PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL Bila terdapat

PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL
Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear, maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata.
( , , ) dan ( , , ). Dan misalkan
Misalkan ketiga titik itu masing-masing ( , , ),
vector-vektor arah bidang itu adalah :
⃗=[
−
,
Z
−
,
⃗=[
] dan
−
−
,
,
−
]
(1)
R
P
T
Q
Y
X
Untuk sembarang titik ( , , ) pada bidang V berlaku :
Tetapi dari gambar tampak pula bahwa
⃗+
⃗=
Subtitusi (2) ke (3) diperoleh
⃗=
⃗+
atau
⃗=
⃗+
[ , , ]=[ ,
−
,
]+ [
−
,
⃗ , ,
⃗
(3)
⃗+
−
(2)
∈ℜ
,
−
⃗
]+
(4)
[
−
,
−
yang merupakan bentuk vector persamaan bidang rata yang melalui tiga titik.
,
−
]
(5)
Persamaan (5) dapat dituliskan sebagai
[ , , ]=[ ,
,
]+ [
,
,
]+
[
,
,
]
(6)
merupakan persamaan bidang rata dalam bentuk vector yang melalui titik
vektor arahnya
⃗ = [ , , ] dan ⃗ = [ , , ] .
( ,
,
) dengan vector-
atau
=
=
=
+
+
+
+
+
+
……………( )
…………….( )
……………..( )
(7)
yang disebut sebagai persamaan parameter bidang rata
Jika dan pada persamaan (a) dan (b) di eliminasikan, dengan cara mengalikan
mengalikan pada (b) kemudian di perkurangkan, diperoleh :
=
Dengan cara serupa diperoleh
Selanjutnya dan
(
atau
atau
−
)
−( −
−
)
( −
)
−( −
−
)
di subtitusikan ke (c) :
)( −
−
(
=
( −
) = [( −
)
)+(
−
)( −
( −
−
=
−( −
)
)( −
)+ ( −
+
,
Selanjutnya (9) dapat dituliskan sebagai
:
+
+
+ (−
+
yang merupakan persamaan linier bidang rata
+
−
=0
+ [( −
)+(
yang merupakan persamaan bidang rata melalui titik ( ,
+
, diperoleh
]
)+ ( −
pada (a) dan
−
)
−( −
)( −
) ]
)=0
(8)
)=0
(9)
) dengan vector normal [ , , ].
−
)=0
(10)
dengan
dan
−
= −(
=
+
=
+
;
)
−
=
=
;
−
=
=
⃗ = [ , , ] disebut vector normal bidang rata V=0, dengan
⃗=[ , , ]=
⃗+
⃗=
⃗+
⃗
⃗
⃗
= ⃗× ⃗
yang merupakan vector yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh ⃗ dan ⃗, yaitu
:
Hal-Hal Khusus
1. Jika
≠ 0, maka bidang
sumbu Y di 0,
Jika
Jika
Jika
Jika
Jika
2.
+
=0
+
+
+
= 0 memotong sumbu X di
, 0 dan memotong sumbu Z di 0,0,
Z
= 0, bidang V sejajar sumbu X
= 0, bidang V sejajar sumbu Z
=
=
=
3
X
= 0, bidang V sejajar bidang XOZ
= 0, bidang V sejajar bidang YOZ
Persamaan bidang rata yang melalui 3 titik ( , , ),
mempunyai persamaan dalam bentuk determinan :
−
−
−
−
−
−
( ,
Persamaan bidang rata yang melalui titik
⃗=[
Y
3
= 0, bidang V sejajar bidang XOY
, 0,0 , memotong
+ = 3 bidang
sejajar sumbu Z
= 0, bidang V sejajar sumbu Y
CATATAN
1.
+
= 0, maka bidang V melalui titik O(0,0,0), sebaliknya
2. jika
Jika
+
,
,
] dan ⃗ = [
,
,
,
( ,
,
−
−
−
) dan ( ,
,
=0
) dengan vector-vektor arahnya
] , mempunyai persamaan dalam bentuk determinan
−
−
−
=0
)
3.
