bab i bentuk pangkat, akar dan logaritma

Amarhadi
BAB I
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN
LOGARITMA
Standar Kompetensi
1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan
logaritma
Kompetensi Dasar
1.1 Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma
1.2 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat,
akar, dan logaritma
Dalam perhitungan para ahli, dinyatakan bahwa
berat bumi adalah 5.976 juta ton. Berpa
kilogramkah
itu?
Coba
kita
tuliskan:
5.976.000.000.000.000.000
kg.
Dalam
ilmu
pengetahuan alam, banyak digunakan bilanganbilangan yang sangat besar atau sangat kecil.
Misalnya dalam pelajaran kimia terdapat tetapan
avogadro yaitu 602.000.000.000.000.000.000.000;
dalam ilmu fisika dikatakan muatan elektron (yang
diketemukan oleh Joseph John Thompson) adalah
-0,00000000000000000016 Coulomb. Jika seorang
Joseph John Thompson
ahli fisika dalam perhitungannya melakukan
(1856 – 1940)
kesalahan penulisan (misalnya kurang satu angka 0
atau kelabihan angka 0), maka hasil akhir perhitungannya juga salah. Dengan
adanya cara penulisan bilangan berpangkat, kerepotan penulisan angka
dihilangkan dan resiko kesalahan dapat diperkecil. Berat bumi dituliskan
sebagai 5,976 . 1018 kg. Tetapan avogadro sebesar 6,02 . 1023 dan muatan
elektron -1,6 . 10-19 Coulomb. Masih banyak lagi penulisan berpangkat yang
akan kita pelajari dalam bab ini.
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 1
Amarhadi
A. Bentuk pangkat
Bilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat
pecahan.
1. Pangkat Bulat Positif
Perkalian berulang suatu bilangan real dapat dituliskan dalam bentuk
bilangan berpangkat bulat positif.
Notasi eksponen sangat berguna untuk menuliskan hasil perkalian
suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara berurutan .
Misal : 2 x 2 x 2 ditulis 23 berarti 23 = 2 x 2x 2
Pada bentuk 23, 2 disebut bilangan pokok atau basis dan 3 yang ditulis
di atas bilangan 2 disebut pangkat atau eksponen.
Definisi Bilangan berpangkat bulat positif
Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat lebih dari satu , maka
pangkat ke – n dari a ditulis an dan didefinisikan sebagai hasil
perkalian n faktor masing-masing a yaitu :
an = a x a x a x .... x a
n faktor
untuk n = 1 didefinisikan a1 = a.
Keterangan :
an dibaca “ a pangkat n “ disebut bilangan berpangkat.
a disebut bilangan dasar atau bilangan pokok.
n disebut eksponen atau pangkat.
Contoh 1 :
Tuliskanlah bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat / eksponen
1. 4 x 4 x 4 x 4 x 4
jawab : 45
3
2. ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 )
jawab :  2 
4
1 1 1 1
3.   x  x  x 
5 5 5 5
jawab :
4. 81
5. 256
6. 30.000
jawab :
jawab :
jawab :
1
 
5
34
44
3x104
2. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat positif
Untuk m , n  B  dan a  R maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut
Bukti :
1. a m x a n  a m  n
am x an =








a
x
a
x
a
x
...
x
a
x
a
x
a
x
a
x
...
x
a








m faktor
...




= a x a x a x ... x a
... faktor
=a
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
…
Page | 2
Amarhadi
2. a m : a n  a m  n ; m > n
Bukti :

 

am : an =  a x a x a x ... x a  :  a x a x a x ... x a 


 

m faktor
 

...
faktor
(a x a x a x ... x a ) x a x a x a x ... x a )
... faktor
=
a x a x a x ... x a
faktor
=
faktor
 
3. a n
m
Bukti :
( am )n = a m x a m x a m x ... x a m
 a mn
n faktor
=
(a x a x a x ... x a ) x (a x a x a x ... a ) x ... x ( a x a x a .... x a )
mfaktor
...
...
...
= (a x a x a x ... x a )
... x
=
faktor
a…
Bukti :
m
am
a
4.    m
b
b
a
 
b
m

a
a
a
a
x
x
x ... x
b
b
b
b
m faktor
...
a x a x a x ... x a
=
b x b x b x ... x b
...
=
m
5. a x b   a m xb m
Bukti :
( ab)m
a
...
b...
= ab x ab x ab x ... x ab
m faktor
= (a x a x a x ... x a ) x ( b x b x b x ... x b
m faktor
...
=
x
= a… b…
am
b…
Contoh 2 :
Tuliskan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat
1.
8x 5 y 6
2
 6x y
3

4 5 2 6 3
4
x y   x3 y3
3
3
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 3
Amarhadi
2x y 
2
4x 4 y 2

 x 43 y 21  xy
3
3
4x y
4x y
2
2.
2x  4y   4x y  
4xy   6x y 
3 2
3.
3
2
2
2
2
16 x 6 y 3  4 x 2 y 2
16 x 2 y 2  6 x 2 y 2
2


2 x 2 y 2 8x 4 y  2
2
22 x y
2
  1 8x
11
4
y2

3. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat negatif dan nol
Pada sifat 2 : am : an = am-n untuk m > n dan a  0.
 Bagaimana jika m = n .
Kita tahu bahwa 25 = 1 dan 25 = 52
25
2
Seandainya sifat 2 berlaku maka : 25 = 5 = 52- 2 = 50 = 1
25

52
Bagaimana jika m < n
Perhatikan sifat : am : an untuk a  0
Seandainya berlaku untuk m = 0 diperoleh :
am : an = a0 : an pada bilangan a0 = 1 untuk a  0
maka a0 : an
= 1 : an
a0-n
= 1 : an
a-n
= 1 : an
a-n
1
an
=
Dari ilustrasi di atas lakukan kegiatan berikut untuk membuktikan sifat
pankat bulat negatif dan nol
Bukti :
1. Jika a  0, maka a 0  1
2. Jika n  B dan a  0 maka a  n 
1
an
Bukti :
Contoh 3 :
Tuliskan bilangan-bilangan berikut dengan pangkat bulat positif
1
1. 2  4 
2
4
4
2.  3x 


1
16
1
 3x 4

1
81x 4
Latihan Kompetensi 1
 x2
1. Sederhanakan   4
y



2
 y 3 
. 2 
 x 
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
3
 3 23  2 15
x y
6. Sederhanakan 
1
 z 14






2
1
2
Page | 4
Amarhadi
 p 3 q 4
2. Sederhanakan   2 3
r s
3. Sederhanakan



2
 p 3 r 3 
.  4 4 
q s 
a 2  b 1
a 1  b  2
2
10

1
 2 2   4 

7.  x 5 y 3  

 





  1 1 
:  x 4 y 4 





8. Tentukan nilai dari T 
untuk a = 100 , b =
4. Sederhanakan
x
1   
 y

x
1   
 y
4
2
3
ab 3 c 4 ,
1
dan c = 0,01
8
9. Sederhanakan
ab 1  a 1b
b 1  a  2
x 3  y 3
5. Buktikan 3
x  y 3
3
 1
2
2
2
  3 .  3   3 

2
  3


3

 
5
 
3
10. Sederhanakan  8  2  . 8 0

 
2 
6

3
TUGAS 1
1. Sederhanakan
6. Tulis dalam satu suku
 18 x 2 y 3
 12 x  5 y 5

2. Sederhanakan x 2  y 2
1 1 1 1
1
   
2 4 8 16 32

2
7. Tulis dalam bentuk
4
5
6
2m
2n
2
2
2
2
8   4   2   6 
3
5
3
3
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
7
Page | 5
Amarhadi
 a 2
3. Sederhanakan  7
 b



3
 a4 
. 3 
b 
2



8. Sederhanakan
a 4  b 4

a 2  b 2
9. Sederhanakan
xy 1  x 1 y

y 1  x 1
1
4. Sederhanakan




  4 x 2 y 3  2 xy 2 


4 2
5
  4x y  2x y 
2

5. Sederhanakan

2  2 
2  2 
2 4
3 2
2 2
5 3


 1 1
10. Sederhanakan  3 . 1
 a
b2

3
 
 
.ab  
 
B. Bentuk Akar
Kita telah membahas dan memberi arti pula pada bilangan dengan pangkat
bulat, misalnya 7-9, 93, 50 dan sebagainya. Sekarang dapatkah kita memberi
1
1

