modul 1 bilangan real - belajar matematika smk

MODUL 1
BILANGAN REAL
Disusun oleh:
Ani Ismayani S.Pd
1
KATA PENGANTAR
Tidak dapat dipungkiri kemampuan berhitung aritmatika banyak diperlukan dan
digunakan dalam aktivitas kehidupan kita sehari-hari. Konsep Operasi Bilangan
Real adalah salah satu kompetensi yang bisa melatih hal tersebut.
Modul pembelajaran ini dirancang untuk mengarahkan bagaimana siswa belajar
menguasai kompetensi Menerapkan Konsep Operasi Bilangan Real secara
mandiri,
tanpa
mengesampingkan
kerjasama
dalam
bekerja
kelompok.
Keberhasilan pembelajaran ditandai dengan adanya perubahan perilaku positif
pada diri siswa sesuai dengan standar kompetensi dan tujuan pendidikan.
Informasi tentang Konsep Operasi pada Bilangan Real disajikan secara garis
besar tetapi konseptual. Untuk pendalaman, dan perluasan materi, serta
pembentukan kompetensi kunci, dianjurkan siswa dapat memperoleh melalui
observasi di lapangan, studi referensi, diskusi, dan tutorial dengan guru.
Strategi penyajian modul dirancang agar belajar siswa tidak terfokus hanya
mempelajari satu sumber saja, tapi siswa didorong untuk melakukan eksplorasi
terhadap sumber-sumber belajar lain yang relevan. Melalui pendekatan ini,
diharapkan kompetensi dasar dan kompetensi kunci seperti
kemampuan
komunikasi, kerjasama dalam tim, penguasaan teknologi informasi, pemecahan
masalah dan pengambilan keputusan dapat terbentuk pada diri siswa.
Cianjur, Januari 2006
Penyusun
2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ....................................................................... i
DAFTAR ISI .................................................................................... ii
PETA KEDUDUKAN MODUL ......................................................... iii
GLOSARIUM ............................................................................. 2
iv
MODUL 1: OPERASI BILANGAN REAL
BAB I PENDAHULUAN
BAB II PEMELAJARAN
RENCANA BELAJAR SISWA ........................................................ 7
KEGIATAN BELAJAR .................................................................... 8
KEGIATAN BELAJAR 1 ........................................................... 8
KEGIATAN BELAJAR 2 ........................................................... 16
KEGIATAN BELAJAR 3 ........................................................... 22
KEGIATAN BELAJAR 4 ........................................................... 29
BAB III EVALUASI
EVALUASI KOMPETENSI ............................................................. 36
KUNCI EVALUASI ......................................................................... 37
BAB IV PENUTUP .......................................................................... 38
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................ 39
3
PETA MODUL MATEMATIKA
BIDANG KEAHLIAN
KELOMPOK PROGRAM KEAHLIAN
MATA DIKLAT
Kode
Kompetensi
A
Menerapkan
konsep
operasi
bilangan real
B
Menerapkan
konsep
aproksimasi
C
Mengaplikasika
n konsep
persamaan dan
pertidaksamaan
D
Menerapkan
konsep matriks
: Rekayasa Perangkat Lunak
: Teknik 1
: Matematika
Sub Kompetensi
Menerapkan operasi
pada bilangan
real
Menerapkan operasi
pada bilangan
berpangkat
Menerapkan operasi
pada bilangan
irasional (bentuk
akar)
Menggunakan
konsep logaritma
Menerapkan konsep
kesalahan
pengukuran
Menerapkan konsep
operasi hasil
pengukuran
1. Menentukan
himpunan
penyelesaian
persamaan dan
pertidaksamaan
linear
2. Menerapkan
persamaan dan
pertidaksamaan
kuadrat
3. Menyelesaikan
sistem persamaan
1. Mendeskripsikan
macam-macam
matriks
2. Menyelesaikan
operasi matriks
3. Menentukan
determinan dan
invers
4
Judul Modul
Keterangan
Operasi
Bilangan Real
Modul 1
Aproksimasi
Modul 2
Persamaan dan Modul 3
Pertidaksamaan
Matriks
Modul 4
E
F
Menerapkan
1. Membuat grafik
Program Linear
konsep program
himpunan
linear
penyelesaian
sistem
pertidaksamaan
linear
2. Menentukan model
matematika dari
soal ceritera
(kalimat verbal)
3. Menentukan nilai
optimum dari
sistem
pertidaksamaan
linear, model
matematika
4. Menerapkan garis
selidik
Menerapkan
1. Mendeskripsikan
Logika
konsep logika
pernyataan dan
Matematika
matematika
bukan pernyataan
(kalimat terbuka)
2. Mendeskripsi kan
ingkaran,
konjungsi,
disjungsi, implikasi,
biimplikasi dan
ingkarannya
3. Mendeskripsi kan
invers, konvers dan
kontraposisi
1. Menerapkan
modus ponens,
modus tollens dan
prinsip silogisme
dalam menarik
kesimpulan
5
Modul 5
Modul 6
G
Menerapkan
trigonometri
H
Mengaplikasika
n konsep fungsi
1. menentukan dan
menggunakan nilai
perbandingan
trigonometri suatu
sudut
2. mengkonversi
koordinat kartesius
dan kutub
3. menggunakan
aturan sinus dan
kosinus
4. menentukan luas
suatu segi tiga
5. menggunakan
rumus trigonometri
jumlah dan selisih
dua sudut
6. menyelesaikan
persamaan
trigonometri
1. Mendeskripsikan
perbedaan konsep
relasi dan fungsi
2. Menerapkan
konsep fungsi
linear
3. Menerapkan
konsep fungsi
kuadrat
4. Menerapkan
konsep fungsi
eksponen
5. Menerapkan
konsep fungsi
logaritma
6. Menerapkan
konsep fungsi
