BAB IV - surya sebayang

IV. REGANGAN
1. Pendahuluan
Pada analisis teori elastisitas yang dibahas dalam buku ini dibuat beberapa asumsi dasar
sebagai berikut:
1. Benda diasumsikan elastis
2. Material pembentuk benda diasumsikan homogen yang artinya sifat-sifat bahan
sama pada setiap titik. Material juga diasumsikan isotropic yang artinya sifatsifat bahan sama kesegala arah
Berdasarkan asumsi diatas maka sifat-sifat elastis suatu benda ditentukan oleh dua jenis
konstanta yaitu E (modulus elastisitas) dan  (poisson ratio)
2. Regangan
Pada hakekatnya benda yang mengalami tegangan akan menimbulkan deformasi.
Deformasi ini sangat berhubungan erat dengan besarnya gaya yang menyebabkannya.
Regangan merupakan bagian dari deformasi yaitu perpanjangan persatuan panjang yang
ditulis dalam notasi  (epsilon)


L

L
(4.1)
: perpanjangan/perpendekan
: panjang mula-mula
Secara eksperimen besar gaya normal yang bekerja dapat ditentukan dengan alat uji
tekan (universal testing machine), demikian pula besar perpendekan dapat diukur dengan
alat dial gauge seperti pada Gambar 4.1.a. Apabila gaya normal diketahui maka dengan
dibagi luas penampang dapat ditentukan tegangan yang terjadi. Apabila perpendekan
sudah diketahui maka dengan membagi dengan panjang semula dapat ditentukan
besarnya regangan.
Pada gambar 4.1.b. besar gaya normal tarik dan besar perpanjangan dapat langsung
terbaca pada layar komputer.
Pada umumnya nilai regangan suatu bahan sangat kecil, terutama pada bahan-bahan
yang getas seperti beton. Nilai regangan akan jauh lebih besar pada bahan-bahan yang
lebih liat seperti baja tulangan.
Regangan merupakan besaran yang tidak berdimensi, namun ada juga yang memberi
dimensi meter per meter m/m atau kadang kadang nilai regangan diberi dalam bentuk
persen.
36
(a)
(b)
Gambar 4.1. (a). Pengujian Modulus Elastisitas Beton.
(b). Pengujian Tegangan Tarik baja
Akhir-akhir ini regangan pada benda uji dapat ditentukan dengan alat strain gauge,
Gambar 4.2.a yang dihubungkan dengan strain indicator, Gambar 4.2.b. Alat ini
biasanya digunakan untuk mengukur regangan yang terjadi pada pengujian komponen
struktur, seperti pengujian balok, pengujian kolom dan pengujian pelat.
(a)
(b)
Gambar 4.2. (a) Strain Gauge dan (b) Strain Indicator
3. Kurva Hubungan Tegangan-Regangan
Dari hasil uji pada Gambar 4.1. dapat diperoleh data tegangan dan data regangan yang
bekerja pada benda uji untuk masing tahapan pembebanan. Dari data yang diperoleh
dapat digambarkan diagram hubungan tegangan dengan regangan, skala ordinat untuk
tegangan dan skala absis untuk regangan.
Dari hasil eksperimen kurva hubungan tegangan-regangan dari bahan-bahan konstruksi
sangat berbeda antara bahan liat (misalnya baja tulangan) dengan bahan yang getas
(misalnya beton) seperti pada Gambar 4.3 dan Gambar 4.4.
37
Tegangan, 
u
C
y
A

