Templat tugas akhir S1

PENENTUAN SOLUSI OPTIMAL DAN NILAI OPTIMAL
ANALISIS PARAMETRIK TERHADAP
OPTIMASI LINEAR
MUHAMAD AVENDI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
iii
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Solusi
Optimal dan Nilai Optimal Analisis Parametrik Terhadap Optimasi Linear adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir diskripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2014
Muhamad Avendi
NIM G54090031
ABSTRAK
MUHAMAD AVENDI. Penentuan Solusi Optimal dan Nilai Optimal Analisis
Parametrik terhadap Optimasi Linear. Dibimbing oleh BIB PARUHUM
SILALAHI dan MUHAMMAD ILYAS.
Optimasi adalah suatu ilmu dari matematika terapan yang mempelajari
masalah-masalah yang bertujuan mencari nilai minimum atau maksimum dari
suatu fungsi yang memenuhi kendala-kendala. Sedangkan optimasi linear khusus
mempelajari hal-hal yang berkaitan dengan meminimumkan atau
memaksimumkan fungsi-fungsi linear dengan kendala-kendala yang juga linear.
Parameter-parameter dalam model optimasi linear dapat mengalami perubahan.
Oleh karena itu perlu menganalisis perubahan ini dengan menggunakan analisis
parametrik. Analisis parametrik merupakan analisis yang berguna untuk
memeriksa dampak dari perubahan parameter secara kontinu terhadap solusi
optimal. Masalah analisis parametrik memperkenankan parameter terpilih
atau
diubah secara kontinu pada interval tertentu. Sifat-sifat dari analisis
parametrik yaitu (1) nilai optimal fungsi berbentuk kontinu, konkaf/konveks dan
piecewise linear, (2) pada suatu interval tertentu perubahan parameter tidak akan
mengubah solusi optimalnya, (3) break point adalah suatu titik di mana solusi
optimal akan berubah bila terjadi perubahan parameter dari sisi kiri break point ke
sisi kanannya, dan (4) terdapat titik ekstrem yang juga merupakan break point.
Kata kunci: Analisis Parametrik, break point, Interval Linear, Optimasi Linear.
ABSTRACT
MUHAMAD AVENDI. Determination of Optimal Solution and Optimal Value of
Parametric Analysis of Linear Optimization. Supervised by BIB PARUHUM
SILALAHI and MUHAMMAD ILYAS.
Optimization is a field of applied mathematics which studies problems to
find the minimum or maximum value of a function that satisfies all of the
constraints. Moreover, linear optimization studies a problem where its objective
function is a linear function and all of its constraints are linear also. The
parameters of a linear optimization problem may have a variation. Therefore, it is
necessary to analyze this variation. The analysis of parametric is a useful analysis
in studying the continuously effects of parameter variations to the optimal solution.
Parametric analysis introduces optional parameters (
) which are changed
continually at a certain interval. The characteristics of parametric analysis are as
follows; (1) the optimal-value function is continuous, concave/convex and
piecewise linear, (2) at a certain interval, the variations of parameter does not
effect the optimal solution, (3) break point is a point at which the optimal solution
will have a variations if the parameter value change from the left side of the break
point to the right side, and (4) there is an extreme point which is also a break point.
Keywords: Parametric Analysis, break point, Linearity Interval, Linear
Optimization.
v
PENENTUAN SOLUSI OPTIMAL DAN NILAI OPTIMAL
ANALISIS PARAMETRIK TERHADAP
OPTIMASI LINEAR
MUHAMAD AVENDI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
vii
Judul Skripsi : Penentuan Solusi Optimal dan Nilai Optimal Analisis Parametrik
Terhadap Optimasi Linear
Nama
: Muhamad Avendi
NIM
: G54090031
Disetujui oleh
Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom
Pembimbing I
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
Muhammad Ilyas, MSi
Pembimbing II
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Karya ilmiah ini mulai
dikerjakan oleh penulis sejak bulan Januari 2013. Judul karya ilmiah ini adalah
Penentuan Solusi Optimal dan Nilai Optimal Analisis Parametrik terhadap
Optimasi Linear.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi,
MKom. dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi selaku dosen pembimbing, serta Bapak
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen penguji yang telah banyak memberi
saran. Di samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen
Matematika atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama masa
perkuliahan. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada kedua orang tua
yakni Ayah Supendi dan Ibu Manzilah (Alm), kakak dan adik-adikku yakni Kak
Eka, Ridwan, Nabila, Diana dan Faraby serta seluruh keluarga besar, atas segala
dukungan, doa dan kasih sayangnya. Tak lupa ucapan terima kasih untuk sahabat
Matematika 46 yakni Galih, Aldi (dio), Adit, Mirna, Rohmat, Qowi dan lainnya,
kakak dan adik kelas, sahabat SMA yakni Andika, teman kos Badoneng Ceria
yakni Fahmi, Arif, Suhe dan Karim serta seluruh pihak yang telah mendukung dan
mendoakan penulis hingga terselesaikannya karya ilmiah ini. Mohon maaf karena
penulis tidak dapat menyebutkannya satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Januari 2014
Muhamad Avendi
ix
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Sistem Persamaan Linear dan Matriks
2
Optimasi Linear
3
Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf
4
Analisis Parametrik
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
Nilai Optimal Fungsi Adalah Piecewise Linear
6
9
Set Optimal pada Interval Linear
11
Set Optimal di Break Point
14
Titik Ekstrem di Interval Linear
17
Prosedur Menentukan Semua Break Point dan Interval Linear
19
Contoh Aplikasi
22
SIMPULAN DAN SARAN
29
Simpulan
29
Saran
29
DAFTAR PUSTAKA
30
LAMPIRAN
31
RIWAYAT HIDUP
35
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
Ilustrasi himpunan konveks dan bukan himpunan konveks
Ilustrasi fungsi konveks
Ilustrasi fungsi konkaf
Nilai optimasi
Nilai optimasi
Hasil analisis untuk contoh aplikasi 1
Hasil analisis untuk contoh aplikasi 2
5
5
5
10
11
25
29
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembuktian domain dari adalah konveks
2 Pembuktian pelengkap dari domain
dari garis real.
3 Pembuktian Lema 3
4 Algoritme Nilai Optimal Fungsi
5 Algoritme Nilai Optimal Fungsi
31
adalah
subset
terbuka
32
32
dan
dan
33
34
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Optimasi adalah suatu bidang dari matematika terapan yang mempelajari
masalah-masalah yang bertujuan mencari nilai minimum atau maksimum suatu
fungsi, dengan memenuhi kendala-kendala yang ada. Optimasi linear khusus
mempelajari hal-hal yang berkaitan dengan meminimumkan atau
memaksimumkan fungsi-fungsi linear, dengan kendala yang juga linear (berupa
persamaan atau pertidaksamaan). Dalam pemodelan optimasi linear, setiap
parameter yang digunakan dalam model diasumsikan nilainya diketahui dengan
pasti. Parameter-parameter ini terdiri dari koefisien nilai ruas kanan ( ) dan
koefisien fungsi tujuan
. Pada kenyataannya, parameter-parameter tersebut
kebanyakan adalah hasil perkiraan pengambil keputusan yang dapat mengalami
perubahan karena faktor-faktor tertentu.
Faktor-faktor yang menyebabkan perubahan-perubahan parameter ini,
umumnya merupakan faktor yang berada di luar kendali para pengambil
keputusan. Faktor-faktor tersebut seperti situasi ekonomi, bencana alam, dan lain
sebagainya. Misalnya, apabila situasi ekonomi mengalami krisis, hal tersebut
dapat menyebabkan terjadinya perubahan pada parameter-parameter koefisien
fungsi tujuan. Demikian juga halnya dengan bencana alam, dapat menyebabkan
terjadinya perubahan pada parameter-parameter nilai ruas kanan.
Pada saat terjadi perubahan, parameter-parameter mungkin ada yang
sensitif terhadap perubahan. Artinya ada parameter-parameter yang bila nilainya
berubah, solusi optimalnya berubah. Sementara itu terdapat juga parameter yang
meskipun nilainya berubah, namun tidak mempengaruhi solusi optimal. Oleh
karena itu perlu menganalisis perubahan ini dengan menggunakan analisis
sensitivitas. Analisis sensitivitas merupakan analisis yang dilakukan untuk
mengetahui pengaruh perubahan yang terjadi pada parameter-parameter model
optimasi linear terhadap solusi optimal yang telah dicapai (Lestaurika 2007).
