LKS Logika – Copy

Standar Kompetensi
Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan
masalah yang berkaitan dengan bentuk
pangkat, akar dan logaritma,
persamaan kuadratdan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat,
pertidak samaan satu variable, logika matematika.
A.
KALIMAT MATEMATIKA, PERNYATAAN, KALIMAT TERBUKA DAN KALIMAT
MAJEMUK.
Kompetensi Dasar
: 1.11.
implika-
Menggunakan nilai kebenaran pernyataan majemuk dan
si dalam pemecahan masalah.
A.1. KALIMAT MATEMATIKA, PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN DAN KALIMAT
TER- BUKA.
Pengalaman Belajar: 1.11.1. Mengidentifikasi kalimat yang merupakan pernyataan
atau
bukan pernyataan.
1.11.2. Menentukan nilai kebenaran pernyataan dengan
menggali in formasi berupa fakta atau melalui
perhityungan matematika.
1.11.3. Membuat pernyataan yang merupakan ingkaran dari
suatu pernyataan.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut logika matematika diharapkan peserta
didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari
beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut
ini:
Pengantar materi:
Dalam setiap pembicaraan, baik lisan maupun tulisan, kita sering menggunakan
Kalimat.
Kalimat dalam matematika dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: Kalimat Matematika
Tertutup dan Kalimat Matematika Terbuka.
Salah satu jenis kalimat yang penting dan banyak digunakan dalam pembicaraan
matematika adalah Kalimat deklaratif atau pernyataan atau Kalimat Matematika
Tertutup.
Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah (Nilai
Kebenaran)
Sedang kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya dikenal dengan
Kalimat Terbuka, yang dicirikan oleh adanya suatu variabel yang belum pasti.
Contoh 1 :
1. Dalam sebuah bidang, jumlah sudut-sudut suatu segitiga adalah 180o.
Ini merupakan pernyataan benar, sebab teori ini sudah dikenal dalam geometri
Euclides.
2. Presiden RI yang ke tiga adalah Bapak B.
Ini bukan pernyataan akan tetapi merupakan kalimat matematika terbuka sebab
nilai kebenarannya tidak dapat dipastikan.
Suatu kalimat matematika terbuka dapat berubah menjadi tertutup (pernyataan) jika
variabelnya diganti dengan suatu unsur yang disebut konstanta.
Contoh 2 :
Presiden RI yang ke tiga adalah Bapak B.
Jika B diganti konstanta Megawati SP,
maka kalimatnya berubah menjadi pernyataan yang SALAH.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menyelesaikan dan memahami
permasalahan berikut ini:
LKS-Mat.X-52
LKS-Mat.X-53
Masalah 1:
Diantara kalimat-kalimat di bawah ini, manakah yang merupakan pernyataan dan
mana yang bukan serta berikan alasan yang tepat. Jika pernyataan tentukan pula
nilai kebenarannya !
1. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.
2. Benarkah 236 habis dibagi oleh 9?
3. Terdapat bilangan x sedemikian hingga x + 5 = 3
4. Sebuah belah ketupat dapat ditempatkan ke dalam bingkainya dengan tepat
empat cara.
5. Bagilah sebuah segitiga menjadi tiga bagian yang sama luasnya !
6. Tidak ada bilangan prima yang terbesar.
7. Mudah-mudahan kita sehat wal afiat.
8. Dalam himpunan bilangan rasional positif ada anggota yang terkecil.
Penyelesaian:
1. Merupakan pernyataan yang salah, sebab 2 bilangan genap juga prima.
2. .................................................................................................................................
........
3. .................................................................................................................................
........
4. .................................................................................................................................
........
5. Bukan pernyataan tetapi termasuk dalam katagori kalimat perintah / suruh,
sehingga nilai kebenarannya kabur.
6. .................................................................................................................................
........
7. .................................................................................................................................
........
8. .................................................................................................................................
........
