DERET dan
advertisement
MATEMATIKA BISNIS
OLEH:
SRI NURMI LUBIS, S.Si
GICI BUSSINESS SCHOOL
BATAM
BAB 1
BARISAN DAN DERET
A. BARISAN
Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan
tertentu.Bentuk umum barisan bilangan a1, a2, a3, …,an. Setiap unsur pada barisan
bilanan disebut suku. Suku ke-n dari suatu barisan ditulis dengan simbol Un ( n
merupakan bilangan asli ). Untuk suku pertama dinyatakan dengan simbol a atau
U1. Berdasarkan banyaknya suku, barisan dapat dibedakan menjadi dua macam,
yaitu :
1. Barisan berhingga, jika banyaknya suku-suku tertentu jumlahnya.
2. Barisan tak berhingga, jika banyaknya suku-suku tak berhinga jumlahnya.
1. Barisan Aritmetka.
Barisan atitmetika adalah suatu barisan bilangan dimana setiap dua suku
berurutan memiliki selisih yang tetap yang disebut beda ( b ). Secara umum jika
suku ke-n suatu barisan arimetika adalah Un, maka berlaku :
b = Un – Un – 1
Jika suku pertama dari barisan aritmetika ( U1 ) dinotasikan dengan a dan beda
dinotasikan dengan b, maka suku-suku pada barisan aritmetika tersebut dapat
ditulis sebagai berikut :
U1 = a
U2 = a + b
U3 = ( a + b ) + b = a + 2b
U4 = ( a + 2b ) + b = a + 3b
….
Un = a + ( n – 1).b
Keterangan : Un = Suku ke-n,
a = Suku pertama, b = Beda
2.
Barisan Geometri
Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya
diperoleh dengan cara mengalikan suku didepannya dengan bilangan tetap yang
disebut rasio yang dinotasikan dengan r. Jika suatu barisan geometri U 1, U2, U3,
…, Un maka rasio dapat dituliskan :
r = Un /Un-1
Apabila suku pertama barisan geometri dinyatakan dengan notasi a, dan rasio
dinyatakan dengan notasi r, maka :
U1 = a
U2 = ar
U3 = arr = ( ar2 )
U4 = a ( r2 ) r = ar3
…
Un = arn-1
Keterangan : Un = Suku ke-n,
a = Suku pertama, r = rasio
B. DERET
Deret adalah barisan bilangan yang disusun urut sedemikian rupa secara
teratur menurut aturan tertentu. Barisan bilangan tersebut dinamakan suku-suku
dari deret tersebut.
Deret kalau kita perhatikan banyaknya suku yang berjejer, dapat kita bedakan
menjadi 2 (dua)
1. Deret berhingga
2. Deret tak berhingga
Deret berhingga adalah deret yang sama suku-sukunya mempunyai batas atau
tertentu.
Sedangkan deret tak berhingga adalah deret yang mana suku-sukunya tak
terbatas atau tak tertentu.
Sedangkan deret tak berhingga adalah deret yang mana suku sukunya tak terbatas
atau tak tertentu.
Macam-macam Deret:
Deret dapat dibagi atas 3 (tiga) bagian, yaitu:
1. Deret Arithmatika
2. Deret Geometri
3. Deret Harmonis
Deret Arithmatika
Deret arithmatika adalah barisan bilangan yang pengurutannya dengan
menjumlahkan aturan tetap dan disusun urut menurut suku-sukunya. Bentuk
umum Deret Arithmatika adalah sebagai berikut :
Kalau kita perhatikan maka dapatlah kita simpulkan bahwa :
1. Deret arithmatika disebut naik, apabila jumlah suku-suku berikutnya
adalah bertambah besar karena beda (b) > 0
2. Deret arithmatika disebut turun, apabila jumlah suku-suku berikutnya
adalah menurun menjadi lebih kecil karena beda (b) < 0.
Jumlah semua suku-suku deret arithmatika adalah dengan menjumlahkan
semua suku-suku yang ada. Jumlah semua suku-sukunya, diberi notasi dengan
Dn.
Contoh soal
1. Deret : 10 ,8,6,4,2, ………, D10
Diketahui : a =10
b = 8-10 = -2
sehingga diperoleh :
Dn = ½ . n {2a + (n-1) b}
atau Dn = ½ . n {a + Un}
D10 = ½ . 10 {2.10 + (10-1) -2}
D10 = 5 {20 + (9) -2}
D10 = 5 (20-13)
D10 = 5 (2)
D10 = 10
Itu adalah merupakan contoh soal dalam bentuk kuantitatif, disamping ada soal
kuantitatif kita juga mengenal bentuk contoh soal dalam bentuk kuantitatif.
