- Lumbung Pustaka UNY

LAPORAN PENELITIAN KELOMPOK KAJIAN
TAHUN ANGGARAN 2012
JUDUL:
PENENTUAN HARGA OPSI SAHAM TIPE AMERIKA DENGAN
PEMBAGIAN DEVIDEN MENGGUNAKAN FINITE ELEMENT
METHOD
Oleh :
Nikenasih Binatari, M.Si
Rosita Kusumawati, M.Sc
Ade Latif, S.Si
DIBIAYAI OLEH DIPA UNY SESUAI DENGAN
SURAT PERJANJIAN PELAKSANAAN HIBAH PENELITIAN
NOMOR : 042/Subkontrak-Kelompok Kajian/UN34.21/2012
PUSAT STUDI PENELITIAN PENGEMBANGAN KEWIRAUSAHAAN
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
NOVEMBER 2012
1
LEMBAR PENGESAHAN
LAPORAN AKHIR PENELITIAN KELOMPOK KAJIAN UNY
1.
Judul Penelitian
: PENENTUAN
SAHAM
HARGA
TIPE
OPSI
AMERIKA
DENGAN PEMBAGIAN DEVIDEN
MENGGUNAKAN
FINITE
ELEMENT METHOD
2.
Ketua Peneliti
:
a. Nama lengkap
: Nikenasih Binatari
b. Jenis Kelamin
: Perempuan
c. NIP
: 198410192008122005
d. Jabatan Fungsional
: Asisten Ahli
e. Jabatan Struktural
: Dosen
f. Bidang Keahlian
: Matematika Terapan
g. Fakultas/Jurusan
: FMIPA/Pendidikan Matematika
h. Perguruan Tinggi
: UNY
i. Telepon
rumah/kantor/HP
3.
No
1.
4.
No
1.
: 081 754 658 38
Tim Peneliti
Nama dan Gelar
NIP
Rosita Kusumawati ,
19800707 200501 2
M.Sc
001
Mahasiswa yang terlibat
Nama
Ade Latif
Bidang Keahlian
Statistika – Aktuaria
:
NIM
08305141007
Prodi
Matematika
2
5. Pendanaan dan jangka waktu penelitian
a. Jangka waktu penelitian yang diusulkan
: 8 bulan (April – November)
b. Biaya total yang diusulkan
: 15 juta
c. biaya yang disetujui tahun
: 15 juta
Mengetahui,
Yogyakarta, 9 November 2012
Kepala Pusat Pengembangan Kewirausahaan
Ketua Tim Peneliti
Drs. Herman Yoseph Agus Murdiyastomo, M.Hum
Nikenasih Binatari, M.Si
NIP. 19580121 1986011001
NIP. 19841019 200812 2 005
Mengetahui,
Ketua LPPM UNY
Prof. Dr. Anik Ghufron
NIP. 19621111 198803 1 001
3
ABSTRAK
Perubahan harga saham, baik saat harga saham mengalami kenaikan
maupun penurunan harga, dapat dimanfaatkan untuk memperoleh keuntungan.
Salah satu instrumen investasi yang dapat digunakan untuk memperoleh
keuntungan dari perubahan harga saham adalah opsi saham. Selain itu, opsi saham
juga dapat digunakan untuk meminimalkan jumlah kerugian yang mungkin
diderita investor. Salah satu kunci untuk memperoleh keuntungan dari opsi saham
tipe adalah ketepatan penentuan harga eksekusi dari opsi saham.
Model Black-Scholes merupakan model yang telah digunakan secara luas
sebagai pendekatan untuk menyelesaikan masalah penentuan harga eksekusi dari
opsi saham. Asumsi model ini adalah saham tidak memberikan pembagian
deviden, tidak ada biaya transaksi, suku bunga bebas resiko, serta perubahan
harga saham mengikuti pola random. Sementara itu, sebagian besar opsi saham
yang diperjualbelikan pada kenyataannya membayarkan deviden. Dikarenakan
opsi saham yang paing banyak diperdagangkan adalah opsi saham tipe Amerika
maka tujuan dari penelitian ini adalah menentukan model Black-Scholes harga
opsi saham tipe Amerika dengan pembagian deviden dan selanjutnya, mendekati
solusi dari model tersebut dengan finite element method.
4
PRAKATA
Puji Syukur peneliti panjatkan kehadirat Allah SWT karena hanya dengan berkat,
rahmat, hidayah, serta limpahkan kasih sayang-Nya yang tak terhingga sehingga
pada akhirnya penelitian yang berjudul
PENENTUAN HARGA OPSI SAHAM TIPE AMERIKA DENGAN
PEMBAGIAN DEVIDEN MENGGUNAKAN FINITE ELEMENT
METHOD
dapat disajikan.
Peneliti menyadari bahwa tiada gading yang tak retak, begitu juga dalam
penelitian ini.
Oleh karena itu, peneliti sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun
untuk penyempurnaan penelitian ini. Akhir kata, peneliti berharap semoga
penelitian ini dapat bermanfaat bagi pembaca pada umumnya dan bagi peneliti
pada khususnya. Terimakasih.
Yogyakarta, November 2012
Peneliti
5
DAFTAR ISI
HALAMAN PENGESAHAN .....................................................................
ABSTRAK DAN SUMMARY...................................................................
PRAKATA...................................................................................................
DAFTAR ISI................................................................................................
DAFTAR TABEL........................................................................................
DAFTAR GAMBAR...................................................................................
DAFTAR LAMPIRAN...............................................................................
BAB I.
PENDAHULUAN
A.
B.
C.
D.
E.
BAB II.
Latar Belakang.......................................................
Identifikasi masalah...............................................
Rumusan Masalah...................................................
Tujuan Penelitian....................................................
Sistematika Penelitian................................................
10
11
12
12
12
KAJIAN PUSTAKA
A.
B.
C.
D.
E.
Saham........................................................................
Opsi Saham.............................................................
Model Harga Saham....................................................
Model Black-Scholes...................................................
Deviden.....................................................................
BAB III.
METODE PENELITIAN.................................................
BAB IV.
HASIL DAN PEMBAHASAN........................................
A. Model Black-Scholes Harga Opsi Tipe Amerika
dengan Pembagian Deviden....................................
B. Nilai Awal dan Syarat Batas Opsi Tipe Amerika....
C. Penyelesaian
Model
Black-Scholes
dengan
Pembagian Deviden Menggunakan FEM.................
D. Simulasi Numerik........................................................
BAB V.
2
4
5
6
7
8
9
KESIMPULAN DAN SARAN........................................
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................
LAMPIRAN.................................................................................................
14
14
15
16
17
18
19
22
24
32
38
39
40
6
DAFTAR TABEL
TABEL 1
Hasil perhitungan numerik harga opsi beli…………………… 33
TABEL 2
Hasil perhitungan numerik harga opsi beli……………………. 35
7
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.
Mesh hasil numerik opsi beli
33
Gambar 2.
Plot hasil numerik batas eksekusi opsi beli
34
Gambar 3.
Mesh hasil numerik opsi jual
36
Gambar 4.
Plot hasil numerik batas eksekusi opsi jual
37
8
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 Program Matlab untuk Opsi Beli
41
Lampiran 2 Program Matlab untuk Opsi Jual
45
Lampiran 3 Hasil Perhitungan Numerik Harga Opsi
50
Lampiran 4 Hasil Perhitungan Batas Eksekusi
58
Lampiran 5 Personalia Tenaga Peneliti
66
Lampiran 6 Berita Acara Pelaksanaan Seminar Hasil Penelitian
67
Lampiran 7 Daftar Hadir Pelaksanaan Seminar Hasil Penelitian
69
9
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Opsi saham adalah salah satu instrumen keuangan yang
diperdagangkan di pasar. Selain digunakan sebagai alat investasi dengan
keuntungan dari perubahan harga saham, opsi saham juga dapat digunakan
untuk meminimalkan jumlah kerugian yang mungkin diderita investor.
Menurut Pham (2007:5), opsi saham didefinisikan sebagai perjanjian atau
kontrak antara penjual opsi saham dengan pembeli opsi saham dimana
penjual menjamin adanya hak (bukan suatu kewajiban) dari pembeli opsi
saham untuk membeli atau menjual saham tertentu pada waktu dan harga
yang telah ditentukan.
Berdasarkan
periode
waktu
penggunaannya,
opsi
saham
dikelompokkan menjadi dua, yaitu opsi saham tipe Amerika dan opsi saham
tipe Eropa. Opsi saham tipe Amerika adalah opsi saham yang dapat
dieksekusi sebelum waktu kadaluwarsa atau pada waktu kadaluwarsa. Opsi
saham tipe Eropa adalah opsi saham yang bisa dieksekusi hanya pada waktu
kadaluwarsa. Opsi saham yang paling banyak diperdagangkan pada bursa
opsi saham adalah opsi saham tipe Amerika (Hull, 2006:5). Hal ini
disebabkan fleksibilitas waktu penggunan opsi saham tipe Amerika sehingga
memungkinkan investor memperoleh keuntungan yang lebih besar jika
dibandingkan opsi saham tipe Eropa.
Investor memiliki kesempatan untuk mendapatkan keuntungan
pada setiap situasi pasar apabila tepat memilih strategi berinvestasi pada
kontrak opsi saham. Kunci untuk memperoleh keuntungan dari opsi saham
tipe Amerika adalah ketepatan penentuan harga dan batas eksekusi opsi
saham. Belum ditemukan rumusan eksplisit untuk menentukan harga dan
batas eksekusi opsi saham tipe Amerika. Pada bursa opsi saham, beberapa
metode aproksimasi digunakan untuk menentukan harga opsi saham tipe
Amerika (Kang et al, 2008:271).
10
Salah satu alternatif penentuan harga dan batas eksekusi opsi
saham tipe Amerika yang tepat agar keuntungan maksimal serta terhindar
dari resiko kerugian adalah dengan membangun model matematis opsi
saham tipe Amerika. Model Black-Scholes merupakan model yang telah
digunakan secara luas sebagai pendekatan untuk menyelesaikan masalah
tersebut. Nama Black-Scholes diambil dari nama penemu model tersebut,
yakni Fisher Black dan Myron Scholes. Asumsi model ini adalah saham
tidak memberikan pembagian deviden, tidak ada biaya transaksi, suku bunga
bebas resiko, serta perubahan harga saham mengikuti pola random.
Sementara itu, sebagian besar opsi saham saham yang diperjualbelikan pada
kenyataannya membayarkan deviden. Oleh karena itu, model Black-Scholes
yang akan dibahas disini adalah tipe Amerika dengan pembagian deviden.
Berbagai macam metode numerik sudah lazim digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial parsial, salah satunya adalah Metode
Element Hingga (Finite Elements Method) disingkat FEM. Sesuai dengan
fungsinya, metode ini dapat dibandingkan dengan metode-metode lain
seperti Metode Beda Hingga (Finite Differences Method) disingkat FDM,
Metode Volume Hingga (Finite Volume Method) atau dengan Metode
Spektral (Spectral Method). Pembeda FEM dengan metode-metode lainnya
adalah penggunaan kombinasi dari dua metode, yakni metode variasional
dan polinominal aproksimasi (Gunzburger dan Peterson, 2009:2).
FEM memiliki beberapa kelebihan jika dibandingkan dengan
metode numerik lain, seperti FDM. Diantara kelebihan FEM adalah mudah
diaplikasikan pada syarat batas bebas yang ada pada opsi saham tipe
Amerika, selain itu perhitungan solusi meliputi seluruh domain termasuk
titik terisolasi yang biasa ada apabila menggunakan FDM (Topper, 2007:3).
B. Identifikasi Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut dapat diidentifikasi beberapa masalah.
Sebagian besar opsi saham saham yang diperjualbelikan pada kenyataannya
membayarkan deviden. Oleh karena itu, model Black-Scholes dengan
11
pembagian deviden akan lebih mencerminkan keadaan pasar. Selanjutnya,
model Black-Scholes merupakan model dengan persamaan differensial