Masalah 2:
Dengan mengambil himpunan bilangan Asli sebagai semesta pembicaraan, tentukan
himpunan penyelesaian dari masing-masing kalimat terbuka di bawah ini:
1. 2x + y = 6
5. 3x – 5 = x + 2
2. 2x – 3 = 3x – 1
6. x2 + y2 = 25
2
3. x -2x -3 = 0
7. x2 – y2 = (x + y)(x – y)
4. x adalah faktor dari 6
8. xy < 10
Penyelesaian :
1. Jika x dan y adalah variabel pada himpunan bilangan asli, maka HP dari 2x + y
= 6 adalah : { (0, 6) ; (1, 4) ; (2, 2) ; (3, 0) }
2.
………………………………………………………………………………………………
…….
………………………………………………………………………………………………
…….
3.
………………………………………………………………………………………………
…….
………………………………………………………………………………………………
…….
4. Jika x  B , maka HP = { 1, 2, 3, 6 } sebab bilangan tersebut merupakan
factor dari 6.
5.
………………………………………………………………………………………………
…….
………………………………………………………………………………………………
…….
6.
………………………………………………………………………………………………
…….
………………………………………………………………………………………………
…….
7.
………………………………………………………………………………………………
…….
………………………………………………………………………………………………
…….
8.
………………………………………………………………………………………………
…….
………………………………………………………………………………………………
…….
LKS-Mat.X-54
Dalam pembicaraan selanjutnya suatu Pernyataan biasa diwakili oleh suatu
huruf/abjad alpabhet kecil, missal:
p  Surabaya kota pahlawan
Gondang
q

Amir sekolah di SMA N 1
A.2. Ingkaran / Negasi atau pernyataan sangkalan.
Pengantar materi:
Suatu pernyataan yang menyangkal atau membantah kebenaran suatu pernyataan
dikenal dengan Negasi/ingkaran.

Dan biasa dilambangkan dengan :
 p atau p atau p atau  p dan biasa

dibaca:
bukan p
katanya.
atau tidak p
bisa juga menggunakan kata yang mempunyai lawan
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan negasi dari
pernyataan berikut ini:
Masalah 3:
Tentukan negasi atau ingkaran dari :
a. Surabaya kota cosmopolitan.
b. Sebuah belah ketupat dapat ditempatkan ke dalam bingkainya dengan tepat
empat cara.
c. Bagilah sebuah segitiga menjadi tiga bagian yang sama luasnya !
d. Cuaca hari ini sangat cerah.
e. 2 + 9 > 15
Penyelesaian:
a.
b.
c.
d.
e.
Surabaya bukan kota cosmopolitan
.................................................................................................................................
Tidak punya negasi sebab bukan pernyataan.
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
........
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Tentukan beberapa kalimat di bawah, termasuk kalimat tertutup atau kalimat
terbuka!
a. 3 + 2 = 25
berlaku b2 + c2 = a2
b. 2a + 16 = 20
c. Pada segitiga ABC siku-siku di A
2. Negasi dari pernyataan berikut adalah :
a. Pada hari Senin siswa SMA X Mojokerto mengikuti Upacara Bendera.
b. Joko merupakan siswa teladan yang berasal dari Desa Kampung
Cendekia.
c. 2 – 4 < 6
d. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki 2 faktor.
A.3. Pernyataan Majemuk.
Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan
beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pernyataan majemuk
diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari
beberapa sumber referensi maupun media inetraktif.
Pengantar materi:
Suatu pernyataan yang terdiri dari dua atau lebih gabungan pernyataan-pernyataan
tungal dikenal dengan Pernyataan Majemuk.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih
dalam tentang beberapa jenis pernyataan majemuk berikut ini:
LKS-Mat.X-55
A.3.1. Konjungsi.
Konjungsi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang
menggu- nakan kata hubung ”DAN” atau ”TETAPI” atau ”MESKIPUN” atau
”WALAUPUN”
Atau yang bermakna sama, dst
Biasa dilambangkan dengan tanda ”  ”
Missal:
p  Surabaya Kota Pahlawan
q  Surabaya barometer Pendidikan
maka p  q  Surabaya Kota Pahlawan dan barometer Pendidikan
Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Konjungsi sebagaimana
tabel;
p
q
p  q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
...............
