PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

PANGKAT, AKAR DAN
LOGARITMA
PANGKAT


Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang
banyaknya perkalian bilangan yang sama secara beruntun.
Notasi pemangkatan sangat berfaedah untuk merumuskan
bentuk perkalian secara ringkas. Sebagai contoh :
7x7x7x7x7 = 75
5x5x5x5x5x5x5 = 57
0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,3 = 0,36
Notasi pemangkatan berfaedah pula untuk meringkas bilangan
kelipatan perkalian-sepuluh yang nilainya sangat besar/kecil
Sebagai contoh :
100.000
= 105
0,00001
= 10 -5
1.000.000.000
= 109
5.000.000.000
= 5.109
0,000.000.001
= 10-9
0,000.000.034
= 34x10-9
Kaidah Pemangkatan Bilangan
1. Bilangan bukan-nol berpangkat nol adalah satu.
3°=1
2. Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri.
31 = 3
3. Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol.
03 = 0
4. Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali
(multiplicative inverse) dari bilangan itu sendiri.
1
1
1


9
3-2 = 3 2
9
5. Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari bilangan itu
sendi: dengan suku pembagi dalam pecahan menjadi pangkat
dari akarrn sedangkan suku terbagi menjadi pangkat dari
bilangan yang be sangkutan.
5. Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari bilangan itu sendiri dengan suku pembagi dalam pecahan
menjadi pangkat dari akar sedangkan suku terbagi menjadi pangkat dari bilangan yang be sangkutan.
2
5
3  5 32  5 9  1.55
6. Bilangan pecahan berpangkat adalah hasil bagi suku-suku berpangkatnya.
2
2
3 3 9
   2
 5  5 25
7. Bilangan-berpangkat dipangkatkan lagi adalah bilangan berpangkat hasilkali pangkat-pangkatnya.
(32)4 = 3 2x4 = 38= 6561
9. Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat jumlah
pangkat-pangkatnya.
32 x 34 = 3 2+4 = 36 = 729
10. Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah
perkalian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan.
32 x 52 = (3 x 5)2 = 152 = 225
Kaidah Pembagian Bilangan
Berpangkat
11. Hasilbagi bilangan-bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat
selisih pangkat-pangkatnya.
1
3 :3 =3 =3 =
9
2
4
2-4
-2
12. Hasilbagi bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah
pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan.
32 9
3 :5 =( ) =
5 25
2
2



Seorang wanita naik ke sebuah bus kota sambil menggendong seorang
bayi.
Sopir bus itu berkata, "Seumur hidup belum pernah aku melihat bayi
seburuk itu.”
Karena gusar, wanita itu dengan kasar melemparkan ongkos karcisnya ke
dalam kotak karcis, lalu duduk di kursi paling belakang.

Seorang pria yang duduk di sebelahnya dapat melihat kegusaran wanita itu
dan menanyakan apa masalahnya.

"Sopir bus menghinaku," omel wanita itu.

Pria itu merasa bersimpati dan berkata,

"Seharusnya dia tidak boleh seperti itu, dia khan pelayan masyarakat, jadi
ia tidak boleh menghina penumpang yang dilayaninya."

"Wah, benar juga pendapat anda," sahut wanita itu.

"Akan kukatakan hal itu sekarang juga padanya.”
"Ide yang bagus," jawab pria itu.
"Mari, biar kugendongkan sebentar monyetmu."


AKAR
Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Akar dari sebuah bilangan ialah basis
yang memenuhi bilangan tersebut berke-naan dengan pangkat akarnya. Berdasarkan konsep pemangkatan
kita mengetahui, bahwa jika bilangan-bilangan yang sama (misalnya x) dikalikan sejumlah tertentu
sebanyak (katakanlah) a kali, maka kita dapat menuliskan-nya menjadi xa; x disebut basis dan a disebut
pangkat. Andaikata xa = m, maka x dapat juga disebut sebagai akar pangkat a dari m, yang jika dituliskan
a
m
1
3
3
64  64
5
3  3  1.55
2
2
5
4
Kaidah penjumlahan
5 3  2 3  7 3  7(1.73)  12.11
Kaidah perkalian
3
8 x 3 64  3 8 x64  3 512  8
Kaidah pembagian
3
8 3 8 31