parsial yang dilengkapi nilai awal dan syarat batas yang cukup rumit,
sehingga solusi analitiknya susah untuk ditemukan. Pada penelitian kali ini,
akan dianalisa solusi pendekatan dari model Black-Scholes secara numerik.
C. Rumusan Masalah
Dari identifikasi masalah tersebut, didapatkan rumusan masalah sebagai
berikut :
1. Bagaimana model matematika untuk menentukan harga opsi saham
tipe Amerika dengan pembagian deviden
2. Berapa harga opsi saham yang tepat dengan menggunakan finite
element method.
D. Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian di atas, dapat dirumuskan tujuan dari penelitian ini
sebagai berikut
1. Membuat model matematika untuk menentukan harga opsi saham
tipe Amerika dengan pembagian deviden
2. Menghitung harga opsi saham yang tepat dengan menggunakan
finite elementmethod.
E. Sistematika Penelitian
Mengenai sistematika penelitian, penelitian ini dibagi menjadi 4 tahap :
1. Tahap awal membahas mengenai gambaran umum penelitian.
2. Tahap kedua, dianalisa terlebih dahulu mengenai Model BlackScholes tanpa pembagian deviden. Selanjutnya, mencari solusi dari
model tersebut dengan finite element method. Tahapan kedua
12
dilakukan oleh mahasiswa dengan bimbingan dosen peneliti. Topik
inilah yang kemudian akan menjadi bahan skripsi peneliti.
3. Tahap ketiga, model yang sudah ada kemudian dianalisa dan
dikembangkan, yaitu dengan melibatkan pembagian deviden.
Pengembangan model dilakukan oleh dosen peneliti.
4. Tahap terakhir, membuat kesimpulan.
13
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Saham
Saham dapat didefinisikan sebagai modal yang dikeluarkan perusahaan atau
perseroan terbatas ke masyarakat agar seseorang atau badan dapat memiliki
sebagian hak dari perusahaan. Hal ini dilakukan karena pemilik perusahaan
membutuhkan modal untuk proses produksi, pengembangan usaha dan
investasi lainya dalam perusahaannya. Apabila perusahaan menjual sahamnya,
maka perusahaan harus berbagi kepemilikan perusahaan dengan pemegang
saham (stockholder) dan berbagi keuntungan yang didapat oleh perusahaan.
B. Opsi saham
Definisi 2.1 (Pham, 2007:5)
Opsi saham adalah suatu perjanjian atau kontrak antara penjual opsi saham
dengan pembeli opsi saham dimana penjual opsi saham menjamin adanya
hak (bukan kewajiban) dari pembeli opsi saham untuk membeli atau menjual
saham tertentu dengan harga tertentu pada waktu yang telah ditentukan.
Disebut dengan opsi saham karena pemegang atau pembeli opsi saham
mempunyai pilihan (opsi saham) untuk menggunakan opsi saham tersebut
sesuai kontak selama masa berlaku atau tidak menggunakannya sampai habis
masa berlaku. Perlu diperhatikan bahwa penjual opsi saham memberikan hak
untuk membeli atau menjual saham kepada pembeli opsi saham. Apabila
pembeli opsi saham menggunakan haknya maka penjual opsi saham wajib
menjual saham atau membeli saham sesuai kontrak. Jika pembeli opsi saham
tidak menggunakan haknya sampai batas waktu yang telah ditentukan maka
kontrak opsi saham akan kadaluwarsa dan tidak bernilai. Hak yang dimiliki
pembeli opsi saham diperoleh dengan membayarkan premi opsi saham
kepada penjual opsi saham.
Menurut Hull (2006:5), berdasarkan waktu pengunaanya opsi saham
dibedakan menjadi dua, yaitu
14
1. Opsi saham tipe Eropa
Opsi saham tipe Eropa adalah opsi saham yang dapat dipergunakan hanya
pada waktu tanggal kadaluwarsa.
2. Opsi saham tipe Amerika
Opsi saham tipe Amerika adalah opsi saham yang dapat dipergunakan
sebelum waktu tanggal kadaluwarsa atau pada tanggal kadaluwarsa.
C. Model Harga Saham
Menurut Ruey [10], mengenai hipotesis efisiensi pasar bahwa harga saham
merupakan gerak random. Hipotesis efisiensi pasar ini dipengaruhi oleh dua
faktor yaitu keadaan saham pada waktu lalu yang berpengaruh pada harga
saham saat ini dan respon saham terhadap informasi baru tentang saham.
Berdasarkan kedua faktor ini dapat dikatakan bahwa perubahan harga saham
mengikuti proses Markov. Proses Markov merupakan proses stokastik dimana
harga saat ini berpengaruh untuk memprediksi harga yang akan datang. Harga
saham dilambangkan dengan S dan waktu dilambangkan dengan t. Perubahan
harga saham dinyatakan dengan dS pada interval waktu dt. Model umum
return dari saham dinyatakan dengan yang terdiri atas dua bagian. Bagian
pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan dengan µdt. Ukuran
dari rata-rata pertumbuhan harga saham atau yang lebih dikenal dengan drift
ditunjukkan sebagai µ, sedangkan bagian kedua merupakan model perubahan
harga saham secara random yang disebabkan oleh faktor eksternal. Faktor
eksternal dilambangkan dengan dWt. Nilai  didefinisikan sebagai volatilitas
saham yang digunakan untuk mengukur standar deviasi dari return dan dapat
dinyatakan sebagai fungsi dari S dan t. Nilai µ dan  dapat diestimasi
menggunakan harga saham pada hari sebelumnya. Model harga saham yang
dipengaruhi oleh nilai µ dan  dengan masing-masing bergantung pada S dan
t dirumuskan sebagai berikut,
dS
 dt  dW
S
t
(1.1)
dengan
15
µ adalah nilai ekspektasi return,
 adalah volatilitas saham yang merupakan standar deviasi dari return,
Wt adalah gerak Brown atau proses Wiener.
Jika volatilitasnya nol ( = 0) maka model menjadi
dS
 dt .
S
(1,2)
Jika diketahui µ konstan maka model menjadi
1
 dS  dt
S
(1.3)
St = S0 µ et ,
(1.4)
St
S0
atau
dengan St merupakan harga saham saat t dan S0 merupakan harga saham saat t
mula-mula.
D. Model Black-Scholes
Berbagai model telah dikembangkan untuk menentukan nilai teoritis opsi
saham. Model penerapan harga opsi saham (Option Pricing Model) Black–
Scholes adalah model yang dikembangkan oleh Fisher Black dan Myron
Scholes pada tahun 1973 untuk menilai opsi saham. Dalam menurunkan
model penetapan harga opsi saham beli, Black dan Scholes menentukan hal–
hal berikut.
a. Harga opsi saham beli C merupakan fungsi dari harga saham S dan waktu t
sehingga dinotasikan dengan C = C(S,t) .
b. Harga strike (K).
c. Waktu jatuh tempo (T).
d. Tingkat bunga bebas resiko (r).
e. Volatilitas harga saham ( ).
16
E. Deviden
Deviden merupakan keuntungan perusahaan yang dibagikan kepada
pemegang saham. Biasanya tidak seluruh keuntungan perusahaan dibagikan
kepada pemegang saham, tetapi ada bagian yang ditanam kembali. Besarnya
deviden yang diterima oleh pemegang saham ditentukan dalam Rapat Umum
Pemegang Saham (RUPS) perusahaan tersebut. Perusahaan tidak selalu
membagikan deviden kepada para pemegang saham karena tergantung kepada
kondisi perusahaan itu sendiri. Artinya jika perusahaan mengalami kerugian
tentu saja deviden tidak akan dibagikan pada tahun tersebut. Pembagian
deviden pada saham merupakan proses stokastik. Pada saat ex-devidend,
saham akan mengalami penurunan harga. Hal ini menyebabkan nilai opsi
saham beli naik dan nilai opsi saham jual turun. Model Black-Scholes harga
opsi saham tipe Eropa dengan pembagian deviden dilakukan dengan cara
mengasumsikan bahwa nilai saham merupakan jumlah dari dua komponen,
yaitu komponen bebas resiko yang akan digunakan untuk membagikan
deviden selama jangka waktu opsi saham dan komponen tidak bebas resiko
yang akan digunakan untuk membagikan deviden selama waktu opsi saham
terpotong oleh waktu ex-devidend. Nilai present value deviden PV(q) adalah
PV(q) = qe-(T-t), (1.5)
dengan
q adalah deviden per lembar saham yang akan dibayarkan,
r adalah tingkat suku bunga bebas resiko dan
t adalah ex-devidend (periode antara tanggal penandatangan kontrak hingga
tanggal pembagian deviden).
17
BAB III
METODE PENELITIAN
Penelitian ini termasuk dalam penelitian kajian. Metode yang
digunakan dalam penelitian ini adalah dengan menganalisa perilaku opsi
saham selanjutnya merepresentasikannya kedalam suatu model matematis
dengan tujuan dapat ditentukan harga opsi saham yang memberikan
keuntungan atau setidaknya meminimalkan resiko kerugian atas pembelian
saham.
18
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Model Black–Scholes Harga Opsi Tipe Amerika dengan
Pembagian
Deviden
Berbagai model telah dikembangkan untuk menentukan harga teoritis
opsi. Model Black–Scholes adalah model yang dikembangkan oleh Fisher Black
dan Myron Scholes pada tahun 1973 untuk menentukan harga opsi tipe Eropa
berupa persamaan diferensial parsial berorder dua. Pengembangan model BlackScholes terus dilakukan sehingga dapat digunakan untuk menentukan harga opsi
tipe Amerika, dan memenuhi asumsi-asumsi yang semakin mendekati keadaan
sebenarnya. Asumsi-asumsi yang digunakan pada model Black-Scholes adalah
sebagai berikut :
i.
Volatilitas dan rata-rata pertumbuhan harga saham konstan.
Asumsi yang digunakan adalah volatilitas dan rata-rata pertumbuhan harga
saham konstan sepanjang umur opsi.
ii.
Perubahan harga saham bersifat acak
Asumsi yang digunakan adalah perubahan harga saham
bersifat acak
mengikuti gerakan Brown.
iii.
Suku bunga bebas resiko konstan
Model Black-Scholes menggunakan dua asumsi terkait suku bunga bebas
resiko. Pertama, suku bunga pinjaman dan pemberian pinjaman adalah
sama. Asumsi kedua adalah suku bunga bersifat konstan dan berlaku sama
sepanjang umur opsi.
iv.
Perdagangan opsi tidak dipungut pajak dan biaya transaksi
Asumsi yang digunakan adalah pada perdagangan opsi tidak dipungut
pajak ataupun biaya transaksi yang meliputi komisi dan
spread pada
proses perdagangan saham dan opsi, serta biaya-biaya lain
terkait
perdagangan opsi.
19
v.
Tidak ada peluang arbitrase bebas resiko
Asumsi ini digunakan pada model Black-Scholes untuk membangun
portofolio cegah resiko yang memuat kontrak opsi dengan saham sebagai
aset yang mendasari.
vi.
Pembagian dividen bersifat kontinu sepanjang umur opsi
Asumsi yang digunakan adalah dividen dibagikan dengan proporsi tertentu
secara konstan dan kontinu sepanjang umur opsi. Perdagangan opsi
bersifat kontinu Perdagangan opsi diasumsikan dapat dilaksanakan tidak
hanya pada jam-jam perdagangan, namun dapat dilaksanakan sewaktuwaktu. Asumsi ini memungkinkan opsi tipe Amerika dapat dieksekusi
sewaktu-waktu sepanjang umur opsi dengan mengabaikan jam-jam
perdagangan opsi.
Dari asumsi pertama, kedua, keenam dan ketujuh, model harga saham yang
memenuhi asumsi-asumsi tersebut adalah model harga saham
dS
  dt   d W (1)
S
dengan, S merupakan fungsi harga saham atas waktu t , dan µ merupakan
rata-rata pertumbuhan harga saham persatuan waktu , σ volatilitas harga saham,
W merupakan gerakan Brown, dan q adalah proporsi deviden yang dibayarkan .
Harga opsi dinyatakan sebagai fungsi atas harga saham S dan waktu t .
Misalkan fungsi V merupakan fungsi harga opsi, dan T merupakan batas umur
opsi, daerah asal fungsi V adalah
Dv  {( S , t ) : 0  S  , 0  t  T } .
Fungsi V diasumsikan terdifirensial dua kali terhadap S , dan satu kali
terhadap t. Apabila S memenuhi Persamaan (1), maka menurut Lemma Itô
diperoleh