trigonometri
6
Trigonometri
Modul 7
Relasi dan
Fungsi
Modul 8
I
Mengaplikasika
n konsep
barisan dan
deret
J
Menerapkan
konsep
geometri
dimensi dua
K
Menerapkan
konsep
geometri
dimensi tiga
Menerapkan
konsep vektor
L
M
Menerapkan
konsep teori
peluang
1. Mengidentifikasi
pola bilangan
bilangan dan deret
2. Menerapkan
konsep barisan
dan deret
aritmetika
3. Menerapkan
konsep barisan
dan deret geometri
1. Mengidentifikasi
sudut
2. Menentukan
keliling dan luas
daerah bidang
datar
3. menerapkan
transformasi
bangun datar
1. Mengidentifikasi
bangun ruang dan
unsur-unsurnya
2. Menghitung luas
permukaan
3. Menerapkan
konsep volum
bangun ruang
4. menentukan
hubungan antar
unsur-unsur dalam
bangun ruang
1. menerapkan
konsep vektor pada
bidang datar
2. menerapkan
konsep vektor pada
bangun ruang
1. Mendeskripsikan
kaidah
pencacahan,
permutasi dan
kombinasi
2. Menghitung
peluang suatu
kejadian
7
Barisan dan
Deret
Modul 9
Geometri
Dimensi Dua
Modul 10
Geometri
Dimensi Tiga
Modul 11
Vektor
Modul 12
Peluang
Modul 13
N
Mengaplikasika
n konsep
statistika
O
Menerapkan
konsep irisan
kerucut
1. Mengidentifikasi
pengertian
statistik, statistika,
populasi dan
sampel
2. Menyajikan data
dalam bentuk tabel
dan diagram
3. Menentukan
ukuran pemusatan
data
4. Menentukan
ukuran penyebaran
data
1. menerapkan
konsep lingkaran
2. menerapkan
konsep parabola
3. menerapkan
konsep elips
4. menerapkan
konsep hiperbola
8
Statistika
Modul 13
Irisan Kerucut
Modul 14
BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Modul siswa tentang Penerapan Konsep Operasi Bilangan Real ini terdiri terdiri 4
bagian proses pemelajaran yang meliputi 4 sub kompetensi, yaitu :
1. Operasi pada bilangan real. Kegiatan belajar 1 membahas macam-macam
bilangan real, lengkap dengan sifat-sifat dan operasi yang berlaku pada
bilangan real.
2. Operasi pada bilangan berpangkat (eksponen). Pada kegiatan belajar 2
bilangan berpangkat dijelaskan dengan konsep yang berlaku.
3. Operasi pada bilangan irasional (bentuk akar). Pada kegiatan belajar 3,
bilangan real diklasifikasikan ke dalam bilangan rasional atau irasional.
4. Logaritma. Kegiatan belajar 4 membahas bentuk bilangan logaritma,
termasuk di dalamnya dijelaskan sifat-sifat bilangan lgaritma.
5. Evaluasi untuk kompetensi Penerapan Konsep Operasi Bilangan Real di
alokasikan waktu 2 jam pelajaran.
Setelah mempelajari modul ini , kompetensi yang di harapkan adalah siswa
dapat menerapkan Konsep Operasi Bilangan Real dalam memecahkan
permasalahan yang berhubungan perhitungan-perhitungan teoritis maupun
aplikatif.
Pendekatan yang digunakan dalam modul ini adalah pendekatan siswa aktif
melalui metode: pemberian tugas, diskusi memecahkan masalah dan presentasi.
Guru merancang pemelajaran yang memberikan kesempatan seluas-luasnya
pada siswa untuk berperan aktif dalam membangun konsep secara mandiri
maupun bersama-sama. Peran guru lebih sebagai fasilitator, disamping sebagai
tutor.
B. Prasyarat
9
Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari modul ini adalah siswa
telah mempelajari dan mengerti konsep dasar mengenai bilangan yang sudah
dikenal sejak Sekolah Dasar.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Penjelasan Bagi Siswa
a. Bacalah modul ini secara berurutan dari Kata Pengantar sampai Cek
Kemampuan, pahami benar isi dari setiap babnya.
b. Setelah anda mengisi Cek Kemampuan, apakah anda termasuk kategori
orang yang perlu mempelajari modul ini? Apabila anda menjawab YA, maka
pelajari modul ini. Jika TIDAK, Anda bisa langsung mengerjakan latihanlatihan atau evaluasi di bagian akhir modul, maka acungan jempol layak bagi
Anda!
c. Laksanakan semua tugas-tugas yang ada dalam modul ini agar kompetensi
anda berkembang sesuai standar.
d. Buatlah rencana belajar anda dengan menggunakan format seperti yang ada
dalam modul, konsultasikan dengan guru dan institusi pasangan penjamin
mutu, hingga mendapat persetujuan.
e. Lakukan kegiatan belajar untuk mendapatkan kompetensi sesuai rencana
kegiatan belajar yang telah anda susun dan disetujui oleh guru dan institusi
pasangan penjamin mutu.
f.
Setiap mempelajari satu sub kompetensi, anda harus mulai dari menguasai
pengetahuan pendukung (Uraian Materi), melaksanakan tugas-tugas,
mengerjakan lembar latihan.
g. Dalam mengerjakan Lembar Latihan, anda jangan melihat Kunci Jawaban
terlebih dahulu sebelum anda menyelesaikan Lembar Latihan.
h. Laksanakan Lembar Kerja untuk pembentukan keterampilan psikomotorik
sampai anda benar-benar terampil sesuai standar. Apabila anda mengalami
kesulitan dalam melaksanakan tugas ini, konsultasikan dengan guru anda.
2. Peran Guru
10
a. Membantu siswa dalam merencanakan proses belajar.
b. Membimbing siswa melalui tugas-tugas pelatihan yang dijelaskan dalam
tahap belajar.
c. Membantu siswa dalam memahami konsep dan praktek baru dan menjawab
pertanyaan siswa mengenai proses belajar siswa.
d. Membantu siswa dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain
yang diperlukan untuk belajar.
e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan.
f.
