Turunan yang berhubungan dengan kepentingan

Turunan yang
berhubungan dengan
kepentingan fisika
12.1 TEOREMA DASAR
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua
operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan
nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung
sebuah anti derivatif daripada mengaplikasikan definisi dari integral, teorema
dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral
tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan: Jika sebuah fungsi f adalah kontiniu
pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada
interval (a,b), maka Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik,
teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang
lainnya.
Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus.
Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen
inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan
dengan menggunakan kalkulus. Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme,
kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan
elektromagnetik . Contoh historik lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum
gerak Newton, diekspresikan dengan laju perubahan yang merujuk pada
turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan
resultan gaya yang bekerja bada benda tersebut dengan arah yang sama.
Bahkan rumus umum dari hukum ke-dua Newton: Gaya = Massa × Percepatan,
mengandung diferensial kalkulus karena percepatan bisa diekspresikan sebagai
Matematika Dasar
Page 177
turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas
Einstein juga diekspresikan dengan diferensial kalkulus.
12.2 PEMBAHASAN
Dalam bidang fisika dibahas mengenai gerak lurus berubah beraturan, yang
berarti bahwa kecepatan benda selama bergerak tidaklah tetap. Misalnya benda
bergerak menempuh jarak s dalam waktu t. Kecepatan rata-rata dapat ditentukan
dengan Kecepatan rata-rata = perubahan jarakperubahan waktu = ∆s∆t
Jika kecepatan pada saat t dinotasikan dengan v(t) maka kecepatan
dirumuskan dengan v(t) =
Jika fungsi kecepatan terhadap waktu v(t) diturunkan lagi maka akan diperoleh
percepatan a(t) =dvdt
dengan kata lain, percepatan pada waktu t adalah turunan pertama dari fungs
kecepatan. Percepatan juga diartikan sebagai turunan kedua dari fungsi jaraknya
yaitu: (t) =dvdt = ddt (dsdt) =d2sdt2 = s”(t)
Aplikasi turunan dalam bidang fisika digunakan untuk menurunkan suatu rumus
Berikut contoh penerapan turunan dalam fisika :
1. Momentum Sudut
Didefinisikan l = r x p (p = mv). Besarnya momentum sudut : l = r p sin θ.
Rumusan ini dapat diubah menjadi : l = r (p sinθ) = r p⊥ atau l = p (r sinθ) =
p r⊥ .
Dari definisi momentum sudut l = r x p, bila dideferensialkan diperoleh :
drdt = d (r x p)/dt
drdt = (r x) + (drdt x p)
drdt = (r x F) + (v x mv)
drdt = τ
drdt = F
Matematika Dasar
Page 178
2. Torsi
Sebuah benda berotasi dengan sumbu putar adalah sumbu z. Sebuah gaya F
bekerja pada salah satu partikel di titik P pada benda tersebut. Torsi yang
bekerja pada partikel tersebut adalah : τ = r x F
Arah torsi τ searah dengan sumbu z. Setelah selang waktu dt partikel telah
berputar menempuh sudut dθ dan jarak yang ditempuh partikel ds, dimana ds
= r dθ. Usaha yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi ini
dW = F . ds
dW = F cos φ ds
dW = (F cos φ) (r dθ)
dW = τ dθ
dW = F . ds
Laju usaha yang dilakukan (daya) adalah :
dW/dt = τ dθ/dt
P=τω
P=Fv
Untuk benda yang benar-benar tegar, tidak ada disipasi tenaga, sehingga
laju dilakukannya usaha pada benda tegar tersebut sama dengan laju
pertambahan tenaga kinetik rotasinya.
dW/dt = dK/dt
dW/dt = d(1/2 I ω2)/dt
τ ω = 1/2 I dω2/dt
τ ω = Iω dω/dt
τ ω = Iω α
τ =Iα
F=ma
Posisi partikel ditunjukkan oleh persamaan s=f(t)=t3-6t2+9t (t dalam
detik dan s dalam meter). Tentukan :
a.
Kecepatan pada waktu t?
b.
Kecepatan setelah 2 detik?
Matematika Dasar
Page 179
c.
Kapan partikel berhenti?
d.
Kapan partikel bergerak maju?
Jawab :
a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi.
s=f(t)=t3-6t2+9t
v(t)= =3t2-12t+9
b. Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan sesaat pada t=2
v(t)= =3t2-12t+9
v(2)= 3(2)2-12(2)+9=-3m/dt
c. Partikel berhenti jika v(t)=0
v(t)= 3t2-12t+9=0
3t2-12t+9
3(t2-4t+3)
3(t-1)(t-3)=0
t1=1 dan t2=3 Partikel berhenti setelah t=1 atau t=3
d. Partikel bergerak maju (dalam arah positif) jika v(t)>0
3t2-12t+9=3(t-1)(t-3)>0
→ Partikel bergerak maju jika
t<1 atau t>3 (dari mana ?)
→ Partikel bergerak mundur jika
1<t<3
12.3 KESIMPULAN
1. Dengan adanya turunan kita dapat atau menyelesaikan permasalahan fisika.
2. Turunan dapat menyelesaikan permasalahan dengan cara yang lebih mudah
dan gampang sehingga banyak bidang yang menggunakannya
3. Fisika termasuk bidang yang sangat berhubungan dengan matematika yaitu
Turunan.
Matematika Dasar
Page 180