matematika diskrit

MATEMATIKA
DISKRIT
By
DIEN NOVITA
BAB I LOGIKA
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Proposisi & Proposisi Majemuk
Tabel kebenaran
Hukum-hukum logika
Disjungsi Eksklusif
Proposisi bersyarat ( implikasi)
Varian proposisi bersyarat
Bikondisional ( biimplikasi)
1.1 Proposisi & Proposisi Majemuk

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang
bernilai benar(true) atau salah(false), tetapi tidak
keduanya. Nama lain proposisi adalah kalimat
terbuka.

Proposisi Majemuk adalah proposisi yang
diperoleh dari pengkombinasian beberapa
proposisi (proposisi atomik)

Operator yang digunakan untuk
mengkombinasikan proposisi disebut
operator logika.

Operator Logika Dasar yaitu :
◦ dan (and)
operator biner
◦ atau (or)
◦ tidak (not)
operator uner
1.2 Tabel Kebenaran

Misalkan p dan q adalah proposisi
◦ Konjungsi (conjunction) p dan q dinyatakan
dengan notasi p Λ q adalah proposisi p dan q.
◦ Disjungsi (disjunction) p dan q dinyatakan
dengan notasi p ν q adalah proposisi p atau q.
◦ Ingkaran (negation) dari p dinyatakan dengan
notasi ~p adalah proposisi tidak p

Untuk menentukan nilai kebenaran
proposisi majemuk adalah dengan tabel
kebenaran (truth table).

Tabel kebenaran menampilkan hubungan
antara nilai kebenaran dari proposisi
atomik.

T menyatakan True (benar).

F menyatakan False (salah).
Tabel Kebenaran Konjungsi
p
q
pΛq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
p
q
pνq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
Tabel Kebenaran Disjungsi
p
~p
T
F
F
T
1.3 Hukum-Hukum Logika
1.
Hukum Identitas
◦ pνFp
◦ pΛTp
2.
Hukum Null / dominasi
◦ pΛFF
◦ pνTT
3.
Hukum Negasi
◦ p ν ~p  T
◦ P Λ ~p  F
4.
Hukum idempoten
◦ pνpp
◦ pΛpp
Hukum Involusi (negasi ganda)
◦ ~(~p)  p
6. Hukum Penyerapan (absorpsi)
5.
◦ p ν (p Λ q)  p
◦ p Λ (p ν q)  p
7.
Hukum Komutatif
◦ pνqqνp
◦ pΛqqΛp
8.
Hukum asosiatif
◦ p ν (q ν r)  (p ν q) ν r
◦ p Λ (q Λ r)  (p Λ q) Λ r
9.
Hukum Distributif
◦ p ν (q Λ r)  (p ν q) Λ (p ν r)
◦ p Λ (q ν r)  (p Λ q) ν (p Λ r)
10.
Hukum De Morgan
◦ ~(p Λ q)  ~p ν ~q
◦ ~(p ν q)  ~p Λ ~q
11.
Implikasi dan Bi-implikasi
◦ p  q  ~p ν q
◦ p  q  (p  q) Λ (q  p)
1.4 Disjungsi Eksklusif

Definisi
Misalkan p dan q adalah proposisi. Disjungsi eksklusif
(exclusive or) p dan q dinyatakan dengan notasi p  q, adalah
proposisi yang bernilai benar bila hanya salah satu dari p dan
q benar, selain itu nilainya salah.
Tabel kebenaran disjungsi eksklusif :
p q pq
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
T
F
1.5 Proposisi Bersyarat
(Implikasi)
Proposisi Bersyarat (Implikasi/kondisional) adalah pernyataan yang
berbentuk “jika p, maka q” dan dilambangkan dengan pq.
Proposisi p disebut hipotesis(antesendent,promis, atau kondisi) dan
proposisi q disebut konklusi (konsekuen).
Tabel kebebenaran proposisi bersyarat (implikasi) :
p q
T
T
F
F
T
F
T
F
pq
T
F
T
T
1.6 Varian Proposisi Bersyarat
Terdapat bentuk implikasi lain yang merupakan varian dari
implikasi, yaitu jika terdapat implikasi p  q
Maka :
konversnya adalah
: qp
inversnya adalah
: pq
kontraposisinya adalah :  q   p
Contoh
Jika n adalah bilangan prima  3,
maka n adalah bilangan ganjil.
Tentukan konvers, invers & kontraposisinya !
Jawab
Misal
p : n adalah bilangan prima  3
q : n adalah bilangan ganjil
Implikasi
:
pq
Konvers
:
qp
Invers
:
p   q
Kontraposisi :
q  p
1.7 Bikondisional (Bi-implikasi)
Bi-implikasi atau bikondisional adalah proposisi
bersyarat yang berbentuk “p jika dan hanya jika q”.
Tabel kebebenaran bi-implikasi atau bikondisional :
p q
T
T
F
F
T
F
T
F
pq
T
F
F
T