Merencanakan seorang ahli/ pendamping guru dari tempat kerja untuk
membantu jika diperlukan.
g. Melaksanakan penilaian.
h. Menjelaskan kepada siswa mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan
merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya
i.
Mencatat pencapaian kemajuan siswa.
D. Tujuan Akhir
Spesifikasi kinerja yang diharapkan dikuasai siswa setelah mengikuti seluruh
kegiatan belajar adalah siswa dapat :
1. Menelaah dan menganalisa berbagai himpunan bilangan yang termasuk
bilangan real
2. Mampu menerapkan operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real
3. Menelaah dan menganalisa operasi pada bilangan berpangkat
4. Menelaah dan menganalisa operasi pada bilangan bentuk akar
5. Menelaah dan menganalisa operasi pada bilangan logaritma
Berdasarkan spesifikasi kinerja diatas, kemungkinan aplikasi konsep operasi
bilangan real secara nyata di dalam kehidupan sehari-hari dan dunia kerja
diantaranya aplikasi operasi hitung dalam berbagai transaksi bisnis atau
perdagangan, perhitungan-perhitungan yang membutuhkan ketelitian dengan
akurasi tertentu dengan menggunakan konsep eksponen atau logaritma, dan
sebagainya.
11
F. Cek Kemampuan
NO.
PERTANYAAN
YA
1.
Apakah Anda pernah mendengar istilah “bilangan real”
2.
Tahukah Anda operasi yang berlaku pada bilangan real
3.
Dapatkah
Anda
melakukan
operasi
TIDAK
penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian pada bilangan real
4.
Tahukah Anda definisi bilangan berpangkat
5.
Tahukah Anda definisi bilangan bentuk akar
6.
Tahukah Anda definisi logaritma
Apabila Anda menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas,
pelajarilah materi tersebut pada modul ini. Apabila Anda menjawab
“YA”
pada
semua
pertanyaan,
maka
lanjutkanlah
dengan
mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul
ini.
12
BAB II
PEMELAJARAN
A. Rancangan belajar Siswa
Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan bahwa modul ini hanya
sebagian dari sumber belajar yang dapat anda pelajari untuk menguasai
kompetensi Konsep Bilangan Real untuk mengembangkan kompetensi anda
dalam substansi non instruksional, anda perlu melatih diri. Aktifitas yang
dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi matematika juga
mengembangkan kompetensi substansi non instruksional. Untuk itu maka dalam
menggunakan modul ini anda harus melaksanakan tugas-tugas yang telah
dirancang dalam modul ini.
1. Buatlah rencana belajar anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang
telah disusun oleh guru, untuk menguasai kompetensi Konsep Logika
Matematika, dengan menggunakan format sebagai berikut :
NO.
ALASAN
PERUBAHAN BILA
DIPERLUKAN
PENCAPAIAN
KEGIATAN
TGL
JAM
TEMPAT
Mengetahui,
PARAF
SISWA
GURU
Cianjur, .............................. 2006
Guru Pembimbing
Siswa
(.............................)
(.............................)
13
2. Rumuskan hasil belajar anda sesuai standar bukti belajar yang telah
ditetapkan.
a. Untuk penguasaan pengetahuan, anda dapat membuat suatu ringkasan
menurut pengertian anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan
dengan kompetensi yang pernah anda pelajari. Selain ringkasan anda
juga dapat melengkapi dengan kliping terhadap informasi yang relevan
dengan kompetensi yang sedang anda pelajari.
b. Tahapan pekerjaan dapat anda tuliskan dalam diagram alir yang
dilengkapi dengan penjelasan.
c. Produk hasil praktik kegiatan ini produksi dapat anda kumpulkan berupa
contoh dan bentuk fisualisasinya.
d. Setiap tahapan proses akan diakhiri, lakukanlah diskusi dengan guru
pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal
yang harus dibetulkan maka anda harus melaksanakan saran guru
pembimbing anda.
A. KEGIATAN BELAJAR
1. Kegiatan Belajar 1 (Bilangan Real)
a. Tujuan Kegiatan Belajar 1
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat:
1) Megelompokkan bilangan-bilangan ke dalam berbagai himpunan
bilangan
2) Melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan real
3) Melakukan operasi perkalian dan pembagian pada bilangan rel
4) Melakukan konversi bilangan pecahan ke persen dan sebaliknya
5) Menghitung perbandingan skala
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1
1) Berbagai sistem bilangan
14
Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang
didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain:
"+ ","− ","× ","÷ ","
", dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan
dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.
Himpunan-himpunan bilangan secara skematis terlihat seperti pada
bagan berikut:
Himpunan bilangan kompleks
Himpunan
Bilangan Real
Himpunan
Bilangan Imajiner
Himpunan
Bilangan Rasional
Himpunan
Bilangan Irasional
Himpunan
Bilangan Bulat
Himpunan
Bilangan Pecahan
Himpunan
Bilangan cacah
Himpunan
Bilangan Bulat negatif
Himpunan
Bilangan Asli
Himpunan
Bilangan Prima
Nol
Himpunan
Bilangan Komposit
Gambar 1.1
15
(1)
2) Pengertian Bilangan Real
Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita
mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini.
Bilangan-bilangan bulat dan rasional
Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilanganbilangan asli (
= Natural),
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2
Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman
kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan
nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (
= dari bahasa Jerman,
Zahlen):
2, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 2
Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik,
bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang
untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran.
Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari
bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:
3 −7 21 19 16 −17
, , , , ,
,2
4 8 5 −2 2 1
Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk
m
, dimana m dan
n
n adalah bilangan bulat dan n ≠ 0 , disebut bilangan-bilangan rasional
(
= Quotient ).
Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta
yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno
beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa
meskipun
2 merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku
dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi
16
dua bilangan bulat. Jadi
(irasional). Demikian juga
2
adalah suatu bilangan tak rasional
3, 5, 3 7, π
Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan
bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang
bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.