Persamaan bidang rata yang melalui 4 titik ( , , ), ( , , ) , ( , ,
( , , )mempunyai persamaan dalam bentuk determinan :
−
−
−
−
−
−
=0
−
−
−
) ,dan
4. Jarak titik P(x , y , z ) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0
Ax + By + Cz + D
d=
√A + B + C
5. Jarak dua bidang sejajar H : ax + by + cz + m = 0 dan H : ax + by + cz + n = 0 , dengan
=
−n
Ambil titik P 0,0, z pada H berarti P 0,0,
c
−n
Jarak P 0,0,
ke H :
c
d=
6. Bidang sejajar
SOAL-SOAL
a(0) + b(0) + c −
√a +b + c
n
+m
c
=
m−n
√a +b + c
H :A x+B y+C z+D = 0
H :A x+B y+C z+D = 0
A
B
C
H ⇈H ⟺
=
=
A
B
C
1. Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik-titik (1,3, −2), (3,1,1) dan
(−1,2,3). Jwb : 7 + 16 + 6 − 43 = 0
2. Persamaan bidang rata melalui (1,2,3) dan sejajar sumbu Z diantaranya adalah 2 + − 4 = 0
3. Bidang rata 2 − 3 − = 0 adalah melalui titik asal O(0,0,0)
4. Persamaan parameter bidang ratayang melalui titiktitik A(4,3,1), B(-2,3,5) dan C(6,2,5) adalah
=4−6 +2 ,
=3− ,
=1+4 +4
5. Tentukan persamaan linier bidang rata yang memotong OX di P, dimana | | = 2, memotong
OY di Q, dimana | | = 3 dan memotong OZ’ di R, dimana | | = 1
Jwab
Bidang yang dimaksud melalui titik-titik (2,0,0), (0,3,0) dan (0,0,-1) dengan persamaan
−2
−2
3 0 =0
−2
0 −1
+ +( )= 1
SUDUT ANTARA DUA BIDANG DATAR
⃗
⃗
⃗
⃗
Ternyata bahwa : cos
atau [cos
cos
⃗ .⃗
= | ⃗|.|⃗| = | ⃗| ; cos
cos ] =
dengan ⃗ , juga berarti
Misalakan bidang rata H: Ax + By + Cz + D = 0
dengan vektor normal = [ , , ], dan , dan
berturut-turut sudut antara vektor normal dengan
sumbu-sumbu koordinat (yang arahnya ditentukan
oleh vektor-vektor ⃗ , ⃗ dan ⃗ )
[ , , ]
| ⃗|
+
⃗
⃗ .⃗
= | ⃗|.| ⃗| = | ⃗| dan cos = |
= | ⃗|
= | ⃗| , yang merupakan vektor normal satuan yang searah
+
= 1.
Sudut antara dua bidang rata
Sudut antara bidang rata
:
+
+
+
:
+
+
+
adalah sudut antara vektor-vektor normalnya. Jika
normal maka
⃗ .⃗
cos =
=
|⃗ ||⃗ |
+
Bidang
[ , ,
⃗ .⃗
⃗|. ⃗
sejajar bidang
bila ⃗ dan ⃗
] = [ , , ] , dimana ≠ 0,
∈ .
= 0 dan bidang rata
=0
adalah sudut yang dibentuk oleh vektor
+
+ .
atau
+
+
+
, berarti
Bidang
saling tegak lurus
bila ⃗ tegak lurus ⃗ ,
berarti ⃗ . ⃗ = 0 ⟹
+
+
=0
Contoh 1
Tentukan sudut antara bidang : 2 + + + 4 = 0 dan : 3 + 4 + − 10 = 0.
Jawab
Vektor-vektor normal masing-masing
= [2,1,1] dan
= [3,4,1], maka
⃗ .⃗
2.3 + 1.4 + 1.1
11
cos =
=
=
| ⃗ | | ⃗ | √2 + 1 + 1 . √3 + 4 + 1
√156
Jadi
=
√
Contoh 2
Tentukan persamaan bidang rata melalui titik (1, −2,1) dan sejajar bidang rata : 2 + 3 +
5 − 10 = 0.
Jawab
Vektor normal bidang rata H adalah = [2,3,5], berarti bidang yang sejajar dengan H
mempunyai vektor normal yang sama, yakni [2,3,5]. Misalkan persamaan linier bidang rata
tersebut adalah 2 + 3 + 5 + = 0. Bidang ini diketahui melalui titik (1, −2,1), berarti
memenuhi 2(1) + 3(−2) + 5(1) + = 0, diperoleh = −1. Jadi persamaan bidang rata yang
melalui titik (1, −2,1) dan sejajar bidang rata : 2 + 3 + 5 − 10 = 0 adalah 2 + 3 +
5 − 1 = 0.
