Bilangan
Sebagai latihan, dibawah ini diberikan gabungan dan irisan beberapa selang (Tabel 4).
Temukanlah jawabannya yang bersesuaian (misalnya 7 = a ; 8 = d ).
Tabel 4. Gabungan dan irisan beberapa selang, serta jawabannya yang diacak tempatnya. Ada
beberapa soal yang mempunyai jawaban yang sama. Temukanlah pasangan yang bersesuaian.
Hasil Gabungan/Irisan beberapa
No
Gabungan/Irisan beberapa Selang
Selang
1...
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
 1,4   1,3
 1,4   1,3
 1,4  2, 
 1,4  2, 
 1,3   ,0  2, 
 1,3   ,0  2, 
2,    1,5
2,    1,5
 1,5   ,1
 1,5   ,1
 1,5   ,0  2, 
 1,5   ,0  2, 
 1,5   1,1  2,3
 1,5   1,1  2,3
 ,0  2,    1,1  2,3
 ,0  2,  
 1,1  2,3
0,2  2,5
0,2  2,5
=
=
=
? a
? b
? c
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
? d
? e
? f
a
g
d
h
? i
? j
? k
? l
? m
? n
? o
? p
=
=
?
?
 1,   x  R : x  1

 1,0  2,3  x  R : 1  x  0  2  x  3
2,5  x  R;2  x  5
 1,   x  R;1  x  
 1,4  x  R;1  x  4
 1,0  2,5  x  R : .....
1,3  {x  R : 1  x  3}
 1,1  2,3  x  R : .....
0,5  x  R : 0  x  5
 ,1   1,5  x  R : ...
 ,   x  R :   x  
2,4  x  R : 2  x  4
2  x  R : x  2
 ,1  2,   x  R : ...
 1,5  x  R : 1  x  5
Diskusikan di kelas (dosen dengan mahasiswa).
Berhubungan dengan konsep selang, pembaca diharapkan dapat menjawab pertanyaan
berikut dengan argumentasi yang tepat.
1). Bandingkan sebuah bilangan dengan negatifnya, bilakah negatifnya sama,kapankah
negatifnya lebih besar dan kapankah negatifnya lebih kecil dari bilangan tersebut ?
2). Bandingkan sebuah bilangan dengan kubiknya, kapankah kubiknya sama, kapankah
kubiknya lebih besar dan kapankah kubiknya lebih kecil dari bilangan tersebut ?
3). Jika a sebuah bilangan real positif, bandingkan antara kuadrat dengan akar kuadratnya,
kapankah kuadratnya sama dengan akar kuadratnya, kapankah kuadratnya lebih kecil dari
akar kuadratnya, dan kapankah kuadratnya lebih besar dari akar kuadratnya?
20
Sistem Bilangan
1.2.6 Pertaksamaan Dan Nilai Mutlak
 Pertaksamaan
Kita ingat kembali aksioma urutan bilangan real :
(i). a  b  a  b  0  b  a  0
(ii). a  b  a  b  0  b  a  0
(iii). Tepat satu dan hanya satu diantara ketiga kalimat berikut yang benar :
:
:
ab
ab
ab
Kalimat-kalimat matematika yang berbentuk a  b ; c  d ; e  f dan g  h dinamakan
“ketidaksamaan (pertaksamaan)”.
Kalimat terbuka 2x -1 < 7 adalah benar untuk beberapa bilangan real tertentu, dan tidak benar
untuk bilangan -bilangan real lainnya. Misalnya, apabila bilangan real 3 disubtitusikan untuk x
maka kalimat tersebut menjadi benar yaitu 6 – 1 < 7 adalah benar, akan tetapi jika bilangan real 6
disubtitusikan untuk x, maka kalimat tersebut menjadi 12 – 1 < 7 yang tidak benar.
Himpunan semua bilangan real x yang memenuhi pertaksamaan (yaitu yang membuat kalimat
pernyataan itu benar) dinamakan “himpunan penyelesaian (solusi) pertaksamaan”.
Bentuk umum pertaksamaan aljabar satu peubah real adalah
M ( x) R( x)
, M, N, R, S adalah suku banyak (polinom).