O
B
y
D
Regangan, 
Gambar 4.3. Kurva Hubungan Tegangan-Regangan Baja
Apabila sebatang baja ditarik dengan beban yang bertahap, pada awal pembebanan
kurva akan berada dititik O, seiring dengan pertambahan beban, kurva akan menuju titik
A dalam bentuk garis lurus. Garis lurus ini menggambarkan bahwa bahan masih dalam
kondisi elastis. Apabila pada saat kondisi elastis ini beban ditiadakan maka kurva akan
kembali ke titik O. Dengan kata lain apabila beban dilepas pada saat kondisi elastis
maka panjang benda akan kembali ke panjang semula. Titik A merupakan batas
proporsional bahan atau titik leleh, tegangan yang terjadi pada saat bahan leleh disebut
y (tegangan leleh). Dengan penarikan selanjutnya maka kurva akan menuju ketitik B.
Garis AB disebut kondisi plastis, apabila beban dilepas pada kondisi plastis maka benda
tidak akan kembali ke panjang semula. Dengan penarikan lanjutan maka kurva akan
bergerak sesuai dengan garis BCD. Garis BCD disebut dengan kondisi pengerasan
(strain hardening). Titik C merupakan titik puncak dari tegangan yang disebut u
(tegangan ultimit). Titik D merupakan titik terakhir kurva yaitu titik putusnya benda uji.
Tegangan
A

O
Regangan
Gambar 4.4. Hubungan Tegangan Regangan Beton
38
Berbeda dengan pengujian baja yang dilakukan dengan menarik benda uji, pengujian
beton dilakukan dengan menekan benda uji. Kurva hubungan tegangan regangan pada
beton mulai dari titik awal O sampai akhir berbentuk lengkung, sehingga tidak jelas
dimana batas proporsional bahan. Umumnya pada beton batas proporsional bahan
ditentukan 40 % dari nilai tegangan hancur, sebab sampai tegangan 40 % kurva masih
dapat dianggap lurus. Regangan hancur pada beton umumnya sebesar 0,3 % nilai ini
jauh lebih kecil dengan nilai regangan pada baja pada saat putus yaitu sebesar kira-kira
20 %, sehingga beton dikatakan material getas
4. Hukum Hooke.
Secara grafis modulus elastisitas bahan E adalah tg , sehingga Hukum Hooke untuk
beban uniaksial:

atau  = E
(4.2)

Berhubung regangan tidak berdimensi maka satuan modulus elastisitas sama saja dengan
satuan tegangan. Dari kurva pada Gambar 4.4 dan Gambar 4.5 maka hokum Hooke
hanya berlaku sampai batas proporsional bahan dengan kata lain hukum Hooke hanya
berlaku pada saat bahan dalam kondisi elastis.
E=
Perbandingan Poisson
Disamping terjadinya deformasi dalam arah gaya yang bekerja, ternyata terjadi pula
deformasi pada arah tegak lurus gaya yang bekerja, yaitu perpanjangan dan perpendekan
dalam arah lateral (melintang). Apabila sebatang baja ditarik maka dalam arah aksial
maka akan terjadi perpanjangan dalam arah aksial, dan perpendekan dalam arah lateral.
Demikian pula sebaliknya apabila sebatang baja ditekan dalam arah aksial maka akan
terjadi perpendekan dalam arah aksial, dan perpanjangan dalam arah lateral. Hal ini
disebabkan oleh efek Poisson  (nu), tanda negatip artinya perpendekan dan sebaliknya
perpanjangan untuk tanda positip.
= 
regangan.lateral
regangan.aksial
(4.3)
Pada keadaan ekstrem harga  ada yang serendah 0,1 (pada beberapa jenis beton) dan
ada pula yang tinggi sebesar 0,5 (pada karet)
5. Hukum Hooke pada Pembebanan Triaksial
Sebuah balok yang sisinya a, b, dan c diberi tegangan tarik aksial pada masing-masing
sisinya. Tegangan normal yang terjadi dinyatakan oleh x, y, dan z seperti terlihat
pada Gambar 4.5.
39
Z
z
x
a
y
y
Y
b
c
x
z
X
Gambar 4.5. Tegangan Normal Triaksial
Tegangan dalam arah x sebesar x mengakibatkan regangan positip arah x sebesar
 x' 
x
.
E
Tegangan dalam arah y sebesar y mengakibatkan regangan negatip arah x, sebesar
 lateral = -   aksial
 x ''  
y
(lihat persamaan 4.3.) sehingga:
E
Tegangan dalam arah z sebesar z mengakibatkan regangan negatip arah x, sebesar
 x '''  
z
E
Sehingga regangan total arah x sebesar
x 
x

y

z
E
E
E
Regangan-regangan dalam arah y dan arah z dapat pula diperoleh dengan jalan yang
sama, sehingga regangan-regangan dalam ketiga arah:
x 
x

