Fungsi

Fungsi
Pengertian Fungsi
 Relasi : aturan yang mengawankan 2 himpunan
 Fungsi
Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari
A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap
elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat
satu elemen di dalam B, artinya :
x1 , x2  A,
jika
x1  x2 , maka
Kalkulus Dasar
f x1   f x2 
2
Pengertian Fungsi
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f:AB
yang artinya f memetakan A ke B.
A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut
daerah hasil (codomain) dari f.
Relasi di bawah ini merupakan fungsi
A
B
a
1
i
2
u
3
e
4
o
5
Kalkulus Dasar
3
Pengertian Fungsi
Relasi di bawah ini bukan merupakan fungsi :
A
a mempunyai
2 nilai
B
a
1
i
2
u
3
e
4
o
5
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut
jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah
dari f adalah himpunan bagian dari B.
Kalkulus Dasar
4
Pengertian Fungsi
Jelajah : y f x   y, x  A  B
Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan Rf
Contoh :
1. Carilah domain dan range dari fungsi :
1
f x  
4x  3
Jawab :
a. Mencari domain
Kalkulus Dasar
5
Pengertian Fungsi
syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
4x  3  0
3
x
4
3
3
Sehingga D f    ,     ,   atau    3 
 
4  4 

 4
b. Mencari Range
R f    0 atau
R f   ,0  0, 
Hal ini dikarenakan f(x) tidak mungkin bernilai nol
Kalkulus Dasar
6
Contoh
2. Carilah domain dan range dari fungsi :
x2
f x  
3x  1
a. Mencari domain
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
3x  1  0
1
x
3
1  1 

Sehingga Dt    ,     ,  
3  3 

Kalkulus Dasar
7
Contoh
b. Range
x2
f x   y 
3x  1
3xy  y  x  2
3xy  x  2  y
x3 y  1  2  y
2 y
x
3y 1
Syarat fungsi tersebut terdefinisi,
3y 1  0
1
y
3
Jadi
1 1 

R f    ,    ,  
3  3 

1

Atau    
3
Kalkulus Dasar
8
Contoh
3. Carilah domain dan range dari fungsi :
f x    x 2  5 x  6
a. Mencari domain
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
 x 2  5x  6  0
 x 2  5x  6  0
 x  2x  3  0
TP = -2, -3
++
--
-3
++
-2
Jadi D f   3,2
Kalkulus Dasar
9
Contoh
b. Mencari Range
f x   y   x 2  5 x  6
y 2   x 2  5x  6


 x 2  5x  y 2  6  0
Agar x   , maka D ≥ 0


 25  4.1 y 2  6  0
 25  4 y 2  24  0
 1 4 y2  0
Kalkulus Dasar
10
Contoh
 1  2 y 1  2 y   0
1 1
TP   ,
2 2
--
++
1
2
-1
2
 1 1
Jadi, R f   ,   0,  
 2 2
 1
 0, 
 2
Kalkulus Dasar
11
Macam-macam Fungsi
Macam-macam fungsi :
1. Fungsi polinom
f x   a0  a1x  a2 x 2  ...  an x n
-Fungsi konstan,
f x   a0
-Fungsi linier,
f x   a0  a1 x
-Fungsi kuadrat,
f x   a0  a1 x  a2 x 2
Kalkulus Dasar
12
Macam-macam Fungsi
2. Fungsi Rasional
Bentuk umum :
px 
qx 
p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0
contoh :
f x  
x  12
x3  x 2  1
3. Fungsi harga/nilai mutlak
Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :
f x   3 x  1  2 x  2
Kalkulus Dasar
13
Macam-macam Fungsi
4. Fungsi bilangan bulat terbesar
x 
= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau
sama dengan x
x  n  n  x  n  1
5  5
 1,2  2
3,2  3
5. Fungsi Genap
Disebut fungsi genap jika f  x   f x  dan grafiknya simetris
terhadap sumbu y
Kalkulus Dasar
14
Macam-macam Fungsi
Contoh :
f x   x 2
f x   x
f x   cosx 
6. Fungsi Ganjil
Disebut fungsi ganjil jika f  x    f x  dan grafiknya
simetris terhadap titik asal, contoh :
f x   sinx 
f x   x3
Kalkulus Dasar
15
Macam-macam Fungsi
7. Fungsi Komposisi
Diberikan fungsi f x  dan g x , komposisi fungsi antara
f x  dan g x  ditulis  f  g x   f g x . Domain dari
 f  g x  adalah himpunan semua bilangan x dengan domain
g x  sehingga g x  di dalam D f
Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus
terpenuhi Rg  D f  
Kalkulus Dasar
16
Fungsi Komposisi
Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut :
(fog)(x)
g(x)
Dg
f(x)
Rg
Df
Rf
Rg  D f  
Kalkulus Dasar
17
Fungsi Komposisi
Dengan cara yang sama, g  f x   g  f x 
Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus
terpenuhi R f  Dg  
Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :

 x  D

f x   D 
D f  g  x  Dg g x   D f
Dg  f
f
g
Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi

 f t   R
 atau R
t  R  atau R
Rg  f  g t   Rg t  R f
g f
R f g
f g
f
g
Kalkulus Dasar

 y  R

y  f t , t  R 
 y  Rg y  g t , t  R f
f
g
18
Fungsi Komposisi
Sifat-sifat fungsi komposisi :
 f  g x  g  f x
 f  g   hx   f  g  hx
Contoh :
1. Jika diketahui f x   x
g f
g x   1  x 2 Tentukan
dan f  g beserta domain dan range-nya!
D f  0, 
R f  0, 
Dg  
Rg   ,1
Kalkulus Dasar
19
Contoh
Karena R f  Dg = 0,    , maka fungsi g  f
terdefinisi
g  f x  g  f x  g 

x  1 x
a. Mencari Domain g  f

Dg  f  x  D f f  x   Dg



 x  0,  x  


 x  0  x  
Kalkulus Dasar
20
Contoh


 x0 x 0
 x  0 x  0
 x  0,   0, 
 x  0, 
b. Mencari Range g  f


 y   ,1 y  1  t , t  0, 
Rg  f  y  Rg y  g t , t  R f
Rg  f
2
Jadi Rg f  y   ,1   ,1
 y   ,1
Kalkulus Dasar
21
Contoh
Karena Rg  D f   ,1  0,   0,1   , maka fungsi
f  g terdefinisi dengan
 f  g x  f g x   f 1  x 2  
c.Domain f  g

D f  g  x  Dg g  x   D f

 x  1  x

1 x2

 x  1  x 2  0, 
2

0
 x    1  x  1
    1,1
  1,1
Kalkulus Dasar
22
Contoh
d. Range f  g

R f  g  y  R f y  f t , t  Rg



 y  0,  y  t , t   ,1


 y  0 y  t ,0  t  1
 y  0 0  y  1
 0,   0,1
 0,1
Kalkulus Dasar
23
Contoh
2. Jika diketahui fungsi
f x   x x
Df  
g x   x  1
Rf  
Rg  
Dg  
Tentukan g  f beserta domain dan range-nya!
R f  Dg =        , sehingga g  f terdefinisi
a. Domain g  f
Dg  f  x  D f f  x   Dg

 x  


x x 
   
Kalkulus Dasar
24
Contoh
b. Range g  f

Rg  f  y  Rg y  g t , t  R f
 y   y  t  1, t  

   
Kalkulus Dasar
25
Grafik dari fungsi
1. Garis Lurus
y  mx  c
persamaan garis lurus yang melewati (0,c)
contoh :
y  x3
3
-3
Kalkulus Dasar
26
Garis Lurus
 y  y1   mx  x1 
Persamaan garis lurus melalui x1 , y1 
y  y1
x  x1

y 2  y1 x 2  x1
Persamaan garis lurus melalui x1 , y1  & x2 , y 2 
2. Grafik fungsi kuadrat (parabola)
y  ax 2  bx  c
Diskriminan  D  b 2  4ac
Kalkulus Dasar
27
Grafik Fungsi Kuadrat
D
 b
Titik puncak =  
, 
 2a 4a 
y
a >0
x
D>0
D=0
Kalkulus Dasar
D<0
28
Grafik Fungsi Kuadrat
Contoh :
Gambarlah grafik fungsi y  x 2  x  1
a =1 jadi a > 0  grafik menghadap ke atas
D  b 2  4ac
 12  4
= -3 < 0
 tidak menyinggung sumbu x
Kalkulus Dasar
29
Grafik Fungsi Kuadrat
 Titik potong dengan sumbu koordinat
Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu x tidak
ada
Titik potong dengan sumbu y
x=0y=1
dengan demikian grafik melalui (0,1)
D
 b