N ( x) S ( x)
Catatan : Tanda < dapat diganti oleh >,  atau 
Prosedur/langkah-langkah baku menyelesaikan pertaksamaan ini adalah sebagai berikut :
Dengan menggunakan rumus aljabar elementer dan urutan, ubahlah bentuknya menjadi
p( x)
 0 , dengan P, Q suku banyak.
Q( x)
(ii). Uraikan P dan Q atas faktor-faktor linier dan/atau kuadrat definit positif.
(iii). Tentukan tanda pertidaksamaan pada garis bilangan.
(iv). Tentukan himpunan penyelesaiannya, dan tampilkan dalam bentuk selang.
Catatan : Jika uraian P dan Q atas faktor-faktornya sukar dikerjakan, langkah kedua dapat saja
dilewati, asalkan tanda pertaksamaannya pada garis bilangan untuk P dan Q dapat
ditentukan. Dalam beberapa kasus khusus, prosedur baku ini tidak perlu harus digunakan.
Contoh. 1.
Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan x 2  2 x  3
Solusi
x 2  2x  3
 x 2  2x  3  0
 ( x  1)( x  3)  0 , titik-titik nolnya adalah x = -1 dan x = 3
(i).
I
II
|
-1
|
0
|
1
III
|
2
|
3
21
Sistem Bilangan
# dalam hal ini, garis bilangan terbagi atas tiga daerah yaitu daerah I, II dan III.
# uji tanda pertaksamaan, dapat dipilih sembarang nilai x pada tiap daerah (asalkan tidak
memilih titik-titik nolnya).
Misalkan kita pilih x=0 pada daerah II, maka diperoleh tanda pertaksamaan adalah negatif,
karena (0+1) (0-3) = -3<0. Jadi pada daerah II diberi tanda negatif (-), pada daerah I dan III
diberi tanda positif (+).
++++++
-1
------------0
++++++
3
++++++ - - - - - - - - - - - - - - - - - - ++++++
-1
0
3
Berdasarkan tanda pertidaksamaan diatas adalah negatif ( <0) maka himpunan
penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir :
(1,3)  x  R : 1  x  3
Catatan : Pertidaksamaan diatas selalu benar apabila x disubtitusikan bilangan real antara -1 dan
3, dan akan bernilai salah dalam hal lainnya.
Contoh . 2
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
Solusi




3
 x2
x
3
x2 
x
3
x2 0
x
x 2  2x  3
0
x
( x  3)( x  1)
 0,
x
3
 x2
x
x0
- - - - - -+ + + + + + + + + - - - + + + +
|
-3
|
|
|
0
|
1
Tak terdefenisi
 Himpunan penyelesaian =  ,3  0,1
= x  R : x  3 atau 0  x  1
22
Sistem Bilangan
Contoh. 3
Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan :
a). -3 <4x -9 <11
b). 2  x 2  x  6
x
x 1

c).
x3 2 x
d). 3x 2  11x  4  0
Solusi :
a.
-3 <4x -9 <11  -3 <4x -9 dan 4x -9 <11
-3 <4x -9
dan
4x -9 <11
-3 + 9 <4x
dan
4x < 11 + 9
6 < 4x
dan
4x < 20
3
x
2
dan
x <5
3
 x5
2
|
3
|
5
2
3
3  

