Kalkulus 1 - atinaahdika

Fungsi
Grafik Fungsi
Kalkulus 1
Fungsi dan Grafik Fungsi
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA
Universitas Islam Indonesia
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Fungsi
Definisi
Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang
menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang
disebut domain, dengan sebuah nilai f (x) dari himpunan kedua.
Himpunan dari semua nilai yang diperoleh disebut sebagai range
dari fungsi.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Bayangkan suatu mesin dengan input berupa nilai x dan
menghasilkan output bernama f (x). Setiap nilai input
berhubungan dengan sebuah nilai output. Namun, dapat juga
terjadi beberapa input yang berbeda yang memberikan output yang
sama.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Notasi Fungsi
Fungsi dapat dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst.
Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B,
maka dituliskan:
f :A→B
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Sumber: http://3.bp.blogspot.com/
A disebut domain atau daerah definisi, dinotasikan Df
B disebut kodomain atau daerah kawan dari f
Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A
disebut range atau daerah hasil, dinotasikan dengan Rf
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Natural Domain
Ketika domain dalam suatu fungsi tidak disebutkan secara spesifik,
maka kita mengasumsikan bahwa domainnya adalah himpunan
terbesar dari bilangan real di mana fungsi tersebut terdefinisi.
Daerah definisi ini disbeut natural domain.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Contoh 1
Tentukan natural domain dari
a. f (x) =
b. f (x) =
c. f (x) =
1
x+2
√ 1
9−x2
q
x
x2 −1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Penyelesaian
a. Df = {x ∈ R : x 6= −2} = R − {−2}
b. Untuk menghindari hasil akar di bagian penyebut bernilai
negatif dan nol, maka
p
9 − x2 > 0
(3 − x)(3 + x) > 0
Diperoleh
Df = {x ∈ R : −3 < x < 3} = (−3, 3)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
c. Karena suatu akar ada hanya apabila bilangan tersebut tak
negatif, maka:
r
x
≥0
2
x −1
x
≥0
2
x −1
Diperoleh
Df = {x ∈ R : −1 < x ≤ 0 atau x > 1} = (−1, 0] ∪ (1, ∞)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Contoh 2
Misalkan V (x, d) menyatakan volume batang yang berbentuk
silindris dengan panjang x dan diameter d.
Tentukan
a. Formula untuk V (x, d)
b. Domain dan range dari V
c. V (4, 0.1)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Penyelesaian
a. V (x, d) = x · π
d 2
2
=
πxd2
4
b. Karena panjang dan diameter batang harus positif, maka
domainnya adalah seluruh pasangan (x, d) di mana x > 0 dan
d > 0; Df = {x, d ∈ R : x > 0, d > 0}. Semua volume positif
adalah daerah hasil (range) yang mungkin, maka
Rf = (0, ∞).
c. V (4, 0.1) =
π·4·0.12
4
= 0.01π
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Fungsi Genap
Jika f (−x) = f (x) untuk semua x.
Contoh:
Misalkan f (x) = x2 − 2, maka
f (−x) = (−x)2 − 2 = x2 − 2 = f (x)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Fungsi Ganjil
Jika f (−x) = −f (x) untuk semua x.
Contoh:
Misalkan f (x) = x3 − 2x, maka
f (−x) = (−x)3 − 2(−x) = −x3 + 2x = −(x3 − 2x) = −f (x)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Operasi pada Fungsi
Diberikan skalar real α dan fungsi-fungsi f dan g, maka
1
(f ± g)(x) = f (x) ± g(x)
2
(αf )(x) = αf (x)
3
(f · g)(x) = f (x) · g(x)
f (x)
f
g (x) = g(x) , asalkan g(x) 6= 0
4
Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan
domain g, kecuali fg , D f = {x ∈ Df ∩ Dg : g(x) 6= 0}.
g
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Contoh 3
Jika f dan g masing-masing:
f (x) =
√
x − 1 atau g(x) =
Tentukan f + g, f − g, f · g, dan
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
f
g.
