KONSTRUKSI PERSAMAAN BLACK-SCHOLES

KONSTRUKSI PERSAMAAN BLACK-SCHOLES DENGAN
KONSEP MODEL PENENTUAN HARGA ASET MODAL
Jayanti Primades1∗ , Johannes Kho2 , M. D. H. Gamal2
1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
2 Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
∗ [email protected]
ABSTRACT
This article discusses an equation to find an option pricing model, known as BlackScholes equation. Black-Scholes equation is constructed with the concept of capital
asset pricing model. Capital asset pricing model is used to choose the optimum
asset in equilibrium market, to get small risks at the asset. European put option
model is a solution of non-dividen of Black-Scholes equation by converting BlackScholes equation into the heat equation. An example of application of Black-Scholes
equation is given at the end discussion.
Keywords: capital asset price, option price, Lemma Itô, Black-Scholes equation, heat
equation
ABSTRAK
Artikel ini membahas suatu persamaan untuk menentukan model harga opsi saham,
yang dikenal dengan persamaan Black-Scholes. Persamaan Black-Scholes diperoleh
dengan konsep model penentuan harga aset modal. Model penentuan harga aset
modal digunakan untuk menentukan pilihan aset yang optimum, untuk memperkecil
resiko pada aset. Model opsi jual saham Eropa merupakan penyelesaian persamaan
Black-Scholes tanpa dividen dengan melakukan pengkonversian persamaan BlackScholes ke persamaan panas. Contoh aplikasi persamaan Black-Scholes diberikan
pada akhir pembahasan ini.
Kata Kunci: harga aset modal, harga opsi saham, Lema Itô, persamaan BlackScholes, persamaan panas
1
1. PENDAHULUAN
Dalam dunia finansial, opsi merupakan suatu kontrak dimana hak diberikan kepada
individu untuk membeli atau menjual sejumlah aktiva tertentu, bukan kewajiban
membayar seperti halnya hutang, pada harga khusus dan waktu tertentu. Opsi
merupakan bagian derivatif yang kompleks yang mana nilainya diperoleh dari jenis
finansial yang lain, sepeti saham, obligasi, dan lain-lain [8].
Berdasarkan jenisnya, opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi beli saham (call option) dan opsi jual (put option). Opsi beli saham terjadi apabila pemilik menerima
hak untuk membeli sejumlah saham tertentu dari suatu perusahaan tertentu dengan
harga dan tanggal jatuh tempo tertentu. Opsi jual saham terjadi apabila pemilik
kontrak diberikan hak untuk menjual sejumlah saham tertentu dari suatu perusahaan pada harga tertentu dalam waktu tertentu.
Berdasarkan tanggal pelaksanaannya, opsi yang paling sering digunakan adalah
opsi bertipe Eropa dan opsi bertipe Amerika. Pada opsi tipe Eropa, hak pembelian
atau penjualan kontrak hanya dapat dilaksanakan pada tanggal jatuh tempo yang
telah ditentukan dalam kontrak. Pada opsi tipe Amerika, pemilik kontrak dapat
melaksanakan haknya kapan saja selama tanggal pelaksanaan.
Pemilik kontrak menginginkan harga opsi yang pasti, sehingga ia perlu mengidentifikasikan peluang investasi dan menyusun portofolio untuk tercapai tujuan.
Model untuk penentuan harga opsi saham yang telah dikenal adalah persamaan
Black-Scholes. Persamaan ini merupakan persamaan diferensial parsial orde dua
untuk menilai harga beli atau harga jual yang menggunakan harga saham, suku
bunga bebas resiko, waktu tanggal jatuh tempo, deviasi standar imbal hasil saham
sebagai patokan nilainya.
Dalam artikel ini dibahas konstruksi persamaan Black-Scholes untuk penentuan
opsi saham dengan konsep model penentuan harga aset modal. Model ini digunakan
untuk menentukan aset optimum di dalam pasar yang seimbang, agar resiko yang
diperoleh seorang investor menjadi kecil. Kajian ini merupakan kajian ulang dari
hasil kerja Fisher Black dan Myron Scholes sesuai dengan [2]. Hasil yang diberikan
adalah penyelesaikan persamaan Black-Scholes untuk opsi jual saham bertipe Eropa.
2. PERSAMAAN DIFERENSIAL STOKASTIK
UNTUK SUATU ASET
Aset merupakan sejumlah surat berharga yang diperdagangkan di dalam pasar
modal. Aset dapat berupa selembaran saham, unit opsi, unit obligasi dan lain-lain.