Dimana contoh soal kualitatif ini terlebih dahulu harus kita formulasikan dalam
bentuk kuantitatif. Adapun bentuk contoh soal kualitatif adalah sebagai berikut :
Soal :
Harga sebuah barang di pasar besar terendah Rp. 6000,- Barang yang akan
dibeli adalah sebanyak jumlah keluarga dari pak Sopan yaitu sepuluh
orang. Diperkirakan akan mendapat perbedaan pembelian barang dengan
harga Rp. 4000,- Rencana pak Sopan, pembagian barang-barang ini adalah
merupakan hadiah, yang akan dibagikan berdasarkan umur masing-masing
keluargannya jika yang kecil mendapat harga terendah dan yang besar
mendapat harga tertinggi, berapakah yang tertua mendapatkan harga
barang tersebut dan berpakah jumlah keseluruhan uang yang akan
dikeluarkan pak Sopan.
Diketahui :
Harga Rp. 6000,- adalah harga terendah dan akan diberikan kepada yang
berumur terendah, ini adalah sama dengan a (suku awal).
Perbedaan harga barang adalah Rp. 4000,- ini adalah merupakan b (beda).
Jumlah keluarga pak Sopan seluruhnya adalah 10 orang ini adalah n
(banyak suku).
Sehingga diperoleh :
a = 6.000
b = 4.000
n = 10
Dengan diketahuinya a, b, dan n, maka dapat dicari pembagian yang terua
dan jumlah uang yang akan dikeluarkan pak Sopan, dengan memakai
bentuk rumus Un dan Dn yaitu :
a. Un = a + (n-1) b
U10 = 6.000 – (10-1) 4.000
U10 = 6.000 + (9) 4.000
U10 = 6.000 + 36.000
U10 = 42.000]
Jadi umurnya yang tertua akan mendapatkan barang seharga Rp.
42.000,-
b. Dn = ½ n{2a + (n-1) b}
D10 = ½ 10 {2(6000) + (10-1) 4.000}
D10 = 5 {12.000 + (9) 4.000}
D10 = 5 {12.000 + 46.000}
D10 = 5 {48.000}
D10 = 240.000
Jadi jumlah uang keseluruhannya yang akan dikeluarkan pak Sopan
adalah sebesar Rp. 240.000,-
Deret Geometri
Deret geometri adalah barisan bilangan yang disusun urut sedemikian
rupa, sehingga bilangan yang berikutnya merupakan hasil pengganda bilangan
sebelumnya.
Bentuk umum Deret Geometri adalah sebagai berikut :
U1 = a
suku awal
U2 = a . r
suku awal dikali pengganda
U3 = a. r2
suku awal dikali pengganda pangkat 2
Un = a. rn – 1 suku ke-n adalah suku awal dikali pengganda pangkat n-1
Sehingga diperoleh suatu rumus
Un = a. rn-1
dimana :
Un = suku ke-n
a = suku awal
r = rasio
n = banyak rumus,
l = konstanta
rasio atau r kita peroleh dari :
u2
u1
r=
atau
r=
un
u n -1
Dari contoh soal tersebut diatas dapat disimpulkan bahwa pengganda Deret
Geometri selalu bernilai positif atau lebih besar dari nol.
Jumlah semua suku-suku deret geometri adalah dengan menjumlahkan
semua suku-suku yang diketahui. Jumlah semua suku-sukunya diberi notasi
dengan Dn.
a 1 rn
Dn
1 r
; jika r < 1
atau
a rn 1
, jika r > 1
Dn
r 1
Dimana :
Dn = jumlah semua n suku pertama
a
=
suku awal
r
=
rasio
n
=
banyak suku
l
=
konstanta
contaoh soal
1. Deret : 1, 3, 9, 27, …….., D8 = ?
Diketahui : a = 1
r=
3
=3
1
3. Deret Harmonis
Deret harmonis adalah deret yang kebalikan suku-sukunya membentuk
sebuah deret aritmatika atau dengan kata lain deret harmonis adalah deret dimana
penyebutnya
adalah
merupakan
deret
pembilangnya adalah angka konstanta satu.
Bentuk umum Deret Harmonis adalah :
U1 =
1
a
aritmatika,
sedangkan
sebagai
U2 =
1
ab
U3 =
1
a 2b
Un =
1
a (n 1) b
Dimana :
U1 =
suku pertama
U2 =
suku kedua
U3 =
suku ketiga
Un =
suku ke-n
a
=
suku awal untuk deret aritmatika
b
=
beda untuk deret aritmatika
n
=
banyak suku
Jumlah Semua Penyebut Suku-suku Deret Harmonis
Jumlah semua penyebut suku-suku deret harmonis adalah dengan menjumlahkan
semua penyebut suku-sukunya. Jumlah semua penyebut suku-sukunya siberi
notasi Dn.