...............
Jika diaplikasikan dalam model jaringan listrik maka Konjungsi dapat terwakili
oleh pola arus listrik hubungan seri dari dua buah saklar, sebagai berikut:
p
p
q
p  q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
...............
...............
q
p
q
1
1
….. 0
0 …..
….. …..
Jaringan Listrik
Arus
1
…….
0
……..
Ada
……..
Tidak
……..
A.3.2. Disjungsi.
Disjungsi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang
menggu- nakan kata hubung ”ATAU”
Biasa dilambangkan dengan tanda ” V ”
Missal:
p  Surabaya Kota Pahlawan
q  Surabaya barometer Pendidikan
maka p V q  Surabaya Kota Pahlawan atau barometer Pendidikan
Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Disjungsi bermakna pilihan
bebas sebagaimana tabel;
p
q
pVq
B
B
S
S
B
S
B
S
...............
B
...............
...............
Jika diaplikasikan dalam model jaringan listrik maka Disjungsi dapat terwakili
oleh pola arus listrik hubungan paralel dari dua buah saklar, sebagai
berikut:
p
q
LKS-Mat.X-56
p
q
pvq
B
B
S
S
B
S
B
S
...............
...............
B
...............
p
q
1
1
...... ......
......
1
0
.....
Jaringan Listrik
Arus
1
...........
1
...........
Ada
..........
...........
Tidak
Masalah 4:
Diketahui:
p  Tari suka memasak nasi goreng
q  Tari anak petani miskin.
Tulis dan nyatakan dalam kalimat atau kata-kata pernyataan berikut ini:
a. p  q
b. p   q
c. q v p
d.  p v  q
e. q v
p
Penyelesaian:
a.
b.
c.
d.
e.
p  q
 Tari suka memasak nasi goreng dan anak petani miskin.

p  q

q vp
p v q 

q v p
A.3.3. Implikasi atau Kondisional.
Implikasi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang
menggu- nakan kata hubung ” Jika ............. maka ...............”
Biasa dilambangkan dengan tanda ” p  q ” di mana lambang ini juga dibaca:
- p hanya jika q
- p syarat cukup bagi q
- q jika p
- q syarat perlu bagi p
Pernyataan p dikenal dengan Anteseden (Sebab) dan q dikenal dengan
konsekuen (Akibat).
p  Surabaya Kota Pahlawan
q  Surabaya barometer Pendidikan
p  q  Jika Surabaya Kota Pahlawan maka Surabaya barometer
Pendidikan
Missal:
Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Implikasi sebagaimana tabel;
p
q
p  q
B
B
S
S
B
S
B
S
...............
S
...............
B
A.3.4. Bi-Implikasi atau Bi-Kondisional.
Implikasi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang
menggu- nakan kata hubung ” .........Jika dan hanya jika ............”
Biasa dilambangkan dengan tanda ” p  q ” di mana lambang ini juga
dibaca:
- p bila dan hanya bila q
- p syarat perlu dan cukup bagi q
- Jika p maka q dan jika q maka p
- q syarat perlu dan cukup bagi p
p  Surabaya Kota Pahlawan
q  Surabaya barometer Pendidikan
maka p  q  Jika dan hanya jika Surabaya Kota Pahlawan
Missal:
maka Surabaya barometer Pendidikan.
LKS-Mat.X-57
Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Implikasi sebagaimana tabel;
p
q
p  q
B
B
...............
B
S
S
S
B
...............
