PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
STANDAR KOMPETENSI
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta
pertidaksamaan kuadrat
KOMPETENSI DASAR
Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.
INDIKATOR
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, melengkapkan bentuk kuadrat
sempurna, dan rumus
MATERI
PERSAMAAN KUADRAT
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk :
2
ax + bx + c = 0, dengan a, b, c  R dan a ≠ 0
Cara-cara menyelesaikan persamaan kuadrat:
1. Memfaktorkan
Contoh soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di bawah ini dengan
pemfaktoran;
a. x 2  8 x  15  0
b. x 2  6 x  0
60
c. x  3 
x 1
Penyelesaian:
a. x 2  8 x  15 = 0
( x  3)( x  5) = 0
( x  3) = 0
x =3
Jadi, HP = {3, 5}
b. x 2  6 x = 0
x ( x  6) = 0
x = 0 atau
Jadi, HP = {  6 , 0}
Agus Setiawan – SMA 2 Bae Kudus
atau
atau
( x  5) = 0
x =5
( x  6) = 0
x = 6
Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat
c.
60
kalikan kedua ruas dengan ( x  1)
x 1
 ( x  1)( x  3)  60
 x 2  2 x  63  0
 ( x  7)( x  9)  0
 ( x  7) = 0 atau ( x  9) = 0
x = 7 atau
x = 9
Jadi, HP = {  9 , 7}
x3
2. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna
Contoh Soal:
Selesaikan persamaan 2 x 2  8 x  1  0 dengan melengkapkan kuadrat.
Penyelesaian:
2 x 2  8x  1  0
 2 x 2  8 x  1
 2( x 2  4 x)  1
 x 2  4 x   12
 x 2  4 x  (2) 2  (2) 2  12
 ( x  2) 2 
7
2
 x2
Jadi,
x  2 
7
2
7
2
atau
tiap ruas ditambah dengan ( 12 b)2
x  2 
7
2
3. Menggunakan Rumus abc
Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat atau sering disebut dengan
Rumus abc adalah:
x1, 2
 b  b 2  4ac

2a
Contoh soal:
Gunakan rumus untuk menentukan akar-akar persamaan x 2  8 x  15  0
Penyelesaian:
x 2  8 x  15  0
Maka,
a=1
b=–8
c = 15
Substitusi nilai a, b, c ke rumus abc
Sehingga,
x1, 2 
 (8)  (8) 2  4(1)(15)
2(1)
8  64  60
2
82
x1 
atau
2
atau
x1  5
x1, 2 
Agus Setiawan – SMA 2 Bae Kudus
82
2
x2  3
x2 
Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat
UJI KOMPETENSI
Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan singkat dan tepat!
1. Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut dengan pemfaktoran.
a. x 2  5 x  14  0
b. 4 x 2  12  13 x
c. 17(5x  3) 2  68
2. Tentukan penyelesaian tiap persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat.
a. x 2  15 x  3  0
b. 7 x 2  4 x  3  0
c. 3x 2  2 x  7  0
d. 8 x 2  18 x  9
3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini dengan rumus.
a. x 2  4 x  1  0
b. 2 x 2  x  2  0
c. 5  3 x  4 x 2
Agus Setiawan – SMA 2 Bae Kudus
Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat
B. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR PERSAMAAN KUADRAT
STANDAR KOMPETENSI
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta
pertidaksamaan kuadrat
KOMPETENSI DASAR
Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.
INDIKATOR
Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
MATERI
Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0, berhubungan erat dengan koefisienkoefisien a, b, dan c.
Rumus akar-akar persamaan kuadrat:
 b  b 2  4ac
2a
Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah x1 dan x 2 , maka :
x
x1 
 b  b 2  4ac
2a
dan
 b  b 2  4ac
2a
Sehingga jumlah akar-akar:
b
x1  x 2  
a
Dan hasil kali akar-akar:
c
x1 . x 2 
a
x2 
Contoh soal:
Jika x1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat x 2  5 x  6  0 . Tentukan nilai:
a. x12  x 22
b. ( x1  x2 ) 2
1
1

c.
x1 x 2
x1 x 2
d.