E
 y  
 z  
y
40

z
(4.4)
E
E
y


 z
E
E
y z


E
E
x
E
x
E
(4.5)
(4.6)
6. Hukum Hooke untuk Tegangan Geser dan Regangan Geser
Z
zy
dx
dz
yz
yz
Y
zy
dy
X
Gambar 4.6. Tegangan Geser Murni pada Elemen Benda
Tegangan geser yang bekerja pada benda adalah yz, (Gambar 4.6.). Apabila hanya
pasangan yz yang bekerja maka benda belum setimbang, supaya benda menjadi
setimbang maka harus pula bekrja pasangan tegangan geser zy yang sama besar dengan
yz (Gambar 4.7.a). Akibat bekerjanya tegangan geser yz dan zy maka benda akan
mengalami deformasi seperti Gambar 4.7.b. Regangan geser yang terjadi pada benda
adalah  yang merupakan besaran yang tidak berdimensi, besar regangan geser akan
sebanding dengan gaya geser yang bekerja pada benda, sehingga:
=G
dengan G : modulus geser
(4.7)
Nilai modulus geser juga dapat ditentukan melalui rumus:
G
E
2(1   )
(4.8)
41
Z
Z
zy
B
A
yz
A
B
yz
/2
C
C
Y
zy
C
(a)
O
Y
O
/2
(b)
Gambar 4.7. (a). Tegangan Geser. (b). Deformasi Geser
7. Dilatasi (Pemuaian)
Sisi-sisi dx, dy, dan dz dari sebuah elemen kecil, setelah diregangkan masing-masing
sisinya menjadi (1+x)dx, (1+y)dy dan (1+z)dz
Perubahan volume = (volume akhir – volume awal)
Perubahan volume = (1+x)dx (1+y)dy (1+z)dz – dxdydz
Perubahan volume = (1+x)(1+y)(1+z)dxdydz – dxdydz
Perubahan volume = (1+x + y + z + xy + yz + xz + xyz)dxdydz – dxdydz
Hasil perkalian regangan xy, yz, xz, dan xyz sangat kecil sehingga dapat
diabaikan sehingga:
Perubahan volume = (1+x + y + z) dxdydz – dxdydz
Perubahan volume = (x + y + z)dxdydz
Perubahan volume persatuan volume
 = (x + y + z)
(4.9)
8. Contoh-contoh
Contoh 4.1.
100 kN
300 mm
100 kN
Batang aluminium diameter 50 mm diberi gaya
tarik sebesar 100 kN. Batang tersebut mengalami
pertambahan panjang 0,219 mm untuk panjang
ukur 300 mm, diameter batang berkurang sebesar
0,01215 mm
Hitung tetapan  dan E
42
Penyelesaian
 D 0,01215

 0,000243
D
50
L 0,219

 0,00073
Regangan aksial =
L
300
regangan.lateral 0,000243
Poisson Rasio,   

 0,333
regangan.aksial
0,00073
Regangan lateral/lintang =
N 100.10 3

 50,955 MPa
A 14  .50 2
L

 0,00073
L

50,955
Modulus Elastisitas, E =

 69766 MPa
 0,00073

Contoh 4.2.
Sebatang baja bulat mempunyai luas penampang 300
mm2 terjepit pada bagian atas seperti tergambar.Pada
batang bekerja tiga gaya aksial.
a. Gambarkan diagram gaya aksial yang bekerja
b. Hitunglah perpanjangan pada ujung bebas dari
batang tersebut. E baja 200 GPa
900 mm
20 kN
600 mm
300 mm
10 kN
40 kN
Penyelesaian
a. Diagram gaya aksial:
20 kN
10 kN
40 kN
70 kN
+
+
=
900 mm
50 kN
600 mm
40 kN
300 mm
43
b. Perpanjangan pada ujung bebas
E



