SEJARAH MATEMATIKA
Kalkulus berasal dari kata calculus dalam bahasa Latin, yang mempunyai arti "batu kecil"
untuk menghitung. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus
integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Kalkulus diferensial
mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya
sedangkan. Kalkulus Integral mempelajari persoalan rumus luas dan volume.
1. Perkembangan Kalkulus
Sejarah perkembangan kalkulus dapat dilihat dari beberapa periode zaman yaitu:
a. Zaman Kuno
b. Zaman Pertengahan
c. Zaman Modern
a. Zaman Kuno
Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi
tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang
merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa
Mesir (1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung.
Gambar 12.1. Kalkulus pada Papirus Moskwa
Bangsa Yunani telah mencoba menentukan luas dengan suatu proses yang mereka sebut
dengan “The Method of Exhaustion” yang digagas oleh Eudoxus pada 370 SM. Metode
tersebut dinamakan demikian dikarenakan satu pikiran tentang ukuran tanah/lahan yang
berkembang sehingga mereka menghitung lagi dan lagi dari luas yang dikehendaki.
Gagasan yang penting dari metode ini sangat sederhana dan dapat dilukiskan dengan singkat
sebagai berikut:
“Diberikan suatu daerah yang luasnya akan ditentukan, kemudian kita buat di dalamnya
suatu daerah poligonal yang mendekati daerah yang diberikan dan kita dapat menghitung
luasnya dengan mudah. Kemudian dipilih daerah yang poligonial yang lain yang
memberikan suatu pendekatan yang lebih baik dan kita lanjutkan proses tersebut dengan
mengambil poligon-poligon dengan sisi yang semakin banyak, yang diistilahkan mencoba
untuk mengeringkan daerah yang diberikan.”
Archimedes seorang ilmuan bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 – 212 SM)
mengembangkan “The Method of Exhaustion” lebih jauh dan menciptakan Heuristik yang
menyerupai kalkulus integral untuk mendapatkan rumus-rumus eksak luas-luas lingkaran dan
bangun-bangun khusus yang lain seperti piramida dan untuk menghitung luas daerah yang
dibatasi oleh parabola dan tali busur dan dengan penjumlahan barisan tak hingga. Kemajuan
pengetahuan pertama Archimedes yang pertama adalah menunjukan bahwa luas sebuah
bagian dari sebuah parabola adalah 4/3 luas sebuah segitiga dengan alas dan puncak yang
sama dan 2/3 daerah yang dibatasi jajaran genjang.
Archimedes telah mengkonsep sebuah deret tak hingga dari segitiga-segitiga dimulai dengan
satu bidang ∆ dan secara terus-menerus menambahkan segitiga selanjutnya diantara yang
sudah ada untuk mendapatkan luas
Ini adalah contoh yang pertama kali ditemukan dalam penyajian terakhir dari sebuah deret tak
hingga.
Perkembagan dari metode ini, di luar apa yang telah ditemukan oleh Archimedes tidak
dikenal pada zaman Archimedes, maka harus ditunggu sampai 18 abad baru digunakan
simbol-simbol dan notasi aljabar sehingga menjadi salah satu bagian dari ilmu matematika.
Secara bertahap Metode Kelelahan lebih dikenal sebagai Kalkulus Integral, suatu disiplin
ilmu yang mempunyai kekuatan yang besar dengan penggunaan yang tidak hanya di bidang
ilmu ukur saja, melainkan juga untuk bidang lain yang lebih luas.
Pada kajian Kalkulus Diferensial, Archimedes juga adalah seorang matematikawan Yunani
yang pertama telah menemukan garis singgung ke dalam bentuk suatu kurva sambil
mempelajari sebuah spiral. Dia memisahkan titik pergerakan spiral kedalam dua komponen,
satu komponen gerakan radial dan satu komponen gerakan circular, dan kemudian
melanjutkannya dengan menggabungkan dua komponen gerakan secara bersamaan dengan
demikian menemukan garis singgung kedalam kurva.
b. Zaman Pertengahan
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil
takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk
persamaan diferensial dasar. Aryabhata juga sekitar tahun 500 menemukan volume kubus
yang mana meupakan sebuah langkah penting dalam perkembangan Kalkulus Integral.
