Vektor dari ruas garis - FMIPA Personal Blogs

Koko Martono – FMIPA - ITB
057
Vektor Vektor adalah ruas garis berarah yang ditentukan oleh panjang
dan arahnya. Dua vektor dikatakan sama jika panjang dan arahnya sama.
Vektor digambarkan sebagai ruas garis dari titik pangkal ke titik ujung
dengan tanda panah diujung, dan diberi lambang huruf kecil cetak tebal.
Panjang vektor Panjang vektor v adalah jarak dari titik pangkal ke titik
ujungnya, dan ditulis || v ||.
Vektor satuan Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan.
v
Untuk sebarang vektor v diperoleh vektor satuan || v || yang panjangnya 1.
v titik
ujung
v
v
u
u
u
||v||
v
titik
pangkal
u=v
z
v3
v = (v1,v2,v3)
k
j
i 0
v1
x
v2
y
(v1,v2,0)
v = v1 i + v2 j + v3 k
|| v || = v12 + v22 + v32
u
v
u≠v
Vektor posisi Jika titik pangkal vektor v adalah
(0,0,0) dan titik ujungnya (v1,v2,v3), maka v dinamakan vektor posisi, dan ditulis v = ⟨v1,v2,v3⟩.
Panjang vektor v = ⟨v1,v2,v3⟩ ≡ || v || = v12 + v22 + v32 .
Vektor basis Vektor satuan i = ⟨1,0,0⟩, j = ⟨0,1,0⟩,
dan k = ⟨0,0,1⟩ sebagai pembentuk ruang dinamakan vektor basis untuk ruang \3. Vektor v dapat
dinyatakan sebagai v = v1 i + v2 j + v3 k .
V & FsPar
058
Vektor di bidang Vektor posisi di bidang adalah v = ⟨v1,v2⟩, vektor dengan titik pangkal (0,0) dan titik ujung (v1,v2). Panjang vektor ini adalah
|| v || = v12 + v22 . Basis baku di bidang terdiri dari vektor satuan i = ⟨1,0⟩
dan j = ⟨0,1⟩. Vektor v = ⟨v1,v2⟩ di bidang ditulis v = v1 i + v2 j.
Vektor nol Vektor nol adalah vektor dengan titik pangkal berimpit dengan titik ujung, arahnya sebarang. Vektor nol di \3 adalah 0 = ⟨0,0,0⟩.
Kesamaan dua vektor posisi Vektor u = ⟨u1,u2,u3⟩ = u1 i + u2 j + u3 k dan
v = ⟨v1,v2,v3⟩ = v1 i + v2 j + v3 k sama, ditulis u = v ⇔ u1 = v1, u2 = v2, u3 = v3.
Vektor dari ruas garis Jika P dan Q adalah titik di bidangJJJ
(ruang),
maG
ka vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q ditulis PQ . Jika titik
JJJG
pangkalnya Q dan titik ujungnya P, maka diperoleh vektor QP .
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
v
u+v
u+v
v
v
v
v
v
v
u
u−v
v
u
−v
u
u−v
−v
u−v
u
Perkalian vektor dengan skalar
u
3u
−2u
Penjumlahan vektor Untuk vektor u dan v dengan titik ujung u ≡ titik
pangkal v, jumlah u dan v (ditulis u + v) adalah vektor dari titik pangkal
u ke titik ujung v. Jumlah dari vektor u = ⟨u1,u2,u3⟩ dan v = ⟨v1,v2,v3⟩ adalah u + v = ⟨u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3⟩.
Perkalian vektor dengan skalar Hasilkali vektor u dengan skalar c (ditulis cu) adalah vektor yang searah u jika c > 0, berlawanan arah dengan
u jika c > 0, dan vektor nol jika c = 0. Hasil kali skalar dari u = ⟨u1,u2,u3⟩
dengan skalar c adalah cu = ⟨cu1,cu2,cu3⟩ dan panjangnya | c | || u ||.
Pengurangan vektor Selisih dari vektor u dan v (ditulis u − v) adalah
vektor u + (−v). Selisih dari vektor u = ⟨u1,u2,u3⟩ dan v = ⟨v1,v2,v3⟩ adalah
u − v = ⟨u1 − v1, u2 − v2, u3 − v3⟩.
V & FsPar
059
Sifat Vektor Untuk sebarang vektor u, v, w dan skalar a, b berlaku:
¾ u+v = v+u
¾ u + (−u) = 0
¾ (a + b) u = au + bu
¾ (u + v) + w = u + (v + w) ¾ a(bu) = (ab)u
¾ 1u = u
¾ u+0 = 0+u = u
¾ a(u + v) = au + av ¾ || au || = | a | || u ||.
Contoh
C
D
Q
P
E
B
A
Pada gambar diperlihatkan jajargenjang ABCD dengan diagonal AC dan BD yang berpotongan di E,
P titik-tengah BC, dan Q titik-tengah ED.
Jika AB = u dan AD = v , nyatakan ruas garis berarah AP , AQ , dan CQ dalam vektor u dan v.
¾ Dari sifat jajargenjang diperoleh
DC = AB = u , BC = AD = v , CD = BA = -u , dan CB = DA = -v.
¾ Karena P titik-tengah BC, maka AP = AB + BP = u + 12 BC = u + 12 v .
¾ Karena Q titik- tengah ED dan E titik potong diagonal AC dan BD, maka
BQ = 34 BD , sehingga
3
AQ = AB + BQ = u + 4 BD = u + 34 (BA + AD) = u + 34 (-u + v) = 14 u + 34 v .
¾ Dengan argumentasi yang sama diperoleh
CQ = CB + BQ = - v + 34 BD = - v + 34 (BA + AD) = - v + 34 (-u + v) = - 34 u - 14 v.
Contoh Jika u = ⟨1,0,0), v = ⟨1,1,0), w = ⟨1,1,1), dan x = ⟨2,−3,4), tentukan konstanta a, b, dan c agar memenuhi x = au + bv + cw.
Dari x = au + bv + cw diperoleh ⟨2,−3,4⟩ = a⟨1,0,0⟩ + b⟨1,1,0⟩ + c⟨1,1,1⟩, atau
⟨2,−3,4⟩ = ⟨a + b + c,b + c,c⟩
Berdasarkan kesamaan dua vektor diperoleh
a + b + c = 2, b + c = −3, dan c = 4.
Akibatnya b = −3 − c = −3 − 4 = −7, dan a = 2 − b − c = 2 − (−7) − 4 = 5.
Jadi konstanta a, b, dan c yang memenuhi x = au + bv + cw adalah
a = 5, b = −7, dan c = 4.
V & FsPar
060
Contoh Jika u = ⟨8,1,−4⟩ dan v = ⟨6,−2,−3⟩, tentukan panjang vektor u, v,
dan u − 2v.
¾ Panjang vektor u adalah || u || = 8 + 1 + (- 4) = 81 = 9 .