1
arti dan definisi yang baik terhadap bilangan 5 7 , 3 2 , 100 3 dan bilangan-bilangan
lain yang serupa dengan itu. Jawabnya bisa! Bilangan tersebut disebut
bilangan berpangkat rasional.
1. Pangkat Rasional
Definisi pangkat rasional
 Misalkan a dan b bilngan real, n bilangan bulat positif , n ≥ 2 dan bn = a
maka b dinamakan akar pangkat n dari a dan dinyatakan dengan
1
a n  n a , n ≥ 2; dibaca akar pangkat n dari bilangan a
1
Untuk n = 2, a 2  a ; pangkat tidak ditulis dan dibaca akar a
 Jika m , n bilangan bulat dan a  Re al , maka
m
a n  n am 
 a
n
m
, n ≥ 2; dibaca akar pangakat n dari bilangan a pangkat m
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 6
Amarhadi
Contoh 4 :
Tuliskan dalam bentuk akar yang sederhana
2
5
1. a 
5
a2
7
2
 212 
3
2
3


2. a
  a  a
 
1
3.
3
4  4 3
  
27  27 
3
3
4
1
 34
27 3
2. Bilangan Irasional dan Bentuk Akar
Sebelum membahas lebih jauh bentuk akar, mengingat kembali tentang
bilangan rasional dan bilangan irasional yang telah dibahas sebelumnya.
Bilangan Real
Bilangan Irasional
Bilangan Rasional
Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat
Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk
a
dengan a, b bilangan bulat dan b  0.
b
Berdasarkan definisi tersebut, bilangan rasional dapat dibedakan menjadi
dua macam yaitu bilangan bulat dan bilangan pecahan, sedangkan bentuk
akar merupakan bagian dari bilangan irasional.
Perhatikan barisan bilangan berikut ini :
2 ,
4 ,
6 ,
8 ,
2,
6,
8,
12 ,
9 ,
20
12 ,
16 ,
20 ,
25 ,
36 .
merupakan bentuk akar, karena bilangan-
bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan
a
dan
b
mempunyai nilai masing-masing sebagai berikut :
2 = 1.4142135623...
12 = 3.4641016151...
6 = 2.4494897427...
20 = 4.4721359549...
8 = 2.8284271247...
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 7
Amarhadi
Bilangan irasional dapat diartikan sebagai bilangan pecahan desimal tak
terbatas dan tak berulang
4 , 9 , 16 ,
25 , 36
bukan bentuk akar karena bilangan-bilangan
tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan bulat, seperti :
4 = 2,000...
9 = 3,000...
16 = 4,000...
25 = 5,000...
36 = 6,000...
Bilangan rasional dapat diartikan sebagai bilangan pecahan desimal tak
terbatas tetapi berulang
Contoh 5 :
Tunjukkan bahwa bilangan 0,666... = 2/3
Penyelesaian
Misalkan :
:
x = 0,666...
- - - - - - - - - ( kedua ruas dikalikan dengan 10 )
 10x = 6,666 ...
 10 x = 6 + 0,666 ...
 10 x = 6 + x
 10 x – x = 6
 9x = 6

x = 6/9 = 2/3
Kerjakan soal berikut ini seperti contoh di atas
Tunjukkan bahwa bilangan 0,242424... = 8/33
Misalkan :
x = 0,242424...
- - - - - - - - - (kedua ruas dikalikan dengan 100)
 .... = 24 , ...
 .... = .... + ...
 .... = .... + ...
 .... – ... = ....
 .... = ....
 .... = ....
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 8
Amarhadi
Contoh 6 :
Pada bangun persegi di bawah ini,
bentuk akar, jika diketahui
a. panjang sisi
diagonal manakah yang merupakan
3 cm
b. panjang sisi 2 2 cm
:
Penyelesaian
C
D
A
B
( 3 )2  ( 3 )2
a. AD =
=
33
=
6
Panjang diagonal ini merupakan bentuk akar
b. AD = ............................
= ............................
= ............................
..........................................................................
3. Bentuk akar atau Radikal
Pernyataan yang berbentuk n a yang berarti akar pangkat n bilangan a.
bilangan positif n adalah indeks atau tingkat akar dari radikal dan bilangan
a adalah bilangan yang diambil akarnya (radikan), serdangkan lambang n
tanda akar. Apabila n = 2 maka indeksnya dihilangkan, sehingga
memiliki arti
2
a
a.
Definisi
Jika n bilangan asli dengan n > 1 dan a  R, maka akar pangkat n bilangan
a ditulis n a didefinisikan sebagai berikut:

n
a adalah akar pangkat n yang positif dari a, dengan a > 0

n
a adalah akar pangkat n yang negatif dari a, dengan a < 0 dan n ganjil.

n
0 0.
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 9
Amarhadi
4. Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya
Pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara mengubah bentuk akar ke
dalam bentuk pangkat dan sebaliknya.
Contoh 7 :
Nyatakan bilangan berpangkat di bawah ini dalam bentuk akar
2
2
a. 6 5
Penyelesaian
:
2
5
6
=
a.
b.
22
b. 5a 3
5 2
6
=
2
5a 3
=
5
2
a3
2
22
5 36
=
c. x 3
2
c. x 3 = x2 . x 3 = x
3 2
x
5
3 2
a
Contoh 8 :
Nyatakan dalam pangkat rasional pecahan positif
a.
5 2
3
6
Penyelesaian
a.
c. b 1 b3
b. a 3 a 2
5 2
3
d.
1 3 1
9 81
:
2
= 35
2
31
3
1
6
b. a 3 a 2 = a3 x a 6 = a 3
c.
b 1 b3 = b–1 x b 2 = b 2
d.
1
1
13 1
 1 3
–
2
= 3 x   = 3– 2 x 3 4 3 =
9 81
 81 
 
3
1
3 3
=
1
1
33 3
Latihan Kompetensi 2
1. Manakah diantara bilangan di bawah ini yang merupakan bentuk akar,
berikan alasan.
a. 10
c. 0,9
e. 3 0,8
g. 3 0,08
6
8
f. 3 1000
h. 3
9
64
2. Nyatakan bilangan pangkat di bawah ini dalam bentuk akar
b.
125
1
a. 3 2
2
b. 5 3
d.
13
c. a 4
 12
d. ( 1 )
8
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
 13
e.
81
f.
x 2
1
4
g. 7 y 5
21
h. ( x 2 y ) 3
Page | 10
Amarhadi
3. Nyatakan bentuk akar di bawah ini dalam pangkat pecahan
a.
3
b.
4
g. p 2 4 p
5
2
c.
3
36
e.
2 a3
9
d.
3
16
f.
x
5
x3
h.
1 3
81
9
4. Nyatakan bentuk akar di bawah ini dalam bilangan berpangkat dengan
bilangan pokok 2
a.
5
c. 2
16
b. 3 32
5
4
1
2
d.
3 1
32
g.
1 3
4
2
1
f. 4 4
h.
1
4
e.
8
1
2
5. Nyatakan x dalam bentuk pecahan murni untuk setiap soal di bawah
a. x = 0,777...
b. x = 0,252525...
c. x = 0,135135135...
6. Nyatakan bilangan desimal 2,525252 … ke dalam bentuk bilangan rasional
a
b
pecahan
7. Nyatakan bentuk pangkat di bawah ini dalam bentuk akar
 2 
e.  x 
1
a. (x 2 y 2 ) 3
 2y 2 


5 1
b. a 6 b 3
c.
f.
   2   13 
 a
 
  b 1  
 
 
g. x 2 ( x 3 + x
1
2
1
d.
1
2
2
1
2
3x
 23
 a2 3


 b 1 


h. x
 12 )
 12 ( 2 + y 12 )
8. Nyatakan dalam bentuk pangkat pecahan positif
3
a. ( x
2
– 1 )1/ 4 ( x
2
– 1 )3/ 4
c.
x2
x 3
1
b.
x
3
x 1

d.
4
36 x 3
1
x5
c.
1
x
3
x x

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
f.
4


x2 3 x

x 

2
Page | 11
Amarhadi
5. Menyederhanakan bentuk akar
Dalam perhitungan sering menemukan bentuk akar bilangan besar yang
bukan merupakan bilangan prima, pada bagian ini
akan dibahas
bagaimana cara menyederhanakan bentuk akar yang dimaksud tadi.
Untuk menyederhanakan atau menjabarkan akar, terlebih dahulu kita
harus memahami sifat-sifat berikut:
a)
n
b)
n
c)
d)
an  a
e)
m
a
n
a
 mn a n  m
n
a  b  ab
f)
 a
m
a  n a  mn a m  n
g)
nm
n
a na