Contoh 3
Tentukan persamaan bidang rata melalui titik (0,0,0) dan titik (1,2,3) serta tegak lurus
bidang rata : 2 + 3 + 4 − 10 = 0
Jawab
Misalkan bidang yang dicari adalah :
+
+
+
=0
Karena bidang
tegak lurus bidang
berarti ⃗ . ⃗ = 0
⟹
+
+
= 0 ⟹ 2 + 3 + 4 = 0 ......(1)
Diketahui pula bidang
melalui O(0,0,0), berarti
= 0 .....(2)
(1,2,3),
Diketahui pula bidang
melalui
berarti . 1 + . 2 + . 3 +
=0
atau
+2 +3 +
= 0 ....(3).
Subtitusi (2) ke (3) diperolah
Persamaan (2)
Persamaan (4) dikali dua
+ 2 + 3 = 0 ....(4).
2 +3 +4 =0
2 + 4 + 6 = 0 (-)
− −2 =0→
= −2
2 + 3(−2 ) + 4 = 0 →
=
+ (−2 ) +
= 0 bagi dengan
Subtitusi (5) ke (1) diperoleh
Jadi persamaan bidang
:
−2 + =0
I.
....(5)
....(6)
( ≠ 0) diperoleh
TEMPAT KEDUDUKAN (TK)
Tempat Kedudukan (TK) merupakan himpunan titik-titik yang memenuhi syarat-syarat yang ditentukan.
TK mungkin merupakan : himpunan kosong, sebuah titik, berupa kurva (garis lurus atau
garis lengkung), berupa permukaan (bidang rata, atau bidang lengkung) ataupun seluruh
ruang itu.
Menjalankan titik ( , , )
Ambil titik ( , , ) sembarang pada TK, kemudian cari hubungan-hubungan antara
, ,
yang memenuhi syarat-syarat yang ditentukan. Dengan menjalankan titik
( , , ) ataumenghapus indeks nol dari hubungan-hubungan tersebut diperoleh TK yang
diminta.
Contoh 1.1
Tentukan TK yang berjarak 3 satuan dari bidang XOZ, dan jumlah kuadrat jaraknya ke titik
(1,2,0) dan (−1, −2,0) adalah tetap = 30
Solusi
Ambil titik ( , , ) pada TK
Berjarak 3 satuan dari bidang XOZ (yaitu bidang = 0).
Ini berarti :
= 3 atau = −3 (*)
Jumlah Kuadrat titik P ke titik (1,2,0) dan (−1, −2,0) adalah 30
i)
ii)
iii)
⟹
+
⟺
−2
⟹ [(
⟺2
= 30
− 1) + (
− 2) + (
+2
+ 10 = 30 ⟹
+1+
+2
−4
− 0) ] + [(
+4+
+
+
+ 1) + (
+2
+
+1+
− 0) ] = 30
+4
+4+
= 3 atau
+
+
= −3 (
= 10
= 10 (**)
Dari (*) dan (**), titik P dijalankan, sehingga diperoleh TK :
Atau ditulis dalam notasi himpunan TK : {( , , )|
+ 2) + (
= 9}⋂{( , , )|
Berupa apakah TK ini ? Perpotongan bidang rata dengan bola berbentuk lingkaran ??
+
+
= 30
= 9)
= 10}.
II PERSAMAAN BOLA
Permukaan (kulit) bola merupakan TK yang vektor di dalam yang titik awalnya tertentu (pusat bola) dan
panjang yang konstan sebagai jari-jari bola. Atau per,mukaan bola merupakan TK titik-titik di dalam
ruang yang berjarak sama (=Jari-jari) terhadap sebuah titik tertentu (pusat bola).
Persamaan Bola
Misalkan pusat bola adalah
Jari-jari R (Gambar 2.1), maka
⃗−
⃗=
⃗=[
Karena
− ,
⃗ =
(
⃗
atau (
,
( , , )
− ,
− ) +(
⃗ = , maka
(
( ,
( , , ) dan
− ) +(
− ) +(
− ]
− ) +(
− ) +(
− ) +(
− )
− ) =
− ) =
O
Gambar 2.1: Bola
)
Dengan menjalankan titik P, diperoleh
( − ) +( − ) +( − ) =
yang merupakan persamaan bola berpusat di
(2.1)
( , , ) dan berjari-jari R.