Himpunan penyelesaiannya adalah  ,5    x  R :  x  5
2
2  

2
2
2
b.
2 x x6
 2  x  x dan x  x  6
2
dan
x2  x  6
2 x x
dan
x2  x  2  0
x2  x  6  0
( x  1)( x  2)  0 dan
( x  2)( x  3)  0
x  1 atau x  2 dan  2  x  3
|
|
-2
-1
|
|
|
|
2
3
 Himpunan penyelesaiannya adalah irisan x  1 atau x  2 dengan  2  x  3
yaitu :  ,1  2,    2,3   2,1  2,3
 x  R : 2  x  1 atau 2  x  3.
23
Sistem Bilangan
c).
x
x 1

x3 2 x
x
x 1

0

x3 2 x
x(2  x)  ( x  1)( x  3)

0
( x  3)( 2  x)
2x 2  2x  3
0

( x  3)( 2  x)
Karena pembilang (2x 2  2x  3) definit positif (bernilai positif untuk setiap x), maka
pertaksamaan ini setara dengan :
1
 0 , dalam hal ini x  3; x  2
( x  3)( 2  x)
|
|
-3
2
 Himpunan Penyelesaiannya : (-3,2) = { x    -3 < x < 2 }
d).
3x 2  11x  4  0
 (3x +1) (x – 4) <0
Jadi tanda (3x + 1) dan tanda ( x – 4) harus berbeda.
Kasus I. Misal 3x +1 < 0
dan
x-4 >0
1
Berarti x < 
dan
x > 4...
3
Tetapi tidak mungkin ada bilangan real x yang kurang dari
lebih dari 4. jadi kasus I tidak mungkin. (dengan kata lain irisannya  ).
Kasus II. Misal 3x +1 > 0
dan x – 4 < 0
1
berarti x > 
dan x < 4
3
|
-1/3

1
dan sekaligus
3
|
4
sehingga :
1
 1  

Himpunan penyelesaiannya :   ,4  =  x  R :   x  4
3
3

 

Nilai Mutlak
Sebelum kita membahas konsep “nilai mutlak”, perhatikan dahulu konsep jarak antara
dua titik pada garis bilangan berikut :
4
2
A
B
C
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3
24
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Sistem Bilangan
dari gambar 2. terlihat bahwa :
- jarak dari titik A ke B adalah 3- (-1) = 4 dan
jarak dari titik B ke C adalah 5 - 3 = 2.
Secara umum perhatikan kasus berikut :
* jarak titik b ke titik a adalah a-b, jika a > b
Jarak = b – a
b
a
Jarak = a – b
* jarak tititk a ke titik b adalah b –a , jika b > a
a
b
Jarak = 0
* jarak titik a ke titik b adalah 0, jika a=b
a=b
Dari kenyataan tersebut diatas kita dapat menyimpulkan sebagai berikut :
jarak titik a ke titik b pada garis bilangan adalah
a  b, jika a  b

d (a, b)  0 , jika a  b
b  a, jika a  b

kasus khusus terjadi bila b = 0, maka jarak dari titik a ke 0 adalah :
a, jika a  0

d ( a,0)  0, jika a  0
 a, jika a  0

atau disingkat dengan :
a, jika a  0
d (a,0)  
 a, jika a  0
Konsep nilai mutlak dari bilangan real x mempunyai arti geometri sebagai jarak dari x ke 0 pada
garis bilangan, sehingga ‘nilai mutlak” dapat digunakan sebagai ukuran jarak antara dua
bilangan (titik) pada garis bilangan real, perhatikan gambar 3.
Jarak = x
Jarak = 3
|
|
y
-3
|
|
|
|
0
|
|
|
3
x
Jarak = 3
Jarak = -y
(y < 0)
gbr. 3
dari gambar 3, dapat disimpulkan bahwa :
1 ). – jarak dari 2 ke 0 adalah : d (2,0) = 2 -0 = 2
- jarak dari -2 ke 0 adalah : d (-2,0) = 0 – (-2) = 2
2). – jika x > 0, jarak dari x ke 0 adalah d(x,0) = x – 0 = x
_ jika y < 0, jarak dari y ke 0 adalah d (y ,0) = 0 – y = -y, dalam hal ini (-y)
bilangan positif, karena y < 0.
adalah
25
Sistem Bilangan
3). dari kenyataan ini menunjukkan bahwa jarak dari x ke 0 adalah x, jika x  0, dan jarak dari
x ke 0 adalah –x, jika x <0, yang dapat dituliskan dalam bentuk
 x, jika x  0
d ( x,0)  
 x, jika x  0
Defenisi 1. 13
“Nilai Mutlak” (nilai absolut)
didefenisikan sebagai :
dari bilangan real x , ditulis
x , dan
 x, jika x  0
x 
 x, jika x  0
x=0
--------------------- |+++++++++++++++ +
x<0
|x| = - x
0
x>0
|x| = x
Gambar 4
perhatikan gbr.4, titik 0 membagi garis bilangan atas dua daerah yaitu x  0 dan
x < 0. Pada daerah x  0 berlaku x  x dan pada daerah x  0 berlaku x   x. Dalam hal ini
x berganti tanda di titik 0.
Contoh 1.  2   2  2
2 3  2 3

