MA5031 Bab 4.1 Konsep Kekontinuan

MA5031 Analisis Real Lanjut
Semester I, Tahun 2015/2016
Hendra Gunawan
4. Fungsi Kontinu
4.1 Konsep Kekontinuan
– Fungsi kontinu
– Limit fungsi dan limit barisan
– Prapeta himpunan buka
4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu
– Sifat-sifat dasar
– Fungsi kontinu pada domain kompak
– Fungsi monoton
(c) Hendra Gunawan (2015)
2
4.1 Konsep Kekontinuan
Pada subbab ini kita akan membahas 4 konsep:
1. Fungsi
2. Kekontinuan
3. Kekontinuan seragam
4. Limit fungsi
Berbeda dari biasanya, konsep kekontinuan
dibahas lebih dahulu daripada konsep limit.
(c) Hendra Gunawan (2015)
3
Fungsi
Kita telah mengetahui adanya pemetaan satuke-satu antara Z dan N. Pemetaan, atau secara
umum fungsi, merupakan konsep penting dalam
matematika.
Def. Diberikan dua himpunan sembarang, sebutlah A dan B, kita dapat mempunyai fungsi f yang
mengaitkan setiap anggota A (sebut x) dengan
tepat sebuah anggota B (sebut f(x)). Himpunan
A disebut sebagai domain fungsi tsb, sedangkan
himpunan B disebut sebagai range fungsi tsb.
(c) Hendra Gunawan (2015)
4
Himpunan f(A) := {f(x) : x ϵ A} disebut peta dari
A (di bawah f). Himpunan ini tidak harus sama
dgn B. Jika f(A) = B, maka f bersifat ‘pada’(onto).
Selanjutnya, f bersifat ‘satu-ke-satu’ (1-1) apabila f(x1) ≠ f(x2) untuk x1 ≠ x2.
Notasi f : A  B menyatakan fungsi dari A ke B.
Dalam pembahasan kita selanjutnya, A ⊆ R dan
B = R.
Dua fungsi sama jika dan hanya jika ‘aturan’
pengaitannya sama dan domainnya sama.
Sebagai contoh, f(x) = x2 dgn domain [0,1] tidak
sama dgn F(x) = x2 dgn domain R.
(c) Hendra Gunawan (2015)
5
Cara menyatakan fungsi
Setidaknya ada 3 cara menyatakan fungsi:
1. Secara eksplisit, misal: f(x) = x2, x ϵ [0,1].
2. Secara implisit (melalui persamaan), misal:
x2 + y2 = 1, y > 0.
3. Melalui grafiknya, yang merupakan plot
semua titik (x, f(x)) pada bidang-xy.
(c) Hendra Gunawan (2015)
6
Fungsi sebagai ‘Mesin’
x
f
(c) Hendra Gunawan (2015)
f(x)
7
Kekontinuan
Membayangkan fungsi f sebagai mesin, yang
akan menghasilkan output f(x) apabila mendapat input x, kita bertanya: apakah f akan
menghasilkan output yang kurang lebih sama
apabila inputnya kurang lebih sama?
Def. Fungsi f : A  B dikatakan kontinu di x0 ϵ A
apabila untuk setiap bilangan asli m, terdapat
bilangan asli n sedemikian sehingga |f(x) – f(x0)|
< 1/m untuk setiap x ϵ A dgn |x – x0| < 1/n.
(c) Hendra Gunawan (2015)
8
Catatan. Secara umum bilangan n bergantung pada
m dan juga pada x0.
Contoh: f(x) = 1/x, x > 0.
Misal x0 > 0 sembarang. Diberikan bilangan asli m
sembarang, ingin dicari bilangan asli n sedemikian
sehingga |1/x – 1/x0| < 1/m untuk setiap x > 0
dengan |x – x0| < 1/n.
Dengan proses mundur (detil diberikan di papan
tulis), bilangan n dgn 1/n < x0/2 dan 1/n < x02/2m
memenuhi kondisi di atas.
Semakin dekat x0 ke 0, semakin besar bilangan n.
(c) Hendra Gunawan (2015)
9
Grafik fungsi f(x) = 1/x, x > 0
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
(c) Hendra Gunawan (2015)
3
4
10
Kekontinuan Seragam
Def. Misalkan f : A  R. Fungsi f dikatakan
kontinu pada A apabila f kontinu di setiap titik di
A, yakni untuk setiap x0 ϵ A dan untuk setiap m
terdapat n (yang bergantung pada m dan x0)
sedemikian sehingga |f(x) – f(x0)| < 1/m untuk
setiap x ϵ A dgn |x – x0| < 1/n.