Dalam artikel ini, aset yang dibahas mencakup saham dan opsi saham.
Misalkan harga saham pada waktu t1 adalah S1 dan harga saham pada waktu
t2 adalah S2 . Perubahan harga saham pada waktu t1 ke t2 adalah ∆S = S2 − S1
bila waktu t diskrit, dan dS = S2 − S1 bila waktu t adalah kontinu [8]. Pada
kenyataannya, harga saham S bergerak pada waktu kontinu t. Model harga saham
S disusun sebagai berikut:
dS = µSdt + σSdw,
(1)
2
dengan µ merupakan tingkat rata-rata perubahan harga saham S dan σ merupakan
tingkat variansi perubahan harga saham S. Variabel w merupakan proses Wiener,
dimana perubahan w ditulis dengan ∆w = ǫ∆t, ǫ adalah diperoleh dari wt2 − wt1 .
Proses Wiener [4] merupakan proses stokastik khusus dengan ǫ berdistribusi
normal dengan ekspektasi ǫ adalah 0 dan variansi dari ǫ adalah 1. Persamaan (1)
merupakan persamaan diferensial stokastik untuk harga saham.
Fungsi harga opsi saham V dipengaruhi oleh harga saham S pada waktu t yang
ditulis sebagai V (S, t). Jika fungsi V terdiferensial sebanyak (n + 1) kali pada S dan
t. Titik (S, t) berada disekitar titik (S0 , t0 ), maka penjabaran deret Taylor untuk
V (S, t) adalah
∆V =
∂V
∂V
1 ∂ 2V
∂ 2V
1 ∂ 2V 2
2
∆S +
∆t +
∆S
+
∆S∆t
+
∆t + . . . .
∂S
∂t
2 ∂S 2
∂S∂t
2 ∂t2
(2)
Menurut Itô [4], pengaproksimasian fungsi V (S, t) dilakukan dengan mengabaikan
suku-suku pada notasi titik pada persamaan (2). Hal ini dikarenakan suku-suku
pada notasi titik memiliki error yang sangat kecil. Persamaan baru yang dibentuk
dikenal dengan Lema Itô. Lema Itô untuk fungsi V (S, t) adalah sebagai berikut:
∂V
∂V
∂V
1 ∂ 2V 2 2
dV =
µS +
+
σ S dt +
σSdw.
2
∂S
∂t
2 ∂S
∂S
atau
dV =
1 2 2
µSVS + Vt + σ S VSS dt + σSVS dw.
2
(3)
Persamaan (3) merupakan persamaan diferensial stokastik untuk harga derivatif opsi
saham. Persamaan (3) diganti sedemikian hingga memuat persamaan (1), diperoleh
1 2 2
(4)
dV = Vt + σ S VSS dt + VS dS.
2
Persamaan (4) digunakan dalam Subbab 4.
3. ASUMSI DASAR
Ada asumsi dasar yang perlu diperhatikan sebelum membentuk persamaan
Black-Scholes [4], yaitu
1. Harga saham mengikuti proses pergerakan Brownian dengan µ dan σ
konstan.
2. Short selling sekuritas dengan penggunaan hasil secara penuh diperbolehkan.
3. Tidak ada biaya transaksi atau pajak. Semua sekuritas dibagi sama
banyak.
3
4. Tidak ada dividen selama kontrak opsi masih berjalan.
5. Tidak ada kesempatan arbitrase resiko bebas.
6. Perdagangan sekuritas bersifat kontinu.
7. Tingkat bunga resiko bebas r konstan dan sama untuk semua sekuritas.
Asumsi ini mengarah pada opsi Eropa. Hal ini dikarenakan pada opsi Eropa
pelaksanaan kontrak opsi terjadi pada tanggal jatuh tempo yang telah ditentukan,
sehingga tidak ada kesempatan bagi investor atau pelaksana kontrak untuk memperoleh dividen pada saat kontrak masih berlangsung. Dengan demikian, persamaan
Black-Scholes pada artikel ini adalah untuk memperoleh harga opsi saham bertipe
Eropa.
