modul 4 peubah acak

MODUL 4
PEUBAH ACAK
Pengantar
Suatu percobaan melempar mata uang yang setimbang sebanyak 3 kali. Ruang
sampel dari percobaan tersebut adalah
S= { AAA, AGG, AGA, AAG, GAG, GGA , GAA, GGG }
Suatu kejadian A : dari ketiga lemparan banyaknya gambar sejumlah 2 sehingga
P(A) = 3/8
Suatu kejadian B : dari ketiga lemparan banyaknya angka sejumlah 3 sehungga
P(B) = 1/8
Suatu kejadian C : dari ketiga lemparan banyaknya gambar sejumlah 1 sehingga
P(C) = 3/8
Permasalahan di atas , lebih mudah kiranya jika didefinisikan suatu fungsi yang
memetakan setiap elemen dari ruang sampel ke suatu bilangan Real
Peubah Acak adalah suatu fungsi yang bernilai bilangan real yang
didefinisikan atas ruang sampel. Peubah acak dinyatakan dengan huruf kapital
misalkan X, Y, Z dan lain sebagainya , sedangkan nilainya dinyatakan sebagai
huruf kecil padanannya misalnya x, y, z . Peubah acak dapat dikatakan sebagai
usaha untuk menumeriskan kejadian dari suatu percobaan.
Definisi
Peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang
sampel ke bilangan Real.
X:S
R
Dengan demikian permasalahan di atas , dapat didefinisikan suatu peubah acak
X,
MODUL PELUANG PRODI MAT .UB 2014- - 22
dimana X : menyatakan banyaknya gambar yang muncul dari ketiga
lemparan
sedangkan nilai-nilainya adalah x: 0, 1, 2, 3
S
R
P(A) = P(X= ) =
0
1
P(B) = P(X= ) =
P(C) = P(X= ) =
2
3
Jenis peubah acak
Berdasarkan jumlah elemen pada ruang sampel, peubah acak. secara umum
dibedakan menjadi dua yaitu peubah acak diskret dan peubah acak kontinu.
Peubah acak diskret : adalah suatu peubah acak , ruang sampelnya
mengandung titik yang berhingga banyaknya atau tak hingga banyaknya
namun terbilang.
Peubah acak kontinu : adalah suatu peubah acak , ruang sampelnya
mengandung titik yang tak berhingga banyaknya .( ruang sampelnya
dense/padat pada suatu interval bilangan Real )
Peubah acak campuran :adalah gabungan dari peubah acak diskret dan
kontinu
MODUL PELUANG PRODI MAT .UB 2014- - 23
Contoh
Dua dadu bersisi 6 dilemparkan dan angka yang muncul diamati. Misalkan
X suatu peubah acak yang menyatakan jumlah angka pada mata dadu yang
muncul. Bila yang muncul mata dadu pertama adalah 4 dan kedua adalah 6,
maka nilai x adalah 10 dan seterusnya.
Soal :
1. Berilah contoh jenis peubah acak diskret
2. Berilah contoh jenis peubah acak kontinu
Langkah berikutnya adalah menemtukan distribusi peluangnya. Distribusi
peluang dapat dinyatakan sebagai kumpulan dari nilai-nilai peluang untuk semua
harga dari ruang sampelnya.
X
P(X=x)
S
ei
B={a 0a1}
A
xi
ai
P( X(ei)=xi ) = ai
P( X = xi ) = ai
DEFINISI :
Distribusi peluang atau fungsi kepadatan peluang (probability density
function) dari suatu peubah acak diskret didefinisikan  x  X
p(x) = P( X=x) = P( s  S ; X(s) = x)
yang bersifat :
p( x)  0
 p ( x)  1
xX
MODUL PELUANG PRODI MAT .UB 2014- - 24
Contoh :
Pengiriman 8 PC yang sama ke suatu toko memuat 3 PC yang cacat. Bila suatu
lembaga pendidikan membeli 2 komputer secara acak,
a. Distribusi peluang ( fungsi kepadatan peluang ) banyaknya yang cacat !
b. Grafik dari fungsi kepadatan peluang
Jawab :
Misal X : banyaknya komputer yang cacat yang dibeli oleh lembaga pendidikan
x:0,1,2
 3  5 
 0  2 
10
p (0)     
28
8 
 2
 
 3  5 
1 1  15
p (1)     
28
8 
 2
 
 3  5 
 2 1 
3
p (2)     
8
28
 
 2
 
a. Distribusi peluang dari X
x
0
1
2
p(x)
10/28
15/28
3/28
2
 p( x)  1
x 0
b.Grafik dari fkp
p(x)
0
1
2
x
MODUL PELUANG PRODI MAT .UB 2014- - 25
Selain fungsi kepadatan peluang perlu juga dibahas tentang fungsi
distribusi kumulatif.
Definisi
Fungsi distribusi kumulatif atau FD dari peubah acak X, didefinisikan untuk
semua bilangan Real a, -∞ < a < ∞, dengan
FX(a) = P(X ≤ a)
Dengan kata lain bahwa FX(a) adalah peluang bahwa peubah acak X
mengambil nilai kurang dari atau sama dengan a. Beberapa sifat dari fungsi
distribusi kumulatif.:
1. F adalah fungsi yang tidak turun : jika a  b maka F(a) ≤ F(b)
2. lim F (a)  1
a 
3.
lim F (a)  0
a  
4. F adalah fungsi yang kontinu dari kanan. , lim F ( x   )  F ( x)
 0
Preposisi:
P(a  X  b)  F (b)  f (a  )
p(a  X  b)  F (b)  F (a)
P( X  x)  F ( x  )
P( X  x)  F ( x  )  F ( x  )
P( X  x)  1  P( X  x)  1  F ( x)
Contoh
Fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak X diberikan oleh
0
x
2
 2
F ( x)  
3
11
12
1
x0
0  x 1
1 x  2
2 x3
3 x
MODUL PELUANG PRODI MAT .UB 2014- - 26
Hitung :
a. P(X<3)
b. P(X=1)
c. P(X>1/2)
d. P(2<X≤4)
Jawab
a. P(X<3) = 11/12
b. P(X=1) = P(X1)-P(x<1) = 2/3 – 1/2 = 1/6
c. P(X>1/2) = 1 – P(X1/2) = 1-
1/ 2
=3/4
2
d. P(2<X≤4) = P(X≤4)- P(X≤2) = 1 – 11/12 = 1/12
SOAL:
Bila diketahui fungsi distribusi kumulatif peubah acak diskret Y adalah sebagai
berikut
Y
0
1
2
3
F(y)
0.2
0.5
0.8
1.0
Hitung :
a. P(Y>2)
b. P(1≤Y≤3)
c. P(Y=2)
SOAL:
Jika diketahui fungsi kepadatan peluang dari X sebagai berikut :
X
1
2
3
4
p(x)
0.4
0.3
0.2
0.1
a.Dapatkan fungsi distribusi kumulatifnya !
b. Gambarkan Fungsi distribusinya !
SOAL :
Dapatkan FD dari soal pembelian 2 PC kemudian gambar grafiknya !
MODUL PELUANG PRODI MAT .UB 2014- - 27