N

A

L
NL
atau
A
NL

EA
Dari diagram kombinasi gaya aksial diatas:
N1 = 70 kN dan L1 = 900 mm
N2 = 50 kN dan L2 = 600 mm
N3 = 40 kN dan L3 = 300 mm
N1 L1 N 2 L2 N 3 L3


EA
EA
EA
3
70.10 .900 50.10 3.600
40.10 3.300
= 1,75 mm



200.10 3.300 200.10 3300 200.10 3.300
Maka perpanjangan pada ujung bebas sebesar 1,75 mm

Contoh 4.3.
P
300 mm
500 mm
baja
50 mm x 50 mm
aluminium
100 mm x 100 mm
Sebatang baja dan sebatang aluminium disambung
seperti pada gambar. Hitunglah gaya P yang akan
menyebabkan perpendekan total kedua batang
sebesar 0,25 mm. Distribusi tegangan normal pada
kedua penampang dianggap merata, faktor tekuk
pada batang diabaikan.
E baja = 200 GPa, E Aluminium = 70 GPa
Penyelesaian:
baja + aluminium = 0,25 mm
P.300
P.500

 0,25
3
200.10 .50.50 70.10 3.100.100
0,6.10-6 P + 0,714. 10-6 P = 0,25
1,314.10-6 P = 0,25
P = 190258 N = 190,258 kN
44
Contoh 4.4.
Batang tembaga dengan diameter 60 mm dan panjang 150 mm mendapat gaya tekan
aksial sebesar 200 kN, terdistribusi secara merata. Hitung pertambahan diameter batang
yang disebabkan oleh gaya tekan. E = 85 GPa,  = 0,30
Penyelesaian:
Tegangan aksial

N  200.10 3

 70,7714
A 0,25. .60 2
Regangan aksial
 aksial =


E
 .lateral
 
 .aksial
Regangan lateral
 .lateral  0,3.
 70,7714
85.10 3
70,7714
= 2,4978.10-4
85.10 3
D
 2,4978.10  4
D
D = 2,4978.10-4. 60 = 0,015 mm
Pertambahan diameter batang = 0,015 mm
Contoh 4.5.
Py
tebal pelat 10 mm
Px
Px
100 mm
Py
200 mm
Pelat baja seperti tergambar memikul beban biaksial Px = 100 kN, dan Py = 300 kN,
beban bekerja secara merata pada penampang. E baja = 200 GPa,  = 0,25
a. Hitunglah perubahan tebal pelat baja
b. Hitung perubahan volume pelat baja
45
Penyelesaian:
a. Perubahan tebal pelat:
Py 300.10 3
y 

 150 MPa
A
200.10
Px 100.10 3
x 

 100 MPa
A
100.10
z  0
 z  
x
E
 z  0,25

y
E

z
E
100
150
 0,25
 0,0003125
3
200.10
200.10 3
Z
 0,0003125
Z
Z  0,0003125.10  0,003125 mm
Maka pelat baja berkurang tebalnya sebesar 0,003125 mm
c. Perubahan volume pelat:
 y  
x
y

z
E
E
100
150
 y  0,25

 0,000625
3
200.10
200.10 3
x 
x
E
E


y
E

z
E
100
150
x 
 0,25
 0,0003125
3
200.10
200.10 3
Perubahan volume persatuan volume = (x + y + z)
= 0,0003125 + 0,000625 – 0,0003125
= 0,000625
Perubahan volume = 0,000625.100.200.10 = 125 mm3
Volume pelat bertambah sebesar 125 mm3