V V 1 2 2  2 V 
V
d V  (   q) S

  S
dt   S
d W (2)
2 
S t 2
S 
S

Dalam pembentukan model Black-Scholes, unsur stokastik pada Persamaan (2)
dihilangkan dengan membentuk portofolio berdasarkan strategi cegah resiko.
20
Dibentuk portofolio bernilai  yang memuat penjualan satu kontrak opsi dan
pembelian saham sebanyak
V
lembar. Berdasarkan strategi tersebut, nilai
S
portofolio  pada saat t sebesar
  V 
V
S (3)
S
Dan dari asumsi keenam model Black-Scholes di atas diperoleh perubahan
nilai portofolio dalam waktu singkat adalah,
d   d V 
V
V
dS  qS
dt (4)
S
S
Subtitusi Persamaan (2) ke Persamaan (4), sehingga diperoleh
d   d V 
  S
V
V
dS  qS
dt
S
S

V
V
V
V V 1 2 2  2 V 
dS  qS
dt (5)
d W  (   q) S

  S
dt 
2 
S
S
S
S t 2
S 

Selanjutnya subtitusi Persamaan (1) ke Persamaan (5), diperoleh
 V 1 2 2  2 V
V 
 
  S
 qS
dt (6)
2
S
S 
 t 2
Diketahui laju perubahan nilai portofolio proporsional dengan nilai awal
portofolio, dengan konstanta proporsi sebesar tingkat suku bunga bebas resiko
konstan r. Sehingga dari persamaan (3) dapat diperoleh,
V 

d   r V 
S dt (7)
S 

Opsi dapat dieksekusi lebih awal yang mengakibatkan pertumbuhan nilai
portofolio yang memuat opsi menjadi lebih besar atau sama dengan portofolio
yang diinvestasikan ke instrumen bebas resiko dan berkembang sepanjang sisa
umur opsi. Dari pilihan tersebut dan persamaan (6) dan (7) dapat diperoleh
hubungan di bawah ini,
 V 1 2 2  2 V
V 
V 


  S
 qS
dt  r  V 
S dt

2
S
S 
S 

 t 2
21

V 1 2 2  2 V
V
  S
 (r  q)
S  r V  0 (8)
2
t 2
S
S
Untuk menyelesaikan Model Black–Scholes Opsi Tipe Amerikadiperlukan
kajian lanjutan mengenai syarat batas dan nilai awal opsi tipe Amerika.
B. Nilai awal dan Syarat Batas Opsi Tipe Amerika
Didefinisikan C ( S , t ) dan P ( S , t ) berturut-turut sebagai harga opsi beli dan opsi
jual pada saat t dan harga saham S .
1.
Nilai awal dan Syarat Batas Opsi Beli Tipe Amerika
Batas eksekusi opsi beli Sc  t  dapat didefinisikan sebagai
Sc (t )  inf{S | C (S , t )  S  E}
Misalkan fungsi harga opsi V, disubtitusi dengan fungsi harga opsi jual C,
sehingga harga opsi beli memiliki daerah asal Dv. Dv dibagi menjadi kedalam dua
daerah oleh batas eksekusi, yakni daerah kelanjutan (continuation region) dan
daerah eksekusi (exercise region). Harga opsi beli pada Dv dijelaskan pada
persamaan Persamaan Jamshidian opsi beli tipe Amerikayaitu
C 1 2 2  2C
C
  S
 (r  q)
S  rC  (qS  rE ) H (S  Sc (t ))
2
t 2
S
S
Dengan H fungsi heaviside. Selain batas eksekusi, nilai awal dan syarat batas
yang harus dipenuhi adalah sebagai berikut:
a) Pada saat tanggal kadaluwarsa, harga opsi beli memenuhi
C (S , T )  max( S  E,0),
0  S  Smax
b) Pada saat harga saham sama dengan nol, maka harga opsi beli mencapai
titik terendah yakni nol.
C (0, t )  0, 0  t  T
c) Pada saat harga saham mencapai harga maksimal, maka harga opsi beli
mencapai titik tertinggi yakni,
22
C ( Smax , t )  Smax  E, 0  t  T
Masalah nilai awal dan syarat batas Opsi Beli tipe Amerika adalah
C 1 2 2  2C
C
  S
 (r  q)
S  rC  (qS  rE ) H (S  Sc (t ))
2
t 2
S
S
C (S , T )  max( S  E,0),
0  S  Smax
Sc (t )  inf{S | C ( S , t )  S  E}
Sc (T )  E
C (0, t )  0, 0  t  T
C ( Smax , t )  Smax  E, 0  t  T
2.
untuk ( S , t )  D .
(9)
Nilai awal dan Syarat Batas Opsi Jual Tipe Amerika
Batas eksekusi opsi jual S p  t  dapat didefinisikan sebagai
SP (t )  sup{S | P( S , t )  E  S}
Misalkan fungsi harga opsi V, disubtitusi dengan fungsi harga opsi jual P,
sehingga harga opsi jual memiliki daerah asal Dv. Dv dibagi menjadi kedalam dua
daerah oleh batas eksekusi, yakni daerah kelanjutan (continuation region) dan
daerah eksekusi (exercise region). Harga opsi jual pada Dv dijelaskan pada
persamaan Persamaan Jamshidian opsi jual tipe Amerika yaitu
P 1 2 2  2 P
P
  S
 (r  q) S  rP  (rE  qS ) H ( S  S P (t ))
2
t 2
S
S
Selain batas eksekusi, nilai awal dan syarat batas yang harus dipenuhi adalah
sebagai berikut:
a) Pada saat tanggal kadaluwarsa, harga opsi jual memenuhi
P(S , T )  max( E  S ,0),
0  S  Smax
b) Pada saat harga saham sama dengan nol, maka harga opsi jual mencapai
titik maksimal yakni sebesar harga eksekusi E.
P(0, t )  E , 0  t  T
23
c) Pada saat harga saham mencapai harga maksimal, maka harga opsi jual
sama dengan nol.
P(Smax , t )  0, 0  t  T
Masalah nilai awal dan syarat batas Opsi Jual tipe Amerika adalah
P 1 2 2  2 P
P
  S
 (r  q)
S  rP  (qS  rE )  H ( Sc (t )  S )
2
t 2
S
S
S p (t )  sup{S | P( S , t )  E  S}
P(S , T )  max( E  S ,0),
0  S  Smax
S p (T )  E
P(0, t )  E , 0  t  T
untuk ( S , t )  D .
P(Smax , t )  0, 0  t  T
(10)
C. Penyelesaian Model Black-Scholes dengan Pembagian Deviden Menggunakan
FEM
Finite Element Methods (FEM) adalah suatu teknik untuk mencari solusi
hampiran dari masalah nilai awal dan syarat batas. Pada metode ini, langkah awal
penentuan solusi adalah merubah masalah nilai awal dan syarat batas ke bentuk
weak formulation, kemudian dilanjutkan dengan membagi domain solusi menjadi
sejumlah berhingga subdomain. Langkah diakhiri dengan mencari solusi hampiran
pada setiap subdomain yang diasumsikan sebagai anggota ruang fungsi tertentu.
Misalkan
(0, Smax ) 
dan
V  H 01 (0, S max )
adalah
ruang
Hibert.
Diasumsikan solusi Sistem (3.44) merupakan elemen dari ruang V . Agar
memenuhi syarat batas Dirichlet homogeny pada V , dilakukan transformasi pada
harga opsi beli C ( S , t ) sebagai berikut,
U (S , t )  y(S )  C (S , t )
dimana
24
y(S ) 
Smax  E
S.
Smax
Akibatnya, Sistem (9) menjadi
U 1 2 2  2U
U
  S
 (r  q )
S  rU  F ( S , Sc (t ))
2
t 2
S
S
Sc (t )  inf{S | U (S , t )  U (S , T )}
U (S , T )  y(s)  max(S  E,0),
0  S  Smax
Sc (T )  E
U (0, t )  0, 0  t  T
U ( Smax , t )  0
untuk ( S , t )  D .
(12)
Didefinisikan operator diferensial
1
2