b nb
h)
n
n
p
n
 n ap
a  mn a
am 
np
a mp
Contoh 9 :
Sederhanakan bentuk akar di bawah ini
a.
48
d.
b.
125
e.
c
96a 5
f.
112b8
3
3
54x 8
192y10
Penyelesaian :
48 = 16 x 3
a.
=
b.
16 x
125
= . √25.. x . √5..
3
= 4 3
c.
e.
96a 5 =
3
54x 8 =
= .√25 x 5..
= .5√5..
16a 4 x 6a
112b8 = ...
d.
= 16a 4 x 6a
= ... x ...
= 4a 2 6a
= ...
3
27 x 6 x 2 x 2
=
3
27 x 6 x
f.
3
2x 2
3
= 3x 2 2x 2
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
3
192y10 = ...
= ... x ...
= ...
Page | 12
Amarhadi
Latihan Kompetensi 3
1. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini
a. 20
f. 147
k. 2 40
b.
45
g. 150
l.
c.
63
h. 180
m. 8 200
d.
98
i.
n. 7 216
245
5 90
e. 108
j. 432
o. 11 320
2. Sederhanakan bentuk akar yang terdefinisi di bawah ini
a.
a5
d.
12s 4
g.
27 x 2 y 5
b.
2p7
e.
6a 3b
h.
64 x 7 y 2
i.
80p8q11
c. 8x 4
f. 32a 8 y 5
3. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini.
a.
b.
4
6253
d.
15
(100 x 2 y 4 )5
e.
3
32a 10 b 5 c 25
4.096x 12 y 27
c. 8 x 2 y 6
f. 5 3 5 30 a 40 b 25
4. Segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang AB = 4 cm, dan Panjang
AC = 6 cm, tunjukkan bahwa panjang BC = 2 13 cm
5. Luas sebuah persegi panjang adalah 72 cm2 , jika panjangnya tiga kali
lebarnya, hitunglah panjang diagonalnya.
6. Operasi aljabar pada bentuk akar
 Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar hanya
dilakukan, jika bentuk akar-akarnya sejenis.
 m a  n a  m  n a dengan a  0
dapat
 m a  n a  m  n a dengan a  0

a x b  ab dengan a  0 dan b  0
Contoh 10 :
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk akar di bawah
ini :
a. 3 5 + 4 5
c. 6 7 – 4 7
d. 5 2 + 2 2 – 4 2
b. 2 3 + 7 3
Penyelesaian
:
Bentuk akar dari tiap-tiap soal di atas sejenis ( memenuhi syarat )
berarti dapat dijumlahkan atau dikurangkan
a. 3 5 + 4 5 = ( 3 + 4 ) 5 = 7 5
b. 2 3 + 7 3
= ( ... + ... ) ... = ...
c. 6 7 – 4 7 = ( ... – ... ) ... = ...
d. 5 2 + 2 2 – 4 2
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
= ( ... + ... – ... ) ... = ...
Page | 13
Amarhadi
 Untuk
a +
di ingat :
b

dan
a  b
a –
b

a b
 Operasi Perkalian Bentuk Akar
Seperti telah di sebutkan sebelumnya bahwa
a2
a x
a =
a xa =
= a , untuk a  R dan a > 0
maka
a x
b = a x b = ab , untuk a,b  R dan a,b > 0
Hasil perkalian bentuk akar diartikan sebagai perkalian
bilangan di bawah tanda akar.
Perkalian bentuk akar :
pxq
1.
bilangan-
p a x q b = pq ab
axb
2.
p a ( q b  r c ) = pq ab  pr ac
3.
( a +
4.
( a + b )2 = (a + b) + 2 ab
b )( c +
( a+ b) =
5.
d)=
ac +
bc +
bd
(a  b)  2 ab
( a –
b )2 = (a + b ) – 2 ab
( a –
b)
=
ad +
(a  b)  2 ab , dengan a > b
Contoh 11 :
Tentukan hasil perkalian bentuk akar di bawah ini
a. 5 x 2
e. 2 3 x 5 2 x 4 3
b. 2 7 x 3 2
c. 5 2 ( 2 +
f. ( 2 +
3)
d. 3 3 (4 2 – 2 5 )
Penyelesaian :
a.
5 x
2
=
5x 2 =
7 )( 5 +
g. ( 5 +
2
h. ( 3 –
2 )2
3)
)2
10
b. 2 7 x 3 2 = (2 x 3) 14 = 6 14
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 14
Amarhadi
c. 5 2 ( 2 +
d.
3 ) = 10 + 5 6
3 3 (4 2 – 2 5 ) = 12 6 – 6 15
e. 2 3 x 5 2 x 4 3 = ( 2 x 5 x 4 x 3 ) 2 = 120 2
f.
( 2 + 7 )( 5 +
g. ( 5 +
3) =
10 + 6 + 35 +
21
2 )2 = ( 5 + 2 ) + 2 10 = 7 + 2 10
2
h. ( 3 – 2 ) = ( 3 + 2 ) – 2 6 = 5 – 2 6
Contoh 12 :
Nyatakan dalam bentuk operasi jumlah atau kurang untuk setiap
bentuk akar di bawah ini
a.
c.
15  2 26
9 4 2
b.
18  2 72
Penyelesaian :
13
a.
26
15  2 26
syarat
Jumlah
2
hasil kali
15  2 26 = ( 13 +
+
15
2)
...
b.
72
18  2 72
... +
18
= ( ..2√3. – .. √6. )
18  2 72
...
c.
9 4 2
=
9 2 8
8
... +
9 4 2
= ( 2√2... + .1.. )
Latihan Kompetensi 4
1. Sederhanakan operasi penjumlahan dan pengurangan di bawah ini.
a. 5 2 +
e. 8 10 + 3 10 – 10 10
2
b. 4 7 + 3 7
f. 3 6 – 2 5 –
6 + 7 5
c. 5 5 – 2 5
g. 5 2 – 2 5 – 9 2 + 7 5
d. 6 3 – 3
h. 6 3 + 4 2 – 2 3 – 6 2
2. Sederhanakan bentuk akar di bawah, kemudian tentukan hasil jumlah dan
kurangnya
a. 4 3 + 3 27
d. 3 45 + 4 20 – 5 125
b. 5 28 – 10 7
e. 5 63 – 4 20 – 2 175 + 5 125
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 15
Amarhadi
c. 128 + 5 50
f. 2 512 – 243 + 4 32 + 5 27
3. Sederhanakan bentuk perkalian akar di bawah ini
a. 3 ( 2 + 2 3 )
h.
2 x 8 x 3 x 27
b.
6 (
c.
8 (
d.
15 (
e. (
3 –2 2 )
6 –
3 )
3 +
7 –
i.
j. (
5 )
5 +
7 x
28 x
3 )( 6 –
112
2 )
3 )(3 5 – 2 3 )
l. ( 2 – 2 3 )( 2 + 2 3 )
6 )2
m. (2 3 + 5 2 )(2 3 – 5 2 )
n. (3 8 + 2 7 )(3 8 – 2 7 )
operasi jumlah atau kurang untuk setiap
)2
g. (2 3 – 5 2
4. Nyatakan dalam bentuk
bentuk akar di bawah ini
a.
6 +
k. (
5 )2
f. ( 10 +
63 x
b. 32  5 28 c.
18  6 5
3  13  4 3
 Merasionalkan penyebut bentuk akar
Salah satu cara untuk mempermudah perhitungan pada operasi
pembagian apabila penyebutnya berbentuk akar yaitu dengan
cara merasionalkan penyebut.
Sebagai ilustrasi :
Tanpa menggunakan kalkulator atau alat bantu hitung lainnya,
1
tentukan hasil bagi dari
2
, jika
2 = 1,4142
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, lakukan pengerjaan sbb :
Cara 1  menggunakan operasi pembagian bilangan
1
2
=
1
= ...
1,4142
Cara 2  dengan merasionalkan penyebut
1
2
=
1
2
2
x
2
= ½ 2 = ½ (1,4142) = ...
Cara manakah yang paling sederhana menurut anda ?
Merasionalkan Penyebut :
1. Bilangan Berbentuk
a
b
Untuk merasionalkan penyebut
a
b
, kalikan dengan
b
b
Contoh 13 :
Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan berikut ini :
a.
6
3
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
b.
3
2 5
c.
5
3
Page | 16
Amarhadi
Penyelesaian
a.
6
b.
3
c.
=
3
=
2 5
5
3
:
=
6
3
2 5
5
3
3
x
3
5
x
3 5
3
=
5
10
10
=
5
3
x
6 3
= 2 3
3
=
3
5 x
3
c
=
3
2. Bilangan Berbentuk
a 
3
b

1
15
3
atau
c
a 
b
Bentuk a + b dan a – b masing-masing penyebut dari bilangan
tersebut dikatakan saling sekawan atau konjugat.
Bentuk sekawan dari suatu bilangan :
a. 5 + 4 3 adalah 5 – 4 3
b. 7 2 – 3 adalah 7 2 + 3
c.
3 + 7 adalah
3 – 7
d. 5 2 – 4 5 adalah 5 2 + 4 5 dan seterusnya
Contoh 14 :
Rasionalkan penyebut bilangan pecahan berikut ini :
a.
2
6
b.
3 5
c.
42 3
2
2 5 4
Penyelesaian :
a.
2
=
3 5
=
=
=
b.
6
42 3
=
2
3  5
x
3  5
3  5
2 (3  5 )
9  5
2 (3  5 )
4
(3  5 )
2
6
42 3
x
42 3
42 3
=
6 (4  2 3 )
16  4(3)
=
6 (4  2 3 )
16  12
=
6 (4  2 3 ) 6 . 2(2  3 )

