Keseimbangan statik dan Elastisitas

Mekanika
IX.
KESEIMBANGAN BENDA TEGAR
dan ELASTISITAS
1. BENDA TEGAR.
Benda tegar adalah benda yang tidak mengalami perubahan bentuk bila gaya dikerjakan
pada benda tersebut.
F
2. KESEIMBANGAN BENDA TEGAR.
Sebuah benda tegar berada dalam keseimbangan mekanis bila dilihat dari suatu kerangka
acuan inersial, jika :
a. percepatan linear pusat massanya sama dengan nol, apm = 0.
b. percepatan sudutnya sama dengan nol,  = 0.
Untuk vpm = 0 dan  = 0 disebut keseimbangan statik.
Bila apm = 0, maka Feks = 0. Untuk gaya-gaya dalam ruang ( 3 dimensi) diperoleh :
F1x + F2x + ... + Fnx = 0 atau  Fx = 0
F1y + F2y + ... + Fny = 0 atau  Fy = 0
F1z + F2z + ... + Fnz = 0 atau  Fz = 0
Bila  = 0, maka eks = 0 dan diperoleh
1x + 2x + ... + nx = 0 atau x = 0
1y + 2y + ... + ny = 0 atau y = 0
1z + 2z + ... + nz = 0 atau z = 0
Dalam kasus tertentu dimana gaya-gaya hanya terletak pada satu bidang, (misalkan
bidang xy) diperoleh :
F1x + F2x + ... + Fnx = 0 atau  Fx = 0
F1y + F2y + ... + Fny = 0 atau  Fy = 0
1z + 2z + ... + nz = 0 atau z = 0
1
Mekanika
z = 0 ini terhadap sembarang titik pada benda tegar tersebut.
F1
F2
r1
O
Torsi terhadap titik O adalah :
o = (r1 x F1) + (r2 x F2) + ... + (rn x Fn)
Torsi terhadap titik O’ adalah :
o’ = (r1- r’) x F1+ (r2 - r’) x F2 + ... + (rn - r’) x Fn
o’ = {(r1 x F1) + (r2 x F2) + ... + (rn x Fn) } – r’ x (F1+ F2 + … + Fn)
Jika sistem dalam keadaan seimbang,  F = 0 maka
o = o’
Torsi terhadap titik sembarang adalah sama.
3. PUSAT GRAVITASI
Bila kita perhatikan benda tegar, salah satu gaya yang perlu diperhatikan adalah
berat benda, yaitu gaya gravitasi yang bekerja pada benda tersebut. Untuk menghitung
torsi dari gaya berat tersebut, gaya berat dapat dipertimbangkan terkonsentrasi pada
sebuah titik yang disebut pusat gravitasi.
Perhatikan benda berbentuk sembarang pada bidang xy. Benda kita bagi-bagi
menjadi partikel-partikel dengan massa m1, m2, …yang mempunyai koordinat (x1, y1) ,
(x2, y2) ,…pusat massanya dapat dinyatakan sebagai
m1x1 + m2x2 + m3x3 + …
m1 + m2 + m3 + …
2
Mekanika
y
m1g
pg
m2g
x
W = Mg
Setiap partikel memberikan kontribusi torsi terhadap titik pusat dan ini sama
dengan torsi yang ditimbulkan oleh gaya tunggal, yaitu gaya berat dikalikan dengan
lengan gayanya. Titik dimana gaya berat bekerja disebut pusat gravitasi.
(m1g1 + m2g2 + m3g3 + …) xpg = m1g1x1 + m2g2x2 + m3g3x3 + …
Bila diasumsikan g homogen maka, pusat gravitasi :
m1x1 + m2x2 + m3x3 + …
m1 + m2 + m3 + …
Bila gravitasi homogen, pusat gravitasi berimpit dengan pusat massa.
4. SISTEM KESEIMBANGAN
Di dalam menyelesaikan suatu sistem keseimbangan di bawah pengaruh beberapa gaya,
ada beberapa prosedur yang perlu diikuti.
a. Tentukan objek/benda yang menjadi pusat perhatian dari sistem keseimbangan.
b. Gambar gaya gaya eksternal yang bekerja pada obyek tersebut.
c. Pilih koordinat yang sesuai, gambar komponen-komponen gaya dalam koordinat
yang telah dipilih tersebut.
d. Terapkan sistem keseimbangan untuk setiap komponen gaya.
e. Pilih titik tertentu untuk menghitung torsi dari gaya-gaya yang ada terhadap titik
tersebut. Pemilihan titik tersebut sembarang, tetapi harus memudahkan penyelesaian.
f. Dari persamaan yang dibentuk, dapat diselesaikan variabel yang ditanyakan.