3 3
;

3  2   3,2 ,
karena
karena
;
0 0
2 3
3  2 , tetapi hasil ini sama dengan
2 3.
Contoh 2. Ubahlah bentuk nilai mutlak berikut ke dalam bentuk tanpa nilai mutlak
a). x  3
; b). 2x  5
Solusi :
a). Besaran x  3 ini berubah tanda di x  3 .
Jika x  3, maka x  3  0 , sehingga x  3  x  3
Jika x  3, maka x  3  0 , sehingga x  3  3  x
Sehingga hasilnya dapat dituliskan sebagai berikut :
 x  3, jika x  3
x3  
3  x, jika x  3
atau dinyatakan dalam gambar sebagai berikut :
3
x3
x 3  x 3
26
x3
x 3  3 x
Sistem Bilangan
b) Besaran 2 x  5 berganti tanda di x 
5
2
5
maka 2x  5  0 , sehingga 2 x  5 = 2x  5
2
5
Jika x  maka 2x  5  0 , sehingga 2 x  5 = 5  2x
2
Sehingga hasilnya dapat dituliskan sebagai berikut :
5

2 x  5, jika x  2
2x  5  
5  2 x, jika x  5
2

Jika x 
Kita ingat kembali bahwa a dengan a  0 , melukiskan bilangan real tak negatif yang
kuadratnya adalah a. Jadi 9  3 dan bukan  3, dan  9  3
Berdasarkan hal ini, kaitan antara bentuk akar dengan nilai mutlak adalah sebagai berikut ;
Untuk setiap bilangan real x, berlaku :
x2  x
dan
x  x2
2
Contoh :
22  2
;
 52
 5  5
dan  3   3  9
2
2
SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK
Teorema 1.14
1). Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku :
a). x  0
e). x  y  x   y  x 2  y 2
b). x   x
f). x  y  y  x
c).  x  x  x
g). xy  x . y
x
x
 , y0
y
y
Untuk setiap bilangan real x dan jika a  0 , maka berlaku :
a). x  a  a  x  a  x 2  a 2
d). x  x  x 2
2
2).
3).
2
h).
b). x  a  x  a atau x  a  x 2  a 2
Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap bilangan real x dan y, berlaku ;
a). x  y  x  y
c). x  y  x  y
b). x  y  x  y
d). x  y  x  y
27
Sistem Bilangan
Berikut ini diberikan bukti untuk beberapa bagian saja, selebihnya diserahkan kepada pembaca
sebagai latihan.
Bukti 1). g.
xy  x . y
x. y 
Bukti 3) .a.
x 2 . y 2  x 2 y 2  xy .
x y  x  y
dari 1. c. kita punya
sehingga
 x x x
bukti
Bukti 3). c.
bukti
 y  y y
dan
  x  y   x  y   x  y .
dari 2.a. sehingga diperoleh
Bukti 3).b.
terbukti
x y  x  y
terbukti.
x y  x  y
x  y  x  ( y )  x   y  x  y
terbukti
x  y  x y
x  x  y   y  x  y  y , sehingga
x  y  x y
terbukti.
Teorema Akibat 1.15
1). Andaikan x dan a adalah bilangan real sembarang maka
 x  a, jika x  a
xa  
a  x, jika x  a
xa
xa  ax
2). Jika b  0 , serta x dan a bilangan real, berlaku
a. x  a  b  b  x  a  b  a  b  x  a  b
b. x  a  b  x  a  b
atau
yang dapat ditulis sebagai x  a  b
a
xa
xa  xa
x a  a b
atau
x  a b
Catatan Langkah-langkah penyelesaian pertaksamaan yang memuat nilai mutlak adalah sebagai
berikut :
 Ubahlah bentuk pertaksamaan sehingga tidak memuat lagi nilai mutlak.
 Selesaikan pertaksamaan yang muncul pada setiap kasus. untuk itu kita
dapat
menggunakan sifat-sifat nilai mutlak (teorema akibat 1.15) atau mengkuadratkan bentuk
pertaksamaan dengan nilai mutlak bila syaratnya terpenuhi.
Contoh 1. Selesaikan (Tentukan himpunan penyelesaian) pertaksamaan berikut :
a). x  2  5
b). 5x  6  1
c)
28
x  x  2.
d). 2 x  3  x  2
Sistem Bilangan
Solusi
a). Berdasarkan Th 1.5 , x  2  5  5  x  2  5
 3  x  7.
Jadi himpunan penyelesaianya adalah : (-3,7) = x  R : 3  x  7
yaitu selang terbuka (-3,7).