,


• Titik puncak = 
 2a 4a 
 1 3
  , 
 2 4
Kalkulus Dasar
30
Grafik Fungsi Kuadrat
Gambar grafik fungsi
y  x  x 1
2
x  ay 2  by  c
b 
 D
Titik puncak =  
, 
 4a 2a 
1
3
-1 
1
Untuk persamaan kuadrat
4
b
Sumbu simetri = 
2a
2
Kalkulus Dasar
31
Grafik Fungsi Majemuk
3. Grafik Fungsi Majemuk
Contoh :
1. Gambarkan grafik fungsi f ( x)  x
 x ,x  0
x 
 x , x  0
y=-x
Kalkulus Dasar
y=x
32
Grafik Fungsi Majemuk
2. Gambarkan grafik fungsi
x2
 1
f x   
x  2 x  2
Grafiknya terdiri dari 2
y  x2
bagian, yaitu garis y  1
untuk x  2 dan garis
y  x  2 untuk x  2
Kalkulus Dasar
y 1
2
33
Grafik Fungsi Majemuk
3. Gambarkan grafik dari fungsi
x2  4
f x  
x2
f(x) terdefinisi untuk setiap x kecuali 2, sehingga
domain dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 2
Fungsi f(x) dapat diuraikan sebagai berikut :
f x  
x  2x  2
x  2
Kalkulus Dasar
34
Grafik Fungsi Majemuk
atau f x   x  2 , jika x  2
Range dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 4.
Jadi grafiknya terdiri dari semua titik pada garis y  x  2
kecuali titik (2,4).
y  x2
4
2
Kalkulus Dasar
35
Grafik Fungsi Majemuk
3. Gambarkan grafik dari fungsi
f x   1 3 x
Kita definisikan :
1  3x
1 3 x  
1  3x
x0
x0
1
y  1  3x
 13
Kalkulus Dasar
y  1  3x
1
3
36
Translasi
Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai y  f x  , a > 0
y  f x  a 
 grafik y  f x  mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
y  f x  a 
 grafik y  f x  mengalami pergeseran sejauh a ke kiri
y  f x   a
 grafik y  f x  mengalami pergeseran sejauh a ke atas
y  f x   a
 grafik y  f x  mengalami pergeseran sejauh a ke bawah
Kalkulus Dasar
37
Translasi
Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai x  f  y  , a > 0
x  f  y  a
 grafik x  f  y  mengalami pergeseran sejauh a ke atas
x  f  y  a
 grafik x  f  y  mengalami pergeseran sejauh a ke bawah
x  f y  a
 grafik x  f  y  mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
x  f y  a
 grafik x  f  y  mengalami pergeseran sejauh a ke kiri
Kalkulus Dasar
38
Contoh Translasi
1. Gambarkan grafik dari fungsi
f x   x 2  4 x  5


 x 2  4x  4  4  5
  x  2  1
2
yx
2
y  x  2
4
2
y   x  2
2
 y  x 2 digeser sejauh
2
2 ke kanan
Kalkulus Dasar
39
Contoh Translasi
Kemudian y  x  2
2
digeser sejauh 1 ke atas
maka akan terbentuk y  x  2  1
2
2
y  x  2   1
4
y  x  2 
2
2
Kalkulus Dasar
40
Contoh Translasi
2. Gambarkan grafik fungsi f x   1 3 x
Kita lihat dahulu grafik y  3 x
3
y  3 x
y  3x
:
Kalkulus Dasar
41
Contoh Translasi
Grafik y  1 3 x dapat
dipandang sebagai grafik
1
y  3 x yang digeser
ke atas sejauh 1 satuan
y 1 3 x
y  3 x
Kalkulus Dasar
42
Soal Latihan
Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini
1 f x   3  2  4 x
2 f x  
,
xx  3
x 1
5 Diketahui
3
f x   3x 
4
f x   x 2  5 x  6
f ( x)  4  x
1
2
x
g ( x)  x
Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari
f o g dan domain dari f o g.
Gambarkan grafik dari fungsi di bawah ini
6 f x   x x  2
7
f x   3  x  2
Kalkulus Dasar
43