S
S
B
Masalah 5:
Diketahui:
p  Tari gadis pandai
q  Tari anak orang kaya
Tulis dan nyatakan dalam kalimat atau kata-kata pernyataan berikut ini:
a. p  q
b. p   q
c. q  p d.  p   q
e. q 
p
Penyelesaian:
a. p  q
kaya.
b. p   q
c. q  p
d.  p   q
e. q   p
 Tari gadis pandai jika dan hanya jika Tari anak orang




Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Jika p  Aswan tidak suka menyanyi dan q  Aswan suka sepak bola
Nyatakan dalam kalimat yang sesuai dari pernyataan berikut:
a. p v  q c.  p  q
e.  q   p
g.  p  q
b.  p  q d.  q  p
f. q   p
h.  p   q
2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan:
a. Kucing binatang menyusui dan gajah binatang melata
b. 3 x 3 x 3 = 3 x (3 + 3) atau 23 = 8
c. Jika 3 bilangan prima maka 32 = 3 + 3
d. Jika 2 bilangan genap maka Jakarta ibu kota RI.
e. Jika jumlah sudut suatu segitiga 180o maka 1 + 3 = 4
f. 4 x 2 = 8  Solo di Pulau Bali
3. tentukan nilai x agar pernyataan berikut bernilai Benar !
a. Jika 2x = 12 maka 2 bilangan ganjil
b. Jika sin x = ½ , x sudut lancip maka cos 45o = ½
c. x2 = 9 jika dan hanya jika 22 = 4
d. Sin x = ½ jika dan hanya jika tan 45o = -1
e. Cos 2x = 1 dan tan 2x = -1
f. 2x – 1 < 0 atau x > 0
A.3.4. Pernyataan majemuk yang ekuivalen.
Dua atau lebih suatu pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran
yang sama disebut dengan Pernyataan Majemuk ekuivalen.
Missal : Jakarta ibukota RI dan 2 + 3 = 5
ekuivelen dengan
4 + 1 < 9 atau gajah berkaki 3.
A.4. Nilai kebenaran suatu pernyataan.
Pengantar materi:
Nilai Kebenaran suatu pernyataan majemuk dapat dibuktikan dengan menggunakan
kaidah tabel kebenaran masing-masing pernyataan induknya
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih
dalam tentang aturan tabel kebenaran guna menentukan nilai kebenaran suatu
pernyataan berikut ini:
Masalah 6:
Selidiki nilai kebenaran dari pernyataan:
a. ( p  q )  p
b.  p   ( p  q )
Penyelesaian:
b.  p 
a. ( p  q )  p
p
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
(p  q) 
( p  q )
x
 (p  q)
x  y
.......
S
........
S
S
..........
.........
B
B
.......
..........
S
S
B
.......
..........
.........
p p  q
p
q
............
B
B
S
......
B
B
S
B
......
............
S
S
S
............
S
p
y
Jika diperhatikan hasil penyelidikan terhadap dua pernyataan majemuk di atas
mendapatkan nilai kebenaran sebagai berikut:
a. ( p  q )  p, ternyata dalam kondisi apapun nilai kebenaran dari pernyataan
tunggal
nya, pernyataan ini selalu bernilai benar ( dan pernyataan
seperti ini
dikenal dengan Tautologi)
b.  p   (p  q) , ternyata dalam kondisi apapun nilai kebenaran dari
pernyataan
tunggalnya,
pernyataan ini selalu bernilai Salah ( dan
pernyataan seperti ini dikenal dengan kontradiksi )
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Selidiki nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini:
a. (p  q)   (p  q)
b.  (  p  q )  p
2. Selidiki apakah pernyataan majemuk ini ekuivalen:
a. q v (p  r)
b. (p  q )  r dan r  (p  q)
q
c.
 (p
 q) dan p
3. Buktikan bahwa Negasi dari masing-masing pernyataan majemuk berikut benar
adanya ( Dalil d’Morgan) :
a.  (p  q)   p v  q
c.  ( p  q )  (p   q) v (q
  p)
b.  (p v q)   p   q
d.  (p  q)  p   q
A.5. Konvers, invers dan kontra posisi.
Pengantar materi:
Dari suatu pernyataan majemuk implikasi dapat dilakukan suatu operasi bervariasi
yang menghasilkan pernyataan baru dan biasa dikenal konvers, invers serta kontra
posisi.