(//////////////////////////////////////////)
-3
|x–2|<5
7
b). 5x  6  1  5x  6  1 atau 5x  6  1
 5x  7 atau 5x  5
7
atau
x 1
5
Jadi Himpunan penyelesainya adalah:
 . x

= x  R : x  1

atau
 ,1  
7
//////////////
///////////////
, 
7
5
1
5
7
x 
5
c). x 2  x  2   2  x 2  x  2 
 2  x2  x
x2  x  2  0
x2  x  2
x2  x  2  0
dan
dan
2
1 7

x  1x  2  0
dan
x     0
2
4

definit positif
1  x  2
Jadi himpunan penyelesaiannya = R   1,2   1,2
 x  R;  1  x  2
d).
2 x  3  x  2  2 x  3  x  2
2
///////////////////
-1
2
2
 4 x 2  12 x  9  x 2  4 x  4
 3x 2  16 x  5  0
 3x  1x  5  0
1
 x5
3
1
1  

Himpunan solusinya adalah  ,5   x  R;  x  5
3
3  

Cara lain :
2x  3  x  2
///////////////////
1/3
5
oleh karena nilai mutlak suatu bilangan selalu tak negative, maka 0  2 x  3  x  2 . Jadi
x  2  0 , maka kedua ruas di bagi |x + 2| sehingga pertaksamaan diatas dapat dituliskan sebagai
:
29
Sistem Bilangan
2x  3
2x  3
1
x2
x2
berdasarkan th.1.15, hasil tersebut ekivalen dengan :
2x  3
*
1 
 1 , karena x  2  0 , maka x  2
x2
Jadi ada dua kasus yang perlu ditinjau yaitu x  2 dan x  2
Kasus (i) Andaikan x  2 , maka x  2  0 dan mengalikan ruas-ruas pertaksamaan * dengan
x  2 , diperoleh :
 x  2  2x  3  x  2
1

 2x  3   x  2
x2
x  2  2 x  3
x5  0
x5
dan
dan
dan
2x  3  x  2
3x  1  0
1
x
,
3
hal ini tidak mungkin sebuah
1
sekaligus lebih besar dari 5. (dengan kata lain irisannya   ). Jadi
3
kasus (i) x  2 tidak mungkin.
Kasus (ii) Andaikan x  2
maka x  2  0 dan mengalikan ruas-ruas pertaksamaan *
dengan x  2 , diperoleh :
 x  2  2x  3  x  2
bilangan kurang dari
  x  2  2x  3
3x  1  0
1
x
3
1 
1 
 3 ,     ,5   2,     3 ,5
atau
dan
dan
2x  3  x  2
x  5  0 , sehingga
dan
x5
dan
1
1  