L   2 S 2 2  (r  q )
 rI .
2
S
S
Akibatnya diperoleh persamaan
U
 L U  F ( S , Sc (t )) .
t
(13)
Diberikan operasi hasil kali
, 
dalam dalam ruang L2 (0, SM ) yang
didefinisikan dengan
u, v  u(S ), v(S )
[0, Smax ]

Smax
0
u(S )v(S )dS
Mengalikan Persamaan (13) dengan fungsi tes v V , diperoleh
U
, v  LU , v  F, v .
t
(14)
Hasil operasi L U , v dijabarkan sebagai berikut,
25
LU , v  
2
2
S
U
v
U
.
,S
 (r  q   2 ) S
,v  r U,v
S
S
S
(15)
Permasalahan pada Persamaan (13) menjadi mencari U V yang memenuhi
Persamaan (15) untuk v V .
Diberikan N , M   , domain t akan dibagi menjadi N
subdomain
sedangkan domain S akan dibagi menjadi M subdomain. Misalkan ukuran tiap
interval subdomain t adalah k dan ukuran tiap interval subdomain S adalah h ,
akibatnya diperoleh k  T
N
dan h 
Smax
M
. Dipilih Vh sebagai subruang V
yang terdiri dari polinominal-polinominal berderajat satu, kontinu sepotongsepotong dan jumlahnya berhingga. Subruang Vh terdiri dari semua fungsi v yang
memenuhi
v[ Si1 ,Si ]  P1 ([Si 1 , Si ]), v(0)  v(SM )  0 , v  C[Si 1 , Si ]
Pembagian ruang V menjadi subruang Vh mengakibatkan permasalahan pada
Persamaan (14) berubah menjadi mencari uh Vh sedemikian sehingga
uh
, vh  Luuh , vh  F , vh ,
t
untuk vh Vh .
Subruang
Vh memiliki
(16)
basis
i ( S )i 1
M 1
,
sehingga
Vh  span{1 ,..., M 1} . Fungsi i adalah fungsi “hat” dimana i ( S j )   ij untuk
setiap i dan j , dengan  ij delta kronecker.
Fungsi u hj merupakan elemen subruang Vh , sehingga u hj merupakan
kombinasi linier dari basis Vh , yakni
M 1
uhj ( S )    i ji ( S ),
(17)
i 1
Solusi Persamaan (16) pada saat t j cukup dengan menentukan nilai  i j pada
Persamaan (17). Dalam notasi vektor,  i j dapat dinyatakan sebagai
T
 j  1j ,  2j ,...,  Mj 1  .
26
1. Perhitungan pada saat t N
Batas eksekusi numerik S cN , diperoleh dari batas eksekusi pada saat T , yakni
Sc (T )  E . Agar lebih memudahkan perhitungan, digunakan titik nodal Sl
sedemikian sehingga
ScN  Sl
dimana Sl 1  Sc (T )  Sl , l 0,1, 2,..., M  . Pemilihan ini didasarkan pada
| Sc (T )  ScN | h .
Pada saat T harga U ( S , T ) dapat dihitung menggunakan Persamaan (1.15),
sedangkan solusi hampiran uhN dicari dengan memililih uhN sebagai proyeksi
orthogonal dari U ( S , T ) di ruang Vh . Didefinisikan uhN sebagai
M 1
uhN ( S )    iN i ( S ) .
(18)
i 1
Akibat dari U ( S , T )  V , dengan Teorema Proyeksi Orthogonal diperoleh
persamaan
M 1


U
(

,
T
)

iNi  , l  0 .


i 1


(19)
2. Perhitungan pada saat t N 1
Turunan parsial U tehadap t dihampiri menggunakan rumus selisih mundur
dua titik Euler. Hampiran turunan U terhadap t pada saat t N 1 didefinisikan
dengan
U ( S , t N 1 ) U ( S , t N )  U ( S , t N 1 )
.

t
k
(20)
Subtitusi hampiran turunan U terhadap t pada Persamaan (20) ke Persamaan
(14) diperoleh
uhN 1  uhN ( S )  k L uhN ( S )  kF ( S , S cN ) ,
(21)
27
dengan u hN 1 adalah solusi hampiran U N 1 ( S ) V pada subruang Vh . Dipilih
fungsi i Vh sebagai fungsi tes, dan mengalikannya ke kedua ruas Persamaan
(21), diperoleh
uhN 1 , i  uhN  k L uhN  kF ( S , ScN ), i
 (1  kr ) uhN , i 
u N 
u N
k 2
S h , S i  k (r  q   2 ) S h , i
2
S
S
S
k F ( S , ScN ), i .
(22)
Akibat dari
M 1
uhN 1 , i    Nj 1  j , i ,
j 1
maka uhN 1 , i dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yakni
uhN 1 , i  A .
Matriks A memiliki entri-entri
i , i 
2h
h
h
, i 1 , i  , i 1 , 1 
3
6
6
Bagian ruas kanan Persamaan (22) yakni
(1  kr ) uhN , i 
u N 
u N
k 2
S h , S i  k (r  q   2 ) S h , i
2
S
S
S
dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, misalkan matriks B  bij  dengan
entri


k 2
bij  (1  kr )  j , i 
S j ,S i
2
S
S
 k (r  q   2 ) S
Didefinisikan
 j
S
, i .
fi N  k F ( S , ScN ), i , untuk i  1, 2,..., M  1 . Ada tiga
kemungkinan harga Si terkait dengan S cN , akibanya nilai f i N menjadi
28
fi N

k F1 , i [ S S ]
i 1, i 1,


 k F1 , i [ S S ]  k F2 , i
i 1, i ,

k F2 , i [ S S ]

i 1, i 1,
Si  ScN
[ Si , Si 1, ]
Si  ScN
Si  ScN
dengan
F1  qS (
E  Smax
)
Smax
F2  qS (
E  Smax
)  (qS  rE ) .
Smax
Diperoleh
fi N
 
qE 
Si  ScN
k  q 
 hSi ,
Smax 
 
 
2
qEhSi rEh 
  hSi h 
N
  k 
 q 

 , Si  S c
6 
Smax
2 
  2

 k   qE hS  rEh  ,
Si  ScN
i
  Smax

Misalkan f N merupakan vektor kolom sedemikian sehingga
T
f N   f1N , f 2N ,..., f MN1  .
Persamaan (1.29) menjadi
A N 1  B N  f N .
(23)
Matriks A merupakan matriks tridiagonal dominan, sehingga Persamaan (23)
dapat diselesaikan dengan menggunakan berbagai macam metode eliminasi.
Batas ekseskusi pada saat t N 1 ditentukan dengan mendefinisikan parameter
relaksasi  yang dikaitkan dengan k dan h ,  didefinisikan sebagai
 


  maks min  k 2  k  h  ,104 ,108 .
Batas ekseskusi numerik ditentukan sebagai berikut,


ScN 1  min Si  ScN | uhN 1 ( Si )  U (T , S )   .
1i  M 1
29
3. Perhitungan pada saat t j , j  N  2,...,1, 0
Solusi hampiran U j ( S ) dihitung dengan skema yang hampir sama dengan
perhitungan pada saat t N 1 . Perbedaannya terletak pada penggunaan skema tiga
titik untuk hampiran turunan U terhadap t di titik t j (Kang et al, 2008:279).
Persamaan (14) menjadi
uhj  2 ( S )  uhj ( S ) 1
  L uhj  2 ( S )  L uhj ( S )   F ( S , Scj 1 )
2k
2
(24)
dimana uhj  2 dan Scj 1 telah diketahui nilainya dari perhitungan sebelumnya.
Dari Persamaan (24) diperoleh
( I  k L )uhj ( S )  ( I  k L )uhj  2 ( S )  2kF ( S , S cj 1 ) .
(25)
Dipilih fungsi i Vh sebagai fungsi test dan mengalikan i pada kedua ruas
Persamaan (25) diperoleh
( I  k L )uhj , i  ( I  k L )uhj  2 , i  2kF ( S , Scj 1 ), i .
Subtitusi Persamaan (22) ke Persamaan (25) diperoleh
(1  kr ) uhj , i 
u j 
u j
k 2
S h , S i  k (r  q   2 ) S h , i
2
S
S
S
 (1  kr ) uhj  2 , i 
j 2
h
 (1  kr ) u
u j  2 
u j  2
k 2
S h , S i  k (r  q   2 ) S h , i
2
S
S
S
uhj  2 i
uhj  2
k 2
2
, i 
S
,S
 k (r  q   ) S
, i
2
S
S
S
2k F ( S , Scj 1 ), i .
(26)
Ruas kiri Persamaan (26) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yakni
(1  kr ) uhj , i 
u j 
u j
k 2
S h , S i  k (r  q   2 ) S h , i
2
S
S
S
uhj i
k 2
 2 u , i  (1  kr ) u , i 
S
,S
2
S
S
j
h
j
h
30
k (r  q   2 ) S
uhj
, i
S
  2 A  B  j .
Sedangkan ruas kanan Persamaan (26) menjadi
j 2
h
(1  kr ) u
uhj  2 i
uhj  2
k 2
2
, i 
S
,S
 k (r  q   ) S
, i
2
S
S
S
2k F ( S , Scj 1 ), i  B j  2  2 f  j 1
T
dengan  j  1j ,  2j ,...,  Mj 1  , untuk j  N  2,..., 2,1, 0 .
Misalkan
f
j 1
  f1 j 1 , f 2j 1 ,..., f Mj 11 
T
dimana
 
qE 
Si  Scj  2
k  q 
 hSi ,
S
max 
 
 
2
qEhSi rEh 
  hS h 
j 2
fi j 1   k   i   q 

 , Si  S c
2
6
S
2

max

 

 k   qE hS  rEh  ,
Si  Scj  2
  Smax i

Persamaan (26) akan menjadi
(2 A  B) j  B j 2  2 f
untuk
j  N  2,...,1, 0 .
j 1
(27)
Persamaan
(27)
dapat
diselesaikan
dengan
menggunakan berbagai metode eliminasi sehingga diperoleh nilai  j .
Solusi hampiran uh0 ( S ) dan harga opsi pada saat t  0 adalah
C ( Si , 0)  y ( Si )  uh0 ( Si )
Batas eksekusi pada saat j  N  2,...,1, 0 ditentukan sebagai berikut,


