Turunan Fungsi Multivariabel

a home base to excellence
Mata Kuliah
Kode
SKS
: Kalkulus
: TSP – 102
: 3 SKS
Turunan Fungsi Multivariabel
Pertemuan - 12
a home base to excellence
• TIU :
 Mahasiswa dapat melakukan turunan fungsi multivariabel
• TIK :
 Mahasiswa mampu memahami fungsi multi variabel
 Mahasiswa mampu menghitung turunan parsial
 Mahasiswa mampu menggunakan aturan rantai untuk mengevaluasi
turunan fungsi multivariabel
a home base to excellence
• Sub Pokok Bahasan :
 Fungsi Dua Variabel atau Lebih
 Limit dan Kekontinuan
 Turunan Parsial
 Aturan Rantai
 Fungsi Dua Variabel
y= f(x)


 fungsi satu variabel
z= f(x, y)  fungsi dua variabel
z: variabel tak bebas
x, y: variabel bebas
Contoh : 1. f ( x, y )  x 2  3 y 2
2. g  x , y   2 x y
Domain z = f(x,y) :
semua titik (x,y) yang memberikan suatu bilangan real untuk f(x,y).
Kecualikan x dan y yang menghasilkan bilangan kompleks dan
penyebut nol
 Fungsi Dua Variabel
Contoh :
1. Sket domain asli dari fungsi : f ( x, y ) 
2. f ( x , y ) 
1
36  9 x 2  4 y 2
3
3. z  f ( x , y )  y 2  x 2
y  x2
x 2   y  1
2
 Fungsi Dua Variabel
• Untuk membuat sket grafik z = f(x,y) biasanya cukup sulit
• Cara yang lebih simple adalah dengan menyajikan dalam bentuk peta
kontour
• Tiap bidang datar z = c akan memotong permukaan dalam bentuk sebuah
kurva.
• Proyeksi kurva pada bidang xy disebut kurva ketinggian, dan kumpulan
kurva-kurva tersebut dinamakan peta kontour
Contoh :
Gambarkan peta kontour dari permukaan yang berhubungan dengan
z
1
36  9 x 2  4 y 2
3
z  y2  x2
 Fungsi Dua Variabel
 Limit dan Kekontinuan
Definisi (Limit Fungsi Dua Variabel)
lim f ( x, y)  L berarti bahwa untuk setiap  > 0 (betapapun
( x , y )( a ,b )
kecilnya) terdapat  > 0 yang berpadanan sedemikian hingga
|f(x, y) – L| <  dengan syarat bahwa 0 <|(x, y) – (a, b)|< .
• Atau secara sederhana dikatakan apabila (x, y) cukup dekat dengan (a,
b), maka f(x, y) akan cukup dekat dengan L
 Limit dan Kekontinuan
Contoh : evaluasi limit berikut jika ada
a. lim
( x , y ) (1, 2 )
x
2
y  3y

x2  y2 1
b. lim
( x , y ) ( 0 , 0 )
x2  y2
x2  y2
c. lim
( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2  y 2
 Kekontinuan Pada Titik
f(x, y) kontinu di titik (a, b) jika
1.
f memiliki nilai di (a, b)
2.
f memiliki limit di (a, b), dan
3.
Nilai f di (a, b) sama dengan limitnya di titik itu
Catatan :
1.
2.
Fungsi Polinom kontinu di mana-mana
Fungsi Rasional kontinu di mana-mana asalkan penyebut bukan nol
 Kekontinuan Pada Titik
Contoh : Tentukan titik (x,y) di mana fungsi berikut kontinu
a.H ( x, y ) 
2x  3y
y  4x2

b.F ( x, y )  cos x 3  4 xy  y 2
Problem Set 12.3 No. 1 - 26

 Turunan Parsial
Definisi
f
Andaikan f(x, y) adalah fungsi 2 variabel, maka x atau fx
adalah turunan parsial dari f terhadap x, dan
adalah turunan parsial dari f terhadap y.
f
y
atau fy
 Turunan Parsial
Note:
fx dihitung dengan menganggap y konstan
fy dihitung dengan menganggap x konstan
 Turunan Parsial
Contoh :
1.
Tentukan fx(1,2) dan fy(1,2) jika f(x,y) = x2y + 3y3
2.
Jika z = x2sin(xy2), tentukan ∂z/∂ dan ∂z/∂
tentukan ∂f/∂ dan ∂f/∂y dari fungsi :
x  y2
3. f ( x , y )  2
x  ( y  1) 2
4. f ( x, y )  xy 2  x 2 y  2
5. f ( x , y )  1
3
36  9 x 2  4 y 2
 Turunan Parsial Tingkat Tinggi
Jika z= f(x,y), maka turunan parsial kedua dari
fungsi f adalah :
2 f
  f 
 f xx 
1.


2
x
x  x 
2 f
  f 


 f xy 
2a.
;


xy
x  y 
2 f
  f 
 f yx 
2b.


yx
y  x 
  f 
2 f


f


3.
yy
2

y  y 
y

 Turunan Parsial Tingkat Tinggi
Contoh :
1. Tentukan empat buah turunan parsial kedua dari
f(x,y) = xey – sin(x/y) + x3y2
2. Jika f(x,y,z) = xy + 2yz + 3zx, tentukan fx, fy, fz
3. JikaT ( w, x, y, z )  z  e w
2
x  y
2
2
 2T  2T  2T
, tentukan
,
, 2
wx xw z
Problem Set 12.2 No. 1 - 30
 Aturan Rantai
Teorema :
Jika x = x(t) dan y = y(t) dapat didiferensialkan di t dan
andaikan z = f(x,y) dapat didiferensialkan di (x(t), y(t)), maka z
= f(x(t), y(t)) dapat didiferensialkan di t :
dz f dx f dy


dt x dt y dt
Contoh :
1. Jika z = x3y, dengan x = 2t dan y = t2, tentukan dz/dt
2. Misalkan w = x2y + y + xz, dengan x = cos q, y = sin q dan z = q2. Tentukan
dw/dq dan evaluasi pada q = p/3
Teorema :
Jika x = x(s,t) dan y = y(s,t) mempunyai turunan parsial
pertama di (s,t), dan z = f(x,y) dapat didiferensialkan di (x(s,t),
y(s,t)), maka z = f(x(s,t), y(s,t)) mempunyai turunan parsial
z z x z y


s x s y s
z z x z y


t x t y t
Contoh :
1. Jika z = 3x2 - y2, dengan = 2s+7t dan = 5st, tentukan ∂z/∂t
2. Misalkan w = x2 + y2 + z2 + xy, dengan x = st, y = s- t dan z = s + 2t,
tentukan ∂w/∂t
Misalkan F(x,y) = 0, dengan aturan rantai dapat didiferensialkan ke x
sehingga
F dx F dy

0 
x dx y dx
dy
F x

dx
F y
Contoh :
1. Tentukan dy/dx jika x3 + x2y – 10y4 = 0
2. Jika F(x,y,z) = x3ey+z – y sin(x – z) = 0, tentukan ∂z/∂
3. Problem Set 12.6 No. 1 – 16