Langkah pokok selanjutnya pada Kalkulus Integral pada abad ke-11, ketika Ibn al-Haytham
(dikenal sebagai Alchen in Eropa) seorang matematikawan Irak yang bekerja di Mesir,
merancang sesuatu yang pada saat sekarang diketahui sebagai “Alhazen’s problem”, yang
sudah mengarah pada persamaan pangkat empat yang terdapat dalam “Book of Optics”. Dia
adalah matematikawan pertama yang memperoleh penjumlahan pangkat menggunakan
metode penyamarataan yang sudah ada untuk menetapkan rumus umum penjumlahan
sebarang pangkat bulat. Dia semakin dekat untuk menemukan Integral Polinomial, tetapi dia
tidak menyangkut pautkan dengan polinomial yang lebih tinggi dari pangkat empat.
Manjula, pada abad ke-10 menguraikan tafsiran persamaan diferensial. Persamaan inilah
yang nantinya mengarahkan Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk
awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan
bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham
(Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat
empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode
untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap
perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi
menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial.
Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab
astronomi dan matematika Kerala menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor yang
dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
c. Zaman Modern
Para ahli pada perkembangan kalkulus integral :
1. J. kepler ( 1571-1630)
Johannes Kepler lahir pada tahun 1571 di Weil der Stadt, sebuah kota kecil di pinggiran
Hutan Hitam Jerman. Pada tahun 1609, Kepler menerbitkan buku New Astronomy (Astronmi
Baru), yang diakui sebagai buku astronomi modern yang pertama dan salah satu buku
terpenting yang pernah ditulis tentang subjek itu. Tiga hukum yang terdapat dalam buku
tersebut mendefinisikan dasar-dasar gerakan planet: bentuk orbit planet yang mengitari
matahari, kecepatan gerakan planet, dan hubungan antara jarak sebuah planet dari matahari
dan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu putaran. Kepler juga telah menemukan
luas dari tembereng sebuah elips. Kepler hanya memerlukan sedikit waktu untuk mendapat
pengakuan dari Yunani dan cukup beruntung untuk mendapatkan jawaban yang benar setelah
membuat pencabutan dua kekeliruan dalam kerjanya.
2. René Descartes (1596 - 1650)
René Descartes, juga dikenal sebagai Renetus Cartesius adalah seorang filsup dan
matematikawan Perancis. Ia memperkenalkan Geometri Analitis, yang juga disebut Geometri
Koordinat dan dahulu disebut Geometri Kartesius. Sistem Koordinat Kartesius diterapkan
untuk menyelesaikan persamaan bidang, garis, garis lurus, dan persegi yang sering dalam 2
atau terkadang dalam 3 dimensi pengukuran. Geometri Analitik dapat dijelaskan dengan
secara sederhana: terfokus pada pendefinisian bentuk bangun dalam bilangan dan menjadikan
sebagai sebuah hasil perhitungan.
Hasil perhitungan dimukinkan juga sebagai sebuah vektor atau bangun. Ada beberapa para
ahli berpendapat bahwa pengantar Geometri Analitk adalah tahap awal matematika modern.
Para ahli pada perkembangan kalkulus diferensial :
3. Isaac Newton (1642-1716)
Isaac Newton seorang ilmuwan berkebangsaan Inggris dilahirkan pada hari natal tahun 1642
oleh seorang janda miskin. Isaac Newton terlihat sangat menjanjikan sebagai seorang siswa,
dan kemudian pamannya setuju untuk mendukungnya di universitas. Pada tahun 1665,
selama pecahnya bencana, dia dikirim kembali ke rumah, dan saat itulah dia mengembangkan
ide-ide terbaiknya. 30 tahun kemudian dia menjadi Professor di Cambrigde.
Pada Oktober 1666 Newton menulis buku “a tract on fluxions”. Hasil kerjanya itu tidak
pernah dipublikasikan pada saat itu tetapi diperlihatkan ke banyak matematikawan dan
menjadi pengaruh utama dalam kalkulus. Dalam buku “a tract on fluxions” Newton tidak
hanya membahas persamaan turunan, tetapi dia juga menjawab hubungan antara x dan
x/y untuk menemukan y. Oleh karena itu penurunan garis singgung pada setiap x dan ketika
x/y = y kemudian pada akhirnya Newton menyelesaikannya dengan anti turunan. Hal itulah
yang kemudian menjadi prinsip dasar Kalkulus.
2. Prinsip dasar Kalkulus.
a. Limit
Definisi Limit: kita katakan bahwa limit f (x) ketika x mendekati titik p adalah L
apabila untuk setiap bilangan ɛ > 0 apapun,terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupa
untuk setiap x : 0<|x−p|< δ
| f(x)─L| < ɛ
Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai
input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik
memanipulasi limit-limittertentu.
Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:
Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin
pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan
menuliskan:
jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden
dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:
0<|x−p|< δ
| f(x)─L| < ɛ
b. Turunan
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut
terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai
pendiferensialan ataupun diferensiasi. Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap
variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:
dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa
ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada
domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan. Apabila z = x + h, h = x - z, dan h mendekati 0
jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis
sebagai:
Garis singgung sebagai limit dari garis potong. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik
adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.
Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis potong.
Pada tahun 1693, Newton menderita gangguan saraf yang disebabkan menderita stress
selama perselisihannya dengan Leibiniz yang sebenarnya bukan seorang
matematikawan tetapi adalah seorang diplomat yang melakukan perjalanan ke manamana untuk mendiskusikan matematika dengan matematikawan dan ilmuwan terbaik
pada saat itu. Sayangnya dia berhubungan surat menyurat beberapa tahun setelah
mereka bertemu. Lama kemudian, desas-
desus perselisihan terjadi. Newton mengklaim bahwa Leibniz mencuri pemikirannya
daricatatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang mana Newton sering
meminjamkannya kepada beberapa anggota dari Royal Society. Sejarah menjadi hakim
bahwa Newton yang pertama mempunyai pemikiran utama (1665-1666), tetapi Leibniz
menemukannya selama tahun (16731676).
Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, namun Leibniz yang pertama kali
mempublikasikannya dimulai dari Integral yang diberi nama sebagai Kalkulus.
Mungkin Leibniz pencipta lambang-lambang matematis terbesar. Kepadanya kita
berhutang nama-nama kalkulus diferensial dan kalkulus integral, sama halnya seperti
lambang- lambang baku
𝑑𝑦
𝑑𝑥
untuk turunan dan simbol ∫ untuk Integral. Istilah fungsi
dan penggunaan simbol ‘=’ untuk kesamaan merupakan sumbangan-sumbangan
lainnya. Sedangkan Newton menciptakan Notasi Newton yang juga disebut notasi titik,
menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = f (t) maka y
mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eklusif digunakan untuk
melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika
dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
4. L’hopital (1661-1704)
L’hopital menggunakan turunan membantu untuk menaksir limit yang melibatkan
bentuk tak tentu dengan mengubah sebuah bentuk tak tentu menjadi bentuk yang tentu.
Aturan ini pada abad ke-17 dinamakan” French mathematician Guillaume de l'Hôpital”
dalam buku Kalkulus Diferensial pertama yang diterbitkan oleh L’ Hopital Analyse des
Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes yang artinya “Analisis kecil tak
hingga untuk mengerti garis kurva.
Diferensiasi penyebut dan pembilang selalu mempermudah persamaan.
5. Leonhard Euler (1707-1783)
Leonhard Euler, seorang matematikawan dan fisikawan Swiss. Euler menyumbangkan
berbagai penemuan penting yang beragam seperti kalkulus dan Teori Graf. Dia
memperkenalkan bilangan e adalah basis dari logaritma natural yang disebut juga bilangan
Euler. Bilangan ini adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama
pentingnya dengan 0, 1, i, dan π. Bilangan ini memiliki beberapa definisi yang ekivalen.
Nilai bilangan ini, dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan),
adalah:
e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352
6. J. Lagrange (1736-1813)
Joseph-Louis de lagrange (lahir dengan nama Giuseppe luigi Lagrangiaadalah seorang
matematikawan dan astronom Perancis-Italia yangmembuat sumbangan penting pada
mekanika klasik, dan teori bilangan. Dilahirkan di Turin, ia adalah campuran Italia dan
Perancis. Ayahnya ialah orang kaya, namun suka menghambur-hamburkan kekayaannya.
Pada usia 19, ia memulai karyanya-mungkin yang terbesar, Mécanique analitique, meski tak
diterbitkan sampai ia berusia 52 tahun.
7. C. Gauss(1777-1855)
Johann Carl Friedrich Gauss (lahir di Braunschweig, 30 April 1777
matematikawan, astronom,dan fisikawan Jerman. Saat umurnya belum genap 3 tahun, ia telah
mampu mengoreksi kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya. Menurut sebuah cerita, pada
umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk
menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+...+100. Meski
cerita ini hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit dari
itu. Gauss ialah ilmuwan dalam berbagai bidang: matematika, fisika, dan astronomi. Bidang
analisis dan geometri banyak sekali sumbangan-sumbangan pikiran Gauss dalam matematika.
Kalkulus(termasuk limit) ialah salah satu bidang analisis yang juga menarik pikirannya.