32 3
4
4
=
6+3 3

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma

Page | 17
Amarhadi
c.
2
2 5 4
2
=
2 5 4
2 5  4
x
2 5  4
2 (2 5  4)
20  16
=
=
2 10  4 2
4
=
1
10 
2
3. Bilangan Berbentuk
2
c
a 
b
c
atau
a 
b
Contoh 15 :
Rasionalkan penyebut bilangan pecahan berikut ini :
a.
4
5
b.
3  5
2 2 3
Penyelesaian :
a.
4
4
=
3  5
=
x
3  5
3  5
3  5
4( 3  5)
2
=  2( 3  5)
= 2 52 3
b.
5
2 2 3
=
5
2 2 3
x
=
5 ( 2  2 3)
2  12
=
10  2 15
 10
= 
2 2 3
2 2 3
1
1
10 
15
10
5
Latihan Kompetensi 5
1. Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini
a.
6
b.
7
c.
3
d.
e.
2
3
6 5
5
96
2
3
f.
2 3
g.
6
2
12
5
h.
20
63
i.
j.
72
150
2 500
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
k.
l.
m.
n.
o.
4
3 
5
5
5 2 5
2
7 
3
2
2 3 
6
2 3
3 6 4 2
Page | 18
Amarhadi
2. Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini
a.
6 2
2 3 5
c.
6 2
e.
2 5
1
2
1
2
5 3
3 2 3
2 3
1
5 3
5 6 2
1
3
3. Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini
b.
a.
d.
4
1
13
b.
2 3
f.
42 3  3
TUGAS 2
1. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini
2
4
(x
a.
y 3 ) 2
4

1
1
(x 2 y  3 ) 2
3
3
(x
1





13  2  

13  2  
 
21
3
x 4 .
1   3  13  4 3 
b.
c.
4
y 1 ) 2
3
2
y3
1
2

13  2 
13  2 

2. Tentukan nilai x yang memenuhi bentuk akar di bawah ini
a.
x
b.
x  1 1 1 x
c.
x=
d.
e.
3.
4.
2 2 2 x
3
36 3 36 3 36 3 x
x = ( 2  3  2  5 )( 2  3  2  5 )( 10  2 3 )
12x 2  20x  41 
Diketahui nilai a =
12x 2  20x  4  9
2 2 , b=
2 2
dan c = a + b .
Buktikan bahwa nilai c = a 2
Tentukanlah nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan :
9
x2  x  y  3  x  y2  x  y  3  y 
4
4
2
x2  x  y  3  x  y2  x  y  3  y  1
4
4
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 19
Amarhadi
C. Bentuk Logaritma
1. Pengertian Logaritma
Dalam pasal terdahulu kita telah memahami definisi perpangkatan. Bentuk
umum dari suatu bilangan berpangkat adalah an, a disebut bilangan pokok
dan n disebut pangkat. Jika bilangan pokok dan pangkat sudah ditetapkan,
maka nilai dari bilangan berpangkat itu dengan segera dapat ditentukan.
Sebagai ilustrasi:
 23 = 8
1
1
 
 27 3  33 3  3
 102 = 100 dan seterusnya.
Sekarang persoalannya dibalik, yaitu apabila bilangan pokok dan hasil
bilangan berpangkat sudah di ketahui, maka pangkat dari bilangan pokok
itu dapat pula ditentukan.
Sebagai ilustrasi:
 2  16 , mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16.
Pangkat itu sama dengan 4
 9  3 , mencari pangkat dari bilangan 9 yang hasilnya 3.
Pangkat itu sama dengan

1
2
10  1000 , mencari pangkat dari bilangan 10 yang hasilnya 1000.
Pangkat itu sma dengan 3, dan seterusnya.
Persoalan mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil
perpangkatannya sudah diketahui seperti di atas dapat dilakukan dengan
memakai notasi logaritma (disngkat: log) sebagai berikut:
 2  16 , ditulis 2log 16 = ... dan nilai 2log 16 = 4

9
 3 , ditulis 9log 3 = ... dan nilai 9log 3 =
1
2
 10  1000 , ditulis 10log 1000 = ... dan nilai 10log 1000 = 3
Jelaslah bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan.
Definisi
Misalkan y adalah bilangan positif (y > 0) dan a adalah bilangan positif
yang tidak sama dengan 1 (0 < a < 1 atau a > 1).
b
log y  x  b x  y
b disebut basis/bilangan pokok (0 < b < 1 atau b > 1) atau (b > 0 dan b ≠ 1)
y disebut numerus (y > 0)
x disebut hasil logaritma nilainya dapat bernilai positif, nol dan negatif.
 Untuk
diingat :
Jika b = 10, bilangan pokok tidak ditulis. Jadi
10log
2 ditulis log 2.
Sebagai akibat dari definisi di atas:
a) b log b n  n
b)
b
log b  1
c)
b
log 1  0
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 20
Amarhadi
Contoh 16 :
Hitunglah nilai tiap logaritma berikut ini.
a. 7log 49
d. 5log √5
1
2
e. log 4
f. 2log 2√2
b. 3 log 3
c. 2log 1
Penyelesaian
1
a.
7log
49 = 2, sebab 72 = 49
1
3 log 3 =
b.
1
3
d. 5log √5 =
1
-1, sebab    3
2
e.
1
, sebab 5 2  5
2
log 4 = 4, sebab
 2 4
4
3
2log
c.
1 = 0, sebab
20
=1
f.
2log
3
2√2 = 2 , sebab 2 2  2 2
Contoh 17 :
Misalkan xlog 5 = 0,7; tunjukan bahwa x  57 53 .
Penyelesaian
xlog 5 = 0,7  x0,7 = 5
7
 x 10  5
10
10
 7 7
 x   x 10   5 7




3
 x  5 5 7
 x  57 53
Latihan Kompetensi 6
1. Carilah nilai tiap logaritma berikut ini.
a.
2
b.
3log
log
1
16
d.
243
e. 4log √2
3
log 27
g. 6 log
h.
1
216
16log
2
1
c. 5log 125
f. 10log 0,1
i. 81 log
3
1 3
a
9
2. Jika log 3 = -0,3; tunjukan bahwa a 
81
3. Jika
1
2 log
3a  2  12 , tunjukan bahwa a  12
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
2
Page | 21
Amarhadi
2. Sifat-sifat Logaritma
Setelah kita memahami definisi logaritma, untuk mempermudah
perhitungan, sekarang akan mengkaji sifat-sifat logaritma.
n
1) b log(x.y ) b log x  b log y
6) b log x n  b log x
dengan b  0 , b  1, x  0, y  0
Bukti :
Bukti :
Misalkan :
x = bm dan y = bn
bn
nb
log x
n
 b log x
log x n 
x  b m  m b log x
y  b n  n b log y
o
m + n = b log x  b log y
o
x.y  b m  n  m  n b log( x.y )
Jadi, b log(x.y ) b log x  b log y
b
2)
log

x b
 log x  b log y
y
dengan b> 0, b  1, x > 0 dan y >0
Bukti :
Misalkan x = bm dan y = bn
7) a log b.b log c.c log d a log d
Bukti :
a
log b log c log d


log a log b log c
log d a

 log d
log a
log b.b log c.c log d 
x  b m  m b log x
y  b n  n b log y
b
Jadi, a log b.b log c.c log da log d

b
o
m - n= log x  log y
o
x  y  bm  bn 
x bm

y bn
x
x
 b m  n  m  n b log
y
y
x
Jadi, b log  b log x  b log y 
y

3)
b
log x p  p.b log x
a
dengan b  0 , b  1, x  0
Bukti :
Misalkan x = bm  m b log x
8) a log x  x
Bukti :
Misal: alog x = m, maka am = x
Karena alog x = m
 x p  (b m )p
a
 x p  b mp  mp b log x p
a
b
b
 p. log x  log x
b
p
p
a
log x
a
log x
x
a
log x
Jadi, a
 am
x

b
Jadi, log x  p. log x 
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 22
Amarhadi
4)
b
p
log x 
p
log x

log b
x
1
log b
 
Bukti :
Misalkan b log x  m  x  b m
p
p
log x
log b
 b log x 
5)
bn
a
log x m 
p
p
log x
log b
a
an
 r
 a n