2
2
2
¾ Panjang vektor v adalah || v || = 2 + (-3) + (-6) = 49 = 7 .
2
2
2
¾ Karena u − 2v = ⟨8,1,−4⟩ − 2⟨6,−2,−3⟩ = ⟨8,1,−4⟩ − ⟨12,−4,−6⟩ = ⟨4, 5,−2⟩,
maka panjang vektor u − 2v adalah || u - 2 v || = (-4) 2 + 52 +22 = 45 = 3 5.
60°
45°
u
v
60°
45°
200
w
Contoh Pada gambar diperlihatkan sebuah
benda dengan berat 200 newton yang digantung dua kawat bersudut 60° dan 45° dengan
horisontal. Jika semua gaya terletak di dalam
satu bidang dan benda dalam keadaan setimbang, tentukan besarnya gaya tegangan pada
setiap kawat.
¾ Misalkan gaya tegangan pada kawat kiri adalah vektor u, pada kawat ka-
nan adalah vektor v, dan gaya berat benda adalah vektor w. Uraikan gaya
tegangan u dan v atas komponen horisontal dan vertikal.
¾ Dalam keadaan setimbang besarnya gaya horisontal ke arah kiri dan ka-
nan harus sama, akibatnya || u || cos 60 = || v || cos 45 . Dari sini diperoleh
1 || u || = 1 2 || v || , sehingga || u || = 2 || v || .
2
2
¾ Dalam keadaan setimbang besarnya gaya horisontal ke arah atas dan ba-
wah harus sama, akibatnya || u || sin 60 + || v || sin 45 = || w || = 200 .
¾ Selesaikan persamaan ini dengan data soal dan || u || = 2 || v || , diperoleh
1
2
|| v || =
400
6+ 2
=
3 ◊ 2 || v || + 12 2 || v || = 200 ,
400
6+ 2
◊
6- 2
6- 2
= 100 ( 6 - 2 ) ª 103,5 Newton.
dan
|| u || = 2 || v || = 2 ◊100 ( 6 - 2 ) = 200 ( 3 - 1) ª 146, 4 Newton.
V & FsPar
061
Perkalian titik Hasilkali titik dari vektor u dan v, ditulis ui v , didefinisikan sebagai berikut.
¾ Untuk vektor di bidang: u i v = ·u1,u2 Ò i ·v1,v2 Ò = u1v1 + u2 v2 .
¾ Untuk vektor di ruang : u i v = ·u1,u2,u3Ò i ·v1,v2,v3Ò = u1v1 + u2 v2 + u3v3 .
Sifat Perkalian titik Untuk vektor u, v, w dan skalar c berlaku
¾ u i v = v iu
¾ u i (v + w) = u i v + u i w
¾ c (u i v ) = (cu) i v
2
¾ 0 iu = 0
¾ u iu = ||u || ≥ 0 , u iu > 0 ¤ u π 0 , u i u = 0 ¤ u = 0
Kaitan hasilkali titik dengan sudut antara dua vektornya Jika u, v ≠ 0
dan θ = sudut terkecil dari u dan v, maka u i v = ||u || || v || cosq .
Kriteria dua vektor saling tegak lurus u ^ v ¤ u i v = 0 .
(Dua vektor saling tegak lurus jika dan hanya jika hasilkali titiknya nol)
Dua vektor yang saling tegak lurus dinamakan ortogonal.
Bukti dari sifat u i v = ||u || || v || cosq .
Rumus kosinus dari segitiga pada gambar memberikan
u
v
|| u - v || 2 = ||u || 2 + || v || 2 - 2 ||u || || v || cosq .
θ
Dari sifat perkalian titik diperoleh
|| u - v || 2 = (u - v) i (u - v) = u i (u - v) - vi (u - v)
= u i u - u i v - v i u + v i v = || u || 2 + || v || 2 - 2u i v
Samakan kedua bentuk dari || u - v || 2 ini, diperoleh u i v = ||u || || v || cosq . u−v
Contoh Tentukan sudut antara vektor u = ⟨8,4,−1⟩ dan v = ⟨4,−4,−2⟩.
ui v
Jika u, v ≠ 0 dan θ = sudut terkecil dari u dan v, maka cosq = ||u |||| v || . Untuk
soal ini, || u || = 82 + 42 + (-1) 2 = 81 = 9 , || v || = 42 + (-4) 2 + (-2) 2 = 36 = 6 ,
18
1
dan u i v = 8(4) + 4(-4) + (-1)(-2) = 18 , sehingga cosq = 9◊6 = 3 . Akibatnya
sudut antara vektor u dan v adalah q = cos -1 3 ª 71 .
1
Ilustrasi Vektor u = ⟨8,−1,−4⟩ dan v = ⟨1,−4,3⟩ saling tegak lurus karena
u i v = ·8,-1,- 4Ò i ·1,- 4,3Ò = 8 + 4 - 12 = 0 .
V & FsPar
062
Contoh Tentukan semua vektor satuan yang tegak lurus u = ⟨1,6,4⟩ dan
v = ⟨1,2,2⟩.
¾ Misalkan w = ⟨a,b,c⟩ adalah suatu vektor yang tegak lurus u dan v, maka
⟨a,b,c⟩ • ⟨1,6,4⟩ = 0 dan ⟨a,b,c⟩ • ⟨1,2,2⟩ = 0. Dari sini diperoleh persamaan
a + 6b + 4c = 0 dan a + 2b + 2c = 0 .
¾ Selisih dua persamaan ini memberikan 4b + 2c = 0 , sehingga c = -2b dan
a = -2b - 2c = -2b + 4b = 2b .
¾ Jadi w = ⟨a,b,c⟩ = ⟨2b,b,−2b⟩ = b⟨2,1,−2⟩ dan || w || =
b 2(4 +1 + 4) = 3| b | ,
sehingga semua vektor satuan yang tegak lurus u dan v adalah
w
s = || w || =
b · 2,1, -2 Ò
3|b |
1
= ± 3 · 2,1, -2Ò .
Sudut arah dan kosinus arah
z
Sudut tak negatif terkecil antara vektor ruang
v ≠ 0 dengan vektor basis i, j, k dinamakan sudut arah dari v, dinyatakan dengan α, β, dan γ ;
di sini α = ∠(v,i), β = ∠(v,j), dan γ = ∠(v,j).
v
α
k
γ
β
j
0
y
i
x
vii
Dalam kaitan ini, cos α, cos β, dan cos γ dinamakan kosinus arah dari v.
Jika v = v1 i + v2 j + v3 k , maka
v
vi j
v
v ik
v
cos a = || v ||||i || = || v1|| , cos b = || v |||| j|| = || v2|| , dan cosg = || v ||||k || = || v3||
Catatan Karena cos a + cos b + cos g =
2
2
2
v12
|| v || 2
v22
+ 2
|| v ||
v32
+ 2
|| v ||
= 1 , maka vek-
tor (cos α , cos β , cos γ ) panjangnya satu satuan dan searah dengan v.