Roos et al. (2006) menggunakan analisis parametrik sebagai bentuk lain
dari analisis sensitivitas. Analisis parametrik merupakan analisis sensitivitas
sistematis karena perubahan parameter terjadi secara kontinu. Oleh karena itu,
analisis parametrik merupakan analisis sensitivitas lanjutan yang sangat berguna
untuk memeriksa dampak dari hubungan parameter-parameter yang berubah
secara kontinu dan bersamaan. Pada tugas akhir ini, penulis meneliti interval yang
diizinkan dari perubahan parameter-parameter tersebut hingga solusi tetap optimal.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas penentuan solusi optimal dan nilai
optimal analisis parametrik terhadap optimasi linear, dengan rujukan utama adalah
Roos et al. (2006) yang berjudul Interior Point Methods for Linear Optimization.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah sebagai berikut:
1 menjelaskan dan mengonstruksi kembali analisis parametrik,
2 menganalisis perubahan parameter yakni koefisien dari fungsi tujuan
dan/atau nilai ruas kanan kendala terhadap solusi optimal, dengan sifatsifat analisis parametrik.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai istilah terkait
analisis parametrik yang akan digunakan pada bab hasil dan pembahasan, seperti
sistem persamaan linear, matriks, optimasi linear, fungsi konveks dan fungsi
konkaf yang juga akan dilengkapi dengan contohnya.
Sistem Persamaan Linear dan Matriks
Berikut ini akan dibahas definisi SPL dan matriks. Suatu persamaan linear
dalam N variabel dinyatakan sebagai berikut
dengan
dan b adalah bilangan-bilangan real dan
adalah
variabel (Leon 1998). Persamaan linear tersebut disebut sebagai hiperbidang pada
(Anton & Rorres 2005). Suatu sistem persamaan
ruang Euclid berdimensi ,
linear (SPL) dari persamaan dalam variabel adalah suatu sistem berbentuk
dan
adalah bilangan bilangan real dan
adalah variabel. SPL tersebut disebut sebagai SPL berukuran
(Leon 1998). Penyelesaian SPL berukuran
adalah sebuah vektor
dengan
berukuran
], yang memenuhi semua persamaan linear dalam
[
, yaitu
sistem. Vektor yang demikian disebut sebagai vektor penyelesaian. SPL berukuran
tersebut dapat ditulis dalam bentuk
dengan
vektor-vektor kolom dan (maisng-masing berukuran
) adalah
[
]
Selain itu, SPL berukuran
[
]
(Anton & Rorres 2005).
tersebut juga dapat ditulis dalam bentuk
3
dengan matriks A, vektor kolom dan vektor kolom b (masing-masing berturutturut berukuran
,
dan
) adalah
[
],
[
],
[
].
Matriks A disebut matriks koefisien, sedangkan vektor kolom b disebut sebagai
vektor konstanta. Suatu SPL dikatakan konsisten jika mempunyai paling sedikit
satu penyelesaiaan, sedangkan suatu SPL yang tidak mempunyai penyelesaiaan
dikatakan takkonsisten (Leon 1998).
Matriks identitas adalah matriks
yang berukuran
, dengan
{
Suatu matriks A yang berorde
dikatakan tak singular jika terdapat matriks B
sehingga AB=BA=I. Matriks B dikatakan invers multiplikatif dari matriks A.
Invers multiplikatif dari matriks taksingular A secara sederhana disebut juga
sebagai invers dari matriks A dan dinotasikan dengan
. Transpos dari suatu
adalah matriks
yang
matriks
yang berukuran
berukuran
yang terdefinisi oleh
untuk setiap i dan j. Transpos dari A dinotasikan oleh
(Leon 1998).
Optimasi Linear
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi optimasi, optimasi linear,
daerah fisibel, solusi fisibel, dan solusi optimum. Optimasi adalah suatu bidang
dari matematika terapan yang mempelajari masalah-masalah yang bertujuan
mencari nilai minimum atau maksimum suatu fungsi, dengan memenuhi kendalakendala yang ada. Optimasi Linear (OL) khusus mempelajari hal-hal yang
berkaitan dengan meminimumkan atau memaksimumkan fungsi-fungsi linear,
dengan kendala yang juga linear (berupa persamaan atau pertidaksamaan).
Misalkan
menyatakan suatu fungsi dalam variable-variabel
.
Fungsi
dikatakan linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta
,
=
(Winston 2004.) Sebagai contoh
merupakan fungsi linear, sedangkan
bukan
fungsi linear. Jika f fungsi linear dan d konstanta, maka
merupakan
persamaan linear. Untuk sembarang fungsi linear
dan sembarang bilangan d,
pertidaksamaan
dan
adalah pertidaksamaan linear (Winston
2004).
Solusi optimasi linear mempunyai bentuk standar seperti yang
didefinisikan sebagai berikut. Masalah optimasi linear dalam bentuk standar
diberikan sebagai berikut
}
min{
dengan vektor
, serta
adalah matriks berpangkat
baris penuh. Masalah
disebut masalah primal.
4
diberikan sebagai berikut
Masalah dual dari masalah primal
},
max {
dengan
dan
. Masalah
disebut masalah dual.
adalah
notasi dari nilai optimal
dan
. Daerah fisibel dari masalah
didefinisikan sebagai
{
}
sedangkan daerah fisibel dari
didefinisikan sebagai
{
} (Roos et al. 2006).
Daerah fisibel optimasi linear adalah daerah yang memenuhi semua
kendala pada optimasi linear. Suatu solusi disebut fisibel jika memenuhi semua
kendala pada optimasi linear (Nash & Sofer 1996).
Solusi Basis
Solusi dari suatu optimasi linear disebut solusi basis jika memenuhi syarat
berikut:
Solusi tersebut memenuhi kendala pada optimasi linear,
1
2
Kolom-kolom dari matriks kendala yang berpadanan dengan
komponen taknol dari solusi tersebut adalah bebas linear.
Solusi dari suatu optimasi linear disebut solusi basis jika memenuhi
. Vektor disebut solusi basis fisibel jika merupakan solusi
(Nash & Sofer 1996).
basis dan
Pada masalah maksimisasi, solusi optimum suatu optimasi linear adalah
suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Pada masalah
minimisasi, solusi optimum suatu optimasi linear adalah suatu titik dalam daerah
fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil (Winston 2004). Dalam (Roos et al.
2006) setiap sistem persamaan linear dan pertaksamaan linear yang memenuhi
kondisi titik interior jika ada solusi fisibel yang memenuhi semua kendala
ketaksamaan dalam sistem.
Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi himpunan konveks, fungsi
konkaf, fungsi konkaf serta ilustrasinya. Sebelum membahas fungsi konveks dan
konkaf, sebaiknya terlebih dahulu dibahas himpunan konveks yang didefinisikan
sebagai berikut.
Misalkan S menyatakan himpunan titik. Himpunan S adalah himpunan
konveks jika segmen garis yang menghubungkan sembarang titik-titik dalam S
seluruhnya termuat dalam S, atau dengan perkataan lain himpunan
dikatakan himpunan konveks jika untuk setiap
dan untuk setiap
[ ] berlaku
Ilustrasi himpunan konveks dan bukan
konveks diberikan pada Gambar 1 berikut (Maulana 2009).
5
Gambar 1 Ilustrasi himpunan konveks
dan bukan himpunan konveks
Pada Gambar 1, lingkaran (i) dan persegi panjang (ii) merupakan
himpunan konveks, sedangkan bidang (iii) dan cincin (iv) bukan himpunan
konveks. Dalam (Bazaraa et al. 1993), dimisalkan
. Maka
∑
dengan ∑
dan
untuk
disebut kombinasi
konveks dari
. Konsep fungsi konveks dan fungsi konkaf yang
digunakan pada karya ilmiah ini meliputi definisi-definisi berikut ini.
Misalkan
, dengan S himpunan konveks yang takkosong di
.