Sekarang, coba periksa dengan menggunakan kalkulator nilai dari
1 2
, , 2, π . . Akan lebih bagus jika kalkulator yang digunakan memiliki
7 3
digit
lebih
banyak
dibanding
kalkulator biasa,
atau
Anda
bisa
menggunakan kalkulator yang tersedia di dalam setiap program windows
di komputer Anda, yang ketelitiannya bisa mencapai 34 digit.
Setelah diperiksa, diperoleh sebagai berikut:
1
= 0,14285714285714285714285714285714
7
2
= 0, 66666666666666666666666666666667
3
2 = 1, 4142135623730950488016887242097
π = 3,1415926535897932384626433832795
Apabila kita perhatikan, dua bilangan yang pertama yaitu
1
2
dan
7
3
memiliki bentuk desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan
urutan tertentu. Sedangkan dua bilangan terakhir yaitu
2 dan π (pi)
bentuk bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang).
Coba periksa juga bilangan-bilangan lainnya, apakah termasuk bilangan
rasional ataukah irasional!
Bilangan-bilangan real
Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur
panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan
bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah
bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada
17
garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi
lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan
atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang
tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu
sebagai garis real. Perhatikan gambar!
Kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam
diagram Gambar 1.1.
Pertanyaan
Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan
yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masingmasing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan
rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam
diagram venn?
3) Operasi pada Bilangan Real
Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian
a) Operasi penjumlahan
a + b = c dengan a, b, c ∈
Contoh:
1.
4 + 6 = 10
2.
4 + ( − 6 ) = −2
3.
−4 + 6 = 2
4.
−4 + ( −6 ) = −10
b) Operasi pengurangan
18
a − b = c ⇔ a + ( −b ) = c dengan a, b, c ∈
Contoh:
1.
6−4 = 2
2.
6 − ( −4 ) = 6 + 4 = 10
3.
−6 − 4 = −6 + ( −4 ) = −10
c) Operasi perkalian
a ⋅ b = c dengan a, b, c ∈
Contoh:
1.
6 ⋅ 4 = 24
2.
6 ⋅ ( −4 ) = −24
3.
( −6 ) ⋅ ( −4 ) = 24
d) Operasi pembagian
a
1
= a ⋅ = c dengan a, b, c ∈
b
b
Contoh:
1.
2.
8
1
= 8× = 2
4
4
4
1
5
= 4 : = 4 ⋅ = 20
1
5
1
5
3.
1
1 1 2 1 3 3
1
: = = ⋅ = =1
2 3 1 2 1 2
2
3
4.
1
1
1 1 1
:3 = 2 = × =
2
3 2 3 6
19
Pengubahan
pecahan
ke
desimal,
desimal
ke
persen,
dan
sebaliknya
a)
Mengubah pecahan biasa ke desimal
Contoh:
b)
1.
2 2× 2 4
=
=
= 0, 4
5 5 × 2 10
2.
5
5× 4
20
=
=
= 0, 2
25 25 × 4 100
3.
1 1× 125 125
=
=
= 0,125
8 8 ×125 1000
Mengubah pecahan desimal ke persen
Contoh:
1. 0,3 = 0, 3 × 100% = 30%
2. 0, 05 = 0, 05 × 100% = 5%
c)
Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya
Contoh:
Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen!
1. 25% =
25 1
=
100 4
2 50
16
2
50 1
2. 16 % = 3 = 3 =
=
3
100 100 300 6
3.
3 75
=
= 75%
4 100
4.
1 20
=
= 20%
5 100
Menghitung persentase
a)
Komisi
Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat
penjualan yang dilakukan
Contoh:
20
Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia
mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya
komisi yang diterima?
Jawab:
Komisi = 15% × Rp 2.000.000, 00
=
15
× Rp 2.000.000, 00
100
= Rp 300.000, 00
∴
Jadi
besarnya
komisi
yang
diterima
oleh
salesman
itu
sebesar Rp 300.000, 00 .
b)
Diskon
Diskon adalah potongan harga yang diberikan
Contoh:
Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon
sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp.
800.000,00, berapa kita harus membayar?
Jawab:
Diskon = 25% × Rp. 800.000, 00
=
25
× Rp. 800.000, 00
100
= Rp. 200.000, 00
∴ Jadi, kita harus membayar sebesar:
Rp. 800.000, 00 − Rp. 200.000, 00 = Rp. 600.000, 00
c)
Laba dan rugi
Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya
pembelian. Dirumuskan sebagai berikut:
Laba = Penjualan - Pembelian
Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya
pembelian. Rumusannya sebagai berikut:
Rugi = Pembelian - Penjualan
21
Contoh:
Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual
dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan
dari harga pembelian dan dari harga penjualan!
Jawab:
Laba =Rp. 2.400.000, 00 − Rp. 2.000.000, 00 = Rp. 400.000, 00
Persentase keuntungan (laba) dari harga beli:
p% =
Rp. 400.000
× 100% = 20%
Rp. 2.000.000
Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:
p% =
Rp. 400.000
× 100% = 16, 7%
Rp. 2.400.000
4) Sifat-sifat operasi bilangan real
Waktu SMP kita sudah mengenal operasi-operasi yang berlaku pada
bilangan real berikut sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali
sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan”
dan “perkalian”.