log x
 x
mr
n
log x r  p  p 
 
 log x  m log b
p

Sehingga : a m
p
m
log x r
Misalkan
log x  p log b m
p
an
9) a m
a
Bukti :
log x r
a
r a
log x
n
 
m
 a mp  a p

log x 


m
x
mr
n

mb
log x
n
Bukti :
bn
log x m 
log x m
log b n
m log x m b

log x
n log b n
n
m
Jadi, b log x m  b log x 
n

Contoh 17 :
1. Diketahui log 2  0,3010 dan log 3  0,4771 maka nilai
log 6  log 2 x 3  log 2  log 3  0,3010  0,4771  0,7781
8
2 8 log 3
 3 8 log 3  3p
8
2 2
log 4 2 log 2 2
log 2
3
3. Sederhanakan : 5 log 27 x 3log 55 log 33 x 3log 5 35 log 3 x 3log 5  3
2. Diketahui 8 log 3  p maka 4 log 9 
log 9
8

log 32
3

Contoh 18 :
Misalkan 2log 3 = a dan 3log 5 = b. Nyatakan logaritma 5log 4,5 dalam
bentuk a dan b
Penyelesaian
1
dan 3log 5 = b  3log 5 = b
a
45 5
9
5
log 4,5  5log
 log
10
2
2log
3 = a  3 log 2 
3

log
3
9
2
3

log 9  3 log 2
3
log 5
log 5
1
2
2a  1
a


b
ab
2a  1
5
Jadi, log 4,5 
ab
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma

23 log 3  3 log 2
3
log 5
Page | 23
Amarhadi
Latihan Kompetensi 7
1. Sederhanakan!
a. 3 log 4 12  3log 6
d. 2 log x 3  2log x
b.
5
log 320  5log 4
c.
6
log 9  6log 2  26 log 6
a
e. 4 log (a  2)  4log (a 2  4)
f. log 48  2 log 2  log 3
a
a
2. Jika log p  x , log q  y dan log r  z , nyatakan logaritma-logaritma berikut
ini dalam x, y dan z.
 p2 
e. a log  2 4 
q r 
a.
a
log pqr
b.
a
log p3qr 2
c.
a
d.
a




 4 q3

g. a log apqr 2 
 pr 
log  
 q 
h. a log  
 pr 
3log
 a
 log 9  log 25
1 

f.  log 3 log 
25
9
5
3

16
c.
12 +
9
1
3
9
d. log 36 + log
16

 log 36 log 27
3
g.
4log
6
h. log 4 log 10
a. Jika a dan b adalah bilangan-bilangan real positif yang lebih besar dari 1,
tunjukan bahwa a log b 
b. Hitunglah :
2
i)
0,5
1
a log
b 0
2
log 6
ii)
log 6
c. Tunjukan bahwa
5.
5
e.
45 – 9log 25
2log
4.