Fungsi f dikatakan kontinu seragam pada A apabila untuk setiap m terdapat n (yang bergantung
pada m) sedemikian sehingga |f(x) – f(x0)| < 1/m
untuk setiap x dan x0 ϵ A dgn |x – x0| < 1/n.
(c) Hendra Gunawan (2015)
11
Contoh
1. Fungsi f(x) = 1/x tidak kontinu seragam pada
(0,∞).
2. Fungsi f(x) = x2 kontinu seragam pada [0,1]
tetapi tidak kontinu seragam pada [0,∞).
[Penjelasan diberikan di papan tulis.]
(c) Hendra Gunawan (2015)
12
Limit Fungsi di Suatu Titik
Jika f kontinu di x0, maka nilai f(x) mendekati nilai
f(x0) untuk x dekat x0. Ini memotivasi kita untuk
mendefinisikan limit fungsi di suatu titik.
Def. Misal f : A  B dan x0 adalah titik limit dari A
(x0 tidak harus merupakan anggota A). Fungsi f
dikatakan mempunyai limit di x0 apabila terdapat
suatu bilangan y := limxx0 f(x) sedemikian
sehingga: untuk setiap m terdapat n sedemikian
sehingga |f(x) – y| < 1/m untuk setiap x ϵ A dgn
0 < |x – x0| < 1/n.
(c) Hendra Gunawan (2015)
13
Catatan
1. Jika f mempunyai limit di x0, maka limit
tsb tunggal.
2. Dalam hal x0 ϵ A, tidak harus ada kaitan
antara nilai limit f di x0 dan nilai f(x0).
Kedua nilai tsb sama jika dan hanya jika f
kontinu di x0.
3. Jika x0 ϵ A tetapi bukan titik limit dari A
maka f kontinu di x0 (pilih n sedemikian
sehingga |x – x0| < 1/n hanya berlaku
untuk x = x0).
(c) Hendra Gunawan (2015)
14
Limit Fungsi dan Limit Barisan
Teorema. Misal f : A  B dan x0 titik limit dari A.
Maka, f mempunyai limit di x0 jika dan hanya jika
(f(xk)) konvergen untuk setiap barisan (xk) yang
konvergen ke x0, dgn xk ϵ A dan xk ≠ x0 utk setiap k.
Ide Pembuktian. Misal y = limxx0 f(x) dan (xk)
konvergen ke x0, dgn xk ≠ x0 untuk setiap k. Buktikan
bahwa (f(xk)) konvergen ke y. Sebaliknya, buktikan
jika (f(xk)) konvergen untuk setiap barisan (xk) yang
konvergen ke x0, dgn xk ϵ A dan xk ≠ x0, maka (f(xk))
mesti konvergen ke limit yg sama, sebutlah y, dan
kemudian buktikan bahwa limxx0 f(x) = y.
(c) Hendra Gunawan (2015)
15
Limit Fungsi dan Limit Barisan
Akibat. Misal f : A  B dan x0 ϵ A. Maka, f
kontinu di x0 jika dan hanya jika (f(xk)) konvergen
ke f(x0) untuk setiap barisan (xk) di A yang
konvergen ke x0.
Catatan. Akibat di atas menyatakan bahwa f
dapat bertukar dengan limit, yakni
lim f ( xk ) = f ( lim xk ),
k →∞
k →∞
jika dan hanya jika f kontinu di x0.
(c) Hendra Gunawan (2015)
16
Karakterisasi Fungsi Kontinu via
Prapetanya
Def. Misal f : A  B dan E ⊆ B. Himpunan f-1(E)
:= {x ϵ A : f(x) ϵ E} disebut prapeta E di bawah f.
Teorema. Misal f : A  B dengan A himpunan
buka. Maka, f kontinu pada A jika dan hanya jika
prapeta sembarang himpunan buka merupakan
himpunan buka.
Bukti. Latihan (atau lihat buku).
(c) Hendra Gunawan (2015)
17
Latihan
1. Buktikan bahwa f(x) = x2 kontinu di setiap x0
dengan x0 > 0, dengan:
a. Menggunakan definisi.
b. Menggunakan teorema.
2. Diketahui f(x) = x, dgn x ϵ A := {1/n : n ϵ N}.
a. Berikan alasan mengapa f kontinu di setiap titik (di
domainnya).
b. Tentukan limit f di 0, apabila ada.
3. Misal f : A  B dengan A tutup. Buktikan f kontinu
pada A jika dan hanya jika prapeta sembarang
himpunan tutup merupakan himpunan tutup.
4. Berikan contoh sebuah fungsi kontinu pada R
dengan prapeta suatu himpunan kompak yang
tidak kompak.
(c) Hendra Gunawan (2015)
18