 0.5
3
64 64 8
LOGARITMA
 Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan
dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran. la
dapat dipakai untuk menyederhanakan operasioperasi perkalian, pembagian, pencarian pangkat
dan penarikan akar.
 Logaritma dari suatu bilangan ialah pangkat yang
harus dikenakan (memenuhi) bilangan pokok
logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.
Andaikata sebuah bilangan berpangkat (xa) sama dengan bilangan ( m ), maka dalam bentuk pemangkatan
kita dapat menuliskan menjadi:
xa = m
dirnana x adalah basis dan a adalah pangkat.
Pangkat a disebut juga logaritma dari m terhadap basis x ,
yang dituliskan dalam bentuk logaritma menjadi :
a = x log m
atau a = log x m.
52 = 25 atau5 log 25 = 2
43 = 64 atau4 log 64 = 3.
102 = 100 atau 10 log 100 = 2.
2
100  10
Basis Logaritma
• Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun.
Akan tetapi pada umumnya basis logaritma selalu
berupa bilangan positif dan tidak sama dengan
satu.
• Basis logaritma yang paling lazim dipakai, karena
pertimbangan praktis dalam penghitungan, adalah
bilangan 10.
• Karena kelaziman tersebut maka basis 10 ini pada
umumnya
tidak
dicantumkan
dalam
notasi
logaritma.
• Dengan demikian log m berarti adalah 10 log m, log
24 = I0log 24, 10 log 65 dapat dituliskan menjadi
log 65 saja.
• (Uraian-uraian selanjutnya di dalam buku ini juga
mengikuti kelaziman tersebut; untuk setiap notasi
logaritma yang tidak mencantumkan basis tertentu,
berarti merupakan logaritma berbasis 10).
Logaritma berbasis 10 disebut juga logaritma biasa
(common logarithm) atau logaritma Briggs (berdasarkan
nama penemunya, Henry Briggs, 1561 — 1630).
► Di samping bilangan 10, basis lain yang juga lazim dipakai
dalam logaritma adalah bilangan e (e = 2,718287 atau
sering diringkas menjadi 2,72).
► Logaritma berbasis e disebut juga logaritma alam (natural
logarithm) atau logaritma Napier (John Napier,
penemunya, hidup antara tahun 1550—1617).
► Jika notasi logaritma Briggs dilambangkan dengan log,
maka logaritma Napier dilambangkan dengan Ln.
► Dengan demikian Ln m berarti elog m, Ln 24 = e log 24, e
log 65 dapat dituliskan menjadi Ln 65 saja.
►
Kaidah-kaidah Logaritma
• 1. X log X = 1
• 2. Xlog 1 = 0
• 3. Xlog X2 = 2





Ibu Gembus, yang sudah tua, datang kepada
dokter; kedua telinganya terbakar.
"Apa yang terjadi pada ibu?", tanya dokter.
"Saya sedang menyeterika, lalu telepon
berdering ....." cerita bu Gembus, kemudian
menunjukkan telinganya yang terbakar.
"Itu kejadian yang menimpa telinga kiri ibu,
lalu yang kanan?" tanya dokter sambil
mengamati telinga bu Gembus yang sebelah
kanan.
"Lalu saya mau menelepon ambulans ...."
Penyelesaian Persamaan dengan
Logaritma
• Logaritma dapat digunakan untuk mencari bilangan yang belum
diketahui dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan
eksponensial dan persamaan logaritmik.
• Persamaan eksponensial ialah persamaan yang bilangannya
berupa pangkat, misalnya 5X = 125 dan 3x+1 =27. Sedangkan
persamaan logaritmik ialah persamaan yang bilangannya berupa
bilangan logaritma, sebagai contoh log (3 x + 298) = 3.
• Untuk menyelesaikan sebuah persamaan eksponensial dengan
menggunakan logaritma, pertama-tama logaritmakan dulu kedua
ruas persamaan, kemudian selesaikan bilangannya berdasarkan
persamaan logaritmik yang baru terbentuk
Hitunglah x untuk 3x + l = 27
Dengan melogaritmakan kedua ruas :
log 3 x+l = log 27
(x + 1) log 3 = log 27
x+1=
log 27 1.431

3
log 3
0.477
x = 3-1 = 2


Selesaikan x untuk log (3x + 298) = 3
Berdasarkan definisi logaritma, kita dapat menuliskan
log (3x+ 298) = 3 ke dalam bentuk pangkat menjadi:
(3 x + 298) = 103 sehingga:
3 x + 298 = 1000
3 x = 702, x = 234.