Karakteristik masing-masing pernyataan tersebut dapat anda perhatikan dalam
bahasan di bawah ini.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih
dalam tentang konvers, invers dan kontra posisi berikut nilai kebenarannya:
Masalah 7:
Selidiki dan lengkapi nilai kebenaran dari beberapa pernyataan berikut ini :
p
q
p
q
p  q
q p
Implikasi Konvers
Pernyataan tunggal
p q
Invers
q 
p
Kontra
posisi
B
B
S
.......
.......
B
.......
.......
B
S
.......
B
.......
.......
B
.......
S
B
.......
.......
.......
.......
.......
B
S
S
.......
.......
B
.......
.......
.......
Nilai logisnya sama
Ini berarti ekuivalen
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Negasi dari pernyataan majemuk di bawah ini adalah :
a. Segitiga ABC adalah siku-siku dan sama kaki
b. Garis a dan b sejajar atau berpotongan
c. Harga barang naik dan sulit didapat
d. Jika mandor tidak datang maka kuli banyak yang pulang
e. Jika x bilangan real dengan x < 2 maka x2 < 4
f. Jika Ac tegal lurus BD maka ABCD layang-layang
2. Tentkan konvers, invers dan kontra posisi dari pernyataan pada nomor 1 d s/d f.
3. Tunjukan dengan tabel kenearan bahwa pernyataan berikut ini ekuivalen:
a. p v (p v q)  p
b. p  q   p v q
c. p  q  (p  q)

(q p)

A.5. Pernyataan Kuantor.
Pengalaman Belajar: 1.11.4. Mendiskusikan pengertian kuantor universal
ekstensial
beserta ingkarannya.
1.11.5. Mempresentasikan hasil diskusi.
1.11.6. Menyimpulkan hasil diskusi secara kelompok.
1.11.7. Membuat pernyataan berkuantor universal
ekstensial beserta ingkarannya
dan
dan
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut pernyataan kuantor diharapkan
peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu
dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
Pengantar materi:
Dalam bagian terdahulu telah kita pahami, bahwa kalimat matematika terbuka dapat
diubah menjadi suatu pernyataan, dengan mengganti variabel – nya dengan suatu
anggota / unsur semesta pembicaraan.
Masih ada suatu langkah mengubah kalimat matematika terbuka menjadi tertutup/
pernyataan, yaitu dengan menggunakan kuantor, suatu ungkapan/kata yang
menyatakan ”nominal atau berapa banyak”.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih
dalam tentang pernyataan kuantor , perhatikan hal-hal berikut ini:
LKS-Mat.X-60
Pernyataan kuantor dibedakan menjadi dua, yaitu:
a. Kuantor Universal:
Suatu kuantor yang menunjukan bahwa setiap atau semua elemen/unsur berlaku
pada sistem /semesta pembicaraan.
(x ) dibaca: Untuk semua x,
Kuantor universal biasa diberi lambang:
berlaku .....
Semua x, berlaku ........
Setiap x, berlaku .......
b. Kuantor Ekstensial:
Suatu kuantor yang menunjukan bahwa (Tidak semua) / hanya ada atau
beberapa elemen/unsur yang berlaku/memenuhi sistem /semesta pembicaraan.
(x ) dibaca: Tidak semua x,
Kuantor universal biasa diberi lambang:
berlaku .....
Ada x, berlaku ........
Beberapa x, berlaku
.......
Catatan: Diantara ke dua jenis pernyataan kuantor tersebut keduanya memiliki sifat
saling
invers / sangkal / atau ingkarannya.
Masalah 8:
1. Nyatakan pernyataan kuantor di bawah ini ke dalam bentuk kalimat !
a. (x )  R, x2 + 1 > 0
c. (x )  B, 5x – 3 = 12
2
b. (x )  R, 2x – 4 < 4
d. (x )  R, 2 – x2 = 4
2. Nyatakan pernyataan kuantor di bawah ini ke dalam lambang-lambang kuantor !
a. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x – 2 = 8
b. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x2 selalu genap.
c. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku 2x – x2 > 0
d. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x – 4x2 < 0
3. Tentukan negasi dari masing-masing pernyataan kuantor berikut !
a. (x )  R, x2 + 1 > 0
b. (x )  R, 2 – x2 = 4
c. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x – 2 = 8
d. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x2 selalu genap.
e. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku 2x – x2 > 0
f. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x – 4x3 < 0
Penyelesaian:
1. a. (x )  R, x2 + 1 > 0 ; Untuk semua x anggota bilangan real berlaku x2 + 1 > 0
b. (x )  R, 2x2 – 4 < 4 ; Beberapa x anggota real berlaku 2x2 – 4 < 4
(x )  B,
c.