Untuk setiap a, b, c ∈
, beralku sifat-sifat berikut;
Penjumlahan:
1. Sifat tertutup pada penjumlahan;
a + b = r, r ∈
2. Sifat komutatif pada penjumlahan
a+b = b+a
3. Sifat asosiatif pada penjumlahan
( a + b ) + c = a + (b + c )
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
a ( b + c ) = ab + ac (distributif kiri)

 jika ada operasi perkalian
( b + c ) a = ab + ac (distributif kanan) 
22
5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau
elemen netral)
a+0 = 0+a = a
6. Sifat invers pada penjumlahan
a + ( −a ) = ( −a ) + a = 0
Perkalian:
1. Sifat tertutup pada perkalian
a × b = r, r ∈
2. Sifat komutatif pada perkalian
a×b = b× a
3. Sifat asosiatif pada perkalian
( a × b) × c = a × (b × c )
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
a ( b + c ) = ab + ac (distributif kiri)

 jika ada operasi penjumlahan
( b + c ) a = ab + ac (distributif kanan) 
5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)
a × 1 = 1× a = a
6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai
invers.
a×
1 1
= × a = 1 (untuk a ≠ 0 )
a a
1
0 × ≠ 1 (tidak ada/tidak didefinisikan)
0
Catatan:
Untuk selanjutnya kita sepakati
jangan sekali-kali membagi dengan nol,
karena kita tidak mungkin membuat pengertian dari lambang-lambang ini
c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 1
23
• Bilangan-bilangan real adalah
Sekumpulan bilangan (rasional dan
irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan
negatifnya dan nol.
• Sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan real diantaranya:
tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, identitas (0 adalah elemen
identitasnya), invers (lawan bilangannya).
• Sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan real diantaranya: tertutup,
komutatif, asosiatif, distributif, identitas (1 adalah elemen identitasnya).
• Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat
penjualan yang dilakukan.
• Diskon adalah potongan harga yang diberikan.
• Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya
pembelian.
• Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya
pembelian.
d. Tugas Kegiatan Belajar 1
Diskusikan soal-soal LKS 1
dengan anggota kelompok anda, kemudian
presentasikan hasilnya, sesuai dengan yang ditugaskan oleh guru.
e. Tes Formatif 1 (waktu 15 menit)
1. Nyatakan
himpunan
berikut
dengan
cara
mendaftar
semua
anggotanya!
a) A = { x 3 < x < 10, x ∈
b) B = { x x ≥ −5, x ∈
}
}
c) C = { x 2 ≤ x < 15, x ∈ bilangan prima}
2. Manakah bilangan di bawah ini yang termasuk bilangan rasional dan
bilangan irasional?
a) −5
b)
24
5
c)
1
5
d)
9
e) 1,3232
3. Nyatakan pecahan berikut ke dalam bentuk persen atau sebaliknya!
a)
b)
c) 12,5%
3
5
d) 175%
5
20
4. Frodo
1
e) 3 %
4
menjual
tanah
pamannya,
Mr.
Bilbo,
seharga
Rp.
1
75.000.000,00. Jika Mr. Bilbo memberinya komisi 2 % , berapakah
2
komisi yang diterima Frodo?
5. Berapa persen diskon yang diberikan “Toko Little S” jika harga
barang
Rp.
2.500.000,00
bisa
dibayar
dengan
harga
Rp.
2.325.000,00?
f.
Kunci Jawaban Tes Formatif 1
g. Lembar Kerja Siswa 1 (waktu 45 menit)
Dalam soal nomor 1-15, sederhanakan atau cari nilai dari bilanganbilangan berikut. Sedikit manipulasi mungkin diperlukan sehingga
hasilnya akan lebih mudah diperoleh.
1.
3, 056 − 5,301 =
8.
2 3 − 2 ( 4 − 8 )  =
2.
3
1
1
1 + 3 − 11 =
4
3
6
9.
5 1 2
− +  =
6 4 3
3.
2
1
23 × 5 =
3
2
10.
4.
23, 005 × 101, 5 =
3 5 2 
− −  =
4  8 12 
5.
3
1
4 :2 =
5 10
11.
11 1 1
 − + =
3 4 3 6
6.
4, 05 : 0, 001 =
7.
4 − 3 ( 8 − 12 ) − 6 =
1 2 1 1
12. −  −  − =
3 5 2 5
25
1 3 7
− +
2
4 8=
13.
1 3 7
+ −
2 4 8
14. 1 −
2.
2
1
2+
2
15. 2 +
2
1
2−
2
=
=
Kegiatan Belajar 2 (Bilangan Berpangkat)
a. Tujuan Kegiatan Belajar 2
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar 2, Anda diharapkan :
1. Memiliki pemahaman tentang bilangan berpangkat
2. Dapat menyelesaikan soal-soal dengan menggunakan sifat-sifat
eksponen
3. Dapat menentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2
Bentuk pangkat, akar, dan logaritma bukan hal asing bagi kita. Kita
sudah mengenal dan mempelajarinya di SMP. Pada bab ini konsep
tersebut
akan
kita
pelajari
kembali
tentu
dengan
beberapa
pengembangan.
Konsep-konsep tersebut tentunya akan bermanfaat sekali jika kita
pelajari dngan baik, sebab ada beberapa permasalahan dalam
kehidupan kita sehari-hari yang menggunakan konsep tersebut.
1) Bilangan Berpangkat (eksponen)
Kenyataan menunjukkan bahwa kebanyakan orang berkeinginan untuk
menggunakan cara yang paling simpel dalam berbagai hal, termasuk
cara menuliskan suatu bilangan.
Andai ditemukan kasus sebagai berikut. Anda diminta menuliskan cara
yang paling simpel untuk hal berikut!
a) 2 × 2 × 2 × 2 × ... × 2
(seratus kali)
26
b) 1× 2 × 3 × 4 × ... × 100
(sampai dengan 100)
c) 2 × 3 × 10 × 15 × 43
(perkalian 5 bilangan sembarangan)
d) x1 + x2 + x3 + ... + x100
(sampai dengan 100)
e) x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ ... ⋅ x100
(sampai dengan 100)
Penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
a) Ditulis dengan cara eksponen, 3100 (3 pangkat 100)
b) Ditulis dengan notasi faktorial, 100! (100 faktorial)
c) Tidak ada cara umum (tidak beraturan)
100
d) Ditulis dengan mengunakan notasi sigma,
∑x
i
i =1
100
e) Ditulis dengan mengunakan notasi pi, π xi
i =1
Dari keempat model cara penulisan singkat (bentuk umum) di atas, yang
akan kita pelajari sekarang adalah cara penulisan dalam bentuk
perpangkatan (eksponen).