3 
r 
log  p  q 2  3 r 2 


3. Sederhanakan.
a. 2log 24 – 8log 27
b.
p
f. a log 
p
log a
q
log a
1
a
log b
log b
 p log q
a. Jika p, q dan r adalah bilangan-bilangan real positif yang lebih besar dari 1,
tunjukan bahwa q log p  r log q  p log r  1
b. Hitunglah nilai dari 2 log 10  6 log 4  log 216
6. Carilah nilai x pada persamaan-persamaan berikut:
a. xlog 32 = 5
c. xlog 6 = 0,7
b. xlog 8 = 1,5
d. xlog 3 = -0,5
7. Carilah nilai x pada persamaan berikut
log x 5  3 log x 2  log x 4  log x 3  9
8. Diketahui 8log 3 = a, nyatakan tiap bentuk berikut ini dalam a
32
1
log  
3
a.
2log
3
c.
b.
4log
3
d. 2 log 3 9
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 24
Amarhadi
9. Misalkan diketahui plog q = 6, rlog p = 4, p, q dan r bilangan-bilangan real
positif p ≠ 1, r ≠ 1. Hitunglah nilai dari
2
1
20 3
 log qr  .
p
2
10. Misalkan diketahui log 3 = m dan log 5 = n, nyatakan tipa bentuk berikut ini dalam
m dan n.
a. 6log 50
b. 18log 20
3. Menentukan Logaritma dan Antilogaritma Suatu Bilangan
Dalam pembahasan di atas telah kita menentukan nilai logaritma
menggunakan definisi dan sifat-sifat logaritma. Tetapi tidak mudah
menentukan nilai suatu logaritma jika:
i) 2log 3 = x  2x = 3, tidak mudah mencari nilai x walaupun sudah diubah
kedalam bentuk bilangan berpangkat
ii) 5log 7 = y  5y = 7, tidak mudah mencari nilai y walaupun sudah diubah
kedalam bentuk bilangan berpangkat
Untuk menjawab persoalan i)dan ii) di atas diperlukan cara lain. Ada dua
cara untuk menentukan logaritma bilangan seperti di atas, yaitu:
 dengan menggunakan grafik fungsi y = ax,
 dengan memakai tabel logaritma.
 dengan menggunakan kalkulaor scientifik
 dengan menggunakan Ms excel
Dalam buku ini hanya akan dibahas cara menentukan logaritma dengan
menggunakan tabel logaitma.
 Logaritma Bilangan Antara 1 Sampai 10 dengan Menggunakan Tabel
Logaritma.
Untuk keprluan perhitung perhitungan, telah dibuat daftar atau tabel
matematika. Daftar atau tabel matematika memuat hasil logaritma suatu
bilangan dengan bilangan pokok 10. Sebelum menggunakan tabel
matematika ada baiknya kita pahamiterlebih dahulu beberapa hal
berikut:
1) Dalam tabel logaritma yang ditulis hanya bilangan desimal yang
menyatakan hasil logaritma dari suatu bilangan. Bilangan desimal
ini disebut mantis (dari kata mantisse).
2) Lajur-lajur dalam tabel logaritma terdiri atas:
 Lajur pertama (disebut lajur N), dari atas ke bawah memuat
bilangan-bilangansecara berurutan dari 0 sampai dengan 1000.
 Baris judul pada lajur kedua sampai dengan lajur kesebelas, dari
kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka-angka 0, 1, 2, 3
....8, 9.
Lajur yang memuat angka 0 disebut lajur 0, yang memuat angka 1
dosebut lajur 1, ....demikian seterusnya. Pada tiap lajur itu, dari
atas ke bawah memuat mantis, yaitu bilangan desimal yang
menyatakan logaritma suatu bilangan dengan bilangan pokok 10.
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 25
Amarhadi
Lajur 9 →
7
Lajur 8 →
6
Lajur 7 →
5
Lajur 6 →
4
Lajur 5 →
3
Lajur 4 →
2
Lajur 3 →
1
Lajur 2 →
0
Lajur 1 →
N
Lajur 0 →
Lajur N →
Baris Judul
→
8
9
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
0
0
3010
4771
6021
6990
7782
8451
9031
9542
0
0414
0792
1139
1461
1761
2041
2304
2553
2788
3010
3222
3424
3617
3802
3979
4150
4314
4472
4624
3
4771
4914
5051
5185
5315
5441
5563
5682
5798
5911
4
6021
6128
6232
6335
6435
6532
6628
6721
6812
6902
5
6990
7076
,716
7243
7324
7404
7482
7559
7634
7709
6
7782
7853
7924
7993
8062
8129
8195
8261
8325
8388
7
8451
8513
8573
8633
8692
8751
8808
8865
8921
8976
8
9031
9085
9138
9191
9243
9294
9345
9395
9445
9494
9
9542
,959
9638
9685
9731
9777
9823
9868
9912
9956
10
0000
0043
0086
0128
,017
0212
0253
0294
0334
0374
11
0414
0453
0492
0531
0569
0607
0645
0682
0719
0755
12
0792
0828
0864
0899
0934
0969
1004
1038
1072
1106
13
1139
1173
1206
1239
1271
1303
1335
1367
1399
,143
14
1461
1492
1523
1553
1584
1614
1644
1673
1703
1732
15
1761
1790
1818
1847
1875
1903
1931
1959
1987
2014
16
2041
2068
2095
2122
2148
2175
2201
2227
2253
2279
17
2304
2330
2355
,238
2405
2430
2455
2480
2504
2529
18
2553
2577
2601
2625
2648
2672
2695
2718
2742
2765
19
2788
2810
2833
2856
2878
2900
2923
2945
2967
2989
20
,301
3032
3054
3075
3096
3118
3139
3160
3181
3201
21
3222
3243
3263
3284
3304
3324
3345
3365
3385
3404
22
3424
3444
3464
3483
3502
3522
3541
3560
3579
3598
23
3617
3636
3655
3674
3692
3711
3729
3747
3766
3784
24
3802
3820
3838
3856
3874
3892
3909
3927
3945
3962
25
3979
3997
4014
4031
4048
4065
4082
4099
4116
4133
26
4150
4166
4183
1,42
4216
4232
4249
4265
4281
4298
27
4314
4330
4346
4362
4378
4393
4409
4425
4440
4456
28
4472
4487
4502
4518
4533
4548
4564
4579
4594
4609
29
4624
4639
4654
4669
4683
4698
4713
4728
4742
4757
30
4771
4786
1480
4814
4829
4843
4857
4871
4886
1,49
31
4914
4928
4942
4955
4969
4983
4997
5011
5024
5038
1
2
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 26
Amarhadi
Contoh 19:
Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah nilai tiap logaritma berikut ini.
a) log 4,6
d) log 1,013
b) log 1,21
e) log 1,238
c) log 3,69
f) log 1,495
Penyelesaian
a) log 4,6 = ....
logaritma tiap bilangan antara 1 sampai 10 mempunyai nilai antara 0 dan
1, maka kita dapat menuliskan log 4,6 = 0,....
angka didepan tanda koma disebut indeks atau karakeristik, yaitu bagian
bulat dari logaitma suatu bilangan. angka-angka di belakan koma adalah
bagian desimal atau mantis dari logaritma suatu bilangan itu. mantis ini
dapat ditentuka dari tabel logaitma pada baris ke-4 lajur 6, diperolh 6628.
jadi, log 4,6 = 0, 6628
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9031
2553
4472
5798
6812
7634
8325
8921
9445
9912
0334
9542
2788
4624
5911
6902
7709
8388
8976
9494
9956
0374
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
b)
0
3010
4771
6021
6990
7782
8451
9031
9542
0000
0
0414
3222
4914
6128
7076
7853
8513
9085
,959
0043
3010
0792
3424
5051
6232
,716
7924
8573
9138
9638
0086
4771
1139
3617
5185
6335
7243
7993
8633
9191
9685
0128
6021
1461
3802
5315
6435
7324
8062
8692
9243
9731
,017
6990
1761
3979
5441
6532
7404
8129
8751
9294
9777
0212
7782
2041
4150
5563
6628
7482
8195
8808
9345
9823
0253
8451
2304
4314
5682
6721
7559
8261
8865
9395
9868
0294
Tulis dulu  log 1,21 = 0,...
bagian desimalnya ditentukan dari tabel loigaritma, yaitu baris ke-12 lajur
1, diperoleh 0828
jadi, log 1,21 = 0,0828
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9912
0334
0719
1072
1399
9956
0374
0755
1106
,143
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
9
10
11
12
13
.
.
9542
0000
0414
0792
1139
,959
0043
0453
0828
1173
9638
0086
0492
0864
1206
9685
0128
0531
0899
1239
9731
,017
0569
0934
1271
9777
0212
0607
0969
1303
9823
0253
0645
1004
1335
9868
0294
0682
1038
1367
.
.
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 27
Amarhadi
c)
Tulis dulu  log 3,69 = 0,...
bagian desimalnya ditentukan dari tabel loigaritma, yaitu baris ke-36 lajur
diperoleh 5670
jadi, log 3,69 = 0, 5670
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
.
.
4914
5051
5185
5315
5441
5563
5682
5798
5911
6021
4928
5065
5198
5328
5453
5575
5694
5809
5922
6031
4942
5079
5211
5340
5465
5587
5705
5821
5933
6042
4955
5092
5224
5353
5478
5599
5717
5832
5944
6053
4969
5105
5237
5366
5490
5611
5729
5843
5955
6064
4983
5119
5250
5378
5502
5623
5740
5855
5966
6075
4997
5132
5263
5391
5514
5635
5752
5866
5977
6085
5011
5145
5276
5403
5527
5647
5763
5877
5988
6096
5024
5159
5289
5416
5539
5658
5775
5888
5999
6107
5038
5172
5302
5428
5551
5670
5786
5899
6010
6117
2
3
4
5
6
7
8
9
.
.
d)
log 1,013 = 0,0056
N
0
1
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
e)
0000
0043
0086
0128
0170
0212
0253
0294
0334
0374
0414
0004
0048
0090
0133
0175
0216
0257
0298
0338
0378
0418
0009
0052
0095
0137
0179
0220
0261
0302
0342
0382
0422
0013
0056
0099
0141
0183
0224
0265
0306
0346
0386
0426
0017
0060
0103
0145
0187
0228
0269
0310
0350
0390
,043
0022
0065
0107
0149
0191
0233
0273
0314
0354
0394
0434
0026
0069
0111
0154
0195
0237
0278
0318
0358
0398
0438
0030
0073
0116
0158
0199
0241
0282
0322
0362
0402
0441
0035
0077
0120
0162
0204
0245
0286
0326
0366
0406
0445
0039
0082
0124
0166
0208
0249
0290
0330
0370
0410
0449
2
3
4
5
6
7
8
9
0892
0927
0962
0997
1031
0896
0931
0966
2,1
1035
log 1,238 = 0,0927
N
0
1
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
122
123
124
125
126
.
.
0864
0899
0934
0969
1004
0867
0903
0938
0973
1007
0871
0906
0941
0976
1011
0874
0910
0945
0980
1014
0878
0913
0948
0983
1017
0881
0917
0952
0986
1021
0885
0920
0955
0990
1024
0888
0924
0959
0993
1028
.
.
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 28
Amarhadi
f)
log 1,495 = 0,1746
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1697
1726
1755
1784
8
1700
1729
1758
1787
9
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
147
148
149
150
1673
1703
1732
1761
0
1676
1706
1735
1764
1
1679
1708
1738
1767
2
1682
1711
1741
,177
3
1685
1714
1744
1772
4
1688
1717
1746
1775
5
1691
1720
1749
1778
6
1694
1723
1752
1781
7
 Logaritma Bilangan Lebih dari 10
Untuk menghitung logaritma yang lebih dari 10 gunakan pertolngan
sifat-sifat logaritma.
Nilai logaritma suatu bilangan yang lebih dari 10 dapat ditentukan
dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1:
Nyatakan bilangan yang akan ditentukan nilai logaritmanya itu dalam
notasi baku a x 10n
Langkah 2:
Gunakan sifat logaritma
Log (a x 10n) = log a + log 10n
 log (a x 10n) = n + log a
Langkah 3:
Oleh karena 1 ≤ a < 10 maka log a dapat dicari dari tabel logaritma. Nilai
log a yang diperoleh dari tabel loigaritma tadi dijumlahkan dengan n.
Hasil penjumlahan itu merupakan nilai logaritma dari bilangan yang
dimaksudkan.
Contoh 20:
Carilah nilai dari tiap logaritma berikut.
a) log 67,5
d) log 65.600
b) log 482,6
e) log 423.800
c) log 7.452
f) log 5.452.000
Penyelesaian
a) log 67,5 = log (6,75 x 101)
 = log 6,75 + log 10
 = log 6,75 + 1
 = 0,8293 + 1 = 1,8293
Jadi, log 67,5 = 1,8293
b) log 482,6 = log (4,826 + log 102)
 = log 4,826 + 2
 = 0,6836 + 2 = 2,6836
Jadi, log 482,6 = 2,6836
c)
log 7.452 = log (7,452 x 103)
 = log (7,452 + log 103)
 = log 7,452 + 3
 = 0,8723 + 3 = 3,8723
Jadi, log 7.452 = 3,8723
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
d)
e)
f)
log 65.600 = log (6,56 x 104)
 = log 6,56 + log 104
 = log 6,56 + 4
 = 0,8619 + 4 = 4,8619
Jadi, log 65.600 = 4,8619
Log 423.800 = log (4,238 + 105)
 log 4,238 + log 105)
 log 4,238 + 5
 = 0,6272 + 5 = 5,6272
Jadi, log 423.800 = 5,6272
Log 5.452.000 = log (5,452 + 106)
 = log 5,452 + log 106
 = 0,7366 + 6
 = 6,7366
Jadi, log 5.452.000 = 6,7366
Page | 29
Amarhadi
 Logaritma Bilangan Antara 0 dan 1
Nilai logaritma bilangan-bilangan antgara 0 dan dapat ditentukan
dengan menggunakan langkah-langkah yang sama seperti dalam hal
menentukan logaritma bilangan-bilangan yang lebig dari 10. Untuk lebih
jelasnya simak contoh berikut.
Contoh 21:
Carilah nilai dari tiap logaritma berikut ini.
a) log 0,67)
c) log (0,00362)
b) log (0,0451)
d) log (0,000124)
Penyelesaian
a) log (0,67) = log (6,7 x 10-1)
 = log 6,7 + log 10-1
 = log 6,7 – 1
 = 0,8261 – 1 = -0,1739
Jadi, log 0,67 = -0,1739
Nilai log 0,67 lebih sering ditulis dalam bentuk 0,8261 – 1, karena dapat
dengan mudah diperlihatkan bagian bulat (karakteristik) dan mantisnya.
b) log (0,0451) = log (4,51 x 10-2)
 = log 4,51 + log 10-2
 = log 4,51 – 2
 = 0,6542 – 2
Jadi, log (0,0451) = 0,6542 – 2
c) log (0,00362) = log (3,62 + 10-3)
 = log 3, 62+ log 10-2
 = log 3,62 – 3
 = 0,5587 – 3
Jadi, log (0,00362) = 0,5587 – 3
d) log (0,000124) = log (1,24 + 10-4)
 = log 1, 24+ log 10-4
 = log 1,24 – 4
 = 0,0934 – 4
Jadi, log (0,000124) = 0,0934 – 4
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 30
Amarhadi
 Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan Menggunakan Tabel
Logaitma
Pada pasal ini kita akan demonstrasikan bagaimana menentukan
antilogaritma suatu bilangan menggunakan tabel logaritma.
Misalkan log x 2,5. Berapakab nilai x
Perlu kita ingat bahwa:
Jika 0 < log x < 1, maka 1 < x <10
Jika 1 < log x < 2, maka 10 < x < 102
Jika 2 < log x < 3, maka 102 < x < 103 ... dst
Contoh 22:
Tentukan nilai x menggunakan tabel logaritma
a) log x = 0,9912
c) log x = 4,718
b) log x = 2,34
d) log x = 5,2146
Penyelesaian
a) log x = 0,9912
mantisa 9912  diperoleh 9,80
pada lajur N diperleh 98
pada lajur 0 samapai 9 diperoleh 0
log x = 0,9912 karakteristiknya 0, berarti 1 < x < 10
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9581
9628
9675
9722
9768
9814
9859
9903
9948
9991
0035
0077
8
9586
9633
,968
9727
9773
9818
9863
9908
9952
9996
0039
0082
9
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
.
.
9542
9590
9638
9685
9731
9777
9823
9868
9912
9956
0000
0043
0
9547
9595
9643
9689
9736
9782
9827
9872
9917
9961
0004
0048
1
9552
1,96
9647
9694
9741
9786
9832
9877
9921
9965
0009
0052
2
9557
9605
9652
9699
9745
9791
9836
9881
9926
9969
0013
0056
3
9562
9609
9657
9703
,975
9795
9841
9886
,993
9974
0017
,006
4
9566
9614
9661
9708
9754
1,98
9845
,989
9934
9978
0022
0065
5
9571
9619
9666
9713
9759
9805
,985
9894
9939
9983
0026
0069
6
9576
9624
9671
9717
9763
9809
9854
9899
9943
9987
,003
0073
7
Jadi, log x = 0,9912  x = 9,80
b) log x = 2,34
mantisa 3400  diperoleh 2,188
karakteristik dari log x = 2,34 adalah 2, berarati 102 < x < 103
maka x = 2,188  102 = 218,8
Jadi, log x = 2,34  x = 218,8
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 31
Amarhadi
c) log x = 4,718
mantisa 7180  diperoleh 5,224
karakteristik dari log x = 4,718 adalah 4, berarti 104 < x < 105
maka x = 5,224  104 = 52.240
Jadi, log x = 4,718  x = 52.240
d) log x = 5,2146
mantisa 2146  diperoleh 1,639
karakteristik dari log x = 5,2146adalah 5, berarti 105 < x < 106
maka x = 1,639  105 = 163.900
Jadi, log x = 5,2146 x = 163.900
Contoh 23:
Tentukanlah bilangan yang logaritma-logaritmanya adalah
a) 0,415 – 1
c) -1,52
b) 0,29 – 3
d) -4,6315
Penyelesaian:
a) Misalkan log y = 0,415 – 1
mantisa 4150  diperoleh 2,600
karena karakteristiknya -1, didapat dari 10-1 (10-1 < y < 1)
maka y = 2,600  10-1 = 0,26
Jadi, log y = 0,415 – 1  y = 0,26
b) Misalkan log y = 0,29 – 3
mantisa 2900  diperoleh 1,95
karena karakteristiknya -3 didapat dari 10-3 (10-3 < y < 10-2)
maka y = 1,95  10-3 = 0,00195
Jadi, log y = 0,29 – 3  y = antilog (0,29 – 3 ) = 0,00195
c) Kita tulis dulu -1,52 = -1,52 + 2 – 2 = 0,48 - 2
misalkan log y = 0,48 – 2
mantisa 4800  diperoleh 3,02
karena karakteristiknya -2 didapat dari 10-2 (10-2 < y < 10-1)
maka y = 3,02  10-2 = 0,0302
Jadi, log y = -1,52  y = 0,0302
d) Kita tulis dulu -4,6315 = -4,6315 + 5 -5 = 0,3685 -5
mantisa 3685  diperoleh 2,336
karena karakteristiknya -5 didapat dari 10-5 (10-5 < y < 10-4)
maka y = 2,336  10-5 = 0,00002336
Jadi, log y = -4,6315  y = 0,00002336
Latihan Kompetensi 8
1. Dengan menggunakan
berikut.
a) log 3
b) log 6
c) log 9
d) log 2,3
e) log 4,5
f) log 9,3
tabel logaritma. Carilah nilai logaritma-logaritma
g) log 3,61
h) log 1,68
i) log 6,21
j) log 2,926
k) log 8,532
l) log 6,071
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 32
Amarhadi
2. Dengan memekai tabel logaritma, carila nilai a pada setiap persamaan di
bawah ini.
a) log a = 0,316
d) log a = 0,94
b) log a = 0,415
e) log a = 0,8791
c) log a = 0,49
f) log a = 0,9298
3. Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah loagritma-logaritma berikut
a) log 12,3
g) log 83.260
b) log 16,6
h) log 137.500
c) log 32,5
i) log 854.400
d) log 147,5
j) log 6.819.000
e) log 252,6
k) log 47.800.000
f) log 3.051
h) log 841.000.000
4. Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah logaritma-logaritma berikut
ini.
a) 0,15
g) 0,058
b) 0,18
h) 0,0642
c) 0,2
i) 0,006
d) 0,25
j) 0,00063
e) 0,268
k) 0,000632
f) 0,05
l) 0,0000841
5. Diketahui log 3,02 = 0,48, carilah logaritma-logaritma berikut.
a) log 3 3,022
4
g) log 302.000
h) log 0,302
i) log 0,0320
j) log 0,00320
k) log 0,000320
l) log 0,0000320
b) log (3,02)
c) log 30,2
d) log 302
e) log 3.020
f) log 30.200
6. Carilah bilangan yang nilai logaritma-logaritmanya sebagai berikut.
a) 0,2
g) 4,235
b) 0,43
h) 0,416 - 1
c) 1,632
i) 0,531 - 2
d) 2,42
j) 0,624 - 4
e) 2,56
k) -4,325
f) 3,841
l) -2,931
4. Penggunaan Logaritma dalam Perhitungan
Sekarang kita akan membicarakan penggunaan logaritma untuk
memepermudah perhitungan yang melibatkan bilangan besar yang
memerlukan operasi aljbar yang rumit seperti ketika menghitung