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  ,5   x  R;  x  5
3
3  

Hal ini mudah dilihat irisannya pada garis bilangan sebagai berikut :
x  2
x
1
3
x5
Hasil irisannya ;
30
(////////////////////////////////////////////////////////
-2
/////////////////////////////////////////
1/3
///////////////////////////////////////////////////////
5
//////////////////////////////////
1/3
5
x  2
Sistem Bilangan
Contoh 2. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan
5
1
a).

2x  1 x  2
b). 3 x  x  1  5
Solusi :
2
2
5
1
 5   1 
a).


 

2x  1 x  2
 2x  1   x  2 
2
25
1
2


 25( x  2)  2 x  1  0
2
2
2 x  1 x  2
 21x 2  54 x  24  0
 37 x  4x  2  0
(///////////////////)
4/7
2
4
4  

Himpunan penyelesaiannya adalah  ,2    x  R;  x  2
7
7  

b). 3 x  x  1  5  3 x  x  1  5
Tuliskan persamaannya tanpa bentuk nilai mutlak dengan menggunakan sifat :
 x, bila x  0
 x  1, bila x  1
dan x  1  
x 
 x, bila x  0
1  x, bila x  1
Titik 0 dan 1 membagi garis bilangan atas tiga daerah :
x<0
0x1
x0
; 0  x 1 ;
x 1
0
Proses penyelesaiannya pada garis bilangan adalah sebagai berikut :
x0
x  x
0  x 1
x x
1
x0
x 1
x x
x 1  1  x
x 1  1  x
x 1  x 1
Subtitusi
ke Subtitusi
ke Subtitusi
ke
pertidaksamaannya pada pertidaksamaannya pada pertidaksamaannya pada
3 x  x  1  5 , diperoleh
3 x  x  1  5 , diperoleh
3 x  x  1  5 , diperoleh
 3x  1  x  5
 2x  1  5
 2x  6
x  3
iriskan dengan  ,0
HP1   ,0   3,0
=  3,0
3x  1  x  5
4x  1  5
4x  6
3
x
2
iriskan dengan 0,1
3

Hp2 = 0,1    , 
2

= 0,1
3x  x  1  5
2x  1  5
2x  4
x2
iriskan dengan
1, 
Hp3= 1,    ,2
= 1,2
31
Sistem Bilangan
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah gabungan dari ketiga himpunan penyelesaian diatas :
Hp =Hp1  Hp2
Hp3   3,0  0,1  1,2   3,2
Jadi Hp3   3,2
Contoh 3
Sebuah kubus yang panjang rusuknya 3 meter. Dalam penggukuran panjang rusuknya
tentu saja terjadi galat/kesalahan. Tentukan besarnya toleransi S untuk galat pengukuran
panjang rusuknya bila galat luas permukaannya tidak lebih dari 1%.
Solusi
Misalkan hasil pengukuran rusuk
kubus adalah
x
meter
(lihat
gambar)
maka
luas
permukaannya
x
adalah 6 x 2 m 2 , sedangkan nilai eksaknya
6.3 2  54 m 2 ;
x
x
kita akan menentukan bilangan   0,
x  3    6 x  54  0,54
2
sehingga
;
0,54  1%
dari 54
x  3    6 x  3 x  3  0,54
Untuk menyelesaikan masalah ini, dapat kita mulai dengan suatu toleransi   0,
tertentu,
katakanlah
x  3    0,5 m. Ini mengakibatkan faktor x  3 dapat dibatasi oleh suatu
konstanta yaitu :
x  3 = x  3  6  x  3  6  0,5  6  6,5
Ini berarti bahwa   0 harus ditentukan sehingga memenuhi
0,54
x3   x3 
 0,013
6(6,5)
 0,013 , maka apa yang diinginkan sudah
Ambillah 
Min 0,5;
0,013 yaitu 
tercapai dengan proses pembuktinya sebagai berikut :
x  3    0,013  6 x 2  54  6 x  3 x  3  6.6,5.0,013  0,54
Dalam hal ini  tidak tunggal tergantung pengandaian awalnya. Pada kasus ini kita dapat
memilih 0    0,013 . Jadi besarnya toleransi  untuk galat pengukuran panjang rusuk kubus
agar galat luas permukaannya tidak lebih dari 1 % adalah 0    0,013 m
32
Sistem Bilangan
SOAL-SOAL LATIHAN
A. Pertidaksamaan
1. Lengkapilah lingkaran pertidaksamaan berikut :
……..
1
x +3….
2
…….. -x  …..
..  3x  …
-4  x  6
 14
16
 x + …. 
3
3
…… ¼ x – 1 …..
2. a). 5x + 1 < x – 3
3. a). x2 – 3x – 2 = 0
2
4
4. a).  3   1
x
3
x2
1
5. a). x 
x
7
x
4

