R. Johnsonbaugh, Discrete Mathematics 5th edition, 2001

advertisement
MATEMATIKA DISKRIT
TEAM TEACHING MATEMATIKA DISKRIT
MATEMATIKA DISKRIT
3 SKS

Buku Teks :
Discrete Mathematics and Its Applications,
Kenneth H Rossen, McGraw-Hill

Penilaian :




Tugas
Kuis
UTS
UAS
LOGIKA DAN
EKUIVALENSI LOGIKA
Bab 1
Sub-bab 1.1 – 1.2
Tujuan Instruksional khusus
Memahami tentang logika proposional
 Memahami tentang penggunaan operator
logika pada proposisi
 Memahami tentang ekuivalensi pada logika
proposional

Logika




Logika adalah dasar dari penjabaran matematika
(mathematical reasoning)
Logika mempelajari penjabaran (reasoning) secara
benar
Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) /
kalimat (sentence).
Contoh: Dino adalah mahasiswa UB.
Semua mahasiswa UB pandai.
Dino orang pandai.
Perhatikan bahwa logika tidak harus memperhatikan
isi kalimat; jika diketahui bahwa dua kalimat pertama
di atas benar, maka kalimat ketiga harus benar.
Proposisi


Proposisi merupakan sebuah pernyataan atau
kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 /
salah = 0). Proposisi disimbolkan dengan huruf p, q,
dsb.
Biasanya berbentuk kalimat deklaratif
Contoh bukan proposisi:
 Berapa harga tiket ke Malaysia?
 Silakan duduk.
MACAM PROPOSISI


Kalimat deklaratif
yang tidak
memuat penghubungdisebut
proposisi (primitif )
ex:
 2 adalah Bilangan bulat
Kalimat deklaratif yg memuat
penghubung ”atau” “dan” ”jika
maka” disebut proposisi
majemuk (compound)
ex:

Taufik Hidayat pandai main bulu
tangkis atau tenis
Konektif
Jika p dan q adalah proposisi, dapat dibentuk
proposisi (majemuk) baru (compound
proposition) dengan menggunakan konektif
 Macam-macam konektif:







NOT (negasi)
AND (konjungsi)
Inclusive OR (disjungsi)
Exclusive OR
Implikasi
Implikasi ganda
Simbol
Simbol
Simbol
Simbol
Simbol
Simbol
 atau ‾
^
v



Tabel Kebenaran
Negasi
p
p
0
1
1
0
Contoh:
 p = Jono seorang mahasiswa
 p = Jono bukan seorang mahasiswa
Tabel Kebenaran
Konjungsi
p
q
p q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Contoh :
 p = Harimau adalah binatang
buas
 q = Malang adalah ibukota
Jawa Timur
 p ^ q = Harimau adalah
binatang buas dan Malang
adalah ibukota Jawa Timur
 p ^ q
salah.
 Perhatikan bahwa tidak perlu
ada keterkaitan antara p dan q
Tabel Kebenaran
Disjungsi (Inclusive OR)
p
q
pvq
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Contoh:
 p = Jono seorang mahasiswa
 q = Mira seorang sarjana hukum
 p v q = Jono seorang mahasiswa atau Mira
seorang sarjana hukum
Tabel Kebenaran
Exclusive Disjunction


“Either p or q” (but not both), dengan simbol p  q
p
0
0
q
0
1
pq
0
1
1
1
0
1
1
0
p  q bernilai benar hanya jika p benar dan q salah,
atau p salah dan q benar


p = "John is programmer, q = "Mary is a lawyer"
p  q = "Either John is a programmer or Mary is a lawyer"
Kalimat majemuk
(compound statements)



p, q, r merupakan kalimat / pernyataan sederhana (simple
statements)
Apabila ada dua buah proposisi misalkan proposisi A dan
proposisi B maka dapat dibentuk proposisi baru (Compound
Proposition) dengan menggunakan konektor atau perangkai.
Beberapa contoh bentukan compound statements, seperti:
 (pq)^r
 p(q^r)
 (p)( q)
 (pq)^( r)
 dll
Tingkat Presedensi