mengalikan dan membagi bilangan
menghitung pemangkatan dan pebarikan akar suatu bilangan
sehingga untuk keperluan di atas, kita kadang menggunakan kalkulator
untuk memecahkannya. Kali ini, kita tidak menggunakan alat hitung
kalkulator, tapi dengan memanfaatkan sifat-sifat logaritma dan tabel
logaritma yang sudah kita bahas sebelumnya.
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 33
Amarhadi
 Mengalikan dan Membagi Bilangan.
Ingat kembali sifat logaritma:
log (a  b) = log a + log b
a
log    log a  log b
b
Contoh 23:
Dengan menggunakan logaritma, hitunglah:
a)
4,321  6,571
c)
b)
3,214
2,645
d)
4,56  7,82
5,63
65.800
5,24  342
Penyelesaian
a) Misalkan y = 4,321  6,517
log y = log (4,321  6,517)
log y = log 4,321 + log 6,51
log y = 0,6356 + 0,8140
log y = 1,4496
log y = 1 + 0,4496
log y = log 101 + log 2,816; antilog 0,4496 = 2,816
log y = log (10  2,816)
log y = log 28,16
y = 28,61
Jadi, 4,321  6,571 = 28,16
b) Misalkan y =
log y
=
log
log
log
log
=
=
=
=
=
Jadi,
y
y
y
y
y
3,214
2,645
log 3,214 – log 2,645
0,5070 – 0,4224
0,0846
log 1,215; antilog 0,0846 = 1,215
1,215
= 1,215
c) Misalkan y =
log y
=
log
log
log
log
log
=
=
=
=
=
=
Jadi,
y
y
y
y
y
y
3,214
2,645
3,214
log
2,645
4,56  7,82
5,63
4,56  7,82
log
5,63
log 4,56 + log 7,82 – log 5,63
( 0,659 + 0,8932 ) – 0,7505
1,5522 – 0,7505
0.8017
log 6,334 ; antilog 0,8017 = 6,334
6,334
4,56  7,82
= 6,334
5,63
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 34
Amarhadi
d) Misalkan y =
log y
=
65.800
5,24  342