Contoh Tentukan sudut arah vektor v = ⟨2,3,−6⟩.
Karena || v || = 4 + 9 + 36 = 7 , maka cos a = 72 , cos b = 73 , dan cosg = - 76 ,
sehingga sudut arah dari vektor v = ⟨2,3,−6⟩ adalah
α ≈ 73,4°,
β ≈ 64,6°
dan
γ ≈ 149°.
V & FsPar
063
uiv
Vektor Proyeksi Proyeksi vektor u pada v adalah vektor prv u = 2 v
|| v ||
dan ||prv u || dinamakan proyeksi skalar dari u pada v.
u
u
θ
prv u = u2
||u|| cos θ u2
prv u = u2
u2 − ||u|| cos θ
v
0 £ q £ 12p
u2 = (proyeksi u pada v) = kv, k > 0
||u2|| = ||u|| cos θ = k ||v||
u • v = ||u|| ||v|| cos θ = k ||v|| ||v||
uiv
k= 2
|| v ||
\ u 2 = prv u = kv =
uiv
|| v || 2
v
1p
2
θ
v
<q £ p
u2 = (proyeksi u pada v) = −kv, k > 0
||u2|| = −||u|| cos θ = k ||v||
−u • v = −||u|| ||v|| cos θ = k ||v|| ||v||
uiv
k=- 2
|| v ||
\ u 2 = prv u = - kv =
uiv
|| v || 2
v
Contoh Jika u = ⟨2,2,−1⟩ dan v = ⟨1,1,2⟩, tentukan prv u dan pru v .
Untuk contoh ini, || v || = 6 , || u || = 3 , dan u i v = v i u = 2 , sehingga
prv u =
uiv
2
1 1 2
2 v = 6 ·1,1, 2Ò = 3 , 3 , 3
|| v ||
tali
y
a tan 25°
−a
x
25°
.
Buatlah sistem koordinat xoy dengan titik asal sebagai titik pusat massa mobil. Dalam sistem koordinat ini,
W = ⟨0,−2⟩ dan T = ⟨−a,a tan 25°⟩, a > 0.
Gaya tegangan tali untuk menahan mobil dalam keadaan
setimbang adalah panjang proyeksi dari w pada T, yaitu
||prT W || =
W = 2 ton
v iu
2
4 4 2
2 u = 9 · 2,2, -1Ò = 9 , 9 , - 9
||u ||
Contoh Jika sudut antara tanjakan jalan dan horisontal
adalah 25°, tentukan gaya tegangan tali agar dapat menahan mobil seberat 2 ton dalam keadaan setimbang.
25°
T
dan pru v =
|T i W |
|T i W |
2 a tan 25
|| T || = ||T|| =
2
|| T||
a 1+ tan 2 25
ª 0,8452 ton.
Cara lain ||prT W || = || W ||sin 25 = 2◊0,4663 = 0,8452 ton.
V & FsPar
064
Contoh Jika g ≡ ax + by + c = 0, a dan b tak semua 0, tunjukkan vektor
⟨a,b⟩ tegak lurus garis g dan jarak A(x0,y0) ke g adalah d =
| ax0 + by0 + c |
a 2 + b2
.
Untuk a dan b tak semua 0, terdapat tiga kasus yang mungkin terjadi
c
¾ a = 0 dan b ≠ 0: g ≡ by + c = 0 ⇔ g ∫ y = - ⇔ g // sb-x ⇔ ⟨0,b⟩ ⊥ g.
b
¾ a ≠ 0 dan b = 0: g ≡ ax + c = 0 ⇔ g ∫ x = -
c
a
⇔ g // sb-y ⇔ ⟨a,0⟩ ⊥ g.
⇔ · a ,- a ÒŒg ⇔
c c
c c
⇔ · a ,- a Ò i · a, b Ò = 0 ⇔ · a ,- a Ò ^ · a, bÒ ⇔ ⟨a,b⟩ ⊥ g.
c
a
¾ a ≠ 0 dan b ≠ 0: (- ,0)Œg dan (0, -
y
A(x0,y0)
n
d
v
prn v
(x1,y1)
0
x
| a (x0 - x1) +b ( y0 - y1 ) |
a 2 + b2
c
c
Misalkan (x1,y1) ∈ g dan n = ⟨a,b⟩ adalah vektor yang
tegak lurus garis g ≡ ax + by + c = 0. Buatlah vektor
v dari (x1,y1) ke (x0,y0), maka v = ⟨x0 − x1 , y0 − y1⟩.
Karena (x1,y1) ∈ g, maka ax1 + by1 + c = 0, sehingga
ax1 + by1 = −c.
Dengan menggunakan proyeksi vektor diperoleh
d = jarak ( A, g ) = ||prn v || =
=
c
)Œg
b
=
| v in |
| v i n | | · x - x , y - y Ò i · a ,b Ò |
|| n || = ||n || = 0 1 || ·0a ,b Ò1||
2
||n ||
| ax0 +by0 - ( ax1 +by1 )|
a 2 + b2
=
| ax0 +by0 + c |
a 2 + b2
.
Perkalian silang Hasilkali silang dari vektor ruang u = ⟨u1,u2,u3⟩ dan
v = ⟨v1,v2,v3⟩, ditulis u × v, didefinisikan sebagai vektor ruang
¾ u ¥ v = ·u2 v3 - u3v2 , u3v1- u1v3 , u1v2 - u2 v1 Ò ; atau
i j k
u u
u u
u u
¾ u ¥ v = u1 u2 u3 = 2 3 i - 1 3 j + 1 2 k (bentuk determinan)
v2 v3
v1 v3
v1 v2
v1 v2 v3
Sifat perkalian silang Jika u dan v vektor ruang, maka
¾ u × v ⊥ u dan u × v ⊥ v (u • (u × v) = 0 = v • (u × v))
¾ u, v, dan u × v membentuk sistem tangan-kanan
¾ || u × v || = || u || || v || sin ∠(u,v)
¾ u // v ⇔ u × v = 0
u×v
u
∠(u,v)
||u × v||
v
V & FsPar
065
Jika u = ⟨1,6,4⟩ dan v = ⟨1,2,2⟩, maka
j k
6 4
1 4
1 6
ij+
k = 4 i + 2 j - 4 k = · 4, 2,- 4Ò .
6 4 =
2 2
1 2
1 2
2 2
Ilustrasi
i
u¥v = 1
1
τ
O
v×w
u
w
P
γ
F
||w|| sinθ
θ
||u||cosγ
γ
θ
v
w
v
Torsi Pada gambar kiri diperlihatkan sebuah benda dengan titik tetap O
dan P titik lain pada benda. Di P bekerja gaya F yang memutar benda
terhadap sumbu yang melalui O dan tegak lurus bidang (OP,F). Vektor
t = OP ¥ F dinamakan torsi, yang searah dengan sumbu putar dan besar-
nya || OP || || F || sin q , q = –(OP, F) .