x2 x1
Agus Setiawan – SMA 2 Bae Kudus
Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat
Penyelesaian:
x 2  5x  6  0
a=1
b=5
c=6
maka,
b
a
5
= 
1
= –5
x1  x2 = 
dan
c
a
6
=
1
=6
x1 .x2 =
Sehingga,
a. x12  x 22 = ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2
= (–5)2  2.6
= 25 – 12
= 13
2
b. ( x1  x2 ) = x12  x 22  2 x1 x2
= 13 – 12
=1
x  x2
1
1

c.
= 1
x1 x 2
x1 . x 2
5
=
6
x 2  x 22
x1 x 2
d.
= 1

x1 . x 2
x2 x1
13
=
6
UJI KOMPETENSI
Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan singkat dan tepat!
1. Jika x1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat x 2  2 x  4  0 . Tentukan nilai:
a. x12  x 22
b. ( x1  x2 ) 2
1
1

c.
x1 x 2
x1 x 2
d.

x2 x1
2. Tentukan nilai a, jika kedua akar persamaan x 2  (2a  6) x  9  0 saling berlawanan
3. Tentukan nilai m jika selisih akar-akar kuadrat 3x2 + 5x – m = 0 adalah 2
4. Akar-akar persamaan x2 – ax – 60 = 0 mempunyai beda 7. Tentukan nilai a dan kedua
akar-akarnya
5. Diketahui akar-akar persamaan 2x2 – 3ax + a + b = 0 adalah x1 dan x 2 . Jika x12  x 22 = 454 ,
hitunglah nilai a yang memenuhi.
Agus Setiawan – SMA 2 Bae Kudus
Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat
C. SKETSA GRAFIK FUNGSI KUADRAT
STANDAR KOMPETENSI
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta
pertidaksamaan kuadrat
KOMPETENSI DASAR
Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat
INDIKATOR



Menyelidiki karakteristik grafik fungsi kuadrat dari bentuk aljabarnya.
Menggambar grafik fungsi kuadrat
Menentukan definit positif dan definit negatif
MATERI
Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum y  ax 2  bx  c . Dari bentuk aljabar tersebut
dapat diilustrasikan sebagi bentuk lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik
sebagai berikut.
Jika,
1. a > 0, maka parabola terbuka ke atas
2. a < 0, maka parabola terbuka ke bawah
3. D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu X
4. D = 0, maka parabola menyinggung sumbu X
5. D > 0, maka parabola memotong sumbu X di dua titik
Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat
2
y  ax  bx  c adalah sebagai berikut
a. Menentukan titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0
b. Menentukan titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0
b
c. Menentukan persamaan sumbu simetri x  
2a
D
d. Menentukan nilai ekstrim grafik y 
 4a
D
 b
, 
e. Koordinat titik balik  
 2a 4a 
Contoh soal:
Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat y  x 2  4 x
Penyelesaian:
a. Titik potong dengan sumbu X, jika y = 0
x 2  4x = 0
x ( x  4) = 0
x = 0 atau (x + 4) = 0
x = –4
Jadi memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (–4, 0)
Agus Setiawan – SMA 2 Bae Kudus
Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat
b. Titik potong dengan sumbu Y, jika x = 0
maka,
y = 02 + 4.0
=0
Jadi memotong sumbu Y di titik (0, 0)
c. Persamaan sumbu simetri
4
x
 2
2 .1
Jadi persamaan sumbu simetrinya x = –2
d. Nilai Ekstrim/nilai stasioner, untuk x = –2
y = (–2)2 + 4(–2)
= –4
e. Koordinat titik balik:
(–2, –4)
Y
-4
-2
0
X
-4
x = -2
UJI KOMPETENSI
Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan singkat dan tepat!
1. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat di bawah ini
a. y = (x – 2)2
b. y = x2 – 4x + 3
c. y = 8 – 2x – x2
d. y = (1 + x) ( 3 – x )
e. y = (2x – 9) (2x + 7)
2. Manakah yang benar dan manakah yang salah?
a. kurva y = x2 + 6x simetris terhadap garis x = 3
b. kurva y = (x – 1)(x + 5) simetris terhadap garis x = - 2
c. kurva y = x2 – 2x + 5 tidak memotong sumbu X
d. Titik balik minimum kurva y = x2 + 6x + 7 adalah (-3, -2)
e. Nilai maksimum kurva y = -x2 + 2x + 4 adalah 4
Agus Setiawan – SMA 2 Bae Kudus
Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat
D. PENERAPAN PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
STANDAR KOMPETENSI
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta
pertidaksamaan kuadrat
KOMPETENSI DASAR
Merancang dan menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
persamaan dan/atau fungsi kuadrat
INDIKATOR