Kalkulus 1
1
x+5
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Penyelesaian
(f + g)(x) =
√
√
x−1+
1
x+5
1
x+5
(f − g)(x) = x − 1 −
√
1
(f · g)(x) = x − 1 · x+5
√
(f /g)(x) = x − 1 · (x + 5)
Karena Df = [1, ∞) dan Dg = R − {−5}, maka f + g, f − g,
f · g, dan fg masing-masing mempunyai domain: [1, ∞).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Latihan 1
1. Tentukan natural domain dari
2
a. f (x) = x24−x
√ −x−6
b. f (x) = 2x + 3
2. Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut adalah fungsi genap
atau ganjil atau bukan keduanya
a. f (x) = x2x−1
√
b. f (x) = √
3x − 2
c. f (x) = x2 + 4
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Fungsi Invers
Diberikan fungsi f : X → Y . Kebalikan (invers) fungsi f adalah
relasi g dari Y ke X, dinotasikan g = f −1 (y).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Contoh 4
Tentuka f −1 jika diketahui f (x) = 1 −
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
x−1
3x+2 .
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Penyelesaian
y = f (x) = 1 −
⇔
⇔
⇔
⇔
x−1
3x + 2
x−1
3x + 2
(1 − y)(3x + 2) = x − 1
1−y =
3x − 3xy − 2y + 2 = x − 1
2x − 3xy = 2y − 3
x = f −1 (y) =
⇔
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
2y − 3
2 − 3y
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Fungsi Komposisi
Definisi
Fungsi komposisi dari f dan g, ditulis f ◦ g, didefinisikan sebagai:
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
dengan domain Df = {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df }.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi
Natural Domain
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Operasi pada Fungsi
Fungsi Invers dan Komposisi
Contoh 5
Misalkan f (x) =
x−3
2
dan g(x) =
√
x. Kita mempunyai
√
√
x−3
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ( x) =
2
r
x−3
x−3
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g
=
2
2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
Untuk menggambarkan grafik fungsi secara manual, kita dapat
melakukan tiga langkah berikut:
1
Dapatkan koordinat dari beberapa titik yang memenuhi
persamaan/fungsi
2
Gambarkan titik-titik tersebut di sumbu koordinat
3
Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva halus
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Grafik Fungsi
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
Rumus Jarak
Rumus Jarak
Jarak di antara titik-titik P (x1 , y1 ) dan Q(x2 , y2 ) diberikan oleh
p
D = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
Contoh 6
Tentukan jarak antara titik P (−2, 5) dan Q(4, −1).
Solusi:
D=
p
√
√
(4 − (−2))2 + (−1 − 5)2 = 72 = 6 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Garis Lurus
Grafik garis lurus berasal dari fungsi dengan bentuk
y = mx + c
di mana x adalah variabel kontrol, y adalah variabel yang
diobservasi, dan m serta c adalah konstanta.
c dikenal dengan nama intercept di mana grafik
melewati/memotong sumbu-y. Untuk mendapatkan nilai c,
kita dapat menghitung y ketika x = 0
m disebut sebagai gradien dan menggambarkan seberapa
curam garis tersebut. Nilai m dapat diperoleh dengan:
m=
∆y
y2 − y1
=
∆x
x2 − x1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
Contoh 7
Grafik fungsi f (x) = 2x − 1 adalah sebagai berikut
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
Ketika x bertambah dari 1 ke 3, kita mempunyai penambahan y
yaitu dari 1 ke 5, sehingga
∆x = 3 − 1 = 2
∆y = 5 − 1 = 4
∆y
Maka gradiennya adalah m = ∆x
= 42 = 2. Intercept c adalah
ketika grafik memotong sumbu-y, dapat dilihat bahwa c = −1.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
Contoh 8
Apa persamaan fungsi dari grafik berikut?
Solusi:
1
y=− x
2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi Polinomial
Fungsi polinomial berderajat n mempunyai persamaan
f (x) = Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn
dengan n bilangan bulat non-negatif, a0 , a1 , . . . , an
bilangan-bilangan real, dan an 6= 0. Untuk membuat grafik fungsi
polinomial, maka dapat dilakukan hal-hal berikut
1
Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu-x dan sumbu-y
2
Ambil beberapa titik, masukkan ke dalam fungsi, dan
hubungkan titik-titik tersebut
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
Contoh 9
Gambarkan grafik fungsi y = x2 − 3
Solusi:
Titik potong terhadap sumbu-x (y = 0)
0 = x2 − 3
√
√
0 = (x − 3)(x + 3)
√
√
x= 3, x=− 3
√
√
diperoleh pasangan titik (− 3, 0) dan ( 3, 0).
Titik potong terhadap sumbu-y (x = 0)
y = −3
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Grafik Fungsi
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
Contoh 10
Gambarkan grafik


2x, jika 0 ≤ x < 1
f (x) = x2 , jika 1 ≤ x < 4


3, jika x ≥ 4
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Grafik Fungsi
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
Latihan 2
2x
1. Tentukan fungsi invers dari f (x) = 3x−1
.
√
2
2. Misalkan f (x) = x2 − 1 dan g(x) = x . Tentukan
a. (f ◦ g)(x)
b. (g ◦ f )(x)
c. f 4 (x) + g 4 (x)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
3. IMUNISASI Misalkan selama program suatu negara untuk
memberikan imunisasi pada populasi penduduk untuk
melawan suatu virus influenza tertentu, lembaga-lembaga
pelayanan kesehatan menghitung bahwa biaya untuk
menyuntik x% populasi penduduk mendekati suatu fungsi
150x
juta dolar.
C(x) = 200−x
a. Tentukan natural domain dari C.
b. Untuk nilai x yang mana agar fungsi C(x) dapat
diinterpretasikan dalam kehidupan nyata?
c. Berapa biaya yang dibutuhkan untuk menyuntik 50% pertama
dari populasi?
d. Berapa biaya yang dibutuhkan untuk menyuntik 50% kedua
dari populasi?
e. Berapa persentase populasi yang disuntik ketika biaya yang
dihabiskan adalah sebesar 37.5 juta dolar?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
4. ALIRAN DARAH Para ahli biologi menemukan bahwa
kecepatan darah di arteri merupakan suatu fungsi jarak darah
dari pusat arteri. Berdasarkan hukum Poiseuille, kecepatan
darah (dalam cm/s) yang berjarak r cm dari pusat arteri
dapat dituliskan dalam suatu fungsi S(r) = C(R2 − r2 ), di
mana C adalah suatu konstanta dan R adalah jari-jari arteri.
Misalkan untuk suatu arteri tertentu, C = 1.76 × 105 dan
R = 1.2 × 10−2 cm.
a. Hitunglah kecepatan darah pada pusat arteri.
b. Hitunglah kecepatan darah pada saat berada di tengah-tengah
antara dinding arteri dengan pusat arteri.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1
Fungsi
Grafik Fungsi
Grafik Fungsi
5. POLUSI UDARA Emisi timbal adalah penyebab utama polusi
udara. Dengan menggunakan data yang telah dikumpulkan
oleh Agen Perlindungan Lingkungan AS pada tahun 1990,
dapat ditunjukkan bahwa formula
N (t) = −35t2 + 299t + 3, 347
merupakan estimasi jumlah total emisi timbal N (dalam
ribuan ton) terjadi di AS t tahun setelah tahun 1990.
a. Sketsakan grafik fungsi polusi N (t)
b. Perkirakan seberapa banyak emisi timbal pada tahun 1995
menggunakan formula tersebut (jumlah aktualnya adalah
sekitar 3,924 ribu ton).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus 1