Scj  min Si  Scj 1 | uhj ( Si )  uhj 1 ( Si )   .
1i  M 1
Penentuan harga dan batas eksekusi pada opsi jual dapat dilakukan secara
analog. Transformasi harga opsi jual P menjadi
31
W ( S , t )  y P ( S )  P( S , t )
dimana
yP ( S )  E
Smax  S
.
Smax
D. Simulasi Numerik
Dibentuk algoritma untuk menentukan harga opsi dan batas eksekusi opsi beli tipe
Amerika.
Algoritma 3.1
Untuk menentukan harga opsi beli C (0, S ) dan batas eksekusi opsi beli
S c tipe Amerika
Input : E , T , r , q,  , M , N
Output : C (0, S ) dan S ci atau pesan “error”
Langkah-langkah :
1. Hitung :
1) uhN
2) S cN
2. Hitung :
1) u hN 1
2) S cN 1
3. FOR j  N  2,...,1, 0 DO
1) u hj
2) S cj
3) Hitung C (0, S )
4. C (0, S )  C ( S1 ), C ( S 2 ),..., C ( S M 1 ) 
T
5. STOP
Perhitungan numerik untuk harga dan batas eksekusi opsi tipe Amerika
berdasarkan Algoritma 3.1 dan Algoritma 3.2, menggunakan software Matlab
R2010a pada komputer dengan spesifikasi CPU P4 2.4GHz, RAM 2040MB.
32
1. Hasil Perhitungan Numerik Opsi Beli
Diperoleh suatu kasus dimana diketahui parameter-parameter input perhitungan
sebagai sebagai berikut :
T  1 ,   0.32 , r  0.1, q  0.05 E  10 . Dipilih
M  365 dan N  365 . Sebagian hasil perhitungan harga dan batas eksekusi opsi
beli pada saat t  0 , disajikan pada Tabel 1 berikut,
Tabel 1. Hasil perhitungan numerik opsi beli
S
C
14.0000
1.1400
15.0548
1.5775
15.5342
1.7994
16.0137
2.0355
Sc
21.4795
Dari Tabel 1, diperoleh harga opsi sebesar $1.8 (dengan pembulatan). untuk
harga saham $15.5. Gambar 1 memperlihatkan mesh hasil perhitungan numerik
harga opsi beli di seluruh domain D , sedangkan Gambar 2 memperlihatkan batas
eksekusi opsi beli
Gambar 1. Mesh hasil numerik harga opsi beli
33
Pada Gambar 1, fungsi payoff opsi beli ditunjukan dengan kurva berwarna
hitam. Dapat dilihat bahwa harga opsi beli lebih besar atau sama dengan nilai
fungsi payoff opsi beli. Selain itu, harga opsi beli monoton naik terhadap harga
saham, dan monoton turun terhadap waktu. Pada saat t  0 , kurva harga opsi beli
berupa kurva lengkung. Semakin mendekati tanggal kadaluwarsa kurva harga opsi
beli memiliki bentuk mendekati kurva fungsi payoff opsi beli, sedangkan pada
saat t  T , kurva harga opsi beli merepresentasikan fungsi payoff opsi beli.
22
Batas Eksekusi (Sc)
21
20
19
18
17
16
0
50
100
150
200
Waktu (t)
250
300
350
400
Gambar 2. Plot hasil numerik batas eksekusi opsi beli
Pada domain waktu terdapat 365 titik nodal, sedangkan umur opsi selama
satu tahun. Akibatnya, setiap titik nodal pada domain waktu menunjukkan satu
satuan hari. Pada Gambar 2, dapat dilihat perilaku monoton turun dari batas
eksekusi opsi beli terhadap waktu, dapat dilihat pada hari opsi akan dibeli ( t  0 )
sampai opsi berumur 217 hari ( t  217 ), batas eksekusi opsi bernilai $21.5
(dengan pembulatan). Selanjutnya batas eksekusi opsi akan terus turun sampai
titik terendah, yakni pada tanggal kadaluwarsa opsi ( t  365 ) sebesar $16.
34
2. Hasil Perhitungan Numerik Opsi Jual
Misalkan pada tanggal 7 Juni 2012 suatu kontrak opsi jual tipe Amerika
atas saham perusahaan ABC dijual seharga $6 dengan masa berlaku opsi
selama satu tahun dan harga eksekusi sebesar $16. Harga saham perusahaan
ABC pada tanggal 7 Juni 2012 sebesar $15.5. Diasumsikan perusahaan ABC
membagikan dividen secara kontinu dengan proporsi konstan sebesar 5%. Dari
data historis diketahui harga saham perusahaan ABC memiliki volatilitas
sebesar 0.32, sedangkan suku bunga bebas resiko diketahui sebesar 10%.
Dari data tersebut diketahui parameter-parameter untuk input perhitungan
sebagai berikut : T  1 ,   0.32 , r  0.1, q  0.05 E  10 . Dipilih M  365 dan
N  365 . Sebagian hasil perhitungan yang diperoleh, disajikan pada Tabel 2
berikut,
Tabel 2. Hasil perhitungan numerik opsi jual
SP
S
C
14.0000
6.0298
15.0548
5.5420
2.9726
15.5342
5.3335
16.0137
5.1327
Dari hasil perhitungan yang disajikan pada Tabel 2, diperoleh harga opsi
sebesar $5.3 (dengan pembulatan). Oleh karena itu, investor sebaiknya tidak
membeli opsi karena harga opsi di pasar seharga $6, lebih mahal dari harga
opsi hasil perhitungan $5.3.
35
Cputime dari perhitungan menggunakan Algoritma 3.1 adalah 2.0588
detik. Selanjutnya, Gambar 3 memperlihatkan mesh hasil perhitungan numerik
harga opsi jual di seluruh domain D .
Gambar 3. Mesh hasil numerik harga opsi jual
Pada Gambar 3, fungsi payoff opsi jual ditunjukan dengan kurva berwarna
hitam. Dapat dilihat bahwa harga opsi jual lebih besar atau sama dengan nilai
fungsi payoff opsi jual. Selain itu, harga opsi jual monoton turun terhadap
harga saham, dan monoton naik terhadap waktu. Pada saat t  0 , kurva harga
opsi jual berupa kurva lengkung. Selanjutnya, semakin mendekati tanggal
kadaluwarsa kurva harga opsi jual memilki bentuk mendekati kurva fungsi
payoff opsi jual, sedangkan pada saat t  T , kurva harga opsi jual
merepresentasikan fungsi payoff opsi jual.
36
16
14
Batas Eksekusi (Sp)
12
10
8
6
4
2
0
50
100
150
200
Waktu (t)
250
300
350
400
Gambar 4. Plot hasil numerik batas eksekusi opsi jual
Pada domain waktu terdapat 365 titik nodal, sedangkan umur opsi selama
satu tahun. Akibatnya, setiap titik nodal pada domain waktu menunjukkan satu
satuan hari. Pada Gambar 4, dapat dilihat perilaku monoton naik dari batas
eksekusi opsi jual terhadap waktu, pada hari opsi akan dibel ( t  0 ) sampai
opsi berumur 332 hari ( t  332 ), batas eksekusi opsi bernilai $3 (dengan
pembulatan). Selanjutnya batas eksekusi opsi akan terus naik sampai titik
tertinggi, yakni pada tanggal kadaluwarsa opsi ( t  365 ) sebesar $16.
37
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
Dari hasil pembahasan, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
1. Penentuan batas eksekusi opsi tipe Amerika model Black-Scholes
menggunakan Finite Elements Method dibagi menjadi beberapa tahap
sebagai berikut :
a. Memformulasikan
batas
eksekusi
opsi
secara
matematis
berdasarkan sifat-sifat yang telah diketahui.
b. Memilih parameter relaksasi untuk mengubah formula batas
eksekusi opsi yang telah diperoleh menjadi formula batas eksekusi
opsi numerik.
c. Menentukan batas eksekusi opsi numerik sepanjang umur opsi.
2. Penentuan harga opsi tipe Amerika model Black-Scholes menggunakan
Finite Elements Method dibagi menjadi beberapa tahap berikut :
a. Memodelkan opsi tipe Amerika berdasarkan kerangka pemodelan
Black-Scholes. Model yang diperoleh berupa sistem persamaan
yang terdiri atas persamaan diferensial parsial orde dua
nonhomogen, nilai awal dan syarat batas.
b. Mengasumsikan solusi dari sistem sebagai anggota ruang Hilbert.
Trasnformasi sistem agar solusi memenuhi syarat keanggotaan
ruang Hilbert. Mengubah model ke bentuk weak formulation.