Pengertian bilangan berpangkat
Kita ulangi cara penulisan seperti soal nomor (a) di atas.
2 × 2 × 2 = 23
4 × 4 × 4 × 4 = 44
a × a × a × a × a = a5
Dari cara penulisan itu dapat kita simpulkan:
a n = a14
⋅ a ⋅4
a244
⋅ a ⋅ ... ⋅3
a⋅
n buah faktor a
Keterangan:
a n dibaca a pangkat n
a (ruas kiri) disebut bilangan pokok, berasal dari a (ruas kanan)
yang disebut faktor.
n disebut eksponen (pangkat), menunjukkan banyaknya faktor a
27
Selanjutnya a1 = a , dan nanti kita akan menemukan bahwa a 0 = 1 .
Sifat-sifat bilangan berpangkat
Contoh
Generalisasi
1. 23 × 22 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 × 2 ⋅ 2
a m × a n = a m+n
= 2 3+ 2
= 25
2. 25 : 23 =
2⋅2⋅2⋅2⋅2
2⋅2⋅2
am : an =
= 25 −3
am
= a m−n
n
a
= 22
3.
(4 )
2 3
= 42 × 4 2 × 42
(a )
p n
=4
2+ 2 + 2
= a pn
= 46
4.
( 2 ⋅ 4)
3
= 2⋅ 4× 2⋅ 4× 2⋅ 4
(a ⋅ b)
= 2⋅ 2⋅ 2× 4⋅ 4⋅ 4
n
= a nb n
= 2 3 × 25
3
3
23
2 2
5.   = 3 =
3
4 4
( 22 )
=
6. 23 : 23 =
n
an
a
=
;b ≠ 0
 
bn
b
23 1 1
=
=
2 6 23 8
23
=1
23
a0 = 1
2⋅2⋅2
=
2⋅2⋅2
( a ≠ 0)
= 23−3 = 2 0
7. 23 : 25 =
=
23
25
a−n =
2⋅2⋅2
2⋅2⋅2⋅2⋅2
28
1
an
= 23−5 = 2 −2 =
1
22
3
2
2
2
2
3⋅
 2
8.  a 3  = a 3 × a 3 × a 3 = a 3 =a 2
 
( a)=
3
3
2
3
m
a2 × 3 a2 × 3 a2
a n = n am
= 3 a6 = a 2
2
a 3 = 3 a2
Contoh:
Hitung atau sederhanakan bentuk berikut!
1. 115 × 113
4. b3 : b10
2. a 9 × a 3
7
1 1
3.   ×  
5 5
5.
5
a7 ⋅ b ⋅ c4
a 4 ⋅ b3 ⋅ c
Jawab:
1. 115 ×113 = 115+3 = 118
2. a 9 × a 3 = a 9 +3 = a12
7
5
1 1 1
3.   ×   =  
5 5 5
7 +5
12
1
1
=   = 12 = 5−12
5
5
4. b3 : b10 = b 3−10 = b −7
5.
a7 ⋅ b ⋅ c4
= a 7 − 4 ⋅ b1−3 ⋅ c 4−1 = a 3 ⋅ b −2 ⋅ c 3
a 4 ⋅ b3 ⋅ c
Persamaan eksponen
Definisi:
Persamaan eksponen adalah persamaan yang didalamnya terdapat eksponen
(pangkat) yang berbentuk suatu fungsi dalam x.
29
Cara penyelesaiannya:
Tipe 1
a
f ( x)
= a p ⇔ f ( x) = p
( )
Contoh:
Selesaikan!
1. 52 x +1 = 59
2. 5 x
2
−4 x
=
1
125
Jawab:
1. 52 x +1 = 59 ⇔ 2 x + 1 = 9
⇔ 2x = 9 −1
⇔ x=
8
=4
2
∴ HP = {4}
2. 5 x
2
−4 x
=
2
1
⇔ 5 x − 4 x = 5− 3
125
⇔ x 2 − 4 x = −3
⇔ x2 − 4 x + 3 = 0
⇔ ( x − 1)( x − 3) = 0
⇔ x1 = 1; x2 = 3
∴ HP = {1,3}
Tipe 2
a
f ( x)
=a
g ( x)
⇔ f ( x) = g ( x)
Contoh:
Selesaikan!
1. 52 x +1 = 5 x − 2
2. 5 x
2
−4 x
=
1
125
Jawab:
30
1. 52 x +1 = 5 x − 2 ⇔ 2 x + 1 = x − 2
⇔ 2 x − x = −2 − 1
⇔ x = −3
∴ HP = {−3}
2. 5 x
2
−3 x
=
2
1
1
⇔ 5 x − 4 x = 2( 6 − x )
6− x
25
5
⇔ 5x
2
−3 x
=5
− 2( 6 − x )
⇔ x 2 − 3 x = −2 ( 6 − x )
⇔ x 2 − 3 x = −6 + 2 x
⇔ x 2 − 3x − 2 x + 6 = 0
⇔ x2 − 5x + 6 = 0
⇔ ( x − 2 )( x − 3) = 0
⇔ x = 2 atau x = 3
∴ HP = {2,3}
c. Rangkuman :
• Bilangan berpangkat (eksponen) didefinisikan sebagai:
a n = a14
⋅ a ⋅4
a244
⋅ a ⋅ ... ⋅3
a⋅
n buah faktor a
a (ruas kiri) disebut bilangan pokok, berasal dari a (ruas kanan) yang
disebut faktor.
n disebut eksponen (pangkat), menunjukkan banyaknya faktor a
• Sifat-sifat ekponen diantaranya:
a m × a n = a m+n
am
a m : a n = n = a m−n
a
(a )
(a ⋅ b)
p n
n
= a pn
n
an
a
=
;b ≠ 0
 
bn
b
a0 = 1
a−n =
= a nb n
31
m
n
( a ≠ 0)
1
an
a = n am
• Cara menyelesaikan persamaan eksponen:
Tipe 1: a
Tipe 2: a
f ( x)
= a p ⇔ f ( x) = p
f ( x)
=a
g ( x)
⇔ f ( x) = g ( x)
d. Tugas Kegiatan Belajar 2
Kerjakan dan diskusikan soal-soal Lembar Kerja 2 secara berkelompok,
kemudian presentasikan hasilnya.