x  2   x  1  x  1
0
6. a).
x 3  8x 2  9
1
1

7. a).
x 1 x 1
1
8. a).  sin x  1
2
…..x + 2  ….
b). 2  5 – 3x < 11
b). 4x2 + 9x  9
1
b). x 
x
x 2 1
b). 2 
 x3
x
x  2 x 1
b).

x3
x2
1
2

b).
x  1 3x  1
c). 3x2 – 11x – 4< 0
1
 1
c).  4 
2x  5
b). cos x  cos 3x
B. Nilai Mutlak
1. Tanpa melakukan penyederhanaan, tuliskan bilangan-bilangan berikut tanpa menggunakan
tanda mutlak
a).   3   3
b). 2  3
c). 2  3
d).
5 
e). 10 5
f).  5  2
1
h).  3.10 3`
1 
2. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan berikut :
a). 3x 1  5
b). |3x + 5| = 5x – 3
c). |x – 1| = |x + 1|
g). 
d). |2x + 4| = |x – 1|
e).
3x  8
4
2x  3
f). x  x  0
33
Sistem Bilangan
3. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan berikut :
a). |2x +3|  2
b). |2x + 4| < 5 – 4x
c). |5x + 3|  9
2
d). |2x + 3| < |4x – 5|
e). |x – 3x + 2| > |4x – 5|
f). x  1  2
3x
1  3
5
4. Tentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan berikut :
2x 1
6  5x 1
x 1
2
1


a).
b).
c).
x
3 x
2
2
x 1
5
1
2  3x 1


d).
e).
f). 2  x 2  x  6
2x 1 2x  2
x3
4
g).
g). x  4  3 x  4  2  0
5. Tentukan sebuah pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak yang ekivalen dengan
pertaksamaan b > a + c dan b > a – c
6. Tunjukkan bahwa |b| = maks{b,-b}; b  
1
7. Buktikan bahwa x  4  0,006  7  0,03  x  5  7  0,03
2
8. Buktikan x  5    14    10x  36  14   ; dengan  bilangan positif.
2
9. Tunjukkan bahwa 0 < |x – a| <   x  (a - ; a +  ); dengan x  a
10. Tunjukkan bilangan positif  sehingga |x – 3| <   6,9 < 4x – 5 < 7,1
11. Misal  > 0, tentukan bilangan positif  sehingga : |x – 4| <   18 -  < 3x+6 < 18 + 
12. Jika a, b bilangan rill positif, berlaku : |a – b| < k,   > 0, Buktikan bahwa a = b.
13. Jika a, b, c bilangan rill, buktikan bahwa : |a + b + c|  |a| + |b| + |c|
34