Fungsi f dikatakan konveks di S jika
untuk setiap
Ilustrasi:
dan untuk setiap
[
]
Gambar 2 Ilustrasi fungsi konveks
Misalkan
, dengan S himpunan konveks yang takkosong di
dikatakan konkaf di S jika
untuk setiap
Ilustrasi:
dan untuk setiap
[
. Fungsi f
] (Peressini et al. 1988).
Gambar 3 Ilustrasi fungsi konkaf
6
Analisis Parametrik
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi analisis parametrik dan sifat
sifat analisis parametrik. Analisis parametrik merupakan analisis sensitivitas
sistematis karena perubahan parameter terjadi secara kontinu. Oleh karena itu,
analisis parametrik merupakan analisis sensitivitas lanjutan yang sangat berguna
untuk memeriksa dampak dari hubungan parameter-parameter yang berubah
secara kontinu dan bersamaan (Lestaurika 2007). Dalam buku yang ditulis Roos C,
Terlaky T, dan Vial J-Ph tahun 2006 dimodelkan hasilnya sifat-sifat dari analisis
parametrik yaitu (1) nilai optimal fungsi dengan adanya perubahan parameterparameter pada koefisien fungsi tujuan dan nilai ruas kanan pada masalah
optimasi linear adalah kontinu, konkaf/konveks dan piecewise linear, (2) pada
suatu interval tertentu perubahan parameter tidak akan mengubah solusi
optimalnya, (3) break point adalah suatu titik di mana solusi optimal akan berubah
bila terjadi perubahan parameter dari sisi kiri break point ke sisi kanannya, dan (4)
terdapat titik ektrem yang juga merupakan break point. Untuk lebih lanjut
mengenai sifat-sifat tersebut akan dibahas di Bab Hasil dan Pembahasan.
Proposisi 1 (Dualitas Lemah)
dan
adalah solusi fisibel
Misalkan adalah solusi fisibel untuk
untuk
maka
.
disebut kesenjangan dualitas.
Akibatnya,
adalah batas atas untuk nilai optimal dari
, jika ada, serta
adalah batas bawah untuk nilai optimal dari
, jika ada. Selanjutnya, jika
dan
kesenjangan dualitas adalah nol maka adalah solusi optimal dari
adalah solusi optimal dari
(Roos et al. 2006).
Teorema 1.1 (Dualitas)
Jika
dan
fisibel maka kedua masalah tersebut mempunyai solusi
optimal; kemudian,
dan
adalah solusi optimal jika dan hanya
jika
. Jika tak satu pun dari dua masalah memiliki solusi optimal, maka
keduanya
dan
tidak fisibel atau salah satu dari dua masalah adalah tidak
fisibel dan yang lain tak terbatas (Roos et al. 2006).
Teorema 1.2 (Goldman-Tucker)
Jika
dan
fisibel maka terdapat solusi optimal dengan strictly
complementary (pelengkap yang kuat), yaitu suatu pasangan solusi optimal
dengan
(Roos et al. 2006).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bab ini akan menyelidiki efek dari perubahan b dan c pada nilai
optimal fungsi
. Jadi kita akan mempelajari nilai optimal fungsi yang
dapat ditulis sebagai berikut.
7
sebagai fungsi dari parameter dan , dan
dan
adalah vektor perturbasi
(pengganggu), vektor b dan c adalah tetap. Karya ilmiah ini mempelajari tentang
kasus-kasus variasi yang hanya terjadi pada salah satu dari dua vektor b dan c. Ini
berarti, jika kita mengambil
maka akan diperhatikan variasi dari
demikian pula sebaliknya, jika kita mengambil
maka akan diperhatikan
variasi dari .
adalah notasi perturbasi untuk masalah primal dengan
dan ( )
untuk masalah dualnya. Daerah fisibel pada kedua masalah diatas dilambangkan
dengan
dan . Sebaliknya juga,
adalah notasi perturbasi untuk masalah
dan ( ) untuk masalah primalnya serta daerah fisibel pada
dual dengan
masalah diatas dilambangkan dengan
dan . Perhatikan bahwa daerah fisibel
adalah hanya dan daerah fisibel ( ) hanya . Asumsi yang diberikan
bahwa b dan c sedemikian rupa sehingga (P) dan (D) keduanya fisibel. Oleh
karena itu,
adalah didefinisikan ada dan terbatas. Selanjutnya notasi
berikut akan diperkenankan
(
)
Disini domain dari parameter dan diambil sebesar mungkin dengan
memperhatikan domain
Jika
ada maka fungsi ini terdefinisi.
Perhatikan bahwa, ketika bervariasi maka daerah fisibel ( ) adalah konstan,
dan karena diasumsikan bahwa ( ) fisibel untuk
, berarti ( ) fisibel untuk
setiap nilai . Oleh karena itu,
didefinisikan jika masalah dual ( ) memiliki
solusi optimal dan
tidak didefinisikan (atau tak terhingga) jika masalah dual
didefinisikan
( ) tak terbatas. Dengan Teorema Dualitas ini berarti bahwa
jika dan hanya jika masalah primal ( ) fisibel. Dengan cara yang sama dapat
dipahami bahwa domain dari terdiri dari semua yang ( ) fisibel dan ( )
dibatasi.
Lema 1
Domain dari dan
adalah konveks.
Bukti:
Akan dibuktikan untuk domain dari adalah konveks. Untuk bukti ada
di Lampiran 1. Diberikan ,
dom
dan
< <
. Kemudian
dan
adalah terbatas, ini berarti bahwa
dan
tidak kosong. Diberikan
dan
. Kemudian
dan
adalah nonnegatif dan
Sekarang perhatikan
8
Perhatikan bahwa adalah kombinasi konveks dari
adalah nonnegatif maka akan ditunjukkan bahwa
dengan
sehingga mengakibatkan
dengan mengalikan matriks
dan
dan karena
Dengan mengurangkan
dengan persamaan (2) sehingga
ini membuktikan bahwa ( ) adalah fisibel dan karenanya
dom
Domain dari dan dalam interval sebenarnya ditutup pada garis real. ini
mengikuti dari lema di atas, dan fakta bahwa pelengkap dari domain dari dan
adalah subset terbuka dari garis real. Pernyataan terakhir adalah isi dari lema
berikutnya.
Lema 2
Pelengkap dari domain dan
adalah subset terbuka pada garis real.
Bukti:
Seperti dalam pembuktian sebelumnya, untuk bukti pelengkap dari domain
adalah subset terbuka dan pada garis real terdapat di Lampiran 2 karena mirip
dengan bukti untuk . Kita cukup menunjukkan bahwa pelengkap dari dom
adalah terbuka. Diberikan
dom . Ini berarti bahwa ( ) adalah takterbatas.
Hal tersebut setara dengan keberadaan vektor sedemikian rupa sehingga
sebagai variabel, di
Dengan menetapkan z dan mempertimbangkan
mana himpunan semua yang memenuhi ketidaksetaraan secara sempurna
adalah interval terbuka. Untuk semua dalam interval ini ( )
takterbatas. Oleh karena itu, pelengkap dari domain dari adalah terbuka.
Suatu dampak dari dua lema terakhir adalah teorema berikutnya, yang
tidak memerlukan bukti lebih .
Teorema 2
Domain dari
dan
adalah interval tertutup pada garis real.
Diberikan Contoh 1 yang mengacu pada Lema 2 dan Teorema 2 berikut ini.
Contoh 1
Tentukan
dengan masalah
{
}
Dalam kasus ini b = (0, 1) dan c = (1). Perhatikan bahwa (D) adalah daerah
fisibel dan dibatasi. Set dari semua solusi yang optimal terdiri dari setiap ( , 1)
9
dengan
. Sekarang mari kita lihat
dan mempertimbangkan
sebagaimana
efek mengganti b dengan
, dan membiarkan
dijelaskan di atas. Kemudian,
{
}
dengan mudah untuk memverifikasi bahwa masalah perturbasi adalah tak terbatas
untuk semua taknol. Karenanya domain dari adalah himpunan singleton yakni
{0}.