Urutan penyelesaian logika jika
menemui proposisi majemuk
Tabel Kebenaran (p   r)  q
p
q
r
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
(p   r)  q
HITUNG
Lengkapilah tabel dibawah
kesimpulan akhirnya
p
q
0
0
1
1
0
1
0
1
p q
ini
p q
serta
berikan
(p q) v (p q)
Implikasi
Disebut juga proposisi kondisional (conditional
proposition) dan berbentuk
“jika p maka q”
 Notasi simboliknya : p  q

Contoh:
p = Jono seorang mahasiswa
q = Mira seorang sarjana hukum
p  q = Jika Jono seorang mahasiswa maka
Mira seorang sarjana hukum
Tabel Kebenaran
Implikasi
p
q
pq
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Hypotesa dan konklusi

Dalam implikasi p  q
p disebut antecedent, hypothesis, premise
q disebut konsekuensi atau konklusi
(consequent, conclusion)
Perlu dan Cukup
Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi.
 Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa.
 Perlu = necessary; Cukup = sufficient




Contoh:
 Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang
sarjana hukum
Kondisi perlu: Mira seorang sarjana hukum
Kondisi cukup: Jono seorang mahasiswa
Tabel kebenaran
Implikasi Ganda (Biimplikasi)
Implikasi Ganda (double implication) dibaca
“p jika dan hanya jika q”
 Notasi simboliknya p  q

p
q
pq
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
(p  q) ^ (q  p)
KESIMPULAN BIIMPLIKASI

p  q ekivalen dengan (p  q)^(q  p)
p
0
q
0
pq
1
(p  q) ^ (q  p)
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
Ekivalensi Logikal


Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik
disebut ekivalen (logically equivalent).
Contoh:  p  q ekivalen (logically equivalent to) p
q
p
q
pq
pq
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
Konversi dan Inversi



Konversi dari p  q adalah q  p
Inversi dari p  q adalah  p   q
Apakah Konversi dan Inversi diatas
equivalent???
BUKTIKAN!!!!
Kontrapositif
kontrapositif dari proposisi p  q adalah
qp
 Buat Tabel Kebenarannya dan apakah
p  q dan  q   p ekivalen???

JAWAB KONTRAPOSITIF

p  q dan  q   p ekivalen
p
0
0
q
0
1
pq
1
1
qp
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
Ekivalensi Logika
Ekivalensi
Nama
pTp
pFp
Identity laws
pTT
pFF
Domination laws
ppp
ppp
Idempotent laws
(p)  p
Double negation laws
pqqp
pqqp
Commutative laws
(p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  ( q  r)
Associative laws
Ekivalensi Logika
Ekivalensi
Nama
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
Distributive laws
(p
 q)  ( p)  ( q)
(p  q)  ( p)  ( q)
De Morgan’s laws
p  (p  q)  p
p  (p  q)  p
Absorption laws
p  p  T
p  p  F
Negation laws
Ekivalensi Logika
Ekivalensi
p  q  p  q
p  q  q  p
p  q  p  q
p  q  (p  q)
(p  q)  p   q
(p  q)  (p  r)  p  (q  r)
(p  r)  (q  r)  (p  q)  r
(p  r)  (q  r)  (p  q)  r
(p  r)  (q  r)  (p  q)  r
(p  q)  (p  r)  p  (q  r)
(p  r)  (q  r)  (p  q)  r
Ekivalensi
p  q  (p  q)  (q  p)
p  q  p  q
p  q  (p  q)  (p  q)
(p  q)  p   q
Tautology
Proposisi yang selalu bernilai benar (true)
dalam keadaan apapun
 Contoh: p  p v q

p
0
0
1
q
0
1
0
ppvq
1
1
1
1
1
1
Kontradiksi
 Proposisi
yang selalu bernilai salah
(false) dalam keadaan apapun
 Contoh : p ^  p
p
p ^ ( p)
0
0
1
0
Latihan-1
1.
Dari bbrp kalimat dibawah ini mana yang
termasuk proposisi ? Tentukan nilai
kebenaran dari proposisi tsb.





7 merupakan sebuah bilangan prima.
Jangan lakukan.
Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis
dibagi dengan 2.
x + y = y + x untuk setiap pasangan dari
bilangan real x dan y
Jam berapa sekarang?
Latihan
2. Tentukan apakah (p  (p  q))  q adalah
tautologi?
3. Tunjukkan bahwa manakah yang ekivalen
dari ketiga logika berikut?
a. p  q
b. (p  q)  (p  q)
c. (p  q) ^ (q  p)
Download