Dengan rumus:
Dn =
1
1/2 n {2a (n - 1) b}
Dimana :
Dn =
Jumlah n suku pertama deret harmonis
n
=
banyak suku
a
=
suku awal deret aritmatika
b
=
beda deret aritmatika
contoh soal :
1. Deret ¼, 1/7, 1/10, ……, D10 = ?
Diketahui : a = 4
b = 7-4 = 3
n = 10
Sehingga diperoleh
Dn =
1
1/2 n {2a (n - 1) b}
D10 =
1
1/2(10) {2(4) - (10 - 1) 3
D10 =
1
5 {8 27}
D10 =
1
5 (35)
D10 =
1
175
Jadi jumlah penyebut suku-suku deret harmonis adalah
1
175
BAB 2
MATEMATIKA KEUANGAN
2.1 Teori Nilai Uang adalah salah satu penerapan deret ukur (Geometri) yang
paling konvensional di bidang ekonomi. Pada prinsipnya teori ini adalah
untuk menghitung bunga uang, baik bunga biasa, bunga majemuk maupun
untuk menghitung Annuity.
2.2 Bunga Tunggal
Bunga Tunggal adalah bunga yang dikeluarkan pada modal yang tiap
tahunnya, biasanya bunga dihitung pada akhir tahun, yaitu per 31 Desember
……
Bentuk umum nilai uang yang akan datang
F = P (1 + i . n)
F = nilai uang yang akan datang
P = nilai uang sekarang
i = tingkat bunga
n = lamanya uang dibungakan (dalam tahunan)
Bentuk Umum Nilai Uang sekarang dari bunga biasa adalah :
P=
F
1 i.n
2.3 Bunga Majemuk
Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung pada modal yang berubahubah (bertambah) tiap tahunnya, bertambah menurut besarnya tingkat bunga
yang berlaku.
a. Bentuk umum Nilai Uang yang akan datang dari bunga majemuk adalah
:
F = P (1 + i) n
Dimana
F
= Nilai uang yang akan datang (future)
P
= Nilai uang sekarang (present)
i
= Tingkat bunga (interest)
n
= lamanya uang dibungakan (dalam tahunan)
l
= konstanta
Jika pembayaran bunga lebih dari satu kali dalam setahun melainkan m kali,
maka nilai masa datangnya adalah:
i
F P1
m
Keterangan:
mn
jika bunga dibayarkan tahunan maka m = 1
jika bunga dibayarkan harian maka m = 365
jika bunga dibayarkan bulanan maka m = 12
jika bunga dibayarkan persemester maka m = 2
jika bunga dibayarkan perkuartal maka m = 4
jika bunga dibayarkan percatur wulan maka m = 3
Secara umum ada 3 metode perhitungan bunga tabungan yaitu:
berdasarkan saldo terendah, saldo rata-rata dan saldo harian. Beberapa bank
menerapkan jumlah hari dalam 1 tahun 365 hari, namun ada pula yang
menerapkan jumlah hari bunga 360 hari.
2.4 Anuity adalah jumlah uang yang dibayarkan atau yang diterima secara
berturut-turut setiap periode pembayaran atau penerimaan.
Sifat-sifat Anuity :
1. Jumlah pembayarannya sama setiap periodenya (Equal Payment’s).
2. Panjangnya periode antara angsuran sama (equal periode between
payments).
3. Pembayaran pada akhir periode (ending payments periods)
Bentuk umum nilai uang yang akan datang dari Anuity adalah
A=F
i
(l i) n - 1
Dimana
A = Anuity
F
= Nilai uang yang akan datang
2.4
i
= tingkat bunga
n
= lamanya angsuran
l
= konstanta
Untuk mencari nilai uang yang akan datang dari Anuity dapat juga
dipergunakan rumus :
(1 i)n - 1
i
F=A
Bentuk umum nilai uang sekarang dari Anuity adalah :
A=P
i (l 1)n
(l i)n - 1
A = Anuity
2.5
P
= Nilai uang sekarang
i
= tingkat bunga
n
= lamanya Anuity (angsuran)
l
= konstanta
Untuk mencari nilai uang sekarang dari Anuity dapat juga dipergunakan
rumus :
P=A
(l i)n 1
i (l i)n