8. A.Cauchy(1789-1857)
Cauchy membahas konsep limit yang lebih akurat dalam karyanya Cours d'analyse (1821)
jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga |x - p|< δ mengimplikasikan
bahwa |f (x) - L | < ε . Di sini, baik ε maupun δ merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa
nilai limit tidak tergantung pada nilai f (p)
Limit searah
Limit x → x0+ ≠ x → x0- , Maka limit x → x0 tidak ada.
Masukan x dapat mendekati p dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri).
Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai:
Bila kedua limit ini sama nilainya dengan L, maka L dapat diacu sebagai limit f(x) pada p .
Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan L, maka limit f(x) pada p tidak ada.
Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit f(x) saat x mendekati p dari atas adalah L
bila, untuk setiap ε > 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga |f(x) - L|
< ε pada saat 0 < x - p < δ. Limit f(x) saat x mendekati p dari bawah adalah L bila, untuk
setiap ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga |f(x) - L| < ε bilamana 0 < p - x < δ.
Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.
Limit fungsi pada ketakhinggaan
Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.
Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis
bilanganriil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur
tambahan inibukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada
kalkulus dan analisis. Bila f(x) adalah fungsi riil, maka limit f saat x mendekati tak hingga
adalah L, dilambangkan sebagai:
jika dan hanya jika untuk semua ε > 0 terdapat S > 0 sedemikian rupa sehingga |f (x) – L<
ε bilamana x > S.
Dengan cara yang sama, limit f saat x mendekati tak hingga adalah tak hingga,
dilambangkan
oleh
jika dan hanya jika bila untuk semua R >0 terdapat S > sedemikian sehingga f(x) > R
bilamana x > S.
9. Riemann (1826-1866)
Georg friedrich Bernard Riemann ialah matematikawan Jerman yang membuat sumbangan
penting pada analisis dan geometri diferensial, beberapa darinya meratakan jalan untuk
pengembangan lebih lanjut pada relativitas umum
Misalkan f adalah fungsi riil pada selang [a, b], dan misalkan S = { (x, y| 0 < y < f(x)}
merupakan daerah di bawah grafik fungsi f dan di antara selang [a, b]. Kita ingin mengukur
luas daerah S. Bila kita telah mengukurnya, kita akan melambangkan daerah tersebut sebagai:
Gagasan dasar integral Riemann adalah menggunakan hampiran yang sangat sederhana untuk
daerah S. Dengan mengambil hampiran yang semakin baik, kita dapat mengatakan "dalam
limitnya" kita mendapatkan luas daerah S di bawah kurva.
10. Charles Hermite (1822-1901)
Charles Hermite seorang matematikawan Perancis menemukan Bilangan e Transendental.
Bilangan e secara tak langsung telah dipaparkan dalam paper Napier di awal abad 17.
Bernoulli memaparkannya lagi di akhir abad xvii waktu sedang asyik menghitung bunga
yaitu e adalah (1+1/n) dengan n mendekati tak terhingga. Leibniz juga mendapatinya, waktu
sedang menemukan kalkulus. Tapi Euler lah yang mengenalkan e sebagai sebuah bilangan,
memberinya definisi, dan memaparkannya sampai 18 desimal yaitu 2,718281828…
selebihnya tak teratur. Di abad 19 Hermite menyatakan bahwa bilangan e bersifat
transendental, yaitu tak dapat disederhanakan dalam bentuk bilangan bulat.
11. Henri Léon Lebesgue (1875-1941)
Pada 1902, tokoh Prancis ini menyelesaikan tesis doktornya yang berjudul Integral, Panjang,
dan Luas. Ia membuka pintu ke teori modern tentang pengintegralan dalam dimensi-satu dan
dimensi-n. Integral Lebesgue merupakan perluasan dari integral Riemann, sesuai dengan
yang belakangan saat integral Riemann ada, namun membuat lebih banyak fungsi yang bisa
diintegralkan.
Integral Lebesgue menyebutkan bahwa suatu himpunan pada garis riil mempunyai ukuran
nol jika ia dapat dikurung dalam suatu gabungan terhingga atau terhitung dari selang yang
total panjangnya kurang dari sebarang ε > 0 yang diberikan. Setiap himpunan terhingga
mempunyai ukuran 0, tetapi secara mengejutkan, demikian juga himpunan bilangan rasional
dan banyak himpunan tak terhingga lain. Lebesgue memperlihatkan bahwa suatu fungsi
terbatas akan terintegralkan secara Riemann jika dan hanya jika himpunan kekontinuannya
berukuran nol.