4. KONSTRUKSI PERSAMAAN BLACK-SCHOLES
DENGAN KONSEP MODEL PENENTUAN
HARGA SAHAM MODAL
Model penentuan harga aset modal [5] menyatakan bahwa jika pasar portofolio M
efisien, maka tingkat hasil pengembalian sejumlah aset i, yaitu ri dinyatakan dengan
E(ri ) = rf + βi (E(rM ) − rf ),
(5)
dengan rf adalah hasil pengembalian pada resiko bebas. Nilai βi merupakan tingkat
resiko pada sejumlah aset i yang dirumuskan dengan βi = Cov(ri , rM )/V ar(rM ).
Nilai ri merupakan perubahan nilai pada sejumlah aset i pada waktu t1 hingga
t2 yang dibagi dengan i, atau ri = di/i. Nilai ri disebut sebagai tingkat hasil
pengembalian dari suatu aset i.
Sejumlah aset i yang dibahas dalam artikel ini adalah sejumlah portofolio yang
diinvestasikan di dalam pasar M . Portofolio di pasar M memuat sejumlah saham
S dan unit opsi saham V . Dengan demikian, nilai rM pada persamaan (5) adalah
tingkat hasil pengembalian dari portofolio di pasar M . Tingkat hasil pengembalian
dari saham S, yaitu rS dapat dinyatakan dengan dS/S dan tingkat hasil pengembalian dari opsi saham V , yaitu rV dinyatakan dengan dV /V .
Hubungan antara harga saham S dan harga opsi saham V dinyatakan sebagai
berikut:
SVS
βV =
βS .
(6)
V
Persamaan (6) diperoleh dari persamaan (4) dengan menggunakan sifat kovariansi[1]
antara masing-masing nilai aset terhadap nilai portofolio di pasar M . Ini menghasilkan koefisien SVS /V yang dianggap sebagai elastisitas harga derivatif opsi saham
terhadap harga saham. Persamaan (6) merupakan perbandingan antara resiko perubahan yang terjadi pada harga derivatif V dengan resiko perubahan yang terjadi
pada harga saham [2].
4
Opsi saham V memenuhi persamaan (5), yaitu
dV
E
= rf dt + βV (E(rM ) − rf )dt
V
E(dV ) = rf V dt + βV (E(rM ) − rf )V dt.
(7)
Ekspektasi perubahan harga opsi V , yaitu E(dV ), dipengaruhi oleh perubahan
waktu t. Persamaan (6) disubstitusi ke persamaan (7), diperoleh
E(dV ) = rf V dt + (E(rM ) − rf )SVS βS dt.
Dari persamaan (4), diperoleh ekspektasi dV sebagai
1 2 2
E(dV ) = Vt + σ S VSS dt + VS E(dS).
2
(8)
(9)
Nilai E(dV ) dalam persamaan (8) sama dengan persamaan (9), sehingga diperoleh
1
rV dt = rSVS dt + Vt + σ 2 S 2 VSS dt.
2
(10)
1
Vt + σ 2 S 2 VSS + rSVS − rV = 0.
2
(11)
Kedua ruas diintegralkan dari 0 hingga T , maka diperoleh
Persamaan (11) merupakan persamaan Black-Scholes untuk harga opsi saham.
5. PERSAMAAN BLACK-SCHOLES UNTUK OPSI JUAL SAHAM
BERTIPE EROPA
Telah dijelaskan dalam Bagian 3 bahwa persamaan Black-Scholes yang dibentuk
merupakan persamaan Black-Scholes untuk opsi saham bertipe Eropa. Persamaan
Black-Scholes yang diturunkan harus memenuhi syarat batas berikut:
V (S, t) = max(E − S, 0).
(12)
Persamaan (12) memberikan gambaran bahwa nilai opsi saham yang diperoleh harus
E − S, jika harga pelaksanaan E yang ditetapkan lebih besar daripada harga saham
S pada tanggal jatuh tempo atau harus bernilai 0 jika harga pelaksanaan E yang
ditetapkan lebih kecil daripada harga saham S pada tanggal jatuh tempo [8].
Selanjutnya, sekilas dapat dilihat persamaan (11) identik dengan persamaan
diferensial parsial linear orde dua. Persamaan ini diselesaikan dengan cara mengkonversinya ke dalam persamaan panas dengan bentuk umum, yaitu
∂ 2u
∂u
=
.
∂τ
∂x2
5
Hal pertama yang dilakukan adalah mentransformasikan variabel S dan t ke dalam
variabel x dan τ . Alasan perlunya transformasi variabel adalah karena persamaan (11) memuat koefisien S dan S 2 yang tidak konstan sebagai pengali dari
masing-masing bentuk turunan parsialnya. Tujuan perlunya transformasi variabel
adalah untuk memudahkan penyelesaian persamaan (11).