3
Mekanika
5. ELASTISITAS
Dalam pembahasan sebelumnya, benda yang mendapatkan gaya diidealkan
sebagai benda tegar, tidak mengalami perubahan bentuk bila mendapat gaya.
Sesungguhnya benda mengalami perubahan bentuk saat mendapatkan gaya. Pada bagian
ini akan dibahas tentang hubungan perubahan bentuk tersebut dengan gaya yang
menyebabkannya.
5.1. Tekanan
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F 
Gambar di atas melukiskan suatu batang yang mempunyai penampang
serbasama ditarik dengan gaya F pada kedua sisinya. Batang dalam keadaan
tertarik. Bila dibuat irisan di batang (gambar b) yang tidak dekat ujung batang,
maka pada irisan tadi terdapat tarikan dengan gaya F yang merata di
penampang batang (sistem dalam keadaan seimbang). Dari sini dapat
didefinisikan tegangan di irirsan tersebut sebagai perbandingan antara gaya F
dengan luas penampang A.
Tegangan : S = F/A ( N/m2 = Pascal)
Tegangan tersebut disebut tegangan tarik.
Bila irisan tadi dibuat sembarang (membentuk sudut), maka luasannya menjadi
A’ dan dan gaya F tadi bisa diurakan menjadi dua komponen, yaitu F (tegak
lurus/normal terhadap A’ dan F  (sejajar/tangensial terhadap A’). Maka
tegangan dapat diurakan menjadi :
4
Mekanika
Tegangan normal = F / A’
Tegangan tangensial (geser) = F  /A’
Demikian juga sebaliknya, bila gaya pada balok mengarah ke balok.
Tegangannya disebut tegangan tekan.
5.2. Regangan
Bila gaya diberikan pada balok tersebut memberikan tegangan tarik, maka balok
tersebut juga mengalami perubahan bentuk yang disebut regangan.
Lo
L
F
F
L
Regangan tarik =
L - Lo = L
Lo
Lo
Regangan tekan dapat didefinisikan dengan cara sama, dengan L sebagai
pengurangan panjang.
Bila gaya yang diberikan memberikan tegangan geser maka perubahan bentuk
pada balok menjadi :
x
b
h
b’
c
c’

a,a’
d,d’
Regangan geser = x/h = tg    ( karena x << h)
5
Mekanika
Regangan dikarenakan tekanan hidrostatis disebit regangan volume :
Regangan volume = V
V
5.3. Elastisitas dan Plastisitas
Hubungan antara tegangan dan regangan menyatakan elstisitas bahan tersebut.
Grafik tegangan sebagai fungsi regangan suatu logam dapat digambarkan
sebagi berikut :
T
e
g
a
n
g
a
n
c
b
d
a
a : batas proporsional
b : batas elastik
o - b : sifat elastik
b - d : sifat plastik
d : titik patah
O
Regangan
Bagian pertama (O - a) tegangan sebanding dengan regangan, a adalah batas
proporsional tersebut. Dari a sampai b tidak sebanding lagi, tetapi bila beban
diambil, kurva akan kembali ke titik a lagi. Titik a sampai b masih bersifat elastik
dan b adalah batas elastik. Bila beban di ambil setelah melewati b, misal di c,
kurva tidak kembali ke b tetepi kembali melellui garis tipis. Sehingga panjang
tanpa tegangan menjadi lebih besar dari semula. Bila beban ditambah terus
sampai patah di d, d disebut titik patah. Bila b sampai d cukup besar, bahan
tersebut bersifat ulet, tetapi kalau sangat pendek disebut rapuh.
5.4. Modulus Elastik
Perbandingan antara tegangan dan regangan disebut modulus elastik bahan.
5.4.a. Modulus Young
Bila kita perhatikan tegangan dan regangan tarik/tekan, sampai batas
proporsional, perbandingan tegangan dan regangan disebut : modulus Young, Y
:
Tegangan tarik
Tegangan tekan
6
Mekanika
Y=
=
Regangan tarik
Regangan tekan
F / A’
Y=
L / Lo
5.4.b. Modulus Geser
Didefinisikan sebagi perbandingan tegangan geser dan regangan geser.
Tegangan geser
S=
Regangan geser
F  /A’
S=
h F  /
=
x/h
F  /A
=
tg 
A x
Modulus geser disebut juga modulus puntir, dan hanya terjadi pada zat padat.
5.4.c. Modulus Bulk (Balok)
Modulus ini menghubungkan tekanan hidrostatik dengan perubahan volumenya.
dp
B= dV/Vo
dp
= - Vo
dV
Kebalikan dari modulus Bulk adalah kompresibilitas
k = 1/ B
7