65.800 

 5,24  342 
log 
log
log
log
log
log
log
log
log
y =
log 65,800 – ( log 5,24 + log 342 )
y =
4,8182 – ( 0,7193 + 2,5340 )
y =
4,8182 – 3,2533
y =
1,5649
y =
1 + 0,5649
y =
log 10 + log 3,672 ; antilog 0,5649 = 3,672
y =
log (10  3,672)
y =
log 36,72
y =
36,72
65.800
Jadi,
= 36,72
5,24  342
 Pemangkatan dan Penarikan Akar Bilangan
Gunakan sifat log an = n log a, sehingga operasi dapat disederhanakan
menjadi benuk perkalian antara pemangkatan dan logaritmanya. Unruk
lebih jelasnya simak pembahasan berikut ini:
Contoh 24:
Dengan menggunakan logaritma, hitunglah:
a) (0,043)4
c)
b) (2,86)3  (0,436)4
d)
3
642
84,3  0,345
3,64
Penyelesaian
a) Misalkan x = (0,043)4
log x
log
log
log
log
log
log
log
log
log
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
log (0,043)4
4  log 0,043
4  ( log 4,3 + log 10-2 )
4  (0,6335 – 2)
4  ( -1,3665 )
– 5,466
0,534 – 6
log 3,4198 + log 10-6
log (3,4198  10-6 )
log ( 0,0000034198 )
0,0000034198
Jadi, (0,043)4 = 0,0000034198 = 3,4198  10-6
b) Misalkan x = (2,86)3  (0,436)4
log x
log
log
log
log
log
log
log
log
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
=
=
=
=
log [(2,86)3  (0,436)4]
log (2,86)3 + log (0,436)4
3 log (2,86) + 4 log (0,436)
3 ( 0,4564 ) + 4 ( -0,3605 )
1,3692 – 1,442
–0,0728
0,9272 – 1
log 8,4657 + log 10 -1
log ( 8,4657  10-1 )
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 35
Amarhadi
log x
x
=
=
log ( 0,84657 )
0,84657
Jadi, x = (2,86)3  (0,436)4 = 0,84657
3
c) Misalkan x =
log x
log x
log x
log x
log x
x
Jadi,
3
642
log
=
1
log 642
3
1
( 2,8075 ) = 0,9358
3
1
=
=
=
642
log 642 3
log 8,626
8,626
642 = 8,626
d) Misalkan x =
log x
=
log x
=
log x
log x
=
=
log x
=
log x
log x
x
=
=
=
Jadi,
3
=
=
84,3  0,345
3,64
log
84,3  0,345
3,64
1
 84,3  0,345  2
log 

3,64


1
[ ( log 84,3 + log 0,345 ) – log 3,64 ]
2
1
[ 1,9258 + (0,5378 – 1) – 0,5611
2
0,4513
log 2,827
2,827
84,3  0,345
= 2,827
3,64
Latihan Kompetensi 9
1. Hitunglah !
0,79
0,86  0,92
a) 3,45  2,64
e) 8,37  4,21
l)
b) 8,73  11,38
f) 137  56,2
m)
c) 5,98  1846
h) 2.400  54,72
d) 0,158  0,672
i) 0,58  3,92
e) 48,6  0,738
j) 4,57  0,342
p)
6,246 148  0,065
62,54  0,28
f)
k) 0,0041  0,0648
q)
26,84  0,0025
0,548  4,56  396
0,056  0,0625
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
4,52  6,73
36,5
0,145  0,078
n)
0,85
4,58  210  428
0)
385  629
Page | 36
Amarhadi
2. Hitunglah tiap perpangkatan dan bentuk akar di bawah ini!
a) (4,72)3
g) 5,67
b) (51,6)3
c)
h)
(1,004)4
d) 4,86  (0,65)3
e)
61,8  (0,64)2
14,6
 5,82  7,64 


2,81


3. Hitunglah!
3
a) (3,93)3 
b) (0,214)3 
8.960
i)
0,6842
j)
0,0352
6,53
k)
2
f)
3
l)
0,521  0,042
0,32  0,73
57,3 12,64
246  4,56
c)
0,762
0671 
3
d)
5,34
4,253 
437
648
0,2643  3 526
30  3 0,782
4. Hitunglah luas dari:
a) Lingkaran dengan jari-jari 6,54 ( = 3,14)
b) Persegi dengan panjang sisi 5,82 cm
5. Volume sebuah tabung ditentukan dengan rumus v = r2t ( = 3,1; r = jari-jari
bidang alas, dan t = tinggi tabung)
a) Hitunglah V, jika r = 12,36 dan r = 6,85
b) Hitunglah t, jika V = 86 dan r = 3,42
c) Hitunglah r, jika V = 74 dan t = 2,86.
D. Persamaan pangkat dan bentuk akar sederhana
Persamaan pangkat dan bentuk akar dengan bilangan pokok yang sama
selalu memiliki penyelesaian.
Untuk a  R dan a ≠ 0, berlaku a f ( x )  a g( x ) jika dan hanya jika f(x) = g(x)
Jika pada persamaan eksponen bilangan pokoknya berbeda maka langkah
pertama dalam menyelesaikannya adalah menyamakan bilangan pokok
tersebut.
Contoh 25 :
 
2
1. Diketahui : 8 x  16 , tentukan nilai x yang memenuhi
Penyelesaian :
2 
3x 2
 16  26 x  24  6x  4  x 
2
3
2. Diketahui : 4 x  3   4 8 x  5 , tentukan nilai x yang memenuhi
Penyelesaian :
2
2 x  3 

 x 5 
3

2  4 
2
2x  6

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
3 x 15
2 4
 2x  6 
3x  15
9
 8 x  24  3x  5  x  
4
5
Page | 37
Amarhadi
3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan
Penyelesaian:
x  4  2x  1  3
x  4  3  2x  1
x  4  9  2x  1  6 2x  1
6 2x  1  x  6
362x  1  x 2  12x  36
72x  36  x 2  12x  36
x 2  60 x  0
x x  60   0
x1  0 atau x 2  60(tidak memenuhi )
Latihan Kompetensi 10
Tentukan nilai x dari persamaan berikut.
1. 322x  1 
16
6.
3
8 2x
1
2. 3 273 9 
81
3. 22x 1 25 2  x 
1
3
 1 
8x 2  

 32 
8 x 3 9 5x
5
16
 1 

8.  3

3x
 3 
  x 2 
3

 243 
4x 1
9.
27
 3 23 x 1

3 2x 1
x 1
5.  
2 x
7. 5 x  2 y 1  25 x  2 y
4. 9 x 1   
1
4
3
10.
 81
a
3
2
3
1
9
1
8
ax
3
a a
E. Persamaan Logaritma Sederhana
Persamaan logaritma yang kita bahas dibatasi pada bentuk
a
log f (x )  a log g(x ) maka f(x) = g(x)
dengan a > 0 dan a ≠ , f(x) dan g(x) > 0
Contoh 26 :
1. Diketahui : 2 log x  2 log x  2  3 , tentukan nilai x yang memenuhi
Penyelesaian:
2


log x x  2 2 log 23  2 log x 2  2x  2 log 8
2
2
 x  2x  8  x  2x  8  0  x  2x  4  0  x1  2 atau x 2  4 tidak memenuhi 
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 38
Amarhadi
1
2. Tentukan nilai x jika diketahui x  10  100 2
Penyelesaian:
log 9  log 2
x  10 x 100 log 3  log 2
x  10 x 100
log
2 log
3
2
3
2
x  10 x 10
9 45
x  10 x 
4
2
Latihan Kompetensi 11
1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 log x  2 x  2 log 4  3


2. Tenatukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 log 2 log x  2 log 10 2 log x 2  1
3. Tentukan nilai x yang memenuhi
log 2x  3  log x  2
1
log 6x  8 


4. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x log 3x  2 x log x 2  3x  10  0
adalah
5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x log x  12   3. x log 4  1  0
6. Jika a dan b adalah akar-akar persamaan 3 log 4 x  3   4 log x 1  49 ,
hitunglah a + b
7. Diketahui akar-akar persamaan log x 2  log x  3  log 4 adalah x1 dan x2,
hitunglah x1x2
3
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
2
2
Page | 39
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 40
Amarhadi
Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
Page | 41