e. Tes Formatif 2 (waktu 45 menit)
1. Hitunglah!
a) 109 × 10 −6
3
−2
1 1
b)   ×  
5 5
1

c)  23 ⋅ 
2

2
d) 8 ⋅   ⋅ 92
3
−3
7
5
2. Sederhanakan bentuk berikut ini!
a) a 9 × a −6
b)
c)
(2 p q )
2
5 3
a10b 2 c5
a 7 bc8
d) x 2 3 x 2
3. Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut ini!
a) 36 x −3 = 32 x +11
c) 52 x −6 = 5 5
b) 213 x + 2 = 128
d) 1253 x − 2 = 25 x − 20
f. Kunci Jawaban Tes Formatif 2
g. Lembar Kerja Siswa 2
1)
Lengkapi
pernyataan-pernyataan
berikut
ini
sehingga
pernyataan yang benar!
1.
Perhatikan sifat
am
= a m − n untuk a ≠ 0 dan m ≥ n .
an
32
diperoleh
2.
Sifat pada Langkah 1 menunjukkan bahwa hanya berlaku untuk m ≥ n .
Jika ditetapkan m dan n dengan m < n , misalnya m = 6 dan n = 8 ,
maka sifat pada langkah 1 memberikan:
3.
a6
= a...−... = a −...
8
a
(*)
sekarang hitunglah
a6
dengan menyatakan a 6 dan a 8 ke dalam
8
a
perkalian berulang a .
a1424
× a × ... ×3a
a6
... faktor
=
8
a
a14
× a4
×244
a × ... ×3a
... faktor
Sederhanakan faktor yang sama pada pembilang dan penyebut di
ruas kanan, dan tulis hasilnya.
a6
1
= ...
8
a
a
4.
(**)
Ruas kiri persamaan (*) dan (**) adalah sama, sehingga Anda dapat
menyamakan ruas kanannya dan diperoleh:
a −... =
1
a...
(***)
Ulangi langkah 2 sampai dengan Langkah 4 untuk nilai m dan n lainnya
dengan m < n . Perhatikan persamaan (***) yang telah Anda peroleh!
3. Kegiatan Belajar 3 (Bilangan Bentuk Akar)
a. Tujuan Kegiatan Belajar 3
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :
1) Memahami bentuk dan pengertian bilangan bentuk akar
2) Memahami sifat-sifat bilangan bentuk akar
3) Melakukan berbagai operasi pada bilangan bentuk akar
33
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3
1) Bilangan bentuk akar
Definisi bilangan bentuk akar
b= n a
Disebut bilangan bentuk akar, ini berasal dari persamaan b n = a .
Keterangan:
n
a disebut radikan atau bilangan di bawah tanda akar
n disebut indeks (penunjuk akar) yang selanjutnya disebut pangkat
a disebut radikal atau bentuk akar
akar, dengan n > 1, n ∈ .
Catatan:
9 = 32 = 3
a)
b)
c)
3
125 = 3 53 = 5
3
−8 =
5
−243 =
3
( −2 )
5
3
Akar pangkat n dari suatu
bilangan positif adalah positif
= −2
( −3 )
5
Akar pangkat n dari suatu
bilangan negatif adalah negatif
untuk n ganjil
= −3
−4 = tidak ada
(khayal/ imajiner)
Akar pangkat n dari suatu
bilangan negatif tidak ada jika n
genap
−9 = tidak ada
(khayal/ imajiner)
Sebab: ( 2 ) = 4
2
( −2 )
2
(?)
= −4 (tidak ada)
2
=2
Operasi pada bilangan bentuk akar
Perhatikan beberapa ketentuan berikut ini!
Bilangan m a dan
jika m = n .
n
b disebut senama jika dan hanya
34
(penting untuk prinsip perkalian dan pembagian)
Contoh:
a.
2, 2 3,3 5, 8 adalah bilangan-bilangan yang senama
3
b.
2, 3 3, 2 3 8, 3 21 adalah bilangan-bilangan yang senama
Bilangan m a dan n b disebut sejenis jika dan hanya
jika m = n dan a = b .
(penting untuk prinsip penjumlahan dan pengurangan)
Contoh:
2,3 2, −6 2,10 2 adalah bilangan-bilangan yang sejenis
a.
b.
3
3,5 3 3, 7 3 3, −
33
3 adalah bilangan-bilangan yang sejenis
2
1. Penjumlahan/ pengurangan bilangan bentuk akar
Dua atau lebih bilangan bentuk akar bisa dijumlahkan/
dikurangkan jika dan hanya jika akarnya sejenis.
Contoh:
a. 6 2 + 5 2 − 3 2 = ( 6 + 5 − 3) 2 = 8 2
b. 10 3 2 − 5 3 2 − 3 3 2 + 3 2 = (10 − 5 − 3 + 1) 3 2 = 3 3 2
c.
32 − 8 = 25 − 23
= 22 2 − 2 2
= 4 2 −2 2 = 2 2
d. 9 12 − 2 75 = 9 22 ⋅ 3 − 2 52 ⋅ 3
= 9⋅ 2 3 − 2⋅5 3
= 18 3 − 10 3 = 8 3
35
Perhatikan bahwa untuk contoh c dan d diperlukan penyederhanaan
terlebih dahulu sehingga akar-akarnya menjadi sejenis sehingga
operasi penjumlahan dan pengurangan bisa dilakukan.
2. Perkalian/ pembagian bilangan bentuk akar
Dua atau lebih bilangan bentuk akar bisa dikalikan/
dibagi jika dan hanya jika akarnya senama.
Contoh:
6 × 3 = 18 = 32 ⋅ 2 = 3 2
a.
b.