Selanjutnya akan dibahas tentang sifat-sifat dari analisis parametrik yaitu
nilai optimal fungsi adalah piecewise linear, set optimal pada interval linear, set
optimal di break point, dan titik ekstrem di interval linear. Keempat sifat-sifat
tersebut disajikan pula teorema, lema, dan corollary beserta buktinya yang
mendukung. Pada subbab terakhir akan disajikan prosedur mencari break point
dan interval linear serta contoh aplikasi.
Nilai Optimal Fungsi Adalah Piecewise Linear
Dalam subbab ini akan ditunjukkan bahwa fungsi
.
piecewise linear pada domainnya. Kita mulai dengan
dan
Teorema 3
adalah kontinu, konkaf dan piecewise linear.
Bukti:
Menurut definisi,
{
}
Untuk setiap dicapai nilai minimum pada solusi sentral dari masalah perturbasi
( ). Solusi ini secara unik ditentukan oleh partisi optimal ( ). Karena jumlah
partisi dari himpunan indeks penuh, {
} adalah terbatas maka dapat
dituliskan
{
}
di mana T adalah subset terbatas dari P. Untuk setiap x T
yang merupakan fungsi linear dari . Karena
adalah minimum dari satu set
fungsi linear terbatas maka
adalah kontinu, konkaf dan piecewise linear.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa fungsi
piecewise linear pada
domainnya yang disajikan dalam Teorema 4 berikut ini.
Teorema 4
adalah kontinu, konveks dan piecewise linear.
Bukti:
Buktinya dengan cara yang sama seperti Teorema 3. Menurut definisi,
}
{
Untuk setiap β yang nilai maksimum dicapai pada solusi pusat
dari ( ). Sekarang secara unik ditentukan oleh partisi optimal ( ) dan
yang konstan untuk semua
yang optimal. Mengaitkan salah satu khususnya
10
dengan setiap kemungkinan slack
didapatkan
di mana S adalah subset terbatas dari
yang muncul timbul dalam cara ini
{
}
. Untuk setiap y
, kita memiliki
merupakan fungsi linear dari . Hal ini menjelaskan bahwa
adalah
maksimum set terbatas dari fungsi linear. Oleh karena itu,
adalah kontinu,
konveks dan piecewise linear, seperti yang dibutuhkan.
dari disebut break
Perubahan kemiringan nilai optimal fungsi
points dari
dan setiap interval antara dua break point secara berturut-turut
disebut linearity interval (interval linear) dari . Dengan cara yang sama kita
mendefinisikan break point dan interval linear untuk . Berikut ini diberikan
Contoh 2 yang mengacu pada Teorema 3.
Contoh 2
Untuk seti p γ
Dalam hal ini
mempertimbangkan masalah ( ) didefinisikan oleh
( )
adalah konstan dan vektor perturbasi untuk c = (1, 3, 1) adalah
Masalah Dualnya
{
( )
Dari sini dijelaslah bahwa nilai optimal diberikan oleh
Grafik dari nilai optimal fungsi
bahwa
}
digambarkan pada Gambar 4. Perhatikan
Gambar 4 Nilai optimal fungsi
adalah piecewise linear dan konkaf. Break point dari
dan
terjadi pada
11
Berikut ini diberikan Contoh 3 yang mengacu pada Teorema 4.
Contoh 3
Untuk setiap
( )
mempertimbangkan masalah (
{
) didefinisikan oleh
}
Dalam hal ini b adalah konstan dan vektor perturbasi untuk
adalah
Masalah Dualnya (
)
{
}
Setara dengan
{
}
Dengan misalkan variabel baru yakni
, sehingga menjadi
{
}
dapat ditulis kembali
{
}
Dari sini dijelaslah bahwa nilai optimal diberikan oleh
Grafik dari nilai optimal fungsi
digambarkan pada Gambar 4.
Gambar 5 Nilai optimal fungsi
dan
adalah piecewise linear dan konveks. Break point dari
.
terjadi pada
Set Optimal pada Interval Linear
Untuk setiap di domain
optimal ( ) oleh .
kita notasikan set optimal (
Teorema 5
Jika
adalah linear pada interval [ ,
optimal dualnya
adalah konstan untuk
( ,
], di mana
).
) oleh
<
dan set
maka set
12
Bukti:
Ambil ̅ ( , ) sembarang dan ̅
optimal untuk ̅ kita memiliki
̅
sembarang. Karena ̅ adalah
( )
( )
dan, saat ̅ adalah masalah dual yang fisibel untuk semua β,
Diperoleh
Fungsi
( ) (
)
( ) (
)
berbentuk linear pada [ , ] akan mengakibatkan
( )
( )
Dengan menggunakan aturan
̅
̅
dan
( )
dapat mengakibatkan
( )
Oleh karena itu, persamaan (11) berubah menjadi pertidaksamaan (12), dan
kemiringan pada interval tertutup [ , ] pada
. Ini berarti bahwa turunan
terhadap pada interval terbuka ( , ) memenuhi
( ̅)
Hal tersebut sama artinya dengan,
Dapat disimpulkan bahwa optimal untuk setiap
Karena adalah sembarang di
dapat dikatakan bahwa
Karena ̅ adalah sembarang di interval terbuka
untuk setiap ̃
, maka dapat dibuat
dengan
.
, argumen di atas berlaku
̃
Sehingga dapat disimpulkan bahwa
dan
̃
, maka
̃.
Bukti di atas menyatakan bahwa
harus memiliki nilai yang sama
untuk setiap
dan setiap
dapat dinyatakan sebagai berikut.
Corollary 5.1
Menurut hipotesis dari Teorema 5,
Dengan kontinuitas dapat ditulis
Dapat menyiratkan konsekuensi lainnya.
Corollary 5.2
Berdasarkan hipotesis dari Teorema 5
, kemudian
untuk perubahan
Dalam hasil selanjutnya dapat sepakati dengan kebalikan dari implikasi
dari Teorema 5 disajikan dalam Teorema 6 berikut ini.
13
Teorema 6
Misalkan
dan
sedemikian rupa sehingga
.
konstan untuk setiap
dan
linear pada interval
Kemudian
[
].
Bukti:
. Kemudian
Misalkan
Pertimbangkan fungsi h linear:
̅
Kemudian
bertepatan dengan f di
mengakibatkan
̅
[
]
. Karena
konveks dapat
dan
[
]
Jadi fisibel untuk setiap
[
]. Karena
adalah nilai optimal dari
,
̅
̅
Oleh karena itu, yang bertepatan dengan di [
]. Berakibat, linear di
[
] dan ̅ optimal untuk
, bila
[
] . Karena ̅ sembarang di
berakibat pada
subset dari
untuk setiap
.
Berdasarkan Teorema 5 dan Corollary 5.2 juga memiliki pernyataan sebaliknya
adalah konstan.
(inklusi converse). Set optimal dual di
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk setiap di domain kita
notasikan set optimal ( ) oleh
dan set optimal ( ) oleh , disajikan dalam
Teorema 7, Corollary 7.1, dan Corollary 7.2 berikut ini.
Teorema 7
Jika
optimal primal
adalah linear pada interval [
adalah konstan untuk
], di mana
.
, maka set
Bukti: lihat Roos et al. 2006
Corollary 7.1
Berdasarkan hipotesis dari Teorema 7,
(
)
Corollary 7.2
Berdasarkan hipotesis dari Teorema 7 (
(
). Maka
(
)
(
)
untuk sembarang
)
Dalam hasil selanjutnya dapat sepakati dengan kebalikan dari implikasi
pada Teorema 7 yang disajikan dalam Teorema 8 berikut ini.
Teorema 8
Misalkan dan
sedemikian rupa sehingga
. Kemudian
adalah konstan untuk setiap
[
] dan
adalah linear pada interval
[
].
14
Bukti: lihat Roos et al. 2006.
Diberikan Contoh 4 yang mengacu pada Teorema 7 berikut ini.
Contoh 4
Dengan menggunakan masalah yang sama dengan Contoh 2 untuk setiap
, masalah ( ) didefinisikan sebagai berikut
( )
Kendala
Masalah Dual
}
{
( )
Didapat vektor perturbasi untuk
adalah
Pada masalah ini didapatkan break point terjadi pada
dan
dan
Gambar 4 menerangkan bahwa
adalah linear pada interval [
]. Sehingga
kita mengambil
, di mana yang diambil yakni
,
dan
.
menjadi
Misalkan
, sehingga
,
Setara dengan
Masalah ini adalah masalah minimisasi maka solusi optimal yang didapat
yakni
.
menjadi
Misalkan
, sehingga
,
Setara dengan
Masalah ini adalah masalah minimisasi maka solusi optimal yang didapat
yakni
.