38
DAFTAR PUSTAKA
Gunzburger, Max.D dan Peterson, Janet.S. 2009. Finite Element Methods. Jurnal.
Hull, John. 2006. Option, Futures, and Other Derivative Securities. New Jersey:
Prentice Hall.
Kang, S. Kim dan T. Kwon, Y. 2008. Finite Element Methods for The Price and
The Free Boundary of American Call and Put Option. J.KSIAM Vol
12, No.4.
Pham, Keith. 2007. Finite Element Modelling of Multi-Asset Barrier options.
Desertasi, University of Reading.
Topper, Jürgen. 2005. Option Pricing with Finite Element. Wilmott Magazine.
39
LAMPIRAN – LAMPIRAN
40
Lampiran 1
Program Matlab untuk Opsi Beli
Program MATLAB opsi beli
%------------------------------------------------------------------------%
%Penentuan Harga dan Batas Eksekusi Opsi Beli Tipe Amerika
%Model Black-Scholes
%Menggunakan Finite Element Method (FEM)
%Oleh : Ade Latif, Matematika 2008, Universitas Negeri Yogyakarta
% -----------------------------------------------------------------------%
input_opsi_beli;
%Memanggil
input(dari:input_opsi_beli.m)
tic;
%------Perhitungan pada Level Waktu ke-N (T-tanggal kadaluwarsa)---------%
ScN=E;
%Syarat batas bebas
pada saat N
alphaN=S*(Smax-E)/Smax-max(S-E,0);
%Nilai alpha^N
u=alphaN';
batas1=ScN;
C1=max(S-E,0)';
%------Perhitungan pada Level Waktu ke-(N-1)-----------------------------%
a=eye(I,I);b=ones(I-1,1);
%Matriks
pembentuk
A=2*h/3*a+h/6*diag(b,1)+h/6*diag(b,-1);
%Matriks A (Mass
Matrice)
A=sparse(A);
%--Entri-entri matriks B--%
S1=[h:h:Smax-h];
%Nilai S(i) pada
diagonal utama
S2=[h:h:Smax-2*h];
%Nilai S(i) pada
diagonal atas
41
S3=[2*h:h:Smax-h];
%Nilai S(i) pada
diagonal bawah
B1=(1-k*r)*A;
%Matriks B1
B2=-k*sig/2*(diag((2*S1.^2)/h+2*h/3)+diag(S2-(S2.^2)/hh/3,1)+diag(-(S3+(S3.^2)/h+h/3),-1));%Matriks B2
B3=k*(r-q-sig^2)*((-h/3)*a+(h/6*diag(b,1)diag(S2/2,1))+(h/6*diag(b,-1)+diag(S3/2,-1)));
%Matriks B3
B=sparse(B1+B2+B3);
%Matriks B
%--Entri-entri matriks f^N--%
s1=find(S<ScN);
Z1=S(s1);
f1=k*(q-q*E/Smax)*Z1;
s2=find(S==ScN);
Z2=S(s2);
f2=k*((h*Z2/2-(h^2)/6*ones(1,size(Z2,2)))*qq*E*h*Z2/Smax+r*E*h/2*ones(1,size(Z2,2)));
s3=find(S>ScN);
Z3=S(s3);
f3=k*(-q*E*h*Z3/Smax+r*E*h*ones(1,size(Z3,2)));
f=[f1 f2 f3]';
%Matriks f^N
%--Solusi pada level waktu N-1--%
alphaN_1=A\(B*u)+A\f;
%Nilai alpha^(N-
1)
C2=(S*(Smax-E)/Smax)'-alphaN_1;
%------Perhitungan pada Level Waktu N-2,N-3,...,0------------------------%
%--Syarat batas bebas pada saat N-1--%
w=alphaN_1;
L=abs(u-w);
Sc=find(L<epsilon);
Scn=S(Sc);
Sm=find(Scn>=ScN);
bb=isempty(Sm);
if bb==1
display('error')
return
42
end
ScN=Scn(min(Sm));
%Nilai Syarat batas bebas pada
saat N-1
batas2=ScN;
%--Entri-entri matriks f^(N-1)--%
s1=find(S<ScN);
Z1=S(s1);
f1=k*(q-q*E/Smax)*Z1;
s2=find(S==ScN);
Z2=S(s2);
f2=k*((h*Z2/2-(h^2)/6*ones(1,size(Z2,2)))*qq*E*h*Z2/Smax+r*E*h/2*ones(1,size(Z2,2)));
s3=find(S>ScN);
Z3=S(s3);
f3=k*(-q*E*h*Z3/Smax+r*E*h*ones(1,size(Z3,2)));
f=[f1 f2 f3]';
%Matriks f^(N-1)
%--Mulai iterasi--%
for i=1:I-1
alpha=(2*A-B)\(B*u)+(2*A-B)\f;
%Nilai alpha^j
L=abs(w-alpha);
u=w;
w=alpha;
Sc=find(L<epsilon);
Scn=S(Sc);
Sm=find(Scn>=ScN);
bb=isempty(Sm);
if bb==1
display('error')
iterasi_ke=i
break
end
ScN=Scn(min(Sm));
H(1,i)=ScN;
%Sc(j)
D(:,i)=alpha;
F(:,i)=(S*(Smax-E)/Smax)'-alpha;
s1=find(S<ScN);
Z1=S(s1);
f1=k*(q-q*E/Smax)*Z1;
43
s2=find(S==ScN);
Z2=S(s2);
f2=k*((h*Z2/2-(h^2)/6*ones(1,size(Z2,2)))*qq*E*h*Z2/Smax+r*E*h/2*ones(1,size(Z2,2)));
s3=find(S>ScN);
Z3=S(s3);
f3=k*(-q*E*h*Z3/Smax+r*E*h*ones(1,size(Z3,2)));
f=[f1 f2 f3]';
%f(j)
end
DD=[alphaN',alphaN_1,D];
C= [C1,C2,F];
hasil=[S',(S*(Smax-E)/Smax)'-alpha]
mm=[S*(Smax-E)/Smax]'-alpha;
lamaiterasi=toc
BATAS=[batas1 batas2 H]'
qqq=BATAS';
waktu=[M:-1:1];
[X,Y]=meshgrid(waktu,S);
if size(C)==size(X)
figure
mesh(X,Y,C);
else display('iterasi belum lengkap')
end
if size(waktu)==size(qqq)
figure
plot(qqq,waktu)
else display('iterasi belum lengkap')
end
Disimpan sebagai opsi_beli.m
44
Lampiran 2 Program Matlab untuk Opsi Jual
%------------------------------------------------------------------------%
%Penentuan Harga dan Batas Eksekusi Opsi Jual Tipe Amerika
%Model Black-Scholes
%Menggunakan Finite Element Method (FEM)
%Oleh : Ade Latif, Matematika 2008, Universitas Negeri
Yogyakarta
% -----------------------------------------------------------------------%
input_opsi_jual; %Memanggil input (dari input_opsi_jual.m)
tic;
%------Perhitungan pada Level Waktu ke-N (T-tanggal
kadaluwarsa)----------%
ScN=E;
%Syarat batas bebas pada saat N
alphaN=E*(Smax-S)/Smax-max(E-S,0);
%Nilai alpha^N
u=alphaN';
batas1=ScN;
P1=max(E-S,0)';
%------Perhitungan pada Level Waktu ke-(N-1)-----------------------------%
a=eye(I,I);b=ones(I-1,1);
%Matriks pembentuk
A=2/3*h*a+h/6*diag(b,1)+h/6*diag(b,-1);
%Matriks A (Mass Matrice)
A=sparse(A);
%--Entri-entri matriks B--%
S1=h:h:Smax-h;
%Nilai S(i) pada diagonal utama
S2=h:h:Smax-2*h;
%Nilai S(i) pada diagonal atas
S3=2*h:h:Smax-h;
45
%Nilai S(i) pada diagonal bawah
B1=(1-k*r)*A ;
%Matriks B1
B2=-k*sig/2*(diag((2*S1.^2)/h+2*h/3)+diag(S2-(S2.^2)/hh/3,1)+diag(-(S3+(S3.^2)/h+h/3),-1));%Matriks B2
B3=k*(r-q-sig^2)*((-h/3)*a+(h/6*diag(b,1)diag(S2/2,1))+(h/6*diag(b,-1)+diag(S3/2,-1)));
%Matriks B3
B=sparse(B1+B2+B3);
%Matriks B
%--Entri-entri matriks f^N--%
s1=find(S<ScN);
Z1=S(s1);
f1=k*h*(q*(Z1*(E/Smax+1)+(h^2)/3*ones(1,size(Z1,2)))+3/2*r*E*ones(1,size(Z1
,2)));
s2=find(S==ScN);
Z2=S(s2);
f2=k*h*(q*(Z2*(E/Smax+1/2)+(h^2)/6*ones(1,size(Z2,2)))+r*E*ones(1,size(Z2,2
)));
s3=find(S>ScN);
Z3=S(s3);
f3=k*E*h*(-q/Smax*Z3+r*ones(1,size(Z3,2)));
f=[f1 f2 f3]';
%Matriks f^N
%--Solusi pada level waktu N-1--%
alphaN_1=A\(B*u)+A\f;
%Nilai alpha^(N-1)
P2=(E*(Smax-S)/Smax)'-alphaN_1;
%------Perhitungan pada Level Waktu N-2,N-3,...,0------------------------%
%--Syarat batas bebas pada saat N-1--%
w=alphaN_1;
L=abs(u-w);
Sc=find(L<epsilon);
Scn=S(Sc);
46
Sm=find(Scn<=ScN);
bb=isempty(Sm);
if bb==1
display('error')
return
end
ScN=Scn(max(Sm));
%Nilai Syarat batas bebas pada saat N-1
batas2=ScN;
%--Entri-entri matriks f^(N-1)--%
s1=find(S<ScN);
Z1=S(s1);
f1=k*h*(q*(Z1*(E/Smax+1)+(h^2)/3*ones(1,size(Z1,2)))+(3/2)*r*E*ones(1,size(
Z1,2)));
s2=find(S==ScN);
Z2=S(s2);
f2=k*h*(q*(Z2*(E/Smax+1/2)+(h^2)/6*ones(1,size(Z2,2)))+r*E*ones(1,size(Z2,2
)));
s3=find(S>ScN);
Z3=S(s3);
f3=k*E*h*(-q/Smax*Z3+r*ones(1,size(Z3,2)));
f=[f1 f2 f3]';
%Matriks f^(N-1)
%--Mulai iterasi--%
for i=1:I-1
alpha=(2*A-B)\(B*u)+(2*A-B)\f;
%Nilai alpha^j
L=abs(w-alpha) ;
u=w;
w=alpha;
Sc=find(L<epsilon);
Scn=S(Sc);
Sm=find(Scn<=ScN);
bb=isempty(Sm);
if bb==1
47
display('error1')
iterasi_ke=i
break
end
ScN=Scn(max(Sm));
%Sc(j)
H(1,i)=ScN;
D(:,i)=alpha;
F(:,i)=(E*(Smax-S)/Smax)'-alpha;
s1=find(S<ScN);
