Definisi - Binus Repository

Matakuliah
Tahun
: K0094 / Analisis Real
: Tahun 2008
Pertemuan 24
Himpunan Terbuka
dan Tertutup
Sasaran
Pengkajian tentang
Himpunan Terbuka
dan Tertutup sebagai
Pengantar Topologi
Pokok Bahasan
Himpunan Terbuka
dan Tertutup
Definisi
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Diberikan u = (u1, u2, … , un ) dan v=(v1, v2,…, vn) dalam Rn
dan bil. real .
u = v bila dan hanya bila ui = vi untuk semua i, 1  i  n .
u + v = (u1+v1, u2+v2 , … ,un+vn) ,
(jumlah)
u – v = (u1–v1 , u2–v2 , … ,un–vn),
(selisih)
u = ( u1 , u2 , … , un )
(Pergandaan
dengan skalar)
Proposisi
Diberikan u , v dan w adalah titik – titik dalam Rn .
Maka
(u+v)+w=u+(v+w)
u+o=o+u
u–u=0
u+v=v+u
dan bila  dan  bilangan nyata, maka:
(u+v)=u+v
(+)u=u+u
(   ) u =  (  u ).
Definisi
Diberikan u = (u1, u2, … , un) dan v=(v1, v2 , … , vn ) dalam Rn.
Yang dimaksud dengan produk inner atau produk skalar dari u dan v ,
ditulis <u,v> , adalah
<u,v> = u1v1 + u2v2 +  + unvn
Proposisi
Diberikan u , v dan w dalam Rn. Maka <u,v> = <v,u>
(simetrik)
dan bila  dan  adalah bilangan real , maka <u + w ,v> =
<u,v> + <w,v>
(linier).
Definisi
(i)
Diberikan w dalam Rn . Norm dari w , ditulis || w ||, adalah
w 
 w,w  
n
w .
i 1
(ii)
2
i
Diberikan u dan v dalam Rn . Maka jarak titik – titik u dan v
, ditulis d(u,v), adalah
d(u , v) = || u – v ||.
Signifikansi geometrik dari produk inner dari dua titik (vektor) pada
bidang R2 dijelaskan dengan proposisi berikut .
Proposisi
Diberikan dua vektor u 0 dan v 0 pada R2 . Maka
<u,v> = || u || || v || cos  ,
di mana  adalah ukuran sudut (dalam radial) antara vektor
u dan v.
Definisi
Dua vektor u dan v dalam Rn disebut orthogonal
bila <u,v>= 0.
Lemma
Untuk dua vektor u dan v dalam Rn, pernyataan –
pernyataan ini adalah ekivalen :
(i)
Vektor u dan v orthogonal
(ii)
|| u + v || 2 = || u || 2 + || v || 2 .
(Kesamaan Pythagoras)
Lemma
Untuk vektor u dan v dalam Rn dengan v  0,
ambil  = <u,v> / <v,v>.
Maka vektor u -  v orthogonal pada vektor v.
Teorema
(Ketaksamaan Cauchy – Schwarz)
Untuk sebarang dua vektor u dan v dalam Rn ,
| < u , v > |  || u || || v || .
Teorema
Untuk dua vektor u dan v dalam Rn,
maka berlaku estimasi untuk ||u+v|| :
||u+v||  ||u|| + ||v||
(Ketaksamaan
Segitiga),
||u+v||  ||u|| - ||v||
Segitiga Balik).
(Ketaksamaan
Definisi
Diberikan titik u dalam Rn dan bilangan positif r. Yang
dimaksud dengan persekitaran simetrik dengan jejari r
dari u adalah
N(u) = {v dalam Rn : d(u,v) < r}.
Definisi
Diberikan A  Rn . Titik u dalam Rn disebut titik
interior dari A bila terdapat suatu persekitaran
simetrik dari u yang termuat dalam A. Himpunan
semua titik interior dari A disebut interior dari A,
ditulis int A.
Definisi
Himpunan bagian A dari Rn disebut terbuka
dalam Rn bila setiap titik dalam A adalah titik
interior dari A.
Proposisi
Setiap persekitaran simetrik dari titik dalam Rn
adalah terbuka dalam Rn .
Definisi
Himpunan bagian A dari Rn disebut tertutup dalam Rn
bila barisan {uk} dari titik – titik dalam A yang
konvergen ke dalam Rn , maka u di A.
Contoh
Ambil A = {(x,y) dalam R2 : -1  x  1, -1  y 
1}. Maka A tertutup dalam Rn.
Teorema
(Teorema Karakterisasi Komplemen)
Himpunan bagian dari Rn adalah terbuka dalam Rn
bila dan hanya bila komplemennya tertutup dalam
Rn .
Teorema
(i.) Gabungan dari himpunan – himpunan bagian yang
terbuka dalam Rn adalah terbuka dalam Rn .
(ii.) Irisan dari himpunan – himpunan bagian yang
tertutup dalam Rn adalah tertutup dalam Rn .
Teorema
(i.) Irisan dari himpunan – himpunan bagian yang terbuka dalam
Rn yang banyaknya berhingga adalah terbuka dalam Rn.
(ii.) Gabungan dari himpunan – himpunan bagian yang tertutup
dalam Rn yang banyaknya berhingga adalah tertutup dalam
Rn .
Definisi
Misalkan A adalah himpunan bagian dari Rn .
(i.) Titik u dalam Rn disebut titik eksterior dari A bila terdapat perserikatan
simetrik dari u yang termuat dalam Rn \ A. Himpunan dari semua titik
– titik eksterior dari A disebut eksterior dari A, ditulis ekst A.
(ii.) Titik u dalam Rn disebut titik batas dari A bila setiap perserikatan
simetrik dari u memuat titik dari A dan juga titik dari Rn \ A.
Himpunan dari semua titik – titik batas dari A disebut batas dari A,
ditulis bt A.
Contoh
Dari definisi – definisi di atas jelas bahwa
Rn = int A U ekst A U bt A
dan
int A = ekst (Rn \ A), bt A = bt (Rn \ A)
Teorema
Misalkan A adalah himpunan bagian dari Rn .
Maka :
(i.) A terbuka dalam Rn bila dan hanya bila
A  bt =  ;
(ii.) A tertutup dalam Rn bila dan hanya bila
bt A  A.