Matriks, Barisan (sequence), Deret (summafions)

Matriks, Barisan (sequence), Deret (summa)ons) “Learning is not child's play, we cannot learn without pain.” -­‐Aristotle Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 1 Matriks Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 2 Aritme=ka Matriks •  Penjumlahan Syarat: matriks harus berukuran sama Contoh: ! 1 2 $ ! 1 2 $ ! 2 4 $
#
& #
& #
&
# 3 4 &+# 1 2 & = # 4 6 &
#" 5 6 &% #" 1 2 &% #" 6 8 &%
Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 3 Aritme=ka Matriks •  Produk Jika matriks M adalah matriks m x n, dan matriks N adalah matriks n x p, maka MN adalah sebuah matriks m x p. Contoh: ! 1 2 $
! 2 3 4 $#
& ! 12 15 $
#
&# 2 1 & = #
" 1 2 1 %# 1 2 & " 6
"
%
&
6 %
Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 4 Matrik Iden=tas dan Perpangkatan •  Matriks iden=tas Jika A matriks m x n, AIn = ImA = A •  Perpangkatan: A0 = In A3 = AAA A4 = AAAA Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 5 Matriks Transpose dan Matriks Simetris •  Matriks Transpose Contoh: ! 1
A = #
" 4
2 3 $
&
5 6 %
Maka transpose matriks A adalah: ! 1 4 $
#
&
t
A =# 2 5 &
#" 3 6 &%
•  Matriks Simetris Suatu matriks B dikatakan simetris jika B = Bt Contoh: ! 1 1 0 $
#
&
t
B = B =# 1 0 1 &
#" 0 1 0 &%
Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 6 Matriks Nol-­‐Satu Matriks nol-­‐satu hanya berisi angka nol atau satu. Operasi join dan meet: Join " 1!1 0 !1
! 1 0 $
A = #
& A!B =$
" 0 1 %
! 1 1 $
B =#
&
" 0 1 %
% " 1 0 %
'=$
'
# 0 ! 0 1!1 & # 0 1 &
" 1!1 0 !1 % " 1 1 %
A!B =$
'=$
'
# 0 ! 0 1!1 & # 0 1 &
Meet Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 7 Produk Boolean Produk boolean hampir sama dengan produk, namun operasi penjumlahan digan= dengan v sedangkan operasi perkalian digan= dengan ∧. Contoh notasi: A ! B
Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 8 Barisan Contoh: 1
Sebuah barisan { a n } dimana: an =
n
a1, a2 , a3, a4 ,...
1 1 1
1, , , ,...
2 3 4
Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 9 Barisan Aritme=ka (analogi diskrit dari fungsi linier f(x) = dx + a) Barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap. a n = a 1 + (n-­‐1)b a n = Suku ke-­‐n a 1 = Suku pertama b = Beda antar Suku contoh: • 
• 
2, 5, 8, 11, 14,.. à ditambah 3 100, 95, 90, 85, 80, à dikurang 5 Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 10 Barisan Geometri (analogi diskrit dari fungsi eksponensial f(x) = arx) Barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan yang tetap. a n = arn-­‐1 an = suku ke-­‐ n a = suku pertama r = rasio antar suku berurutan contoh: • 
• 
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,.. à dikali 2 80, 40, 20, 10, 5, 2½,..
à dikali 1/2 Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 11 Recurrence Rela=on Recurrence rela)on untuk barisan {an} adalah persamaan yang menyatakan an dalam satu atau lebih suku sebelumnya, yaitu a0, a1, a2, … an-­‐1, untuk semua bilangan bulat n > n0, dimana n adalah bilangan bulat non-­‐nega=f. Contoh: Barisan Fibonacci f0 = 0
Kondisi awal/inisial f1 = 1
f =
f + f untuk n = 2, 3, 4, … Leonardo Pisano Bigollo n
n!1
n!2
a.k.a. Fibonacci Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret 12 Agi Putra Kharisma, ST., MT. Formula Tertutup (1) Jika kita berhasil membuat suatu persamaan yang memenuhi recurrence rela)on serta menghilangkan kondisi awalnya, dikatakan kita telah memecahkan recurrence rela)on beserta kondisi awalnya. Persamaan yang dihasilkan disebut dengan formula tertutup. Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 13 Formula Tertutup (2) Contoh: Tentukan formula tertutup untuk recurrence rela)on berikut a0 = 2; an = an-­‐1 + 3 untuk n = 1,2,3,4,5,… Solusi: a0 = 2 a1 = 2 + 3 a2 = (2 + 3) + 3 = 2 + 3.2 a3 = (2 + 2.3) + 3 = 2 + 3.3 … Formula tertutup, an = 2 + 3(n) untuk n = 0,1,2,3,4,5,… tanpa kondisi awal Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 14 Deret Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. n
am + am+1 +... + an
aj
!
j=m
Contoh: 5
3+ 5 + 7 + 9 +11 = 35
! 2 j +1
j=1
Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 15 Bentuk Tertutup Deret juga dapat dinyatakan dalam bentuk tertutup, beberapa yang cukup berguna adalah: Telescoping Sum Sumber: Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema)cs and Its Applica)ons Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 16 •  Deret Aritme=ka n
Dn = (2a + (n !1)b)
2
Telescoping Sum •  Deret Geometris n
a(1! r )
Dn =
(1! r)
Keterangan: Dn : Jumlah deret suku ke-­‐n a : Suku pertama b : beda antar suku berurutan r : rasio antar suku berurutan Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 17 Faktorial n! = n.(n-­‐1).(n-­‐2)…3.2.1 Jika n = 0, n! = 1. Jika n > 1, n! = n.(n-­‐1)! Contoh: Pendefinisian secara rekursif 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 18 La=han 1.  Tentukan formula eksplisit barisan berikut: a.  -­‐1, 1, -­‐1, 1, -­‐1, 1, -­‐1, … b.  0, 1, -­‐2, 3, -­‐4, 5, … c.  1/4, 2/9, 3/16, 4/25, 5/36, 6/49, … 2.  Tulis deret berikut dalam notasi deret (summa)on): 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + 72 3.  Gabungkan deret berikut dalam satu notasi n
deret (summa)on): n
2
2
2" (3k + 4) + 5" (2k !1)
k=1
k=1
Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 19 La=han 4.  Pada deret di bawah, ubah dengan variabel: j = k – 1 n+1
! k $
'#" n + k &%
k=1
Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 20 Referensi Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema)cs and Its Applica)ons 7th Ed. Rinaldi Munir. Matema)ka Diskrit edisi ke)ga. Susanna S .Epp. Discrete Mathema)cs with Applica)ons 4th Ed. Matema(ka Komputasi -­‐ Matriks, Barisan, dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 21