BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu

BAB 1
Peubah Acak dan Distribusi
Kontinu
1.1
Fungsi distribusi
Definisi:
Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah
FX (x) = P (X ≤ x)
Contoh:
1. Misalkan X ∼ Bin(3, 0.5), maka fungsi distribusi F (x) adalah fungsi
tangga berikut


0,





1/8,
F (x) = 1/2,


7/8,



1,
x ∈ (−∞, 0);
x ∈ [0, 1);
x ∈ [1, 2);
x ∈ [2, 3);
x ∈ [3, ∞).
2. Misalkan X peubah acak dengan ‘support’ S = [a, b], b > 0. Misalkan
peluang X akan berada di selang S proporsional terhadap panjang selang. Dengan kata lain,
P (x1 ≤ X ≤ x2 ) = λ (x2 − x1 ),
1
untuk a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b. Untuk menentukan λ, misalkan x1 = a dan
x2 = b. Maka,
P (a ≤ X ≤ b) = 1 = λ (b − a) ⇒ λ = 1/(b − a)
Fungsi distribusinya:


0,
F (x) = P (X ≤ x) = P (a ≤ X ≤ x) =
x−a
,
 b−a

1,
x < a;
x ∈ [a, b];
x > b.
Peubah acak X dikatakan berdistribusi Uniform, X ∼ U (a, b).
Sifat-sifat fungsi distribusi:
• F (−∞) = 0 dan F (∞) = 1
• F merupakan fungsi tidak turun; F (a) ≤ F (b) untuk a ≤ b
• F adalah fungsi kontinu kanan; lim²→0+ F (x + ²) = F (x)
Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x).
• Jika b ≥ a, maka P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
• Untuk setiap x, P (X = x) = lim²→0+ P (x − ² < X ≤) = F (x) − F (x−)
(Perhatikan notasi F (x−) dan kasus apabila fungsi distribusi kontinu
kiri)
Definisi:
Distribusi dari peubah acak X dikatakan KONTINU jika fungsi distribusi disetiap x kontinu dan fungsi distribusi tersebut dapat diturunkan.
Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi FX (x).
• Misalkan g(X) fungsi naik satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di
daerah hasil dari g, fungsi invers x = g −1 (y) ada. Misalkan Y = g(X).
Fungsi distribusi dari Y adalah
P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y) = P (X ≤ g −1 (y)) = FX (g −1 (y))
• Misalkan g(X) fungsi turun satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di
daerah hasil dari g, fungsi invers x = g −1 (y) ada. Misalkan Y = g(X).
Fungsi distribusi dari Y adalah
P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y) = P (X > g −1 (y)) = 1 − FX (g −1 (y))
MA3081 Stat.Mat.
2
K. Syuhada, PhD.
• Misalkan X ∼ U (0, 1) dan Y = g(X) = hX + k, h < 0. Maka
X = g −1 (Y ) =
FX (x) =
FY (y) =
Y ∼
Latihan:
1. Misalkan X peubah acak kontinu yang memiliki fungsi distribusi FX (x)
yang naik murni. Misalkan Y = FX (X). Tentukan distribusi dari Y
2. Misalkan U peubah acak berdistribusi U (0, 1). Misalkan FX (x) fungsi
distribusi yang naik murni dari X. Tentukan fungsi distribusi dari peubah
acak FX−1 (U )
3. Misalkan U1 , U2 , . . . , Un sampel acak dari U (0, 1). Bangkitkan sampel
acak dari FX (x) (ambil contoh misalnya untuk FX (x) = 1 − e−λ x , x > 0)
Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi FX (x). Misalkan