Z1=S(s1);
f1=k*h*(q*(Z1*(E/Smax+1)+(h^2)/3*ones(1,size(Z1,2)))+3/2*r*E*ones(1,size(Z1
,2)));
s2=find(S==ScN);
Z2=S(s2);
f2=k*h*(q*(Z2*(E/Smax+1/2)+(h^2)/6*ones(1,size(Z2,2)))+r*E*ones(1,size(Z2,2
)));
s3=find(S>ScN);
Z3=S(s3);
f3=k*E*h*(-q/Smax*Z3+r*ones(1,size(Z3,2)));
f=[f1 f2 f3]';
%f(j)
end
DD=[alphaN',alphaN_1,D];
P=[P1,P2,F];
lamaiterasi=toc
BATAS=[batas1 batas2 H]';
qqq=BATAS';
waktu=[M:-1:1];
[X,Y]=meshgrid(waktu,S);
if size(P)==size(X)
figure
mesh(X,Y,P);
else display('error2')
if size(waktu)==size(qqq)
figure
48
plot(qqq,waktu)
else display('error3')
end
Disimpan sebagai opsi_jual.m
49
Lampiran 3
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
Hasil Perhitungan Numerik Harga Opsi
Harga Saham ( Si )
0.0959
0.1918
0.2877
0.3836
0.4795
0.5753
0.6712
0.7671
0.8630
0.9589
1.0548
1.1507
1.2466
1.3425
1.4384
1.5342
1.6301
1.7260
1.8219
1.9178
2.0137
2.1096
2.2055
2.3014
2.3973
2.4932
2.5890
2.6849
2.7808
2.8767
2.9726
3.0685
3.1644
3.2603
3.3562
3.4521
3.5479
3.6438
3.7397
3.8356
3.9315
Harga Opsi Beli
C ( Si , 0)
0.0035
0.0069
0.0104
0.0138
0.0173
0.0208
0.0242
0.0277
0.0312
0.0346
0.0381
0.0415
0.0450
0.0485
0.0519
0.0554
0.0588
0.0623
0.0658
0.0692
0.0727
0.0761
0.0796
0.0830
0.0865
0.0899
0.0933
0.0967
0.1001
0.1035
0.1068
0.1102
0.1135
0.1168
0.1201
0.1233
0.1265
0.1296
0.1327
0.1358
0.1388
Harga Opsi Jual
P(Si ,0)
15.8735
15.7869
15.7016
15.6159
15.5301
15.4442
15.3583
15.2724
15.1865
15.1007
15.0151
14.9295
14.8442
14.7591
14.6743
14.5898
14.5058
14.4223
14.3394
14.2571
14.1755
14.0946
14.0145
13.9353
13.8571
13.7798
13.7036
13.6285
13.5545
13.4817
13.4102
13.3399
13.2693
13.1983
13.1270
13.0554
12.9835
12.9114
12.8390
12.7665
12.6938
50
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
4.0274
4.1233
4.2192
4.3151
4.4110
4.5068
4.6027
4.6986
4.7945
4.8904
4.9863
5.0822
5.1781
5.2740
5.3699
5.4658
5.5616
5.6575
5.7534
5.8493
5.9452
6.0411
6.1370
6.2329
6.3288
6.4247
6.5205
6.6164
6.7123
6.8082
6.9041
7.0000
7.0959
7.1918
7.2877
7.3836
7.4795
7.5753
7.6712
7.7671
7.8630
7.9589
8.0548
8.1507
8.2466
8.3425
0.1417
0.1446
0.1473
0.1501
0.1527
0.1552
0.1577
0.1600
0.1622
0.1643
0.1663
0.1681
0.1698
0.1714
0.1728
0.1741
0.1752
0.1761
0.1768
0.1773
0.1777
0.1778
0.1777
0.1774
0.1769
0.1761
0.1751
0.1738
0.1723
0.1705
0.1684
0.1661
0.1634
0.1605
0.1573
0.1537
0.1499
0.1457
0.1412
0.1363
0.1312
0.1256
0.1197
0.1135
0.1068
0.0998
12.6209
12.5478
12.4747
12.4014
12.3280
12.2546
12.1811
12.1075
12.0339
11.9603
11.8867
11.8131
11.7395
11.6660
11.5925
11.5190
11.4457
11.3724
11.2992
11.2261
11.1531
11.0803
11.0076
10.9350
10.8626
10.7903
10.7182
10.6463
10.5746
10.5031
10.4318
10.3606
10.2897
10.2191
10.1486
10.0784
10.0085
9.9388
9.8694
9.8002
9.7313
9.6626
9.5943
9.5262
9.4585
9.3910
51
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
8.4384
8.5342
8.6301
8.7260
8.8219
8.9178
9.0137
9.1096
9.2055
9.3014
9.3973
9.4932
9.5890
9.6849
9.7808
9.8767
9.9726
10.0685
10.1644
10.2603
10.3562
10.4521
10.5479
10.6438
10.7397
10.8356
10.9315
11.0274
11.1233
11.2192
11.3151
11.4110
11.5068
11.6027
11.6986
11.7945
11.8904
11.9863
12.0822
12.1781
12.2740
12.3699
12.4658
12.5616
12.6575
12.7534
0.0924
0.0847
0.0765
0.0679
0.0590
0.0496
0.0398
0.0296
0.0190
0.0079
0.0036
0.0156
0.0280
0.0408
0.0541
0.0678
0.0820
0.0967
0.1119
0.1275
0.1436
0.1602
0.1773
0.1948
0.2129
0.2315
0.2505
0.2701
0.2901
0.3107
0.3318
0.3534
0.3755
0.3982
0.4213
0.4450
0.4692
0.4940
0.5193
0.5451
0.5715
0.5984
0.6258
0.6538
0.6823
0.7114
9.3238
9.2570
9.1904
9.1242
9.0583
8.9927
8.9274
8.8625
8.7979
8.7337
8.6697
8.6062
8.5429
8.4801
8.4175
8.3553
8.2935
8.2321
8.1710
8.1102
8.0498
7.9898
7.9302
7.8709
7.8120
7.7535
7.6953
7.6375
7.5801
7.5230
7.4663
7.4100
7.3541
7.2985
7.2434
7.1886
7.1341
7.0801
7.0264
6.9731
6.9201
6.8675
6.8153
6.7635
6.7120
6.6610
52
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
12.8493
12.9452
13.0411
13.1370
13.2329
13.3288
13.4247
13.5205
13.6164
13.7123
13.8082
13.9041
14.0000
14.0959
14.1918
14.2877
14.3836
14.4795
14.5753
14.6712
14.7671
14.8630
14.9589
15.0548
15.1507
15.2466
15.3425
15.4384
15.5342
15.6301
15.7260
15.8219
15.9178
16.0137
16.1096
16.2055
16.3014
16.3973
16.4932
16.5890
16.6849
16.7808
16.8767
16.9726
17.0685
17.1644
0.7410
0.7712
0.8020
0.8332
0.8651
0.8975
0.9305
0.9640
0.9981
1.0327
1.0679
1.1037
1.1400
1.1770
1.2144
1.2525
1.2911
1.3303
1.3701
1.4104
1.4513
1.4928
1.5349
1.5775
1.6207
1.6645
1.7089
1.7539
1.7994
1.8455
1.8923
1.9393
1.9876
2.0355
2.0851
2.1342
2.1847
2.2354
2.2868
2.3387
2.3912
2.4444
2.4981
2.5523
2.6072
2.6627
6.6102
6.5599
6.5099
6.4603
6.4110
6.3621
6.3136
6.2654
6.2176
6.1701
6.1230
6.0762
6.0298
5.9838
5.9380
5.8927
5.8477
5.8030
5.7586
5.7146
5.6710
5.6277
5.5847
5.5420
5.4997
5.4576
5.4160
5.3746
5.3335
5.2928
5.2525
5.2121
5.1727
5.1327
5.0941
5.0547
5.0164
4.9780
4.9400
4.9023
4.8649
4.8278
4.7910
4.7544
4.7181
4.6821
53
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
17.2603
17.3562
17.4521
17.5479
17.6438
17.7397
17.8356
17.9315
18.0274
18.1233
18.2192
18.3151
18.4110
18.5068
18.6027
18.6986
18.7945
18.8904
18.9863
19.0822
19.1781
19.2740
19.3699
19.4658
19.5616
19.6575
19.7534
19.8493
19.9452
20.0411
20.1370
20.2329
20.3288
20.4247
20.5205
20.6164
20.7123
20.8082
20.9041
21.0000
21.0959
21.1918
21.2877
21.3836
21.4795
21.5753
2.7187
2.7753
2.8325
2.8903
2.9487
3.0077
3.0673
3.1274
3.1881
3.2495
3.3114
3.3739
3.4370
3.5006
3.5649
3.6297
3.6952
3.7612
3.8278
3.8950
3.9627
4.0311
4.1000
4.1696
4.2397
4.3105
4.3817
4.4536
4.5261
4.5991
4.6728
4.7470
4.8218
4.8972
4.9732
5.0498
5.1270
5.2047
5.2830
5.3620
5.4415
5.5215
5.6022
5.6835
5.7653
5.8474
4.6464
4.6109
4.5757
4.5408
4.5061
4.4717
4.4376
4.4037
4.3700
4.3366
4.3035
4.2706
4.2379
4.2055
4.1733
4.1413
4.1096
4.0781
4.0468
4.0158
3.9850
3.9543
3.9239
3.8937
3.8638
3.8340
3.8044
3.7750
3.7458
3.7169
3.6881
3.6595
3.6310
3.6028
3.5747
3.5469
3.5192
3.4916
3.4643
3.4371
3.4100
3.3832
3.3565
3.3299
3.3035
3.2773
54
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
21.6712
21.7671
21.8630
21.9589
22.0548
22.1507
22.2466
22.3425
22.4384
22.5342
22.6301
22.7260
22.8219
22.9178
23.0137
23.1096
23.2055
23.3014
23.3973
23.4932
23.5890
23.6849
23.7808
23.8767
23.9726
24.0685
24.1644
24.2603
24.3562
24.4521
24.5479
24.6438
24.7397
24.8356
24.9315
25.0274
25.1233
25.2192
25.3151
25.4110
25.5068
25.6027
25.6986
25.7945
25.8904
25.9863
5.9296
6.0120
6.0946
6.1774
6.2604
6.3435
6.4269
6.5104
6.5941
6.6780
6.7620
6.8463
6.9307
7.0153
7.1001
7.1850
7.2701
7.3554
7.4409
7.5266
7.6124
7.6985
7.7847
7.8710
7.9576
8.0443
8.1312
8.2182
8.3055
8.3929
8.4805
8.5682
8.6562
8.7443
8.8326
8.9210
9.0096