Misalkan
, sehingga
menjadi
,
Setara dengan
Masalah ini adalah masalah minimisasi maka solusi optimal yang didapat
yakni
. Sehingga dapat disimpulkan bahwa set optimal
primal
adalah konstan untuk
.
Set Optimal di break point
Kembali ke fungsi pada bagian sebelumnya, jika
bukan
break point maka banyaknya
konstan untuk setiap
. Jika domain
memiliki titik ekstrem dari kanan maka dapat dipertimbangkan turunan kanan
pada titik yang menjadi , dan jika domain dari memiliki titik ekstrem dari kiri
turunan kiri pada saat diambil
. Kemudian adalah break point jika dan
hanya jika turunan kanan dan kiri di berbeda. Ini mengikuti dari definisi break
15
point. Dinotasikan turunan kiri dan kanan yakni
dan
dari mengimplikasikan bahwa pada break point dapat di tulis
. Konveksitas
Lema 3
Misalkan ,
dan
memiliki interior pada dom
seperti
yang
memiliki interval linear terbuka hanya di sebelah kanan dan
ke interval
Selain itu,
dan
linear terbuka hanya di sebelah kiri
kemudian
}
{
{
}
Bukti: lihat Lampiran 3
Berdasarkan Lema 3, akan menjadi bentuk umum yang baik jika berlaku
adalah titik ekstrem pada domain sehingga dapat disajikan dalam Teorema 9
berikut ini.
Teorema 9
Misalkan
dom
turunan pada β didefinisikan
dan
akan ada solusi optimal dari
. Kemudian
{
}
{
}
Bukti: lihat Roos et al. 2006
Corollary 9.1
β bukan ekstrem break point dari f dan
lema 3 sehingga menjadi
dan
didefinisikan dalam
Corollary 9.2
{
{
}
}
Corollary 9.3
Dengan menganalogikan dual dari Lema 3 dan Teorema 9 sehingga dapat
disajikan dalam Lema 4 berikut ini.
Lema 4
Misalkan , dan
memiliki interior pada dom( ),
hanya interval
linear terbuka sebelah kanan, dan
hanya interval linear terbuka sebelah kiri.
Selain itu,
dan
. Kemudian menjadi
16
{
{
}
}
Bukti: lihat Roos et al. 2006
Berdasarkan Lema 4 diatas, akan menjadi bentuk umum yang baik jika
berlaku adalah titik ekstrem pada domain sehingga dapat disajikan dalam
Teorema 10 berikut ini.
Teorema 10
Misalkan
Kemudian turunan pada
dan
didefinisikan
{
akan ada solusi optimal dari
{
.
}
}
Bukti: lihat Roos et al. 2006
Corollary 10.1
Misalkan
bukan ekstrem break point dari
didefinisikan dalam lema 4 sehingga menjadi
dan
dan
Corollary 10.2
{
{
}
}
Corollary 10.3
Diberikan Contoh 5 yang mengacu pada Lema 4 dan Teorema 10 berikut
ini.
Contoh 5
Dengan menggunakan masalah yang sama dengan Contoh 2 untuk setiap
, masalah ( ) didefinisikan sebagai berikut
( )
Kendala
Masalah Dual
{
}
( )
Didapat vektor perturbasi untuk
adalah
Grafik digambarkan dalam Gambar 4, break point pada terjadi pada
dan
Untuk
solusi optimal pada ( ) adalah
serta
. Pada break point
set solusi optimal primal dapat diberikan
sebagai berikut
{
}
Nilai ekstrem
pada set ini adalah 2 dan 0. Nilai maksimal yang
terjadi untuk
dan nilai minimal untuk
. Oleh sebab itu,
17
turunan kiri dan kanan pada
diberikan nilainya. Jika
maka
solusi optimal masalah primal diberikan
dan
, sehinnga
set solusi
turunan dari adalah 0 untuk wilayah ini. Pada break point
optimal primal dapat diberikan sebagai berikut
{
}
Nilai ekstrem
pada set ini adalah dan
. Turunan kiri dan kanan
pada
diberikan nilainya. Nilai maksimal yang terjadi untuk
dan nilai minimal untuk
. Pada contoh ini, solusi optimal primal
didapatkan untuk setiap break point yang berdimensi satu, serta interval linear
terbuka pada solusi optimalnya selalu unik.
Titik Ekstrem di Interval Linear
Di bagian ini, asumsi yang digunakan yakni ̅ memiliki interior interval
linear [
]. Diberikan solusi optimal
akan ditunjukan bagaimana titik
ekstrem
dan
dari interval linear yang mengandung ̅ dapat ditentukan
dengan memecahkan dua masalah Linear Optimasi tambahan.
Teorema 11
Misalkan ̅ sembarang dan (
Titik ekstrem dari interval linear [
berikut
{
{
) akan menjadi solusi optimal dari ( ̅ ).
] mengandung ̅ dapat ditulis sebagai
}
}
Bukti: lihat Roos et al. 2006
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ̅ menjadi break point dan (
akan menjadi pelengkap solusi optimal dari ( ̅ ).
)
Teorema 12
Misalkan ̅ menjadi break point dan (
) akan menjadi pelengkap
solusi optimal dari ( ̅ ). Kemudian
dan
yang diberikan pada Teorema 11
̅
didapat
Bukti: lihat Roos et al. 2006
Selanjutnya, asumsi yang digunakan yakni ̅ memiliki interior interval
linear [
]. Diberikan solusi optimal
akan ditunjukan bagaimana titik
ekstrem
dan
dari interval linear yang mengandung ̅ dapat ditentukan
dengan memecahkan dua masalah linear optimasi tambahan.
18
Teorema 13
Misalkan ̅ sembarang dan akan menjadi solusi optimal dari ( ̅ ). Titik
ekstrem dari interval linear [
] mengandung ̅ dapat ditulis sebagai berikut
{
}
{
}
Bukti: lihat Roos et al. 2006
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ̅ menjadi break point dan
menjadi pelengkap solusi optimal dari ( ̅ ).
akan
Teorema 14
Misalkan ̅ menjadi break point dan akan menjadi pelengkap solusi
optimal dari ( ̅ ). Kemudian
dan
diberikan pada Teorema 13 didapatkan
̅
Bukti: lihat Roos et al. 2006
Berikut ini diberikan Contoh 6 yang mengacu pada Teorema 13 dan
Teorema 14.
Contoh 6
Dengan menggunakan masalah yang sama dengan Contoh 5, dengan
menggunakan notasi pada Teorema 13 langkah selanjutnya menentukan interval
linear untuk ̅
. Dengan memverifikasi bahwa
adalah optimal
dan
dari interval linear yang
untuk (
). Oleh karena itu titik ekstrem
mengandung ̅ diikuti dengan meminimalkan dan memaksimalkan
atas
wilayahnya
}
{
Kendala terakhir menyiratkan
, sehingga mempengaruhi kendala lain untuk
dan
, dengan diberikan
Oleh karena itu interval
adalah [
].
linear mengandung ̅
Ketika ̅
,
adalah optimal pada ( ), dan interval linear
mengandung ̅ dengan meminimalkan dan memaksimalkan di atas wilayah.
{
}
Kendala terakhir menyiratkan
, sehingga mempengaruhi kendala lain
untuk
γ
dan
γ
, setara dengan
Oleh karena itu interval
linear mengandung ̅
adalah [
]
Ketika ̅
,
adalah optimal pada
, dan interval linear
mengandung ̅ dengan meminimalkan dan memaksimalkan di atas wilayah.
{
}
Kendala terakhir menyiratkan
, sehingga mempengaruhi kendala lain
untuk
dan
, setara dengan
Oleh karena itu
]
interval linear mengandung ̅
adalah [
Perhatikan bahwa interval linear dihitung sesuai dengan Gambar 4.
Akhirnya dapat ditunjukkan penggunaan Teorema 14 pada break point.
