R. Johnsonbaugh, Discrete Mathematics 5th edition, 2001
advertisement
MATEMATIKA DISKRIT TEAM TEACHING MATEMATIKA DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT 3 SKS Buku Teks : Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H Rossen, McGraw-Hill Penilaian : Tugas Kuis UTS UAS LOGIKA DAN EKUIVALENSI LOGIKA Bab 1 Sub-bab 1.1 – 1.2 Tujuan Instruksional khusus Memahami tentang logika proposional Memahami tentang penggunaan operator logika pada proposisi Memahami tentang ekuivalensi pada logika proposional Logika Logika adalah dasar dari penjabaran matematika (mathematical reasoning) Logika mempelajari penjabaran (reasoning) secara benar Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) / kalimat (sentence). Contoh: Dino adalah mahasiswa UB. Semua mahasiswa UB pandai. Dino orang pandai. Perhatikan bahwa logika tidak harus memperhatikan isi kalimat; jika diketahui bahwa dua kalimat pertama di atas benar, maka kalimat ketiga harus benar. Proposisi Proposisi merupakan sebuah pernyataan atau kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 / salah = 0). Proposisi disimbolkan dengan huruf p, q, dsb. Biasanya berbentuk kalimat deklaratif Contoh bukan proposisi: Berapa harga tiket ke Malaysia? Silakan duduk. MACAM PROPOSISI Kalimat deklaratif yang tidak memuat penghubungdisebut proposisi (primitif ) ex: 2 adalah Bilangan bulat Kalimat deklaratif yg memuat penghubung ”atau” “dan” ”jika maka” disebut proposisi majemuk (compound) ex: Taufik Hidayat pandai main bulu tangkis atau tenis Konektif Jika p dan q adalah proposisi, dapat dibentuk proposisi (majemuk) baru (compound proposition) dengan menggunakan konektif Macam-macam konektif: NOT (negasi) AND (konjungsi) Inclusive OR (disjungsi) Exclusive OR Implikasi Implikasi ganda Simbol Simbol Simbol Simbol Simbol Simbol atau ‾ ^ v Tabel Kebenaran Negasi p p 0 1 1 0 Contoh: p = Jono seorang mahasiswa p = Jono bukan seorang mahasiswa Tabel Kebenaran Konjungsi p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Contoh : p = Harimau adalah binatang buas q = Malang adalah ibukota Jawa Timur p ^ q = Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur p ^ q salah. Perhatikan bahwa tidak perlu ada keterkaitan antara p dan q Tabel Kebenaran Disjungsi (Inclusive OR) p q pvq 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Contoh: p = Jono seorang mahasiswa q = Mira seorang sarjana hukum p v q = Jono seorang mahasiswa atau Mira seorang sarjana hukum Tabel Kebenaran Exclusive Disjunction “Either p or q” (but not both), dengan simbol p q p 0 0 q 0 1 pq 0 1 1 1 0 1 1 0 p q bernilai benar hanya jika p benar dan q salah, atau p salah dan q benar p = "John is programmer, q = "Mary is a lawyer" p q = "Either John is a programmer or Mary is a lawyer" Kalimat majemuk (compound statements) p, q, r merupakan kalimat / pernyataan sederhana (simple statements) Apabila ada dua buah proposisi misalkan proposisi A dan proposisi B maka dapat dibentuk proposisi baru (Compound Proposition) dengan menggunakan konektor atau perangkai. Beberapa contoh bentukan compound statements, seperti: (pq)^r p(q^r) (p)( q) (pq)^( r) dll Tingkat Presedensi Urutan penyelesaian logika jika menemui proposisi majemuk Tabel Kebenaran (p r) q p q r 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 (p r) q HITUNG Lengkapilah tabel dibawah kesimpulan akhirnya p q 0 0 1 1 0 1 0 1 p q ini p q serta berikan (p q) v (p q) Implikasi Disebut juga proposisi kondisional (conditional proposition) dan berbentuk “jika p maka q” Notasi simboliknya : p q Contoh: p = Jono seorang mahasiswa q = Mira seorang sarjana hukum p q = Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum Tabel Kebenaran Implikasi p q pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Hypotesa dan konklusi Dalam implikasi p q p disebut antecedent, hypothesis, premise q disebut konsekuensi atau konklusi (consequent, conclusion) Perlu dan Cukup Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi. Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa. Perlu = necessary; Cukup = sufficient Contoh: Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum Kondisi perlu: Mira seorang sarjana hukum Kondisi cukup: Jono seorang mahasiswa Tabel kebenaran Implikasi Ganda (Biimplikasi) Implikasi Ganda (double implication) dibaca “p jika dan hanya jika q” Notasi simboliknya p q p q pq 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 (p q) ^ (q p) KESIMPULAN BIIMPLIKASI p q ekivalen dengan (p q)^(q p) p 0 q 0 pq 1 (p q) ^ (q p) 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 Ekivalensi Logikal Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik disebut ekivalen (logically equivalent). Contoh: p q ekivalen (logically equivalent to) p q p q pq pq 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 Konversi dan Inversi Konversi dari p q adalah q p Inversi dari p q adalah p q Apakah Konversi dan Inversi diatas equivalent??? BUKTIKAN!!!! Kontrapositif kontrapositif dari proposisi p q adalah qp Buat Tabel Kebenarannya dan apakah p q dan q p ekivalen??? JAWAB KONTRAPOSITIF p q dan q p ekivalen p 0 0 q 0 1 pq 1 1 qp 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 Ekivalensi Logika Ekivalensi Nama pTp pFp Identity laws pTT pFF Domination laws ppp ppp Idempotent laws (p) p Double negation laws pqqp pqqp Commutative laws (p q) r p (q r) (p q) r p ( q r) Associative laws Ekivalensi Logika Ekivalensi Nama p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) Distributive laws (p q) ( p) ( q) (p q) ( p) ( q) De Morgan’s laws p (p q) p p (p q) p Absorption laws p p T p p F Negation laws Ekivalensi Logika Ekivalensi p q p q p q q p p q p q p q (p q) (p q) p q (p q) (p r) p (q r) (p r) (q r) (p q) r (p r) (q r) (p q) r (p r) (q r) (p q) r (p q) (p r) p (q r) (p r) (q r) (p q) r Ekivalensi p q (p q) (q p) p q p q p q (p q) (p q) (p q) p q Tautology Proposisi yang selalu bernilai benar (true) dalam keadaan apapun Contoh: p p v q p 0 0 1 q 0 1 0 ppvq 1 1 1 1 1 1 Kontradiksi Proposisi yang selalu bernilai salah (false) dalam keadaan apapun Contoh : p ^ p p p ^ ( p) 0 0 1 0 Latihan-1 1. Dari bbrp kalimat dibawah ini mana yang termasuk proposisi ? Tentukan nilai kebenaran dari proposisi tsb. 7 merupakan sebuah bilangan prima. Jangan lakukan. Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis dibagi dengan 2. x + y = y + x untuk setiap pasangan dari bilangan real x dan y Jam berapa sekarang? Latihan 2. Tentukan apakah (p (p q)) q adalah tautologi? 3. Tunjukkan bahwa manakah yang ekivalen dari ketiga logika berikut? a. p q b. (p q) (p q) c. (p q) ^ (q p)