Misalkan transformasi variabel S = Eex dan variabel t = T − σ2τ/2 . Misalkan
v(x, τ ) adalah persamaan panas untuk opsi jual saham, maka hubungan antara
v(x, τ ) dan V (S, t) ditulis sebagai berikut:
v(x, τ ) =
1
V (S, t),
E
(13)
dengan v(x, τ ) = max(1 − ex , 0). Kemudian, persamaan (11) berubah menjadi
vτ = vxx + (K − 1)vx − Kv,
atau
∂v
∂ 2v
∂v
=
+ (K − 1)
− Kv.
2
∂τ
∂x
∂x
Persamaan (14) merupakan persamaan panas, dengan K =
Solusi umum dari persamaan (14) diberikan dengan [7]
(14)
r
.
σ 2 /2
v(x, τ ) = eζx+φτ u(x, τ ).
(15)
Persamaan (15) diturunkan terhadap x dan τ dengan menggunakan aturan rantai[3],
kemudian disubstitusi ke dalam persamaan (15), diperoleh
1
ζ = − (K − 1),
2
(16)
1
(17)
φ = − (K + 1)2 ,
4
dan
Z ∞
1
2
u(x, τ ) = √
u0 (s)e−(x−s) /4τ ds,
(18)
4πτ −∞
dengan u0 = u(x, 0) adalah syarat awal dari persamaan panas. Fungsi u(x, τ ) diperoleh dengan menggunakan integral Fourier [6].
Nilai ζ dan φ disubstitusikan ke dalam persamaan (15), menjadi
1
1
v(x, τ ) = e− 2 (K−1)x+(− 4 (K+1)
2 )τ
u(x, τ ).
(19)
Ketika τ = 0, nilai v(x, 0) = max(1 − ex , 0), maka u(x, 0) adalah
u(x, τ ) =
u(x, 0) =
v(x, τ )
(− 21 (K−1))x+(− 41 (K+1)2 )τ
e
max(1 − ex , 0)
1
e(− 2 (K−1))x
1
1
u(x, 0) = max(e 2 (K−1)x − e 2 (K+1)x , 0).
6
(20)
Nilai u(x, 0) disubstitusi ke dalam persamaan (18), menjadi
Z ∞
1
1
1
2
u(x, τ ) = √
max(e 2 (K−1)s − e 2 (K+1)s , 0) e−(x−s) /4τ ds.
4πτ −∞
(21)
Karena u0 bernilai maksimum dimana batas terkecil adalah nol, maka batas integral
pada persamaan (21) berubah menjadi batas 0 hingga tak hingga.
Z ∞
1
1
1
2
u(x, τ ) = √
(e 2 (K−1)s − e 2 (K+1)s ) e−(x−s) /4τ ds.
(22)
4πτ 0
Persamaan (22) diselesaikan sedemikian hingga diperoleh penyelesaian u(x, τ )
adalah
1
1
1
2
1
2
u(x, τ ) = e 2 (K−1)x+ 4 (K−1) τ F (−d2 ) − e 2 (K+1)x+ 4 (K+1) τ F (−d1 ),
(23)
dengan
√
x
1
d1 = √ + (K + 1) 2τ ,
2
2τ
√
1
x
d2 = √ + (K − 1) 2τ ,
2
2τ
(24)
(25)
dan F (·) merupakan fungsi distribusi kumulatif dari suatu variabel.
Selanjutnya, persamaan (23), disubstitusi ke persamaan (19), sehingga diperoleh
v(x, τ ) = e−Kτ F (−d2 ) − ex F (−d1 ).
(26)
Persamaan (26) disubstitusikan ke dalam persamaan (13), kemudian variabel x dan
τ diubah kembali menjadi variabel S dan t, diperoleh
V (S, t) = Ee−r(T −t) F (−d2 ) − SF (−d1 ),
(27)
dengan
ln( ES ) + (T − t) r +
p
d1 =
σ (T − t)
ln( ES ) + (T − t) r −
p
d2 =
σ (T − t)
σ2
2
,
σ2
2
.
Persamaan (27) merupakan solusi persamaan Black-Scholes untuk opsi jual
saham tipe Eropa.