3
5 × 2 3 2 × 3 4 = 2 3 5 ⋅ 2 ⋅ 4 = 2 3 40 = 2 3 23 ⋅ 5 = 2 ⋅ 2 3 5 = 4 3 5
c.
3
5 × 7 = 6 52 × 6 7 3
= 6 25 × 6 343 = 6 8575
d. 2 2 × 5 2 × 10 2 = 210 25 × 10 22 × 10 2
= 210 25 × 2 2 × 2
= 210 28 = 2 5 24
c. Rangkuman :
•
Definisi bilangan bentuk akar
b= n a
Disebut bilangan bentuk akar, ini berasal dari persamaan b n = a .
Keterangan:
n
a disebut radikan atau bilangan di bawah tanda akar
n disebut indeks (penunjuk akar) yang selanjutnya disebut pangkat
a disebut radikal atau bentuk akar
akar, dengan n > 1, n ∈ .
•
Bilangan
m
a dan
n
b disebut senama jika dan hanya jika m = n .
36
b disebut sejenis jika dan hanya jika m = n dan a = b .
•
Bilangan
•
Dua atau lebih bilangan bentuk akar bisa dijumlahkan/ dikurangkan jika
m
a dan
n
dan hanya jika akarnya sejenis.
•
Dua atau lebih bilangan bentuk akar bisa dikalikan/ dibagi jika dan hanya
jika akarnya senama.
4. Kegiatan Belajar 4 (Logaritma)
a. Tujuan Kegiatan Belajar 4
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :
1) Memahami pengertian logaritma
2) Memahami sifat-sifat logaritma
3) Menyelesaikan soal-soal dengan menggunakan sifat-sifat logaritma
4) Menentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 4
1) Logaritma
Ketika Anda berbisik, intensitas bunyi yang dihasilkan sangatlah kecil.
Berbeda dengan suara halilintar ketika hujan terjadi yang bisa
menghasilkan intensitas bunyi yang sangat besar.
Allah swt. telah menganugerahkan kita sepasang telinga, yang dengan
kepekaannya hingga mampu mendengar bunyi dalam selang intensitas
yang cukup lebar, yaitu mulai dari 10-12 W.m-2 hingga 1 W.m-2, atau
dalam rentang 10-12. Supaya rentang intensitas yang dapat didengar
oleh telinga, yaitu 10-12 dapat dilukiskan dalam kertas milimiter dengan
rentang pengukuran hanya 103, digunakanlah skala logaritma.
Hal yang sama akan Anda temui dalam ilmu kimia ketika Anda belajar
tentang keseimbangan ionik dalam larutan asam basa. Ukuran tingkat
keasaman larutan dinyatakan dalam pH, yang didefiniskan dengan
menggunakan konsep logaritma. Dalam bidang ekonomi pun, ada
konsep logaritma digunakan.
37
Hal tersebut, menggambarkan betapa perlunya Anda memahami
logaritma dengan baik.
Definisi logaritma
a
log b = c ⇔ a c = b
dengan syarat: a > 0; a ≠ 1 dan b > 0 .
Perhatikan, bahwa logaritma adalah invers (kebalikan) dari eksponen.
Bentuk logaritma
a isebut bilangan pokok
b isebut numerus
c disebut hasil
Bentuk eksponen
a disebut bilangan pokok
b disebut pangkat (eksponen)
c disebut hasil
Contoh:
Hitunglah logaritma (soal a dan b) dan cari nilai x (soal c dan d)!
a. log10.000
b.
2
log
1
2
Jawab:
a.
log10.000 = 4, sebab 10 4 = 10.000
b.
2
log
c.
2
log x = 3 ⇔ 23 = x = 8
d.
4
log x =
1
1
= −1, sebab 2−1 =
2
2
1
1
⇔ 42 = x
2
⇔ x= 4=2
Sifat-sifat logaritma
38
c.
2
log x = 3
d.
4
log x =
1
2
1. Sifat perkalian
a
log ( b × c ) = a log b + a log c
2. Sifat pembagian
a
log
b a
= log b − a log c
c
3. Sifat pemangkatan
log b n = n ⋅ a log b
a
4. Sifat pengubahan bilangan pokok
c
a
log b =
c
log b
log a
a
log b =
b
c
1
log a
log b
Contoh:
Jika log 2 = 0,301 , log 3 = 0, 477 , log 5 = 0, 699 , hitung:
a. log 6
c. log
b. log18
9
4
Jawab:
a. log 6 = log 2 ⋅ 3 = log 2 + log 3 = 0,301 + 0, 477 = 0, 778
b. log18 = log 2 ⋅ 32 = log 2 + log 32 = log 2 + 2 log 3 = 0,301 + 2 ( 0, 477 ) = 1, 255
c.
log
9
= log 9 − log 4 = log 32 − log 22 = 2 log 3 − 2 log 2 = 2 ( 0, 477 ) − 2 ( 0, 301) = 0,352
4
c. Rangkuman :
• Logaritma adalah invers dari eksponen
a
log b = c ⇔ a c = b
a disebut bilangan pokok, dengan a > 0 dan a ≠ 1
b disebut numerus, dengan b > 0
39
c disebut hasil logaritma, bisa positif, nol, atau negatif
• Sifat-sifat logaritma:
o
Sifat perkalian a log ( b × c ) = a log b + a log c
o
Sifat pembagian a log
o
Sifat pemangkatan a log b n = n ⋅ a log b
o
Sifat pengubahan bilangan pokok a log b =
b a
= log b − a log c
c
c
40
c
log b
log a
DAFTAR PUSTAKA
Putra, 2004, Matematika SMA Kelas 1 Jilid 1B, Jakarta: PT Gramedia
Widiasarana Indonesia.
Tim Penulis Matematika, 1995, Matematika SMU 1B Edisi Revisi, Bandung: PT
Remaja Rosdakarya.
Tim Penulis Matematika, 2004, Matematika Untuk SMK Kelas 1, Dinas
Pendidikan Propinsi Jawa Barat.
41