Persamaan bola yang berpusat dititik asal (0,0,0) dan berjari-jari R adalah :
+
Secara umum persamaan bola adalah berbentuk
⟺
⟺
+
+
+
+
+
+
+
Sehingga pusat bola adalah :
dan Jari-jari bola adalah :
Jika
Jika
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
−
=0
−
=
,−
,−
+
−
−
−
+
,
+
+
=0
−
=
(2.2)
(2.3)
(2.4)
>0
= 0 maka bola merupakan sebuah titik
−
+
+
+
+
< 0 maka bola merupakan bola khayal
−
Secara simbolis persamaan bola dapat dituliskan sebagai = 0 yang memiliki 4 parameter (A,B,C dan
D), jadi suatu bola akan tertentu jika diketahui melalui 4 buah titik yang tidak sebidang.
Contoh 2.1
Tentukan pusat dan jari-jari bola :
Solusi
Diketahui
Pusat bola
Jari-jari bola
= −4,
−
=
= 6,
,−
+
= −2 dan
,−
+
+
+
=
−4 +6 −2 −3 = 0
= −3, maka
− (−4), − (6), − (−2) =
−
=
Persamaan bola melalui 4 buah titik ( , ,
dihitung melalui persamaan determinan berikut :
(2, −3,1) dan
(−4) + (6) + (−2) − (−3) = √17
),
( ,
,
), ( ,
,
) dan ( ,
,
) dapat
+
+
+
+
+
Contoh 2.2
1
1
+
+
+
+
+
1 =0
1
1
(2,0,0), (0,1,0), (0,0,1) dan (0,0,0)
Tentukan persamaan bola yang melalui titik-titik
Solusi
Cara I
Misalkan persamaan bola S=0 adalah :
+
+
Karena bola melalui titik (2,0,0), maka 2 + 2 +
Bola melalui (0,1,0), maka 1 +
+
Bola melalui (0,0,1), maka 1 +
Bola melalui (0,0,0), maka
+
= 0 (iv)
=0
=0
+
+
+
+
=0⟹4+2 +
(ii)
=0
= 0 (i)
(iii)
Dari persamaan (i) sampai (iv) diperoleh = −2,
yang melalui ke 4 titik tersebut adalah:
+
+
= −1, = −1 dan D=0, sehingga persamaan bola
−2 − − =0
Cara lain
Gunakan determinan
+
+
+
+
+
⟹
+
1
1
+
+
+
+
+
4
1
1
0
+
+
+
2 +0 +0
1 =0 ⟹ 0 +1 +0
0 +0 +1
1
0+0+0
1
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1 =0 ⟹
1
1
+
4
1
1
+
2
0
0
0
2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1 =0
1
1
0 0 =0 ,
1 0
0 1
−
menjadi
+
+
4
1
0
⟹ 2(
−
+
+
+
2
0
0
0
1
0
0 =0 ⟹
0
1
+ − −
4
0
2
0
+
+
4
1
−
+
0 =0⟹
1
− − )−4 =0 ⟹
+
+
0 = 0,
1
2
0
+ − −
4
−2 −
menjadi
−
2
=0
− =0
KEDUDUKAN BIDANG RATA DENGAN BOLA
Misalkan suatu bola = 0 berjari-jari R dan sebuah bidang rata
(pusat bola) ke bidang H, maka
1. Jika
2. Jika
3. Jika
= 0, dengan
adalah jarak titik M
< , maka bidang H memotong bola, perpotongannya berupa lingkaran, Gbr 2.2a
= , maka bidang H menyinggung bola (terdapat sebuah titik persekutuan), Gbr 2.2b
> , maka bidang H tidak memotong bola, Gbr 2.2c
M
=
H
Gbr.2.2b
Gbr.2.2a
Contoh 2.3
a. Tentukan kedudukan bola S :
: +2 +2 = 0
Solusi
Ingat persamaan bidangb rata H:
Jarak M ke bidang H :
Karena
d=
+
Gbr.2.2c
+ 2 + 6 + 8 − 10 = 0 terhadap bidang
+
(−1, −3, −4) dan jari-jari bola adalah
Pusat bola adalah
√
H
+
=
(
+
)
√
(
+
)
(
=
= 0, disisni
)
=
+
= 1,
+
=5
− (−10) = 6
= 2,
= 2,
< , maka bidang H memotong bola , dengan perpotongan berup lingkaran.
b. Dari soal a, Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran tersebut (PR)
= 0, maka
Jwb
= √11 dan pusat lingkaran
,
,
PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG PADA BOLA
Misalkan suatu bola S: +
+ +
+
+
+ =0
berpusat di M , dan misalkan ( , , ) suatu titik pada bola.