Membuat model matematika dari suatu masalah dalam matematika, mata pelajaran lain
atau kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan atau fungsi kuadarat
Menyelesaikan model matematika dari suatu masalah dalam matematika, mata pelajaran
lain atau kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan atau fungsi kuadarat
Menafsirkan penyelesaian masalah dalam matematika, mata pelajaran lain atau kehidupan
sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan atau fungsi kuadrat
MATERI
Dalam penerapannya nilai maksimum dan minimum fungsi kuadrat dapat dinyatakan
dengan kata-kata yang berlainan.
a. kata-kata terjauh, terbesar, tertinggi, terpanjang, terluas, dan lain sebaginya dapat
dihubungkan dengan pengertian nilai maksimum fungsi kuadrat.
b. Kata-kata terdekat, terkecil, terendah, terpendek, tersempit, dan lain sebagainya dapat
dihubungkan dengan pengertian nilai minimum fungsi kuadrat.
Contoh soal :
1. Tentukan luas terbesar dari suatu persegi panjang jika keliling persegi panjang diketahui
60 cm
2. Sebuah roket ditembakkan ke atas. Setelah t detik peluru mencapai ketinggian yang
dirumuskan dengan h(t) = 40t – 5t2 dalam meter. Tentukan berapa lama waktu yang
dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai?
Penyelesaian:
1. Misal : panjang
= x cm
lebar
= y cm
keliling
= 2(x + y) cm
maka,
2(x + y) = 60
x + y = 30
y = (30 – x) cm
Misal luas persegi panjang L(x) = x . y cm
= x (30 – x)
= 30x – x2
D
 900
Luas bernilai maksimum =
=
= 225 cm2
 4a
4
Jadi luas terbesar persegi panjang adalah 225 cm2
Agus Setiawan – SMA 2 Bae Kudus
Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat
2. h(t) = 40t – 5t2
Waktu saat mencapai tinggi maksimum
b
t =
2a
 40
=
 10
= 4 detik
Tinggi maksimum pada saat t = 4 detik
h(t) = 40(4) – 5(4)2
= 160 – 80
= 80 meter
UJI KOMPETENSI
Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan singkat dan tepat!
1. Diketahui 3x – y = 6, hitunglah nilai minimum dari x.y.
2. Jumlah 2 bilangan sama dengan 100. tentukan hasil kali bilangan itu yang terbesar.
3. Tinggi h meter dari sebuah peluru yang ditembakkan vertikal ke atas setelah t detik
dinyatakan dengan rumus h = 42t – 3t2. Tentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan
untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai?
4. Jika keliling persegi panjang sama dengan 80 cm, tentukan luas maksimum persegi
panjang tersebut.
5. Suatu partikel bergerak di sepanjang suatu garis lurus. Jaraknya s meter dari suatu titik O
pada waktu t detikditentukan oleh rumus s = 25t – 5t2. tentukan jarak partikel itu pada saat
7 detik.
Agus Setiawan – SMA 2 Bae Kudus
Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat