611.23.052 Asuransi Jiwa

611.23.052 Asuransi Jiwa
Bab 1: Tabel Mortalitas dan Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA
Universitas Islam Indonesia
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Asuransi Jiwa
Asuransi Jiwa
Pendahuluan
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Asuransi Jiwa
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Asuransi Jiwa
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Asuransi Jiwa
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Asuransi Jiwa
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Asuransi Jiwa
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Asuransi Jiwa
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Asuransi Jiwa
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Asuransi Jiwa
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Tabel Mortalitas
Tabel Mortalitas
Tabel Mortalitas
Tabel mortalitas merupakan tabel yang berisi peluang seseorang meninggal
menurut umurnya dari kelompok orang yang diasuransikan (pemegang
polis asuransi). Di bawah adalah potongan tabel mortalitas (CSO 1960)
yang berasal dari Amerika Serikat.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Tabel Mortalitas
Tabel Mortalitas
..
.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Tabel Mortalitas
Tabel Mortalitas
x menyatakan usia yang dicapai.
lx menyatakan jumlah orang yang tepat berusia x. Kelompok orang
seperti ini mempunyai ciri yang sama (di sini sama saat lahirnya)
disebut kohort. l0 pada tabel dipilih agak sembarang dan disebut
radix.
dx menyatakan jumlah orang yang meninggal antara usia x dan x + 1.
Banyaknya dx diperoleh dari
dx = lx − lx+1
Contoh: d0 = l0 − l1 = 10, 000, 000 − 9, 916, 800 = 83, 200
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Tabel Mortalitas
Tabel Mortalitas
qx menyatakan peluang seseorang berusia x akan meninggal antara
usia x dan x + 1 tahun lagi. Nilai qx diperoleh dari
qx =
Contoh: q4 =
d4
l4
=
16,272
9,861,567
dx
lx − lx+1
=
lx
lx
= 0.00165
e̊x menyatakan harapan hidup pada usia x (rata-rata usia yang akan
ditempuh oleh anggota kohort yang berusia x). e̊0 = 66.86 tahun
berarti bahwa menurut tabel CSO 1960, seseorang yang baru lahir,
pada rata-ratanya dapat mengharapkan akan mencapai usia 66.86
tahun.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Tabel Mortalitas
Tabel Mortalitas
Contoh:
Misalkan diketahui l6 = 9, 829, 641 orang dan q5 = 0.00159. Hitunglah l5
dan d5 !
Jawab:
d5
l5 − l6
=
l5
l5
q5 l5 = l5 − l6
q5 =
0.00159 l5 = l5 − 9, 829, 641
0.99841 l5 = 9, 829, 641
l5 = 9, 845, 295
Sehingga diperoleh d5 yaitu
d5 = l5 − l6 = 9, 845, 295 − 9, 829, 641 = 15, 654
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Tabel Mortalitas
Tabel Mortalitas
Cara Membuat Tabel Mortalitas
Misalkan suatu perusahaan asuransi memiliki data yang mencakup usia
antara 43 tahun sampai 47 tahun sebagai berikut:
Usia
43
44
45
46
47
Banyaknya yang Diamati
3602
4233
5817
1849
4651
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Banyaknya yang Meninggal
27
34
50
17
46
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Tabel Mortalitas
Tabel Mortalitas
Hitung peluang meninggal selama setahun
Usia
43
44
45
46
47
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Peluang Meninggal Setahun
0.00750
0.00803
0.00860
0.00919
0.00989
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Tabel Mortalitas
Pilih radix (sembarang),
x
43
44
45
46
47
48
Perhitungan:
misalkan
lx
100000
99250
98453
97606
96709
95753
Tabel Mortalitas
dipilih
dx
750
797
847
897
956
l43 = 100000, maka
qx
0.00750
0.00803
0.00860
0.00919
0.00989
d43 = l43 · q43 = (100000)(0.00750) = 750
l44 = l43 − d43 = 100000 − 750 = 99250
d44 = l44 · q44 = (99250)(0.00803) = 796.98 ≈ 797
l45 = l44 − d44 = 99250 − 797 = 98453
..
.
dst
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang
Peluang Hidup Seseorang
Misalkan terdapat seseorang yang berusia x, maka t px menyatakan
peluang seseorang yang berusia x tersebut akan hidup selama t tahun lagi.
t px
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
=
lx+t
lx
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang
Contoh:
Berdasarkan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa peluang
orang yang berumur 43 tahun akan hidup sampai umur 44 tahun?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang
Contoh:
Berdasarkan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa peluang
orang yang berumur 43 tahun akan hidup sampai umur 44 tahun?
Penyelesaian:
l44
99250
=
= 0.9925
l43
100000
atau
p43 =
p43 = 1 − q43 = 1 − 0.0075 = 0.9925
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang
Peluang Meninggal Seseorang
Sedangkan t qx menyatakan peluang seseorang yang berusia x akan
meninggal dalam t tahun, atau dengan kata lain peluang seseorang berusia
x akan meninggal antara waktu x dan x + t.
t qx
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
= 1 −t px
lx+t
=1−
lx
lx − lx+t
=
lx
d
t x
=
lx
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang
s/t qx menyatakan peluang seseorang yang berusia x akan hidup s tahun
dan meninggal dalam t tahun kemudian, yaitu meninggal antara usia x + s
dan x + s + t tahun. Maka
s/t qx
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
lx+s − lx+s+t
lx
t dx+s
=
lx
=
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang
Contoh:
Dengan menggunakan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa
peluang seseorang yang berusia 43 tahun akan meninggal antara usia 45
dan 47 tahun?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang
Contoh:
Dengan menggunakan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa
peluang seseorang yang berusia 43 tahun akan meninggal antara usia 45
dan 47 tahun?
Penyelesaian:
2/2 q43
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
l45 − l47
l43
98453 − 96709
=
100000
= 0.01744
=
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang
Contoh Soal
1. Misalkan keluarga mempunyai dua orang anak, masing-masing berusia
6 dan 10 tahun. Hitunglah peluang tepat seorang anak akan
meninggal sebelum usia 40 tahun!
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang
Contoh Soal
1. Misalkan keluarga mempunyai dua orang anak, masing-masing berusia
6 dan 10 tahun. Hitunglah peluang tepat seorang anak akan
meninggal sebelum usia 40 tahun!
Penyelesaian:
Terdapat dua kemungkinan pada kasus tersebut:
a. Anak pertama meninggal, maka anak kedua hidup
b. Anak pertama hidup, maka anak kedua meninggal
Sehingga solusinya adalah
=30 q10 ·34 p6 +34 q6 ·30 p10
l10 − l40 l40 l6 − l40 l40
=
·
+
·
l10
l6
l6
l10
l40 (l10 + l6 − 2 l40 )
=
l6 · l10
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang
2. Buktikan bahwa:
a.
s/t qx
=s px . t qx+s
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang
2. Buktikan bahwa:
a.
s/t qx
=s px . t qx+s
Solusi:
s px
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
. t qx+s
lx+s − lx+s+t
lx+s
·
=
lx
lx+s
lx+s − lx+s+t
=
lx
=s/t qx
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
b.
s+t px
Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang
=s px −s/t qx
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
b.
Peluang Hidup dan Meninggal Seseorang
=s px −s/t qx
Solusi:
s+t px
s px
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
−s/t
lx+s
−
qx =
lx
lx+s+t
=
lx
=s+t px
lx+s − lx+s+t
lx
611.23.052 Asuransi Jiwa
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23
Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa
Latihan
Latihan
1
Selesaikan tabel berikut
x
95
96
97
98
99
100
101
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
qx
0.3
0.4
0.5
0.6
0.8
1
0
lx
2500
611.23.052 Asuransi Jiwa
dx
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
/ 23