Arti geometri perkalian silang Pada gambar tengah diperlihatkan sebuah jajargenjang yang dibentuk oleh vektor v dan w dengan θ = ∠(v,w).
Alas dan tinggi jajar genjang ini adalah || v || dan || w || sin θ, sehingga luasnya adalah L = || v || || w || sin θ = || v × w ||. (sifat perkalian silang)
Perkalian tripel skalar Perkalian tripel skalar dari vektor u, v, dan w
didefinisikan sebagai skalar u • (v × w). Jika u = ⟨u1,u2,u3⟩, v = ⟨v1,v2,v3⟩,
dan w = ⟨w1,w2,w3⟩, maka
Ê v v
v v v v ˆ
u i (v ¥ w) = ·u1, u2, u3Ò i Á 2 3 , - 1 3 , 1 2 ˜
w1 w3 w1 w2 ¯
Ë w2 w3
u1 u2 u3
v2 v3
v1 v3
v1 v2
= u1
- u2
+ u3
= v1 v2 v3 .
w2 w3
w1 w3
w1 w2
w1 w2 w3
Arti geometri Perkalian tripel skalar Pada gambar kanan diperlihatkan
sebuah paralel epipedum yang dibentuk vektor u, v, dan w. Luas alasnya
adalah || v × w || dan tingginya adalah || u || | cos γ |, dengan γ = ∠(u,v × w).
Volume paralel epipedum ini adalah
V = || v × w || || u || | cos γ | = || u || || v × w || | cos γ | = |u • (v × w)|.
V & FsPar
066
n
Persamaan kartesis bidang di ruang Pada gambar
diperlihatkan bidang α yang tegak lurus vektor taknol n = ⟨a,b,c⟩ dan melalui titik P(x1,y1,z1). Jika titik
Q(x,y,z) pada α , maka vektor PQ = ·x - x1, y - y1, z - z1Ò
α
P
Q
Q(x,y,z)
P(x1,y1,z1)
PQ = ·x - x1, y - y1, z - z1Ò
terletak pada α . Karena PQ ^ n , maka PQ i n = 0 ,
akibatnya α : a (x − x1) + b ( y − y1) + c (z − z1) = 0.
Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk ax + by + cz = ax1 + by1 + cz1 = k,
k konstanta. Jadi persamaan bidang α adalah
α : ax + by + cz = d; a, b, dan c tak semua nol.
Jarak titik ke bidang Jarak titik A(x0,y0,z0) ke α : ax + by + cz = d adalah
d=
|ax0 + by0 + cz0 - d |
a 2 + b2 + c 2
.
Contoh Tentukan persamaan bidang α yang melalui titik A(2,−2,−1),
B(1,1,3), dan C(−2,3,1).
Vektor yang terletak pada bidang α adalah
AB = (1,1,3) - (2,-2,-1) = ·-1,3, 4Ò
n
AC = ( -2,3,1) - (2,- 2,-1) = ·- 4,5, 2Ò
Karena vektor normal bidang n memenuhi
n ^ AB dan n ^ AC , maka
C
α
A
B
i j k
n = AB ¥ AC = -1 3 4 = ·-14, -14,7 Ò = -7· 2,2,-1Ò .
-4 5 2
Ambillah n = ⟨2,2,−1⟩, maka α : 2x + 2y − z = k, k dicari. Karena α melalui
A(2,−2,−1), maka k = 4 − 4 + 1 = 1. Jadi α : 2x + 2y − z = 1.
Contoh Jika α : 2x + 2y − z = 1 dan β : x + 2y + 2z = 6, tentukan ∠(α ,β ).
Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua vektor normalnya. Di sini
na = · 2, 2, -1Ò, n b = ·1, 2, 2Ò dengan || na || = 3, || n b || = 3 , dan na i n b = 2 . Kana in b
2
2
rena cos –(na , n b ) = ||n ||||n || = 3◊3 = 9 , maka –(na , n b ) ª 77, 2 .
a
b
V & FsPar
067
Tampilan parameter kurva bidang Suatu kurva bidang dapat dituliskan dalam persamaan parameter x = x(t), y = y(t), t ∈ I, kedua fungsi ini
kontinu pada suatu selang I. Cara penulisan lainnya adalah bentuk vektor
r(t) = x(t) i + y(t) j, t ∈ I = [a,b].
Kurva tutup dan kurva sederhana Pada persamaan parameter x = x(t),
y = y(t), t ∈ [a,b], titik ujung kurva adalah P(x(a), y (a)) dan titik pangkal
kurva adalah Q(x (b), y (b)).
¾ Suatu kurva dengan titik pangkal dan titik ujung berimpit dinamakan
kurva tutup.
¾ Suatu kurva yang dijalani tepat satu kali (kecuali titik pangkal dan titik ujungnya) dinamakan kurva sederhana.
Contoh Tentukan persamaan parameter untuk lingkaran L: x 2 + y 2 = a 2.
Persamaan parameter L adalah x = a cos t, y = a sin t,
0 ≤ t ≤ 2π, atau r(t) = a cos t i + a sin t j, 0 ≤ t ≤ 2π.
Titik pangkal L ≡ r(0) = (a,0) dan titik ujung L ≡ r(2π)
= (a,0), sehingga L adalah lintasan tutup. Karena L dijalani tepat satu kali kecuali titik (a,0), maka L adalah
lintasan tutup sederhana. Dari x = a cos t dan y = a sin t
diperoleh persamaan lingkaran x 2 + y 2 = a 2.
y
x2 + y 2 = a2
(x,y)
y
t
−a
0
x
a
x
L
−a
x = a cos t y = a sin t
Lintasan tutup sederhana
Lintasan tidak tutup
dan tidak sederhana
Q
Lintasan tidak tutup dan
sederhana
Q
P
P
Kurva bidang
Persamaan kartesis
x2
a2
Elips
Hiperbol
x2
a2
-
+
y2
b2
y2
b2
=1
= 1, x > 0
Lintasan tutup dan tidak
sederhana
Lintasan tutup dan
sederhana
Persamaan parameter
x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
x = a sec t, y = b tan t, - 12p < t < 12p
x = a cosh t, y = b sinh t, −∞ < t < ∞
V & FsPar
068
Keterdiferensialan fungsi parameter Jika x = x(t), y = y(t), t ∈ I mempunyai turunan pertama yang kontinu dan x ′(t) ≠ 0 pada selang buka I,
dy
dy /dt
maka y adalah fungsi terdiferensialkan terhadap x dengan dx = dx /dt .
Ilustrasi Pada fungsi parameter x = a cos t, y = a sin t, 0 ≤ t ≤ 2π untuk
lingkaran L: x 2 + y 2 = a 2 diperoleh y adalah fungsi dari x dengan turunan
dy
dx
dy /dt
y
2a
y
P
R
t C
sikloid
x
M N πa
0
a cos t
x
= dx /dt = - a sin t = - y .
2πa
x
Sikloid Sikloid adalah kurva bidang yang merupakan jejak titik
pada roda lingkaran yang digelindingkan sepanjang garis lurus tanpa tergelincir.
¾ Gambar ini adalah roda lingkaran berpusat di C dan berjari-jari a dige-
lindingkan sepanjang sumbu-x dengan jejak titik P mulai dari (0,0).
¾ Pilih parameter t sudut searah jarum jam antara CP dengan posisi vertikalnya saat P di titik O. Karena ON = PN = at , maka x dan y adalah
x = OM = ON − MN = at − a sin t = a(t − sin t)
y = MP = NR = NC + CR = a + (−a cos t) = a(1 − cos t)
¾ Persamaan parameter sikloid adalah x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), t > 0.
Turunan y terhadap x adalah
y
dy
dx
=
dy /dt
dx /dt
=
a sin t
a (1- cos t )
± 2 ay - y 2
y
=
, karena
y
cos t =1 - a fi a sin t = ± a 1 - cos 2t = ± a 1 - (1- a )2 = ± 2ay - y 2 .
Dari sini diperoleh 0 ≤ y ≤ 2a, titik minimumnya tercapai di x = k⋅2πa
dan titik maksimumnya tercapai di x = πa + k⋅2πa, k bilangan bulat.
Luas daerah di bawah satu busur sikloid dan di atas sumbu-x adalah
L=Ú
2p a
=
Ú
0
y dx = Ú
2p
a2
0
2
= 3p a .
2p
0
a(1 - cos t ) d(a (t - sin t )) = a 2 Ú
2p
0
(1 - cos t ) 2 dt
(1 - 2cos t + 12 + 12 cos 2t ) dt = a 2 ( 32 t - 2sin t + 14 sin 2t )
2p
0
V & FsPar
069
Fungsi Parameter di Bidang dan Ruang
Fungsi parameter di bidang adalah r (t ) = x(t )i + y (t ) j , a £ t £ b dan di
ruang adalah r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k , a £ t £ b . Fungsi parameter ini
bernilai vektor dengan peubah skalar.
Fungsi ini memuat informasi titik pangkal, titik ujung, arah, dan berapa
kali kurva dijalani; arahnya terbalik jika t diganti dengan (−t). (kekuatan)
Suatu kurva dapat ditulis sebagai fungsi parameter dengan lebih dari satu cara, aturannya tidak tunggal. (kelemahan)
Fungsi Parameter di Bidang
Fungsi Parameter di Ruang
y
z
2
\
\
t=α
t=α
t =α
\
r = r(t)
ttkpkl
t=α
ttkpkl
3
\
r = r(t)
t =β
t
ttkujung
j
t
t=β
k
r(t)
r(t)
t=β
0
i
0
t=β
x
ttkujung
j
y
i
x
r (t ) = x(t )i + y (t ) j , a £ t £ b
r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k , a £ t £ b
x = x(t), y = y(t) ≡ fungsi real
x = x(t), y = y(t), z = z(t) ≡ fungsi real
y
z
L2
a
(p,q)
q
a
pi+qj
a
−a
0
a
L1
−a
p
L1: r (t) = a cos t i + a sin t j, 0 £ t £ 2p
y
x
fi x2+ y 2 = a2
L2 : s(t) = (acos t + p)i + (a sin t + q )j ,0 £ t £ 2p
fi (x - p) + ( y - q) = a
2
0
x
2
2
t=0
x
tabung
x2 + y2 = a2
heliks lingkaran
r (t) = a cos t i + a sin t j + bt k
t Œ , atau - • < t < •
y
Lintasan spiral
melilit tabung
}
x = x(t) = a cos t
fi x2 + y 2 = a2
y = y (t) = a sin t
tabung lingkaran
r (t) = a cos t i + a sin t j + bt k , -• < t < •
x
y
z
V & FsPar
070
Contoh Tentukan persamaan parameter dari y = 4 x - x 2, 0 £ x £ 4 , arah, titik
pangkal, titik ujung, gambarkan kurva, dan arah terbalik dari kurva.
y
Persamaan parameter:
r (t ) = t i + (4t - t 2 ) j , 0 £ t £ 4 .
arah: dari titik pangkal (0,0) ke titik ujung (4,0)
(2,4)
4
t=2
y = 4x − x2
t=0
t =0
0 titik
t=4
titik 4
pangkal
t=4
Jika arah kurva dibalik, aturan fungsinya:
s(t ) = -t i + ( -4t - t 2 ) j , - 4 £ t £ 0 .
titik pangkal: r(−4) = 4 i + 0 j = (4,0)
titik ujung:
r(0) = 0 i + 0 j = (0,0)
x
ujung
Contoh Tentukan persamaan parameter dan persamaan kartesis garis di
ruang dengan vektor arah b ≠ 0 dan vektor penyangga a.
Persamaan parameter: x = x(t) = a + tb, b ≠ 0, t Œ .
Jika x = (x, y, z), a = (a1, a2, a3), dan b = (b1, b2, b3), maka (x, y, z) = (a1,a2,a3) + t (b1, b2, b3) . Samakan komponennya, diperoleh (x, y, z) = (a1+tb1, a2 +tb2, a3 +tb3) .
Eliminasi t dari x = a1+ tb1, y = a2 + tb2, dan z = a3 + tb3,
z
x
a
x
b
0
y
diperoleh
x
x - a1
b1
y - a2
= b
2
z-a
= b 3 , b1, b2 , b3 π 0.
3
Contoh Tentukan persamaan kurva yang merupakan perpotongan dari tabung lingkaran x2 + y2 = a2 dengan bidang z = y kemudian gambarkan.
z
tabung
x2 + y2 = a2
bidang z = y
0
x
r = r(t)
y
Karena persamaan kurva harus memenuhi
x2 + y2 = a2, maka x = a cos t, y = a sin t, a > 0.
Karena persamaan kurva harus memenuhi
z = y, maka ambillah z = a sin t, a > 0.
Persamaan parameter dari kurva adalah
r(t) = a cos t i + a sin t j + a sin t k, 0 ≤ t ≤ 2π.
Bentuk kurva adalah elips yang dijalani
satu kali dengan sumbu panjang 2a 2
dan sumbu pendek 2a.
V & FsPar
071
Limit fungsi parameter Untuk fungsi parameter r = r(t), α ≤ t ≤ β dan
α ≤ t0 ≤ β, lim r (t) = L jika "e > 0 $d > 0 '0 < | t - t0 | < d fi || r (t) - L || < e .
t Æ t0
(r(t) dapat dibuat sebarang dekat ke L dengan cara membuat t cukup dekat ke t0 tetapi t ≠ t0)
Kekontinuan fungsi parameter Fungsi parameter r = r(t) kontinu di t0,
α ≤ t0 ≤ β, jika lim r (t) = r (t0) dan kontinu pada suatu selang jika fungsi
t Æ t0
r = r(t) kontinu di setiap titik pada selang itu.
Sifat limit dan kekontinuan fungsi parameter Untuk fungsi parameter
r = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, α ≤ t ≤ β, α ≤ t0 ≤ β, dan L = ( 1 , 2 , 3 ) ,
¾ lim r (t) = L ¤ lim x(t) = 1 , lim y (t) = 2 , dan lim z (t) = 3 ,
t Æ t0
t Æ t0
t Æ t0
t Æ t0
¾ r = r(t) kontinu di t0 ⇔ x = x(t), y = y(t), dan z = z(t) kontinu di t0.
Turunan fungsi parameter Turunan fungsi parameter
r = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, α ≤ t ≤ β
z
C : r = r(t)
di t0 ∈ (α ,β ), ditulis r ′(t0), didefinisikan
r(t0)
sebagai
garis
singgung
r(t0 + h) − r(t0)
r(t0 + h)
0
y
garis singgung: s(t) = r(t0) + t r ′(t0)
x
r (t0 + h ) - r (t0 )
.
h
hÆ0
r ¢(t0) = lim
Turunan fungsinya di t ∈ [α ,β ], didefinisikan sebagai
r (t + h ) - r (t )
h
hÆ0
r ¢(t) = lim
Arti geometri r ′(t0) ≡ vektor singgung di r (t0) pada kurva C: r = r(t), persamaan garis singgung di r (t0) pada kurva C adalah s(t) = r(t0) + t r ′(t0).
Arti fisis r ′(t0) ≡ vektor kecepatan di r (t0) pada gerak partikel sepanjang
kurva C: r = r(t).
Sifat turunan fungsi parameter Turunan dari fungsi parameter r = r(t)
= x(t) i + y(t) j + z(t) k, α ≤ t ≤ β adalah r ¢(t) = x ¢(t) i + y ¢(t) j + z ¢(t) k .
Jika fungsi r = r(t) dan s = s(t) terdiferensialkan di t ∈ [α ,β ], maka
¾ (r + s)′(t) = r ′(t) + s ′(t) ¾ (r • s)′(t) = r(t) • s ′(t) + r ′(t) • s(t)
3
¾ (r − s)′(t) = r ′(t) − s ′(t) ¾ (r × s)′(t) = r(t) × s ′(t) + r ′(t) × s(t) (di
)
V & FsPar
072
Gerakan partikel sepanjang kurva Jika suatu partikel bergerak sepanjang kurva ruang C: r = r(t), maka untuk setiap saat t ∈ [α ,β ] berlaku:
¾ Vektor posisi: r = r(t).
¾ Vektor kecepatan: v = v(t) = r ′(t); laju: v = v(t) = || v(t) ||.
¾ Vektor percepatan: a = a(t) = v ′(t) = r ″(t); percepatan: a = a(t) = || a(t) ||.
Integral fungsi parameter
¾ Integral tak-tentu dari fungsi r = r(t) pada selang I didefinisikan sebagai anti diferensialnya, Ú r (t ) dt = s(t ) + C ⇔ s′(t) = r(t) ∀t ∈ I.
¾ Integral tentu dari fungsi r = r(t), α ≤ t ≤ β didefinisikan sebagai limit
b
 k =1r(ck ) Dtk , P suatu partisi untuk
|| P || Æ 0
jumlah Riemann, Ú r (t) dt = lim
a
n
[α ,β ], ∆tk = tk − tk−1, ck ∈ [tk−1 , tk], dan ||P|| = maks {∆tk : 1 ≤ k ≤ n}.
Sifat integral fungsi parameter Jika r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, α ≤ t ≤ β,
maka ¾ Ú r (t) dt = Ú x(t) dt i + Ú y (t) dt j + Ú z (t) dt k
¾
b
Úa
(
) (
yi−1
0
∆yi
a
)
b
b
b
r (t) dt = Ê Ú x(t) dt ˆ i + Ê Ú y (t) dt ˆ j + Ê Ú z (t) dt ˆ k
Ë a
¯ Ë a
¯ Ë a
¯
Panjang busur kurva Untuk kurva
C: y = f (x), a ≤ x ≤ b, f ′ kontinu pada [a,b],
∆bi = busur ke-i ≈ talibusur ke-i
y
yi
) (
C: r = r(t), α ≤ x ≤ β
∆bi
y = f (x)
a≤x≤b
∆xi
x i−1
Dbi ª
Dxi2 +Dyi2
Panjang busur: L = Ú
xi b y
= 1+
b
a
( )
Dyi 2
Dxi Dxi .
1 + ( f ¢(x))2 dx
Untuk kurva C: r(t) = x(t) i + y(t) j dengan r′(t) = x′(t) i + y′(t) j kontinu pada [α ,β ] dan || r ¢(t)|| = (x ¢(t))2 + ( y ¢(t))2 , dari ∆bi = busur ke-i ≈ talibusur
ke-i diperoleh Dbi ª Dxi2 +Dyi2 =
Panjang busur: L = Ú
b
b
a
( ) ( )
Dxi 2
Dyi 2
+
Dti
Dti Dti .
b
(x ¢(t))2 + ( y ¢(t))2 dt = Ú || r ¢(t)|| dt .
a
Rumus L = Ú || r ¢(t)|| dt berlaku untuk untuk kurva ruang r = r(t), α ≤ t ≤ β.
a
V & FsPar
073
Contoh Hitunglah
ln (1 + t )
1 - et
lim
i+ t
t
t Æ0
(
j+
sin 2t
k
t
)
ln (1 + t )
1/(1 + t )
1 - et
- et
Karena lim t
= lim 1 = 1, lim t = lim 1 = -1, dan
tÆ0
tÆ0
tÆ0
tÆ0
sin 2t
2 cos 2t
lim t = lim 1 = 2 , maka lim r (t ) = (1, -1, 2) = i - j + 2k .
tÆ0
tÆ0
tÆ0
Contoh Tentukan persamaan kartesis garis singgung di titik A(−1,0,π) pada kurva C: r(t) = cos t i + sin t j + t k, t Œ .
¾ Titik A(−1,0,π) terletak pada C karena r(π) = −i + 0 j + π k = (−1,0,π).
¾ Turunan fungsi r = r(t) adalah r ′(t) = −sin t i + cos t j + k, sehingga vek-
tor singgungnya adalah r ′(π) = 0 i − j + k = (0,−1,1).
¾ Karena titik A tercapai pada saat t = π, maka persamaan garis singgung di
A pada kurva C adalah s(t) = r(π) + t r ′(π) = (−1,0,π) + t(0,−1,1).