5x
–
3
=
12
;
...............................................................................................
(x )  R,
d.
2
–
x2
=
4
;
...............................................................................................
2. a. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x – 2 = 8
(x )  R, 3x – 2 = 8
b. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x2 selalu genap.
....................................................
c. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku 2x – x2 > 0
....................................................
d. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x – 4x3 < 0
....................................................
3. a.
b.
c.
d.
e.
f.
(x )  R, x2 + 1  0
negasinya :
negasinya :
......................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
(x )  R, x2 + 1 > 0
(x )  R, 2 – x2 = 4
LKS-Mat.X-61
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan kuantor berikut ini:
a. (x )  R, x2 + 2  0
b. (x )  R, x = x
c. (x )  R, x2 = 25  x =5
d. ( (x )  R)( ( y )  R), x2 –y2 = (x +y)(x –y)
e. (x )  R, x2 -5x + 6 = 0
f. (x )  R, x + 4 > 7
g. ( (x )  C )( ( y )  C ), x < y
h. ( (x )  R )( (x )  R), x + y > xy
2. Nyatakan dalam bentuk pernyataan kuantor:
a. x2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar real
b. Setiap bilangan bulat, genap atau ganjil
c. Terdapat bilangan real x sedemikian hingga x2 < 0
d. Setiap bilangan prima adalah ganjil.
3. Tentukan negasi dari setiap pernyataan berikut dan tentukan nilai kebenarannya.
a. (x )  R, x3 > x
b. (x )  Q, 2x2-x -1 = 0
c. ( (x )  R )( ( y )  R ), sin ( x + y) = sin x + sin y
A. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat !
1. Negasi dari ‚“ Pada hari minggu semua siswa tidak masuk ke sekolah,“ adalah
................
a. Pada hari minggu semua siswa ke sekolah.
b. Pada hari minggu ada siswa ke sekolah
c. Pada hari minggu ada siswa yang tidak ke sekolah
d. Pada hari yang bukan minggu semua siswa tidak ke sekolah
e. Pada hari yang bukan hari minggu ada siswa yang tidak ke sekolah
2. Negasi dari ”Jika saya ke Jakarta, maka saya mampir ke rumah Ayu” adalah ..........
a. Jika saya tidak ke Jakarta, maka saya tidak mampir ke rumah ayu.
b. Jika saya tidak mampir ke rumah Ayu, maka saya tidak ke Jakarta
c. Jika saya ke Jakarta, maka saya tidak mampir ke rumah Ayu.
d. Saya ke Jakarta dan saya tidak mampir ke rumah Ayu
e. Saya ke Jakarta dan saya mampir ke rumah Ayu.
3. Diketahui ” Jika jalan diperbaiki maka lalu linta lancar” Kontraposisi dari konvers
pernyataan diatas adalah ......................
a. Jika jalan tidak diperbaiki, maka lalu lintas tidak lancar
b. Jika lalu lintas lancar, maka jalan diperbaiki
c. Jika lalu lintas tidak lancar, maka jalan tidak diperbaiki
d. Jika jalan diperbaiki maka lalu lintas lancar
e. Jika jalan diperbaiki, maka lalu lintas tidak lancar.
4. Nilai x agar implikasi ” x2 = 25  tan 45o = 3 ” bernilai benar kecuali ..........
a. x = 5
b. x = -5
c. x  5
d. x  -5
e. x  25
LKS-Mat.X-62
5. Jika pernyataan p dan q benar, maka pernyataan yang bernilai benar adalah .........
a. p  q
b. p v  q
c. p  q
d.  q  p
e.  p  q
6.
 p
q mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan ........................
a. p  q
b. q   p
c.  p   q
d. p  q
e. p v
q
7.