Pusat bola adalah
−
,−
,−
dan titik singgung
adalah ( , , ). Tampak pada gambar bahwa
⃗ merupakan vektor normal dari bidang singgung H,
⃗=
⟺
:
+
+
+
Karena ( ,
,
+
,
+
( −
+
,
+
)+
+
. Sehingga persamaan bidang singgung H adalah
+
+
( −
)+
−(
+
+
+
) pada bola maka memenuhi bola
)+
( −
)=0
+
= 0 (*)
+
+
+ +
+
+
+ = 0 (**)
Dari (∗)dan (∗∗) , diperoleh persamaan bidang singgung pada bola, yaitu
+
+
+
1
( +
2
Rumus ini dikenal dengan “Membagi adil”, yaitu
)+
1
( +
2
menjadi
dan
)+
1
( +
2
)+
menjadi ( +
=0
)
Contoh 2.4
Tentukan persamaan bidang singgung di suatu titik pada bola +
+ + 2 + 4 + 6 + 8 = 0 di
titik 0,0,
Solusi : Diskusi kelas
Subtitusi titik 0,0,
pada bola diperoleh
+ 6 + 8 = 0 diperoleh = −2 dan = −4. Jadi
titik singgung pada bola adalah (0,0, −2) dan (0,0, −4). Pers. Bid.singgung...
Kedudukan antara dua bola
=0
=0
pusat
Misalakan terdapat dua bola : pusat
dan
dan =
(grs sentral)
jari − jari
jari − jari
Maka
(1). Kedua bola tidak berpotongan ⟺
>
+
(2). Kedua bola bersinggungan luar ⟺
=
+
(3). Kedua bola berpotongan
⟺ | − |< <
+
|
|
(4). Kedua bola bersinggungan dalam ⟺
=
−
(5). Salah satu bola berada dalam bola yang lain ⟺
<| − |
S
M
S
R
R
d
(1)
M
M
R
R
d
(2)
M
R
M
R
d
(3)
M
S
S
M
S
S
M
M
M
d
d
(5)
(4)
Soal Latihan
1. Selidiki apakah bidang- bidang rata H : 3x − 2y + 4z − 2 = 0 dan H : 6x − 4y + 8z − 3 = 0,
sejajar ? , Jika iya, tentukan jaraknya dan sketsa grafiknya.
( , , ) = (2,3,5) dan ( , , ) = (1,3,7) .
2. Melalui tiga titik ( , , ) = (1,1,2) ,
Tentukan persamaan bidang datar dalam bentuk (a) Parameter (b) persamaan linier.
3. Diberikan bola : +
+ + 6 + 4 + 2 − 11 = 0 dan bidang : + 2 + 2 = 0.
a. Tentukan kedudukan bidang rata H terhadap bola S
b. Jika seandainya bidang memotong bola tentukan jari-jari dan pusat lingkaran
perpotongannya.
4. Tentukan Tempat Kedudukan (TK) titik-titik yang berjarak 2 satuan dari bidang XOY dan
jumlah kuadrat jaraknya ke titik-titik (1,0, −2) dan (−1,0,2) adalah konstan=20
5. Tentukan persamaan bidang singgung di suatu titik 0, , 0 pada bola : +
+ +
6 −4 +2 +3 = 0
6. Tentukan kedudukan bola : +
+ − 9 = 0 dan
: ( − 1) + ( + 2) + − 16 = 0
Solusi soal latihan
1.
=
=
= =
, jadi bidang-bidang
=
dan
saling sejajar.
Untuk menentukan jarak, Pilih sebarang titik misalnya P 0,0, z
titik P adalah P 0,0,
.
pada H ⟹ z =
sehingga koordinat
Jarak titik P(x , y , z ) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0
d=
√
Jadi jarak titik P ke H adalah
d=
2.
×
(
( )
).