¾ Untuk menentukan persamaan kartesisnya, misalkan s(t) = (x,y,z), maka
x = −1, y = −t, dan z = π + t. Eliminasi t menghasilkan −y = z − π. Jadi
persamaan kartesis garis singgungnya adalah x = −1 dan y = π − z.
Contoh Suatu partikel bergerak dengan r(t) = cos t i + sin t j + et k , t Π.
Tentukan sudut antara vektor kecepatan dan percepatannya pada saat 0.
¾ Vektor kecepatan partikel ≡ v(t) = r ′(t) = −sin t i + cos t j + e k, sehingga
t
vektor kecepatannya pada saat t = 0 ≡ v(0) = (0,1,1).
t
¾ Vektor percepatan partikel ≡ a(t) = r ″(t) = −cos t i − sin t j + e k, sehingga
vektor percepatannya pada saat t = 0 ≡ a(0) = (−1,0,1).
¾ Gunakan v(0) • a(0) = || v(0) || || a(0) || cos ∠(v(0),a(0)) dengan v(0) • a(0)
= (0,1,1) • (−1,0,1) = 1, || v(0) || = 2 , dan || a(0) || = 2 , diperoleh
1 = 2 cos ∠(v(0),a(0)),
atau
1
cos ∠(v(0),a(0)) = 2 .
¾ Jadi ∠(vektor kecepatan,vektor percepatan) di 0 ≡ ∠(v(0),a(0)) = 60°.
Contoh Hitunglah panjang busur (keliling) lingkaran berjari-jari a > 0.
Tulislah lingkarannya dalam bentuk C: r(t) = a cos t i + a sin t j, 0 ≤ t ≤ 2π.
Karena || r ′(t) || = a, maka L = keliling C = Ú
2p
0
|| r ¢(t)|| dt = Ú
2p
0
a dt = 2p a.
V & FsPar
074
p
Contoh Jika r(t) = sin t i + sin2t j + sin3t k, hitunglah Ú r (t )dt dan Ú r (t)dt.
0
Ú r(t )dt =
¾
(Ú sin t dt ) i + (Ú sin
2
) (Ú sin t dt ) k
t dt j +
3
(
) (
)
p
p
3
1
1
1
¾ Ú r (t) dt = ( -cos t i + ( 2 t - 4 sin2t ) j + ( 3 cos t - cos t ) k ) = 2 i + 12p j + 113 k .
0
0
= - cos t i + 12 t - 14 sin 2t j + 13 cos3 t - cos t k + C
Contoh Hitunglah panjang busur heliks lingkaran
C: r(t) = a cos t i + a sin t j + bt k, 0 ≤ t ≤ 2π.
Karena r ′(t) = −a sin t i + a cos t j + b k, dengan || r ′(t) || = a 2 + b 2 , maka
panjang busur C adalah L = Ú
2p
0
Contoh
y
v
v0
θ
0
lintasan
peluru
x
|| r ¢(t)|| dt = Ú
2p
a 2 + b 2 dt = 2p a 2 + b 2 .
0
Sebutir peluru ditembakkan dari titik asal O dengan
laju awal v0 m/det dan ∠(peluru,sb-x positif) = θ. Jika gesekan udara diabaikan, tentukan vektor posisi
untuk gerakan peluru ini dan tunjukkan lintasan pelurunya berbentuk parabol.
¾ Percepatan yang terkait dengan gaya gravitasi adalah a(t) = −9,8 j m/det
2
dengan kondisi awalnya r(0) = 0 dan v(0) = v0 cosθ i + v0 sinθ j. Tentukan r = r(t) dengan mengintegralkannya dua kali.
Ú
Ú
¾ Dari a(t) = −9,8 j diperoleh v (t ) = a(t ) dt = ( -9,8 j) dt = -9,8t j + C1 de-
ngan C1 ditentukan dari v(0) = v0 cosθ i + v0 sinθ j. Karena v(0) = C1,
maka C1 = v0cosq i + v0sinq j, sehingga v(t ) = (v0cosq ) i + (v0sinq - 9,8t) j.
Ú
¾ Dari sini diperoleh r (t ) = v (t ) dt = (v0 cosq ) t i + ((v0sin q ) t - 4,9t ) j + C2
2
dengan C2 ditentukan dari r(0) = 0. Karena r(0) = 0, maka C2 = 0. Jadi
vektor posisinya adalah r (t ) = (v0cosq ) t i + ((v0sin q ) t - 4,9t 2) j .
2
¾ Dari vektor posisi ini diperoleh x = (v0 cosθ )t dan y = (v0 sinθ )t − 4,9t .
x
(v sinq ) x
x2
4,9
Karena t = v cosq , maka y = v0 cosq - 4,9 2 2 = (tanq ) x - 2 2 x 2 .
v0 cos q
v0 cos q
0
0
sehingga y fungsi kuadrat dalam x dan lintasan pelurunya adalah parabol.
SOAL LATIHAN MA 1201 – KALKULUS 2A
75
Pokok Bahasan: Vektor dan Fungsi Bernilai Vektor
Soal uji konsep dengan benar – salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda.
No.
Pernyataan
Jawab
1.
Vektor nol selalu tegak lurus dan sejajar dengan sebarang vektor ruang.
B−S
2.
Untuk vektor ruang u dan v, jika u // v dan ∠(u,v) = θ, 0 ≤ θ ≤ π, maka θ = 0.
B−S
3.
Untuk vektor ruang u dan v, jika u • v = 0 dan u • w = 0, maka v sejajar dengan w.
B−S
4.
Jika vektor ruang u, v ≠ 0 terletak pada bidang α, maka nα = k (u × v), k konstanta.
B−S
5.
Untuk vektor ruang u dan v, jika ∠(u,v) = θ, 0 < q < 2 p , maka u i v = tanq .
B−S
6.
Untuk sebarang sudut θ kurva x(t) = t cos θ dan y(t) = t sin θ, t Œ
B−S
7.
Jika v adalah vektor singgung pada kurva y = x2 di titik (1,1), maka ⟨2,−1⟩ ⊥ v.
B−S
8.
Jika a(t) • v(t) = 0 ∀ t Œ , maka kurva gerakan partikelnya adalah lingkaran.
B−S
9.
Vektor percepatan pada gerakan sepanjang heliks lingkaran selalu tegak lurus sb-z.
B−S
10.
Pada suatu gerakan partikel, jika || r(t) || = konstan, maka || r ′(t) || = 0 (lajunya nol).
B−S
1
||u ¥ v ||
adalah lingkaran.
Kumpulan Soal Vektor di Bidang dan Ruang
11. Jika P adalah titik berat ∆ABC, AB = u , dan AC = v, nyatakan ruas garis AP, BP, dan CP dalam u dan v.
12. Jika u, v, w mempunyai titik pangkal sama, ∠(u,v) = ∠(u,w) = ∠(v,w) = 120°, u + v + w = 0,
dan ||u|| = ||v|| = 1, tentukan ||w||.
