MA5031 Bab 6.1c Integral Fungsi Kontinu

MA5031 Analisis Real Lanjut
Semester I, Tahun 2015/2016
Hendra Gunawan
6.1 Integral Fungsi Kontinu - III
Dalam penghitungan integral, kadang kita
memerlukan suatu teknik untuk memudahkan perhitungan, misalnya dengan
melakukan substitusi peubah atau pengintegralan parsial.
Bila integral tak dapat dihitung secara
eksak, maka pengintegralan numerik
menjadi pilihan.
(c) Hendra Gunawan (2015)
2
Substitusi Peubah
Misal g fungsi C1 dan naik pada [a,b], dan f
fungsi kontinu pada [g(a),g(b)]. Maka
g (b )
∫
g (a)
b
f ( x)dx = ∫ f ( g ( x)) g '( x)dx.
a
(c) Hendra Gunawan (2015)
3
Pengintegralan Parsial
Misal f dan g fungsi C1 pada [a,b]. Maka
b
b
a
a
∫ f ( x) g '( x)dx = f (b) g (b) − f (a) g (a) − ∫ f '( x) g ( x)dx.
(c) Hendra Gunawan (2015)
4
Rumus Suku Sisa Taylor (1)
Jika f terdiferensialkan secara kontinu di x0,
maka
f ( x) = f ( x0 ) + f ' (c)( x − x0 ),
untuk suatu c di antara x dan x0.
Dengan menggunakan integral, kita mempunyai
x
f ( x) = f ( x0 ) + ∫ f ' (t )dt.
x0
Bentuk integral di ruas kanan merupakan suku
sisa Taylor orde 0.
11/01/2013
(c) Hendra Gunawan
5
Rumus Suku Sisa Taylor (2)
Misal f fungsi Cn+1. Tulis
=
f ( x) Tn ( x0 , x) + Rn ( x0 , x).
Di sini Rn(x0,x) menyatakan suku sisa Taylor
orde n, yang diberikan oleh rumus
x
1
Rn ( x0 , x) = ∫ ( x − t ) n f ( n +1) (t )dt.
n! x
Catat bahwa |Rn(x0,x)| = O(|x – x0|n+1) untuk
x  x0.
0
11/01/2013
(c) Hendra Gunawan
6
Pengintegralan Numerik
Bila integral tidak dapat dihitung secara eksak,
kita dapat menaksirnya dengan jumlah Cauchy
tertentu. Misal f terdiferensialkan dan |f’(x)| ≤
M1 pada [a,b]. Untuk x dan ak ϵ [xk-1,xk],
|f(x) – f(ak)| ≤ M1|x – ak|.
x
Karena itu,
k
∫ ( f ( x) − f (a ))dx
=
Ek
k
xk −1
xk
11/01/2013
M1
≤ ∫ M 1 | x − ak | dx =
( xk − xk −1 ) 2
2
(c) Hendra Gunawan
xk −1
7
Ek merupakan kesalahan yang terjadi jika kita
menaksir nilai integral f pada [xk-1,xk] dengan
f(ak)(xk – xk-1). Kesalahan total jika kita
menaksir integral f pada [a,b] dengan jumlah
Cauchy adalah
n
M1 n
2
| E |=
≤
(
−
)
E
x
x
∑
∑
k
k
k −1 .
2 k1
=
k 1=
Jika |P| = δ, maka |E| ≤ ½M1(b – a)δ.
Bilangan δ dapat dibuat sekecil-kecilnya.
Kesalahan penaksiran di atas merupakan
kesalahan orde O(δ).
11/01/2013
(c) Hendra Gunawan
8
Jika f fungsi C2 dengan |f’’(x)| ≤ M 2 pada [a,b]
dan ak = ½(xk-1 + xk), maka
M1
| E |≤ δ (b − a ) 2 .
24
Kesalahan penaksiran ini merupakan kesalahan
orde O(δ2).
11/01/2013
(c) Hendra Gunawan
9
Latihan
1. Buktikan jika f kontinu pada [a,b], maka terdapat c ϵ (a,b) sedemikian sehingga
b
1
f (c ) =
f ( x)dx.
∫
b−a a
2. Diketahui f(x) = 1/x, dan kita ingin menaksir
nilai integral f pada [1,2] dengan menggunakan jumlah Cauchy. Jika kita memilih ak
sembarang, seberapa halus partisinya untuk
mendapatkan kesalahan maksimum 10-4?
Bagaimana bila kita memilih ak = titik tengah
untuk setiap k?
(c) Hendra Gunawan (2015)
10