Contoh. Misalkan seorang investor, Mr. W membeli 100 lembar opsi pada suatu
perusahaan yang bergerak di bidang tambang emas, PT. V. Pada saat itu, Mr. W
membeli opsi dengan harga pelaksanaan bernilai $60 per lembar dengan tingkat
bunga adalah 15% per tahun. Perjanjian dilaksanakan selama 3 bulan dan harga
7
saham pada saat ini adalah $57.8 per lembar. Mr. W menerapkan opsi bertipe
Eropa yang mana berlaku di Indonesia. Tentukan berapa harga opsi tersebut, bila
volalitas harga sekuritas senilai 10% per tahun. Apa bila Mr. W melaksanakan
haknya, akan ditentukan besar profit yang diterima Mr. W.?
Dari kasus di atas, diketahui bahwa S = $57.8, E = $60, σ = 0.1, T = 0.25,
r = 0.15, t = 0. Solusi dari contoh ini adalah persamaan (27), yaitu
V (S, t) = Ee−r(T −t) F (−d2 ) − SF (−d1 ).
Nilai F (−d2 ) adalah
"
#
2
ln( ES ) + (T − t) r − σ2
p
F (−d2 ) = F −
σ (T − t)
"
#
0.12
)
+
(0.25)
0.15
−
ln( 57.8
60
2
√
=F −
0.1 0.25
= F (0.02211573)
F (−d2 ) = 0.508846292,
dengan cara yang sama, diperoleh nilai F (−d1 ), yaitu
#
"
2
ln( ES ) + (T − t) r − σ2
p
F (−d1 ) = F −
σ (T − t)
"
#
0.12
)
+
(0.25)
0.15
+
ln( 57.8
60
2
p
=F
0.1 (0.25)
= F (−0.027884269)
F (−d1 ) = 0.488846292.
Nilai F (−d1 ) dan F (−d2 ) diperoleh dari tabel fungsi distribusi kumulatif untuk
distribusi normal pada referensi [1]. Nilai-nilai yang telah diketahui, nilai F (−d1 )
dan nilai F (−d2 ) disubstitusi ke dalam persamaan (27), sehingga diperoleh
V (S, t) = (60)e−0.15(0.25−0) (0.508846292) − (57.8)(0.488846292)
= 29.40707448 − 28.25532568
V (S, t) = $1.1517488.
Harga opsi jual saham V (S, t) adalah sebesar $1.15 per lembar atau $115.18 dalam
100 lembar. Jika Mr. W melaksanakan haknya, yaitu menjual opsi saham tersebut.
Maka Mr. W akan memperoleh profit sebesar
E − S − V (S, t) = 6, 000 − 5, 780 − 115.17488
= $104.82512.
Jika Mr. W tidak menjalankan haknya, maka dia akan kehilangan kesempatan dan
membayar 100 lembar saham yang telah dibelinya, yaitu sebesar $115.18.
8
6. KESIMPULAN
Dari artikel ini dapat disimpulkan bahwa persamaan Black-Scholes merupakan persamaan untuk menentukan besar opsi saham khususnya bertipe Eropa. Dengan
menggunakan dasar teori model penentuan harga aset modal, investor dapat memilih
opsi saham yang efisien untuk mengurangi resiko yang diperoleh saat berinvestasi.
Hasil eksak secara efektif diperoleh dari pengkonversian persamaan Black-Scholes
ke dalam persamaan panas.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bain,L. J. & M. Engelhardt. 2000. Introduction to Probability and Mathematical
Statistics, 2nd . Duxbury Press, California.
[2] Black, F. & M. Scholes. 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities.
The Journal of Political Economy, 8(3):637-645.
[3] Boas, M. L. 2005. Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3rd Ed. John
Wiley & Sons, Inc. Singapore.
[4] Hull, J. C. 2009. Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Ed. Prentice-Hall.
Upper Saddle River, New Jersey.
[5] Luenberger, D. G. 1998. Invesment Sciences. Oxford University Press. New
York.
[6] Kreyszig, E. 2006. Advanced Engineering Mathematics, 9th Editions. John
Wiley & Sons, Inc. Singapore.
[7] Sneddon, I. 1957. Elements of Partial Differential Equations. McGraw-Hill Kogakusha, Ltd. Tokyo, Jepang.
[8] Willmot, P., S. Howinson, & J. Dewynne. 1995. Mathematics of Financial
Derivatives: A Student Introduction. Cambridge University Press, Cambridge.
9