19
Mengambil ̅
dapat dilihat bahwa
adalah optimal untuk
,
dan diperlukan untuk meminimalkan dan memaksimalkan γ atas wilayah tersebut
{
}
Kendala terakhir menyiratkan
, sehingga mempengaruhi kendala lain untuk
dan
, setara dengan
dan dapat ditemukan
interval linear [
] kiri dari 1. Ini karena
juga optimal pada
interval ini. Ingat dari Contoh 4 bahwa set optimal pada
diberikan oleh
{
}
Jadi, bukannya solusi optimal
sama baiknya bila menggunakan
strictly complementary solution
. Kemudian perlu meminimalkan dan
memaksimalkan γ atas daerah
{
}
Terakhir kendala sebesar
, subsitusikan pada hasil Kendala
ketiga
atau
. Karena diiriskan dengan kendala kedua
didapatkan
, dari
. Dengan demikian,
sesuai dengan
Teorema 14.
Prosedur Menemukan Semua break point dan Interval Linear
Dengan menggunakan hasil pada subbab sebelumnya, dalam bagian ini
akan dijelaskan algoritme yang menghasilkan nilai optimal fungsi untuk
perturbasi dimensi satu dari vektor b atau vektor c. Pertama-tama, perturbasi b
yang berdimensi satu dengan kelipatan skalar dari vektor
dengan menyatakan
algoritme untuk perhitungan nilai optimal fungsi dan kemudian membuktikan
bahwa algoritme dapat menemukan semua break point dan interval linear.
Kemudian akan jelas bagaimana memperlakukan perturbasi dimensi satu c;
dengan menyatakan algoritme yang sesuai dan hasil konvergensi tanpa bukti lebih
lanjut.
Teorema berikut menyatakan bahwa algoritme ini dapat menentukan break
point dari yang berturut-turut pada garis real taknegatif, serta kemiringan dari
pada interval linear secara berturut-turut.
Teorema 15
Algoritme berakhir setelah jumlah iterasi terbatas. Jika
adalah
banyaknya iterasi pada saat terakhir maka
adalah break point dari
secara berturut-turut pada garis real taknegatif. Nilai optimal pada
didapat dari
dan kemiringan dari pada interval
didapat dari
Bukti: dalam iterasi pertama algoritme dimulai dengan langkah sebagai berikut
Di mana
adalah vektor slack dalam solusi optimal
yang diberikan dari
Masalah ini fisibel, karena (P) memiliki sebuah
solusi optimal dan
memenuhi kendala. Oleh sebab itu masalah
tambahan pertama adalah takterbatas atau memiliki solusi optimal
Menurut Teorema 11,
yakni sama dengan titik ekstrem di sebelah kanan dari
interval linear yang mengandung 0. Jika masalah tak terbatas (ketika
)
20
maka adalah linear pada
dan algoritme berhenti; dengan kata lain
adalah break point pertama disebelah kanan dari 0. (perhatikan bahwa, apabila
Hal ini tentu mengakibatkan jika 0 adalah break point dari f dan
terjadi
solusi dimulai
adalah strictly complementary.) Jelas
adalah primal
fisibel pada
dan
, didapat
adalah optimal untuk
dengan mengasumsikan bahwa paruh kedua algoritme yang terjadi ketika masalah
ini memiliki solusi optimal, algoritme dapat dilakukan dengan pemecahan
masalah tambahan kedua
}
{
Menurut Teorema 9 nilai maksimal sama dengan turunan dari kanan di
. Jika masalah takterbatas maka
adalah break point terbesar dari pada
dan
untuk
Dalam masalah ini sudah selesai sehingga
algoritme berhenti. Jika tidak, ketika masalah dibatasi, solusi optimal
adalah sedemikian rupa sehingga
adalah sama dengan kemiringan pada
interval linear di sebelah kanan , hal ini berdasarkan Lema 3 Selain itu, akibat
optimal dual pada interval terbuka linearitas sebelah
dari Corollary 9.2,
kanan . Oleh sebab itu, pada awal iterasi kedua
adalah solusi optimal
pada interval terbuka sebelah kanan break point pertama pada [
Dengan
demikian, untuk memulai iterasi kedua dan selanjutnya seperti pada iterasi
pertama. Karena setiap iterasi menghasilkan Interval linear, dan hanya memiliki
banyak interval yang terbatas, maka algoritme berakhir setelah banyaknya iterasi
yang terbatas.
Berikut ini diberikan langkah-langkah untuk menemukan semua break
point dan interval linear pada nilai optimasi fungsi
dengan
dan
dalam buku (Roos et al. 2006). Untuk algoritme nilai optimasi fungsi secara
lengkap dapat dilihat di Lampiran 4.
Sebelum itu, akan diperkenalkan notasi-notasi untuk iterasi-iterasi yang
adalah titik yang terletak pada daerah fisibel
berurutan ini. Misalkan vektor
masalah primal yang dihasilkan saat iterasi ke- . Vektor
dan
adalah titik
yang terletak pada daerah fisibel masalah dual yang dihasilkan saat iterasi ke- .
Algoritme atau langkah-langkah untuk mendapatkan break point, interval linear,
solusi optimal dan nilai optimal adalah sebagai berikut.adalah sebagai berikut.
Input
Output
: Matriks , vektor
untuk masalah primal, vektor
untuk masalah dual, dan vektor .
: Menemukan semua break point dan interval linear.
, vektor
Inisialisasi Misalkan solusi optimal dengan
,
,
dan
.
Langkah 1.
Hitung parameter pada solusi persamaan (29) jika
Hitung parameter pada solusi persamaan (28) jika
Langkah 2.
atau
.
Selama masalah terbatas lanjut ke Langkah 3; selainnya,
BERHENTI .
21
Langkah 3.
pada solusi persamaan (19) untuk
Hitung
pada solusi persamaan (18) untuk
.
Langkah 4.
Selama masalah terbatas lanjut ke Langkah 5; selainnya,
BERHENTI.
Langkah 5.
Perbarui solusi,
Selanjutnya
atau Hitung
, kembali ke Langkah 1 (Roos et al. 2006).
Ketika vektor c adalah perturbasi oleh kelipatan skalar dari
untuk
hal ini bertujuan untuk menemukan nilai optimal fungsi
.
Dengan mengetahui bahwa adalah konkaf. Hal tersebut menyebabkan masalah
tambahan kedua di algoritme ini adalah masalah minimisasi.
Teorema berikut menyatakan bahwa algoritme ini dapat menentukan break
point dari yang berturut-turut pada garis real taknegatif, serta kemiringan dari
pada interval linear secara berturut-turut.
Teorema 16
Algoritme berakhir setelah jumlah iterasi terbatas. Jika K adalah
adalah break point dari
banyaknya iterasi pada saat terakhir maka
secara berturut-turut pada garis real taknegatif. Nilai optimal pada
didapat dari
dan kemiringan dari pada interval
didapat dari
Bukti: seperti Teorema 15
Berikut ini diberikan langkah-langkah untuk menemukan semua break
point dan interval linear pada nilai optimasi fungsi
dengan
dan
dalam buku (Roos et al. 2006). Untuk algoritme nilai optimasi fungsi
secara
lengkap dapat dilihat di Lampiran 6.
Sebelum itu, akan diperkenalkan notasi-notasi untuk iterasi-iterasi yang
berurutan ini. Misalkan vektor
adalah titik yang terletak pada daerah fisibel
masalah primal yang dihasilkan saat iterasi ke- . Vektor
adalah titik yang
terletak pada daerah fisibel masalah dual yang dihasilkan saat iterasi ke- .
Algoritme atau langkah-langkah untuk mendapatkan break point, interval linear,
solusi optimal dan nilai optimal adalah sebagai berikut.
Input
: Matriks , vektor
untuk masalah primal dan vektor Perturbasi
Output : Menemukan semua break point dan interval linear.
Inisialisasi
Misalkan solusi optimal dengan
dan
.
22
Langkah 1.
Hitung parameter pada solusi persamaan (31) jika
Hitung parameter pada solusi persamaan (30) jika
atau
.
Langkah 2.
Selama masalah terbatas lanjut ke Langkah 3; selainnya,
BERHENTI.