Y = g(X) fungsi kontinu tidak monoton. Kita ketahui bahwa pada fungsi
yang monoton,
FY (y) = P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y)
dimana dalam hal ini setiap solusi inverse x = g −1 (y) digunakan untuk menentukan FY (y) dengan menggunakan FX (g −1 (y)). Untuk X ∼ U (−1, 2) dan
g(X) = Y = X 2 , kita dapatkan fungsi distribusi dari Y :
FY (y) =
MA3081 Stat.Mat.
3
K. Syuhada, PhD.
1.2
Unsur Peluang
Misalkan X peubah acak kontinu, 4x bilangan positif kecil. Definisikan
h(a, b) =def P (a ≤ X ≤ a + b) = FX (a + b) − FX (a)
Untuk h(x, 4x) = P (x ≤ X ≤ x + 4x), maka deret Taylor-nya disekitar
4x = 0 adalah
h(x, 4x) = F (x + 4x) − F (x)
¯
d
= h(x, 0) +
h(x, 4x) ¯4x=0 4x + o(4x)
d4x
=
=
dimana
lim
4x→0
o(4x)
=0
4x
Fungsi
·
¸
d
dF (x) =
F (x) 4x
dx
disebut DIFERENSIAL. Dalam statistika, diferensial dari fungsi distribusi
adalah UNSUR PELUANG (yang merupakan pendekatan terhadap h(x, 4x)).
d
Unsur peluang adalah fungsi linier dari dx
F (x).
Contoh:
Misalkan F (x) = 1 − e−3x untuk x ≥ 0. Apakah F (x) suatu fungsi distribusi?
Hitung unsur peluang di x = 2. Cari pendekatan untuk P (2 ≤ X ≤ 2.01).
Densitas rata-rata pada selang (x, x + 4x) didefinisikan:
Density rata-rata =def
P (x ≤ X ≤ x + 4x)
4x
Sedangkan fungsi densitas peluang atau fungsi peluang (f.p) di x adalah limit
MA3081 Stat.Mat.
4
K. Syuhada, PhD.
densitas rata-rata saat 4x → 0:
f.p = f (x) =def lim
4x→0
P (x ≤ X ≤ x + 4x)
4x
=
=
=
d
F (x)
dx
Catatan: Unsur peluang dituliskan sebagai dF (x) = f (x)4x.
Sifat-sifat fungsi peluang:
• f (x) ≥ 0 untuk semua x
R∞
• −∞ f (x) = 1
Hubungan antara fungsi peluang dan fungsi distribusi:
d
F (x)
dx
Z x
F (x) =
f (u)du
f (x) =
−∞
Z
b
P (a < X < b) = ... = ... = ... = F (b) − F (a) =
f (x)dx
a
Latihan:
1. Misalkan λ bilangan riil positif. Jika F (x) = 1 − e−λx , maka f (x) =
2. Jika X ∼ U (a, b) maka F (x) = dan f (x) =
3. *Misalkan f (x) = c/(1 + x2R) untuk −∞ < x < ∞ dan c konstanta.
∞
Fungsi f (x) tak negatif dan −∞ (1 + x2 )−1 dx = π. Berapa nilai c agar
f (x) menjadi fungsi peluag? Tentukan fungsi distribusinya.
4. *Pandang distribusi waktu tunggu. Misalkan T adalah waktu kedatangan kejadian ke-r dalam Proses Poisson dengan laju λ. Tentukan fungsi
peluang dari T
MA3081 Stat.Mat.
5
K. Syuhada, PhD.
Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f (x) dan Y = g(X)
fungsi yang terdiferensial bernilai tunggal. Maka fungsi peluang dari Y :
¯
¯
¯ d −1 ¯
−1
fY (y) = fX (g (y)) ¯¯ g (y)¯¯
dy
untuk ‘support’ Y = g(X). Komponen
J(y) =
d −1
g (y)
dy
adalah transformasi Jacobian.
BUKTI:
Misalkan g(x) memiliki lebih dari satu fungsi invers maka unsur peluang yang
terpisah harus dihitung untuk setiap fungsi invers. Contoh, misalkan X ∼
U (−1, 2) dan Y = g(X) = X 2 . Maka untuk y ∈ [0, 1], terdapat 2 fungsi invers
yaitu ?, dan satu fungsi invers untuk y ∈ (1, 4] yaitu ?. Fungsi peluang dari Y
adalah:
f (y) =
MA3081 Stat.Mat.
6