13. Jika A(−2,0), B(3,−1), dan C(5,2), tentukan titik D sehingga ABCD berbentuk jajargenjang kemudian tentukan –( AB, AD) dan –( DA, DC ) .
14. Jika u = ⟨2,2,0⟩, v = ⟨1,−1,1⟩, dan w = ⟨−2,2,1⟩, tentukan ∠(u,v), ∠(u,w), dan ∠(v,w).
15. Jika u = ⟨2,k⟩ dan v = ⟨3,5⟩, tentukan kontanta k agar (a) u // v dan (b) u ⊥ v.
16. Tentukan konstanta k agar vektor u = ⟨k,k,1⟩ tegak lurus vektor v = ⟨k,5,6⟩.
17. Jika A(3,0,2), B(4,3,0), dan C(8,1,−1), tunjukkan ∆ABC siku-siku dan sudut mana yang 90°.
18. Jika vektor u dan v memenuhi ||u − v|| = ||u|| + ||v||, tentukan ∠(u,v).
19. Jika ||u|| = 4, ||v|| = 5, dan ∠(u,v) = 120°, tentukan ||2u + 3v||.
20. Tentukan proyeksi vektor u = ⟨−4,3,−4⟩ pada vektor v = ⟨2,−2,1⟩ dan panjang proyeksinya.
21. Jika bidang α yang melalui (1,1,−1) mempunyai vektor normal n = ⟨3,−2,−1⟩, tentukan persamaan bidang α. Kemudian, jika β : 2x − 4y + 3z = 1, tentukan sudut antara bidang α dan β.
22. Tentukan jarak dari titik A(1,−1,−2) ke bidang α : 2x + 3y + 6z = 1.
23. Tentukan semua vektor yang tegak lurus pada kedua vektor u = i + 2 j + 3 k dan v = i − j + 2 k.
24. Tentukan luas ∆ABC yang titik sudutnya A(3,2,1), B(2,4,6), dan (−1,2,5).
25. Jika α : x − 3y + 2z = 7 dan β : 2x − 2y −z = −3, tentukan persamaan bidang γ yang melalui titik
(1,2,−3), γ tegak lurus α , dan γ tegak lurus β.
76
Kumpulan Soal Fungsi Bernilai Vektor
t + 1 , t ≥ −1 dan gambarkan kurvanya.
26. Tentukan persamaan kartesis dari x = 2t, y =
27. Tentukan persamaan kartesis dari x = 4 − t, y =
t , 0 ≤ t ≤ 4 dan gambarkan kurvanya.
28. Tentukan persamaan kartesis dari x = cos t, y = −2sin22t, −∞ ≤ t ≤ ∞ dan gambarkan kurvanya.
29. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva x = t2, y = t3 di t = 2 dan gambarkan kurvanya.
30. Tentukan turunan pertama dan kedua dari x = 1 − cos t, y = 1 + sin t, t ≠ nπ, n bilangan bulat.
31. Tentukan suatu vektor singgung di titik (1,1) pada kurva (a) y = x2 dan (b) y = 2x3 − x4.
32. Tentukan luas daerah di antara kurva x = e2t, y = e−t dari t = 0 sampai t = ln 5.
33. Hitunglah panjang busur kurva x = 3t2, y = t3, 0 ≤ t ≤ 2.
ln (1+ t )
t
t + sin t
34. Jika r (t) = 1t-sin
i + tan t j +
k , tentukan r(0) agar fungsi ini kontinu di 0.
cos t
1 - et
35. Jika r(t) = e−t i − 2 ln t j, tentukan turunan pertama dari fungsi f (t) = r(t) • r″(t).
36. Pada gerakan partikel r(t) = cos t i + sin t j + et k, t Π, tentukan sudut antara vektor kecepatan
dan vektor percepatannya pada saat t = 0.
37. Jika persamaan gerak suatu partikel adalah r (t) = ( 12 at 2 - 6t + 7) i + (t 2 - 4) j + (t 2 -10)k dan v(1) tegak
lurus a(1), tentukan konstanta a.
38. Jika suatu partikel bergerak menelusuri lingkaran x2 + y2 = 25 dari titik (5,0) dengan laju sudut 6
radian per detik, tentukan persamaan gerak, vektor kecepatan, laju, dan vektor percepatannya.
39. Hitunglah (a)
Ú0 (
1
)
te - t i + tet j + te 2t k dt dan (b)
(
)
1
t
t2
i
+
j
+
k dt
2
1 + t2
1 + t2
0 1+ t
Ú
1
40. Hitunglah panjang busur kurva r(t) = cos 3 t i + sin 3 t j, 0 ≤ t ≤ 2π.
41. Hitunglah panjang busur kurva r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j + t2 k, 0 ≤ t ≤ 2π.
Kunci Jawaban
1
1
2
1
1
2
1. B 2. S 3. S 4. B 5. B 6. S 7. B 8. S 9. B 10. S 11. AP = 3 u + 3 v, BP = - 3 u + 3 v, CP = 3 u - 3 v
12. ||w|| = 1 13. –( AB, AD) = 67,6 , –( DA, DC ) = 112, 4
15. (a) k =
10
3
6
(b) k = - 5
14. ∠(u,v) = ∠(u,w) = 90°, ∠(v,w) = 125,26°
16. k = −2 atau k = −3 17. ∠B 18. 180° 19. 13 20. ⟨−4,4,−2⟩, ||prv u || = 6
21. α : 3x − 2y − z = 2 dan ∠(α , β ) = 56,9° 22. 2 23. c(7i + j − 3k), cŒ
24. 4 6 25. 7x + 5y + 4z = 5
2
2
2
2
26. x = 2( y − 1), y ≥ 0 27. y = 4− x, 0 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 2 28. y = −8x (1− x ), −1 ≤ x ≤ 1 29. y− 8 = 3(x − 4)
y
y
y
2
1
−1
−2
0
x
0
4
y
0
8
gs
t=2
1 x
x
−2
0
4
d2y
dy
30. dx = cot t ; 2 = - csc3t 31. (a) ⟨1,2⟩ (b) ⟨6,−4⟩ 32. 8 33. 16 2 - 8 34. r(0) = 2 i + 2 j − k
dx
35. f ¢(t) = -2e -2t - 4t -3 + 8t -3ln t 36. sudut antara v(0) dan a(0) adalah 60° 37. a = 2 atau a = 4
38. r(t) = 5cos 6t i + 5sin 6t j; v(t) = −30sin 6t i + 30cos 6t j, v(t) = 30; a(t) = −180cos 6t i + 180sin 6t j
2
1
1
1
39. (a) (1 - e ) i + j + 4 (e 2 + 1) k ; (b) 4 p i + ln 2 j + (1 - 4 p ) k
40. 6 41. 2p 1 + 4p 2 + ln ( 1 + 4p 2 + 2p )
x