(
)
×
(
( )
)
=
√
=
√
Vektor-vektor arah bidang datar adalah
0
⃗ = [ , , ] = [ − , − , − ] = [1,2,3]
⃗ = [ , , ] = [ − , − , − ] = [0,2,5]
(a)
Persamaan vektorial bidang datar melalui tiga titik P, Q dan R adalah
[ , , ]= [ , , ]+ [ , , ]+ [ , , ]
= [1,1,2] + [1,2,3] + [0,2,5]
Persamaan bidang datar dalam bentuk parameter adalah:
(b)
=1+
=1+2 +2
= 2+3 +5
Vector normal bidang data melalui tiga titik
= [A, B, C] = x
x
y
= y
[ , , ]= x −x
x −x
2 3
2 5
=
z
z
y −y
y −y
1 3
0 5
−
y
y
+
z
z
z
+ z
z −z
z −z
1 2
0 2
x
x
x
+ x
y
y
= 2−1 3−1 5−2 = 1 2
0 2
1−1 3−1 7−2
=4 −5 +2
3
5
Jadi vektor normal bidang rata adalah = [ , , ] = [4, −5,2]
Konstanta D dapat dihitung dari bidang rata :
+
+
=−
4(1) + (−5)(1) + 2(2) = −D ⟹ D = −3
Jadi persamaan bidang rata bentuk linier adalah
3.
Persamaan bola
Pusat
−
+
,−
,−
+
+
+
Ax + By + Cz + D = 0 ⟹ 4x − 5y + 2z − 3 = 0
+
dan jari-jari
+
=
= 0 mempunyai
+
+
−
Jadi pusat bola (−3, −2, −1) dan jari-jari = √25 = 5
Jarak titik (−3, −2, −1) ke bidang rata : + 2 + 2 = 0 adalah
a.
b.
d=
×(
)
√
×(
)
×(
)
=
= 3.
Karena < , maka bola memotong bidang rata, berupa lingkaran berjari-jari r.
Menurut Phytagoras =
−
→
= 25 − 9 = 16. Jadi = 4.
Untuk menentukan pusat lingkaran, dibuat garis g melalui pusta bola M dan tegak lurus bidang H. Vektor normal bidang H
adalah [ , , ] = [1,2,2], jadi persamaan garis g adalah g: = −3 + , = −2 + 2 , = −1 + 2 , yang disubtitusikan ke
dalam
: + 2 + 2 = 0 , diperoleh −3 + − 2 + 2 − 1 + 2 = 0 →
diperoleh
4.
= −3 + =
,
=
Jadi pusat lingkaran potong adalah
dan
, ,
= .
= . Selanjutnya nilai
=
disubtitusi ke dalam g,
Ambil titik ( , , )
Syarat I, berjarak 2 satuan dari bidang XOY, berarti = 2 atau = 2 …… (*)
Syarat II, jumlah kuadrat jarak ke titik-titik (1,0, −2) dan (−1,0,2) adalah konstan=20, berarti (
( + 2) + ( + 1) + ( − 0) + ( − 2) = 20
atau 2( + + ) + 10 = 20 →
+ + = 5 …. (**)
Dari (*) dan (**) , indeks dijalankan, diperoleh TK
=2
= −2 (⟺
= 4)
+ + =5
yang merupakan sebuah lingkaran (irisan bidang rata dan bola, atau dengan notasi himpunan
: {( , , )| = 4} ∩ {( , , )| + + = 5}
− 1) + (
− 0) +
5.
Titik 0, , 0 pada bola , berarti
− 4 + 3 = 0 atau
−1
(0,1,0) dan (0,3,0)
Dengan sistem bagi adali, persamaan bidang singgung di (0,1,0) adalah
+
+
+3 +3
−2 −2
+ +
1( ) + 3 − 2 − 2(1) + + 3 = 0 atau −
Persamaan bidang singgung di
+
6.
+
+3 +3
(0,3,0) adalah
− (2 + 2 ) + +
3 + 3 − (2 + 2.3) + + 3 = 0 atau
Bola
:
+ +
= (0,0,0)
=3
− 9 = 0 dan
3 +
− 3 = 0 . Jadi titiik-titik singgung pada bola adalah
+3=0
+ +1 =0
+3=0
+ −3=0
: ( − 1) + ( + 2) +
= (1, −2,0)
=4
− 16 = 0
= (1 − 0) + (−2 − 0) + (0 − 0) = √5
Karena | − | < < | + | → 1 < < 7 , jadi kedua bola berpotongan.