K. Syuhada, PhD.
1.3
Ekspektasi
Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f (x). Nilai harapan dari X,
jika ada, adalah
Z ∞
E(X) = µX =
f (x)dx
−∞
Catatan: nilai ekspektasi dikatakan ada jika nilai integral adalah hingga.
Misalkan X rv dengan pdf f (x). Maka nilai harapan dari g(X), jika ada,
adalah
Z ∞
E[g(X)] =
g(x)f (x)dx
−∞
.
Operator integral bersifat linier. Jika g1 (X) dan g2 (X) fungsi-fungsi yang
memiliki ekspektasi dan a, b, c konstanta, maka
E[ag1 (X) + bg2 (X) + c] = aE[g1 (X)] + bE[g2 (X)] + c
Contoh/Latihan:
1. Jika distribusi X simetrik di sekitar c dan nilai harapanny ada maka
E(X) = c.
Bukti:
Z
∞
E(X − c) =
(x − c)f (x) dx
Z−∞
c
=
Z
∞
(x − c)f (x)dx +
−∞
Z
(x − c)f (x)dx
c
Z
∞
∞
uf (c − u)du +
uf (c + u)du
=−
0
0
Z ∞
=
u(f (c + u) − f (c − u)) du = 0
0
2. Misalkan X ∼ U (a, b). Tunjukkan bahwa distribusi tersebut simetrik
disekitar (a + b)/2.
MA3081 Stat.Mat.
7
K. Syuhada, PhD.
Bukti:
µ
¶
µ
¶
a+b
a+b
1
f
−δ =f
+δ =
2
2
b−a
£
¤
untuk δ ∈ − b−a
, b−a
2
2
3. Misalkan X berdistribusi Cauchy dengan fungsi peluang
f (x) =
1
h
i,
2
σπ 1 + (x−µ)
2
σ
dengan µ, σ konstanta yang memenuhi |µ| < ∞ dan σ ∈ (0, σ). Tunjukkan bahwa fungsi peluang simetrik di sekitar µ namun ekspektasinya
bukanlah µ.
4. Misalkan X ∼ Exp(λ). Nilai harapan dari X adalah...
MA3081 Stat.Mat.
8
K. Syuhada, PhD.
1.4
Distribusi Bivariat
Suatu fungsi fX,Y (x, y) dikatakan fungsi peluang bivariat jika
• fX,Y (x, y) ≥ 0, untuk semua x, y
R∞ R∞
• −∞ −∞ fX,Y (x, y) dxdy = 1
Jika fX,Y (x, y) fungsi peluang bivariat maka
Z x Z
FX,Y (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) =
−∞
y
fX,Y (u, v) dvdu
−∞
Sifat-sifat fungsi distribusi bivariat:
1. FX,Y (x, ∞) = FX (x)
2. FX,Y (∞, y) = FY (y)
3. FX,Y (∞, ∞) = 1
4. FX,Y (−∞, y) = FX,Y (x, −∞) = FX,Y (−∞, −∞) = 0
5. fX,Y (x, y) =
∂2
∂x∂y
FX,Y (x, y)
fX,Y (x, y)4x4y adalah unsur peluang bersama,
P (x ≤ X ≤ x + 4x, y ≤ Y ≤ y + 4y) = fX,Y (x, y)4x4y + o(4x4y)
Contoh/Latihan:
1. Jika (X, Y ) ∼ U (a, b, c, d) maka fX,Y (x, y) =
2. Untuk soal no 1 di atas, misalkan a = c = 0, b = 4, d = 6 maka
P (2.5 ≤ X ≤ 3.5, 1 ≤ Y ≤ 4) =
P (X 2 + Y 2 > 16) =
3. Jika fX,Y (x, y) = 6/5(x + y 2 ) untuk x ∈ (0, 1) dan y ∈ (0, 1). Tentukan
P (X + Y < 1).
MA3081 Stat.Mat.
9
K. Syuhada, PhD.
Untuk menentukan fungsi peluang marginal, integralkan “peubah yang tidak
diinginkan”:
Z ∞
fX (x) =
fX,Y (x, y) dy
−∞
Z
∞
fY (y) =
fX,Y (x, y) dx
−∞
Z
∞
Z
∞
fX,Y (x, y) =
fW,X,Y,Z (w, x, y, z) dwdz
−∞
−∞
Pada fungsi peluang fX,Y (x, y) = 6/5(x + y 2 ) diperoleh
fX (x) =
fY (y) =
dan nilai harapan
Z
∞
Z
∞
g(x, y) fX,Y (x, y) dxdy =
E(g(X, Y )) = E(X) =
−∞
MA3081 Stat.Mat.
−∞
10
K. Syuhada, PhD.
1.5
Distribusi Bersyarat
Misalkan fX,Y (x, y) adalah fungsi peluang bersama, maka fungsi peluang Y ,
diberikan X = x, adalah
fY |X (y|x) =def
fX,Y (x, y)
,
fX (x)
asalkan fX (x) > 0.
Contoh: Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama
fX,Y (x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1,
maka
fX (x) =
E(X r ) =
fY (y) =
E(Y r ) =
fX|Y (x|y) =
fY |X (y|x) =
E(X r |Y = y) =
E(Y r |X = x) =
Misalkan (X, Y ) adalah peubah acak berpasangan dengan fungsi peluang bersama
fX,Y (x, y). Pandang persoalan memprediksi Y setelah X = x terobservasi.
Prediktor dinotasikan sebagai ŷ(x). Prediktor terbaik didefinisikan sebagai
fungsi Ŷ (X) yang meminimumkan
h
i2 Z ∞ Z ∞
E Y − Ŷ (X) =
(y − ŷ(x))2 fX,Y (x, y) dydx
−∞
−∞
Prediktor terbaik adalah ŷ(x) = E(Y |X = x).
BUKTI:
Contoh/Latihan:
1. Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama
fX,Y (x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1,
MA3081 Stat.Mat.
11
K. Syuhada, PhD.
maka
fY |X (y|x) =
ŷ(x) =
2. Misalkan (Y, X) berdistribusi normal bivariat dengan E(Y ) = µY , E(X) =
2
µX , V ar(Y ) = σY2 , V ar(X) = σX
, Cov(X, Y ) = ρX,Y σX σY . Distribusi
bersyarat Y , diberikan X, adalah
(Y |X = x) ∼
3. Tunjukkan bahwa
h
i
EX fY |X (y|X) = fY (y)
4. Buktikan
n h
io
h
i
EX E h(Y )|X = E h(Y )
5. Buktikan
h
V ar(Y ) = EX
i
h
i
V ar(Y |X) + V ar E(Y |X)
6. Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama
fX,Y (x, y) =
3y 2
, 0<y<x<1
x3
Maka
fY (y) =
E(Y r ) = · · · , E(Y ) = · · · , V ar(Y ) = · · ·
fX (x) =
fY |X (y|x) =
E(Y r |X = x) = · · · , E(Y |X = x) = · · · , V ar(Y |X = x) = · · ·
V ar(E(Y |X)) =
E(V ar(Y |X)) =
MA3081 Stat.Mat.
12
K. Syuhada, PhD.
1.6
Fungsi Pembangkit Momen
Misalkan X peubah acak kontinu, fungsi pembangkit momen dari X adalah
Z ∞
tX
MX (t) = E(e ) =
etx f (x)dx,
−∞
asalkan ekspektasi ada untuk t disekitar 0. Jika semua momen dari X tidak
ada, maka fungsi pembangkit momen juga tidak ada. Fungsi pembangkit
momen berkaitan dengan fungsi pembangkit peluang
MX (t) = GX (et )
asalkan GX (t) ada untuk t disekitar 1. Jika MX (t) adalah fungsi pembangkit
peluang maka MX (0) = 1.
Contoh/Latihan:
1. Jika fX (x) = λe−λx I0,∞ (x), maka
MX (t) =
2. Jika MX (t) ada maka
Ma+bX (t) =
3. Jika
P Xi , i = 1, . . . , n saling bebas, MXi (t) ada untuk setiap i, dan S =
Xi , maka
MS (t) =
4. Fungsi pembangkit momen bersifat unik. Setiap distribusi memiliki
fungsi pembangkit momen yang unik, dan setiap fungsi pembangkit
momen berkorespondensi dengan tepat satu distribusi. Akibatnya, jika
fungsi pembangkit momen ada maka fungsi pembangkit momen tersebut
secara unik menentukan distribusinya. Beri contoh.
5. Pandang turunan dari MX (t) yang kemudian dievaluasi di t = 0. Apa
yang dapat anda katakan? Dapatkah kita mendapatkan momen orde
tinggi?
6. Dapatkah hasil diatas digunakan untuk distribusi diskrit? Ambil contoh
distribusi Geometrik dengan parameter p.
MA3081 Stat.Mat.
13
K. Syuhada, PhD.
7. Misalkan Y ∼ U (a, b). Gunakan fungsi pembangkit momen untuk mendapatkan momen pusat
µµ
¶r ¶
a+b
2
E((Y − µY ) ) = E
Y −
2
MA3081 Stat.Mat.
14
K. Syuhada, PhD.