Langkah 3.
Hitung
pada solusi persamaan (25) untuk
pada solusi persamaan (24) untuk
.
Langkah 4.
Selama masalah terbatas lanjut ke Langkah 5; selainnya,
BERHENTI.
Langkah 5.
Perbarui solusi,
atau Hitung
, kembali ke Langkah 1 (Roos et al. 2006).
Selanjutnya
Contoh Aplikasi
Selanjutnya akan dibahas mengenai dua contoh aplikasi dari analisis
parametrik pada masalah optimasi linear yang diperoleh dengan menjalankan
algoritme yang diperoleh dari corollary, lema, dan teorema yang dibuktikan dalam
bab Hasil dan Pembahasan.
Contoh Aplikasi 1 (Perubahan Parameter pada Koefisien Fungsi Tujuan)
(P)
{
Dan masalah dualnya
{
(D)
Didapatkan
[
],
}
}
[ ],
[ ].
dengan vektor perturbasi yakni
Sehingga dapat ditulis
(P)
{
}
Dan masalah dualnya
{
}
(D)
Dan menghitung interval linear dari Lema 4 dibutuhkan pengetahuan bahwa suatu
solusi optimal primal untuk beberapa interval. Sehingga input pada Contoh
Aplikasi 1 adalah
23
Kasus Nilai Optimal Fungsi
Iterasi ke-1
Inisialisasi
Langkah 1.
Misalkan solusi optimal dengan
Hitung parameter
{
dan
pada solusi persamaan (31)
.
}
Dimulai dengan
sebagai calon break point yang pertama serta nilai optimal
pada saat break point ini adalah
Langkah 2.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 3.
Langkah 3.
Hitung
{
pada solusi persamaan (25).
}
terlihat bahwa
dan
adalah minimal jika
. Sehingga dapat
ditemukan suatu solusi optimal
untuk interval linear yang hanya di sebelah
kanan pada dan kemiringan dari di interval ini.
Langkah 4.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 5.
Langkah 5.
Perbarui solusi optimal dengan
dan
. Lanjut ke langkah 2.
Iterasi ke-2
Langkah 1.
Hitung parameter
{
pada solusi persamaan (31)
Dengan mudah kita lihat bahwa
adalah optimal dengan
dapat ditentukan calon break poin kedua dan nilai optimal
Langkah 2.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 3.
Langkah 3.
Hitung
{
pada solusi persamaan (25).
,
}
Sehingga
}
terlihat bahwa
dan
adalah minimal jika
dan
.
Sehingga dapat ditemukan suatu solusi optimal
untuk interval linear yang
hanya di sebelah kanan pada dan kemiringan dari di interval ini.
Langkah 4.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 5.
24
Langkah 5.
Iterasi ke-3
Langkah 1.
Perbarui solusi optimal dengan
dan
. Lanjut ke langkah 2.
Hitung parameter
{
Perhatikan bahwa
Langkah 2.
{
,
pada solusi persamaan (31)
dan masalah menjadi setara dengan
}
}
Masalah tidak terbatas maka BERHENTI.
Kasus Nilai Optimal Fungsi
Iterasi ke-1
Inisialisasi
Langkah 1.
karena
Misalkan solusi optimal dengan
Hitung parameter
{
ini setara dengan
dan
pada solusi persamaan (30)
{
.
}
}
Dimulai
sebagai calon break point pertama dan solusi optimal pada break
point ini diberikan oleh
Langkah 2.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 3.
Langkah 3.
Hitung
{
pada solusi persamaan (24).
}
terlihat bahwa
dan
adalah maksimal jika
. Sehingga dapat
ditemukan suatu solusi optimal
untuk interval linear yang hanya di sebelah
kiri pada dan kemiringan dari di interval ini.
Langkah 4.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 5.
Langkah 5.
Perbarui solusi optimal dengan
dan
. Lanjut ke langkah 1.
Iterasi ke-2
Langkah 1.
karena
Hitung parameter
{
ini setara dengan
{
,
pada solusi persamaan (30)
}
}
25
Jadi calon break point kedua dan solusi optimal pada break point ini diberikan
oleh
Langkah 2.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 3.
Langkah 3.
Hitung
{
kasus ini setara dengan
pada solusi persamaan (24).
{
}
}
Karena
adalah maksimal jika
dan
. Sehingga dapat ditentukan
suatu solusi optimal
untuk interval linear yang hanya disebelah kiri
dan
kemiringan dari g di interval ini.
Langkah 4.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 5.
Langkah 5.
Perbarui solusi optimal dengan
dan
. Lanjut ke langkah 1.
Iterasi ke-3
Langkah 1.
Hitung parameter
{
perhatikan bahwa
Langkah 2.
{
,
pada solusi persamaan (31)
dan masalah menjadi seperti
}
}
Masalah tidak terbatas maka BERHENTI.
Untuk melengkapi perhitungan nilai optimal fungsi
dapat dilihat di Gambar 6.
Gambar 6 Hasil analisis
dari Contoh Aplikasi 1
pada contoh ini
26
Contoh Aplikasi 2 (Perubahan Parameter pada Koefisien Nilai Ruas Kanan)
Diberikan masalah primal
(P)
{
dan masalah dualnya
(D)
{
Didapatkan
[
],
}
}.
[ ],
[ ].
Di dapatkan vektor perturbasi b dengan kelipatan skalar yakni
[
]
Sehingga dapat ditulis.
(P)
{
(D)
{
}
}.
Dengan menggunakan algoritme untuk menentukan break point dan interval linear
dari
Sehingga solusi optimal (P) dan (D) diketahui sebagai input.
.
Kasus Nilai Optimal Fungsi
Iterasi ke-1
Inisialisasi
dan
Langkah 1.
Misalkan solusi optimal dengan
.
Hitung parameter
{
pada solusi persamaan (29)
,
}
Dimulai dengan β
sebagai calon break point yang pertama serta nilai optimal
pada saat break point ini adalah
Langkah 2.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 3.
Langkah 3.
{
Hitung
pada solusi persamaan (19).
}
Maka
dan
adalah maksimum jika
dan
. Sehingga dapat ditentukan solusi optimal
untuk interval
linear yang hanya disebelah kanan dan kemiringan dari di interval ini:
Langkah 4.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 5.
27
Langkah 5.
Iterasi ke-2
Langkah 1.
Perbarui solusi optimal dengan
dan
. Lanjut ke langkah 1
Hitung parameter
{
,
pada solusi persamaan (29)
}
Dari
dapat disimpulkan bahwa
dan
didapatkan hasil
β
sebagai calon break point yang kedua serta nilai optimal pada saat break
point ini adalah
Langkah 2.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 3.
Langkah 3.
Hitung
{
pada solusi persamaan (19).
}
dan
adalah maksimal jika
.
Maka
Sehingga dapat ditentukan solusi optimal
untuk interval linear yang
hanya disebelah kanan β dan kemiringan dari di interval ini:
Langkah 4.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 5.
Langkah 5.
Perbarui solusi optimal dengan
dan
. Lanjut ke langkah 1
Iterasi ke-3
Langkah 1.
setara dengan
Langkah 2.
Hitung parameter
{
,
pada solusi persamaan (29)
{
}
}
Masalah tidak terbatas maka BERHENTI.
Kasus Nilai Optimal Fungsi
Iterasi ke-1
Inisialisasi
dan
Langkah 1.
Misalkan solusi optimal dengan
.
Hitung parameter
{
pada solusi persamaan (28)
,
}
Dimula β
sebagai calon break point yang pertama serta nilai optimal pada
saat break point ini adalah
28
Langkah 2.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 3.
Langkah 3.
{
Hitung
pada solusi persamaan (18).
}
Maka
dan
adalah minimal jika
dan
. Sehingga dapat ditentukan solusi optimal
untuk interval
linear yang hanya disebelah kiri dan kemiringan dari di interval ini,
Langkah 4.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 5.
Langkah 5.
Perbarui solusi optimal dengan
dan
. Lanjut ke langkah 1.
Iterasi ke-2
Langkah 1.
Hitung parameter
{
,
pada solusi persamaan (28)
}
Dari
dan
didapatkan hasil β
sebagai calon break point
yang kedua serta nilai optimal pada saat break point ini adalah
Langkah 2.