9.0984
9.1874
9.2765
9.3658
9.4553
9.5449
9.6347
9.7247
9.8149
3.2512
3.2252
3.1994
3.1737
3.1482
3.1228
3.0975
3.0724
3.0474
3.0225
2.9977
2.9731
2.9486
2.9241
2.8998
2.8757
2.8516
2.8276
2.8037
2.7799
2.7563
2.7327
2.7092
2.6858
2.6625
2.6392
2.6161
2.5930
2.5700
2.5471
2.5243
2.5015
2.4788
2.4561
2.4336
2.4110
2.3886
2.3662
2.3438
2.3215
2.2993
2.2771
2.2549
2.2328
2.2108
2.1887
55
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
26.0822
26.1781
26.2740
26.3699
26.4658
26.5616
26.6575
26.7534
26.8493
26.9452
27.0411
27.1370
27.2329
27.3288
27.4247
27.5205
27.6164
27.7123
27.8082
27.9041
28.0000
28.0959
28.1918
28.2877
28.3836
28.4795
28.5753
28.6712
28.7671
28.8630
28.9589
29.0548
29.1507
29.2466
29.3425
29.4384
29.5342
29.6301
29.7260
29.8219
29.9178
30.0137
30.1096
30.2055
30.3014
30.3973
9.9052
9.9956
10.0863
10.1771
10.2681
10.3592
10.4505
10.5420
10.6337
10.7255
10.8175
10.9096
11.0019
11.0944
11.1870
11.2798
11.3727
11.4659
11.5591
11.6526
11.7462
11.8400
11.9339
12.0280
12.1222
12.2166
12.3112
12.4059
12.5008
12.5959
12.6911
12.7865
12.8820
12.9777
13.0735
13.1695
13.2657
13.3620
13.4585
13.5551
13.6519
13.7488
13.8459
13.9432
14.0406
14.1382
2.1667
2.1448
2.1228
2.1009
2.0790
2.0572
2.0354
2.0135
1.9917
1.9700
1.9482
1.9265
1.9047
1.8830
1.8613
1.8395
1.8178
1.7961
1.7744
1.7526
1.7309
1.7092
1.6874
1.6656
1.6438
1.6220
1.6002
1.5784
1.5565
1.5346
1.5127
1.4908
1.4688
1.4468
1.4248
1.4027
1.3806
1.3584
1.3362
1.3140
1.2917
1.2694
1.2470
1.2245
1.2021
1.1795
56
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
30.4932
30.5890
30.6849
30.7808
30.8767
30.9726
31.0685
31.1644
31.2603
31.3562
31.4521
31.5479
31.6438
31.7397
31.8356
31.9315
32.0274
32.1233
32.2192
32.3151
32.4110
32.5068
32.6027
32.6986
32.7945
32.8904
32.9863
33.0822
33.1781
33.2740
33.3699
33.4658
33.5616
33.6575
33.7534
33.8493
33.9452
34.0411
34.1370
34.2329
34.3288
34.4247
34.5205
34.6164
34.7123
34.8082
14.2359
14.3338
14.4318
14.5300
14.6283
14.7268
14.8255
14.9243
15.0232
15.1224
15.2216
15.3210
15.4206
15.5203
15.6202
15.7202
15.8204
15.9207
16.0212
16.1218
16.2226
16.3235
16.4246
16.5259
16.6272
16.7288
16.8305
16.9323
17.0343
17.1364
17.2387
17.3411
17.4437
17.5464
17.6493
17.7523
17.8555
17.9588
18.0622
18.1658
18.2696
18.3735
18.4776
18.5818
18.6861
18.7906
1.1569
1.1343
1.1116
1.0888
1.0659
1.0430
1.0201
0.9970
0.9739
0.9507
0.9275
0.9041
0.8807
0.8572
0.8337
0.8100
0.7863
0.7624
0.7385
0.7145
0.6904
0.6663
0.6420
0.6176
0.5931
0.5686
0.5439
0.5191
0.4943
0.4693
0.4442
0.4190
0.3937
0.3683
0.3428
0.3171
0.2914
0.2655
0.2395
0.2134
0.1872
0.1608
0.1343
0.1077
0.0810
0.0541
57
Lampiran 4
Hasil Perhitungan Batas Eksekusi
Waktu ( t )
364
363
362
361
360
359
358
357
356
355
354
353
352
351
350
349
348
347
346
345
344
343
342
341
340
339
338
337
336
335
334
333
332
331
330
329
328
327
326
325
324
323
Batas Eksekusi ( Sc (t ) )
16.0000
16.4932
17.3562
17.3562
17.8356
17.8356
18.2192
18.2192
18.5068
18.5068
18.6986
18.6986
18.8904
18.8904
18.9863
18.9863
19.1781
19.1781
19.2740
19.2740
19.3699
19.3699
19.4658
19.4658
19.5616
19.5616
19.6575
19.6575
19.7534
19.7534
19.8493
19.8493
19.9452
19.9452
19.9452
19.9452
20.0411
20.0411
20.1370
20.1370
20.1370
20.1370
Batas Eksekusi( SP (t ) )
16.0000
4.6027
4.5068
4.4110
4.3151
4.2192
4.1233
4.0274
3.9315
3.8356
3.7397
3.7397
3.7397
3.6438
3.5479
3.5479
3.5479
3.4521
3.4521
3.4521
3.3562
3.3562
3.3562
3.2603
3.2603
3.2603
3.1644
3.1644
3.1644
3.0685
3.0685
3.0685
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
58
322
321
320
319
318
317
316
315
314
313
312
311
310
309
308
307
306
305
304
303
302
301
300
299
298
297
296
295
294
293
292
291
290
289
288
287
286
285
284
283
282
281
280
279
278
277
20.2329
20.2329
20.2329
20.2329
20.3288
20.3288
20.3288
20.3288
20.4247
20.4247
20.4247
20.4247
20.4247
20.4247
20.5205
20.5205
20.5205
20.5205
20.6164
20.6164
20.6164
20.6164
20.6164
20.6164
20.7123
20.7123
20.7123
20.7123
20.7123
20.7123
20.8082
20.8082
20.8082
20.8082
20.8082
20.8082
20.8082
20.8082
20.9041
20.9041
20.9041
20.9041
20.9041
20.9041
20.9041
20.9041
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
59
276
275
274
273
272
271
270
269
268
267
266
265
264
263
262
261
260
259
258
257
256
255
254
253
252
251
250
249
248
247
246
245
244
243
242
241
240
239
238
237
236
235
234
233
232
231
21.0000
21.0000
21.0000
21.0000
21.0000
21.0000
21.0000
21.0000
21.0959
21.0959
21.0959
21.0959
21.0959
21.0959
21.0959
21.0959
21.0959
21.0959
21.1918
21.1918
21.1918
21.1918
21.1918
21.1918
21.1918
21.1918
21.1918
21.1918
21.1918
21.1918
21.2877
21.2877
21.2877
21.2877
21.2877
21.2877
21.2877
21.2877
21.2877
21.2877
21.2877
21.2877
21.2877
21.2877
21.3836
21.3836
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
60
230
229
228
227
226
225
224
223
222
221
220
219
218
217
216
215
214
213
212
211
210
209
208
207
206
205
204
203
202
201
200
199
198
197
196
195
194
193
192
191
190
189
188
187
186
185
21.3836
21.3836
21.3836
21.3836
21.3836
21.3836
21.3836
21.3836
21.3836
21.3836
21.3836
21.3836
21.3836
21.3836
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
61
184
183
182
181
180
179
178
177
176
175
174
173
172
171
170
169
168
167
166
165
164
163
162
161
160
159
158
157
156
155
154
153
152
151
150
149
148
147
146
145
144
143
142
141
140
139
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
62
138
137
136
135
134
133
132
131
130
129
128
127
126
125
124
123
122
121
120
119
118
117
116
115
114
113
112
111
110
109
108
107
106
105
104
103
102
101
100
99
98
97
96
95
94
93
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
63
92
91
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
64
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
21.4795
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
2.9726
65
Lampiran 5
1.
2.
3.
Personalia Tenaga Peneliti
Ketua Peneliti
a.
Nama lengkap
:
Nikenasih Binatari, M.Si
b.
Jenis kelamin
:
Perempuan
c.
NIP
:
19841019 200812 2 005
d.
Disiplin Ilmu
:
Matematika Terapan
e.
Pangkat/Golongan
:
Penata Muda Tk. I/IIIb
f.
Jabatan Fungsional
:
Asisten Ahli
g.
Fakultas/Jurusan
:
FMIPA/Pend. Matematika
h.
Waktu Penelitian
:
6 jam/minggu
Anggota Peneliti 1
a.
Nama lengkap
:
Rosita Kusumawati, M.Sc
b.
Jenis kelamin
:
Perempuan
c.
NIP
:
19800707 200501 2 001
d.
Disiplin Ilmu
:
Aktuaria
e.
Pangkat/Golongan
:
Penata Muda/IIIa
f.
Jabatan Fungsional
:
Asisten Ahli
g.
Fakultas/Jurusan
:
FMIPA/Pendidikan Matematika
h.
Waktu Penelitian
:
4 jam/minggu
Anggota Peneliti 2
a.
Nama lengkap
:
Ade Latif
b.
Jenis kelamin
:
Laki-laki
c.
NIM
:
08305141007
d.
Fakultas/Jurusan
:
FMIPA/Pendidikan Matematika
e.
Waktu Penelitian
:
4 jam/minggu
66