SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL
KALKULUS I
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
PENDAHULUAN


Bilangan Real adalah gabungan dari bilangan rasional dan
bilangan Irasional
Berikut adalah Skema Bilangan Real
Bilangan Real
Bilangan
Irasional
Bilangan
Rasional
Pecahan
Bulat Negatif
Bulat
Asli
Cacah
Nol
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
ℕ ⊆ℤ⊆ℚ⊆ℝ
R
Bilangan Real
Q
Bilangan Rasional
Z
Bilangan Bulat
N
Bilangan Asli
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Sifat – sifat Medan
1. Hukum Komutatif
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
2. Hukum Asosiatif
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑥 𝑦𝑧 =
𝑥𝑦 𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
3. Hukum Distribusi
𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
4. Elemen-elemen Identitas
5. Invers
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Sifat-sifat urutan bilangan Real
1. Trikhotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku
salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
2. Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
3. Penambahan
Jika x < y ↔ 𝑥 + 𝑧 < 𝑦 + 𝑧
4. Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz.
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real

Sederhanakanlah
1.
2.
3.
4.
5.

2𝑥−2𝑥 2
𝑥 3 −2𝑥 2 +𝑥
𝑥 2 −𝑥−6
𝑥−3
2
𝑦
2𝑦+1
+ 2 −
6𝑦−2
9𝑦 −1
1−3𝑦
12
4
2
+ +
2
𝑥 +2𝑥
𝑥
𝑥+2
Buktikan bahwa rata-rata
dua buah bilangan terletak
diantara kedua bilangan itu.
𝑎+𝑏
𝑎<𝑏↔𝑎<
<𝑏
2
𝑥
2
−
𝑥−3 𝑥2 −4𝑥+3
5
5
+
𝑥−1 𝑥−3
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Garis Bilangan (Interval)

Misal dua bilangan a dan b serta berlaku sifat
urutan a < b digambarkan pada garis bilangan
berikut :
a

b
Interval yaitu suatu himpunan bagian dari
bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan
tertentu.
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Definisi Interval dan Notasinya
Notasi Interval : Misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
1.
𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
2.
𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
3.
𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
4.
𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
5.
𝑎, ∞ = 𝑥 𝑥 > 𝑎}
6.
𝑎, ∞ = 𝑥 𝑥 ≥ 𝑎}
7.
−∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 < 𝑏
8.
−∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 ≤ 𝑏
9.
−∞, ∞ = ℝ

Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Pertidaksamaan Real
Definisi pertidaksamaan satu peubah yaitu bentuk aljabar
dengan satu peubah yang dihubungkan dengan relasi
urutan
 Bentuk Umum :
𝐴(𝑥) 𝐶(𝑥)
<
𝐵(𝑥) 𝐷(𝑥)
Dengan A(x), B(x), C(x) dan D(x) adalah polinom
B(x), D(x)  0

Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Contoh



10𝑥 − 7 < 5𝑥 − 2
−8 ≤ 2𝑥 + 6 < 3
𝑥 2 − 2𝑥 < 3
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Harga Mutlak

Misalkan 𝑥 ∈ ℝ. Harga mutlak dari x, ditulis
−𝑥 , 𝑥 ≤ 0
𝑥 ≔
𝑥 ,𝑥 > 0

Sifat-sifat :
Misalkan x dan y bilangan-bilangan Real,
1.
𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦
2.
𝑥
𝑦
=
𝑥
𝑦
𝑥+𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦
4. |𝑎 − 𝑏| ≥ | 𝑎 − |𝑏||
5.
𝑥 ≤ 𝑎 ↔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
3.
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Tugas di rumah

Tentukan HP
1.
3𝑥 + 6 ≥ 9
2.
4𝑥 + 1 ≥ 𝑥 − 2
3. 𝑥 − 3 ≤ 2𝑥 2 + 4 ≤ 10
4.
5.
8
𝑥+1
1
|𝑥+2|
≥ 𝑥+2
<
1
𝑥+1
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Binomial Newton

Jika binomial (a+b) dengan a dan b variabel real yang tidak
nol dipangkatkan n dengan n bilangan asli, maka akan
diperoleh bentuk 𝑎 + 𝑏 𝑛 yang dijabarkan dalam rumus
Binomial Newton sebagai berikut :
𝑛
𝑛
𝑛 𝑛−𝑘 𝑘
𝑎+𝑏 =
=
𝑎
𝑏
𝑘
𝑘=0
𝑘=0
𝑛 𝑛
𝑛 𝑛
𝑛 𝑛−1 1
𝑛 𝑛−2 2
=
𝑎 +
𝑎
𝑏 +
𝑎
𝑏 + ⋯+
𝑏
0
𝑛
1
2
𝑛
𝑛!
𝑛
Dimana
= 𝐶𝑘 =
𝑛−𝑘 !𝑘!
𝑘
Contoh :
Gunakan rumus Binomial Newton untuk
menguraikan 𝑥 + 𝑦 4 ?
𝑛
𝐶𝑘𝑛
𝑎𝑛−𝑘 𝑏 𝑘
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Segitiga Pascal
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Induksi Matematika
 Induksi
matematika merupakan suatu
teknik pembuktian yang baku di dalam
matematika
 Melalui induksi matematika kita dapat
mengurangi langkah-langkah pembuktian
bahwa semua bilangan bulat termasuk
dalam suatu himpunan kebenaran dengan
hanya sejumlah langkah terbatas
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Ilustrasi Induksi Matematika


Sederetan orang menyebarkan suatu rahasia
Domino
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Prinsip Induksi Sederhana
Misalkan P(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat
positif.
 Kita ingin membuktikan bahwa P(n) benar untuk semua
bilangan bulat positif n.
 Untuk membuktikan pernyataan ini, maka kita hanya perlu
menunjukkan bahwa :
1. P(1) benar, dan
2. Jika P(n) benar, maka P(n+1) juga benar untuk setiap
n  1,
 Maka dapat disimpulkan bahwa pernyataan P(n) benar
untuk semua bilangan asli n.

Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Contoh Induksi Matematika


𝑛(𝑛+1)
2
Tunjukkan bahwa n  1, 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
melalui induksi matematika.
Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif
pertama adalah n2.
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Penggunaan Induksi Matematika


Digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi
secara berulang sesuai dengan pola tertentu.
Suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan
pernyataan.
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real
Kalkulus I - Sistem Bilangan Real