Masalah terbatas maka lanjut ke Langkah 3.
Langkah 3.
Hitung
{
Setara dengan
Langkah 4.
pada solusi persamaan (18).
{
Masalah tidak
BERHENTI.
}
}
terbatas
karena
Sehingga
Untuk melengkapi perhitungan nilai optimal fungsi
dilihat di Gambar 7
pada contoh ini dapat
29
Gambar 7 Hasil analisis
dari Contoh Aplikasi 2
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat
disimpulkan bahwa analisis parametrik adalah analisis sensitifitas sistematis yang
sangat berguna untuk memeriksa dampak dari perubahan parameter secara
kontinu terhadap solusi optimal. Masalah analisis parametrik memperkenankan
parameter terpilih ( atau ) diubah secara kontinu pada interval tertentu dengan
menggunakan sifat-sifatnya. Sifat-sifat dari analisis parametrik adalah (1) nilai
optimal fungsi dengan adanya perubahan parameter-parameter pada koefisien
fungsi tujuan dan nilai ruas kanan pada masalah optimasi linear adalah kontinu,
konkaf/konveks dan piecewise linear, (2) pada suatu interval tertentu perubahan
parameter tidak akan mengubah solusi optimalnya, (3) break point adalah suatu
titik di mana solusi optimal akan berubah bila terjadi perubahan parameter dari
sisi kiri break point ke sisi kanannya, dan (4) terdapat titik ektrem yang juga
merupakan break point. Algoritme yang disajikan dapat menentukan semua break
point dan interval linear dalam suatu optimasi linear.
Saran
Bagi yang berminat untuk memperluas tema dari karya ilmiah ini, penulis
menyarankan untuk membahas penentuan solusi optimal dan nilai optimal analisis
parametrik terhadap optimasi linear menggunakan teknik komputasi berupa
pemakaian software optimasi untuk mempermudah mendapatkan solusi optimal
dan nilai optimal.
30
DAFTAR PUSTAKA
Anton H, Rorres C. 2005. Elementary Linear Algebra. Ed-ke-9. New Jersey (US):
J Wiley.
Bazaraa MS, HD Sherali & CM Shetty. 1993. Nonlinear Programming: Theory
and Algorithms.
ed. New Jersey (US): John Wiley.
Dumaria Lestaurika Tambunan. 2007. Menentukan Solusi Optimal Program
Linear Parametrik Dengan Menggunakan Metode Simplex [Skripsi]. Medan
(ID): Universitas Sumatra Utara
Leon SJ. 1998. Linear Algebra with Applications. Ed ke-5. London: Springer.
Nash SG, Sofer A. 1996. Linear and Nonlinear Programming. New York (US):
McGraw-Hill.
Peressini AL, Sullivan FE, Uhl JJ. 1988. The Mathematics of Nonlinear
Programming. New York (US): Springer-Verlag.
Roos C, Terlaky T, Vial J-Ph. 2006. Interior Point Methods for Linear
Optimization. New York (US): Springer.
Winston WL. 2004. Operations Reserch Applications and Algorithms Ed ke-4.
New York (US): Duxbury.
Yusep Maulana. 2009. Penyelesaian Integer Programming Dengan Metode
Relaksasi Lagrange [Skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
31
Lampiran 1 Pembuktian domain dari adalah konveks
dom
dan
< < . Kemudian
dan
Diberikan
,
adalah terbatas, yang berarti bahwa kedua
dan
yang tidak kosong.
Diberikan
dan
. Kemudian
dan
adalah nonnegatif dan
Sekarang perhatikan
Perhatikan bahwa x adalah kombinasi konveks dari
dan
dan
karenanya
adalah nonnegatif. Kita melanjutkan dengan menunjukkan
bahwa
. Menggunakan bahwa
Dengan menggunakan persamaan (3) sehingga
Ini membuktikan bahwa (
) adalah fisibel dan karenanya
dom
32
Lampiran 2 Pembuktian pelengkap dari domain
nyata
adalah subset terbuka dari garis
Ambil
dom . Ini berarti bahwa ( ) adalah takterbatas. Ini setara
dengan keberadaan vektor sedemikian rupa sehingga
Menetapkan z dan mempertimbangkan sebagai variabel, himpunan semua
yang memenuhi ketidaksetaraan secara ketat/sempurna
adalah
interval terbuka. Untuk semua dalam interval ini ( ) takterbatas. Oleh karena
itu domain dari g adalah terbuka.
Lampiran 3 Pembutktian Lema 4
Diberikan bukti
, dan bukti
caranya. Karena
adalah optimal untuk
tidak dijelaskan karena sama
didapatkan
Didapatkan juga
mengakibatkan
teorema
berdasarkan
5
dan
corollary
Mengurangi kedua ruas persamaan ini akan menyebabkan
Dengan membagi kedua ruas oleh bilangan positif
ini akan membuktikan bahwa
{
Karena
}
berdasarkan corollary 5.1.
didapatkan
5.2
33
Lampiran 4 Algoritme Nilai Optimal Fungsi
dan
Nilai Optimal Fungsi
Input:
Solusi Optimal
Vektor Perturbasi
dari (D);
.
begin
k:=1;
; ready: false;
while not ready do
begin
{
Solve
if masalah ini adalah takterbatas: ready:=true
else
adalah solusi optimal;
begin
{
Solve
if masalah ini adalah takterbatas: ready:= true
else
adalah solusi optimal;
k:=k+1;
end
end
end
}
}
Nilai Optimal Fungsi
Input:
Solusi Optimal
Vektor Perturbasi
dari (D);
.
begin
k:=1;
; ready: false;
while not ready do
begin
{
Solve
if masalah ini adalah takterbatas: ready:=true
else
adalah solusi optimal;
begin
{
Solve
if masalah ini adalah takterbatas: ready:= true
else
adalah solusi optimal;
k:=k+1;
end
end
end
}
}
34
Lampiran 5 Algoritme Nilai Optimal Fungsi
dan
Nilai Optimal Fungsi
Input:
Solusi Optimal dari (P);
Vektor Perturbasi .
begin
ready: false;
k:=1;
while not ready do
begin
{
Solve
if masalah ini adalah takterbatas: ready:=true
else
adalah solusi optimal;
begin
{
}
Solve
if masalah ini adalah takterbatas: ready:= true
else
adalah solusi optimal;
k:=k+1
end
end
end
}
Nilai Optimal Fungsi
Input:
Solusi Optimal dari (P);
Vektor Perturbasi .
begin
ready: false;
k:=1;
while not ready do
begin
{
Solve
if masalah ini adalah takterbatas: ready:=true
else
adalah solusi optimal;
begin
{
}
Solve
if masalah ini adalah takterbatas: ready:= true
else
adalah solusi optimal;
k:=k+1;
end
end
end
}
35
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 21 Januari 1992 dari ayah
Supendi dan ibu Manzilah (Alm). Penulis merupakan putra kedua dari enam
bersaudara. Pada tahun 2003, penulis lulus dari SD Negeri Duren Tiga 15 pagi
Jakarta. Pada tahun 2006, penulis lulus dari SMP Negeri 238 Jakarta. Pada tahun
2009, penulis lulus dari SMA Negeri 60 Jakarta dan pada tahun yang sama
diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB
(USMI). Penulis memilih mayor Matematika minor Kewirausahaan Agribisnis,
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah
Analisis Numerik (S1) pada semester ganjil tahun akademik 2012-2013, asisten
mata kuliah Pemrograman Linear (S1) pada semester genap tahun akademik 20122013. Penulis mendapatkan beasiswa dari Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM)
IPB pada semester pertama tahun 2009 sampai semester delapan tahun 2013.
Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan seperti organisasi
maupun kepanitiaan. Kepanitiaan yang perah diikuti yakni menjadi panitia dalam
Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru (MPKMB) 2010 dan menjadi panitia
dalam Masa Perkenalan Fakultas MIPA 2011. Dalam berorganisasi, penulis
pernah memegang amanah selama dua periode sebagai Ketua Komisi IV Dewan
Perwakilan Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut
Pertanian Bogor (Dewan Epicentrum dan Dewan Zwiterium) tahun 2011-2012.