Diketahui p, q, r, dan s , Jika p  q , q  r, r  s dan s masing-masing bernilai
Benar, maka pernyataan berikut yang bernilai salah adalah …………………..
a. p v q
b.  p v q
c. p  q
d.  p   s
e.  p  
q
8. Negasi dari (p  q)  r adalah ….................
a. (p v q)  r
b. p  q   r
c. (p  q)  r d. p v q v r
r
e. p  q v
9. Perhatikan kalimat ” Jika ia berusaha, maka ia berhasil.” Kontra posisinya adalah …….
a. Jika ia tidak berusaha, maka ia tidak berhasil
b. Jika ia berhasil, maka ia berusaha.
c. Jika ia tidak berhasil, maka ia tidak berusaha.
d. Ia tidak berusaha, tetapi ia berhasil.
e. Ia tidak berusaha, tetapi ia tidak berhasil.
10. Pernyataan,” Jika Rina lulus ujian, maka Rina akan kawin,” senilai dengan .............
a. Jika Rina lulus, maka Rina kawin.
b. Jika Rina tidak lulus ujian, maka Rina akan kawin.
c. Jika Rina tidak lulus ujian, maka Rina tidak kawin.
d. Jika Rina kawin, maka Rina lulus ujian.
e. Jika Rina tidak kawin, maka Rina tidak lulus ujian.
B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar!
1. Tentukan ingkaran dari pernyataan:
a. Semua peserta ujian tulis lulus.
c. Ada manusia yang dapat hidup di planet
Mars
b. Jika x bilangan Prima, maka x bilangan Ganjil.
2. Tentukan nilai kebenaran dari:
a. x2 = x + 2  3x + 1 = 7
b. Sin2 x = ½ , x di kuadran dua maka tan x = 1
3. Selidiki nilai kebenaran pernyataan berikut dengan tabel kebenaran:
a. ( p  q ) v (  p v q )
b. [  ( p  q ) v  p ]  (  p   q )
B. PENARIKAN KESIMPULAN dan PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA.
Kompetensi Dasar
: 1.12. Menggunakan sifat dan prinsip logika untuk penarikan
kesimpulan
dan membuktikan sifat/teorema matematika
B.1. PENARIKAN KESIMPULAN.
Pengalaman Belajar: 1.12.1. Mengingat kembali tabel kebenaran, operasi logika.
1.12.2. Membuat argumentasi tentang kehidupan sehari-hari
yang relevan dengan logika.
1.12.3. menarik kesimpulan dengan kaidah modus ponens,
tollens, dan silogisme.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut penarikan kesimpulan diharapkan
peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu
dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut
ini:
LKS-Mat.X-63
Pengantar materi:
Salah satu tujuan penting dari logika matematika adalah untuk memperoleh
pengetahuan guna menguji argumentasi atau penarikan kesimpulan.
Yang dimaksud dengan argumentasi dalam pembahasan ini adalah suatu
penegasan bahwa dari beberapa pernyataan benar yang diketahui (premis), melalui
langkah-langkah logis, dapat diturunkan suatu pernyataan yang benar ( disebut
kesimpulan atau konklusi )
Suatu argumentasi dikatakan berlaku atau sah jika dan hanya jika konjungsi dari
premis-premisnya berimplikasi konklusi, yaitu bilamana semua premisnya benar,
maka konklusinya juga benar.
Terdapat beberapa model penarikan kesimpulan yang mengedepankan kaidah
implikasi, yaitu:
b.1.1. Modus Ponens.
Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut:
Premis 1 : p  q
: Benar
Premis 2 : p
: Benar
Jadi
:
q
: Benar (Konklusi)
b.1.2. Modus Tollens.
Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut:
Premis 1 : p 
q
: Benar
q
Premis 2 :
: Benar
Jadi
:
p
: Benar (Konklusi)
Guna menyelidiki berlakunya Modus Ponens dan Tollens dapat diperhatikan tabel
kebenaran di bawah ini:
p
q
p  q
p
q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
B
Modus Ponens
Modus Tollens
b.1.3. Silogisma.
Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut:
Premis 1 : p 
Premis 2 : q 
q
r
: Benar
: Benar
: p 
r
: Benar (Konklusi)
Jadi
Berlakunya kaidah silogisma dapat diperhatikan pada tabel kebenaran
berikut ini:
p
B
B
B
B
S
S
S
S
q
B
B
S
S
B
B
S
S
r
B
S
B
S
B
S
B
S
p  q
B
.................
.................
S
.................
.................
.................
.................
q  r
.................
S
.................
.................
.................
S
.................
.................
p  r
.................
.................
B
.................
.................
.................
B
.................
Masalah 9:
1. Selidiki sah tidaknya penarikan kesimpulan di bawah ini dan menurut pola apa
a. Jika umar seorang haji, maka ia beragama Islam.
Umar adalah seorang haji.
----------------------------------------------------------------Jadi Umar beragama Islam.
b. Jika ABCD sebuah belah ketupat, maka AC tegak lurus BD
AC tidak tegak lurus BD
------------------------------------------------------------------------------Jadi ABCD bukan belah ketupat.
c. Jika Burhan begadang pada malam minggu, maka ia masuk angin
Jika Burhan masuk angin, hari Senin tidak masuk sekolah.
---------------------------------------------------------------------------------------Jadi : Jika burhan begadang pada malam mingu, maka hari Senin ia tidak
masuk
Sekolah.
2. Kajilah sah tidaknya argumentasi berikut ini:
a. p  q
b. p v q
p
p
------------------------------Jadi: q
Jadi:  q
Penyelesaian:
1. a. p  q
p
Jadi:
q
: premis 1
q
.......
Jadi:
........ : premis 1
........ 
r
: premis 1
: konklusi
........ 
......
: Konklusi
: premis 1
: premis 2
......

: premis 2
Syah menurut Modus Ponens.
b. p 
c. p
: konklusi
Syah menurut Modus ................
Syah menurut ............................
2. a.
p  q
p
----------------Jadi: q
p
q
B
........
........
S
........
B
S
........
p  q
B
........
S
........
b. p v q
p
--------------Jadi:  q
P
q
B
........
........
S
S
........
........ ........
q
S
........
S
........
p v q
........
B
........
........
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Tentukan syah tidaknya argumentai berikut ini !
a. Jika Amir rajin belajar, maka Amir naik kelas.
Amir naik kelas
.
Jadi Amir rajin belajar
b. Jika Burhan lulus ujian, maka ia dibelikan sepeda motor.
Burhan tidak dibelikan sepeda motor
.
Jadi Burhan tidak lulus ujian
LKS-Mat.X-65
c. Jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0
a  0 dan b  0
---------------------------------------------------Jadi ab  0
d. Setelah tamat SMA, saya bekerja atau kuliah di UNESA
Saya tidak kuliah di UNESA
.
Jadi Saya bekerja.
2. Kajilah syah tidaknya pernyataan berikut !
a.1.
p 
q
2.
p 
q
r  q
q  r
-----------------------------------------Jadi:  r   p
Jadi:
r 
p
b. Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak ke Bandung
Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang
Jadi: Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cecep tidak lulus ujian.
c. Jika n bilangan prima ganjil maka n > 2
Jika n > 2 maka n2 > 4
.
Jadi: Jika n bilangan prima ganjil, maka n2  4
B.2. PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA.
Pengalaman Belajar: 1.12.4. Membuktikan sifat matematika dengan bukti langsung
dan tidak
langsung
(Menggunakan
kaidah
kontraposisi/kontradiksi)
1.12.5. Membuktikan sifat matematika dengan induksi
matematika.
1.12.6. Mengolah
dan
mendiskusikan
informasi
yang
diperolehnya
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut pembuktian dalam matematika
diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar
terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut
ini:
Pengantar materi:
B.2.1. Bukti langsung.
Suatu model pembuktian yang menggunakan argumentai langsung dari
beberapa premis yang ada.
Masalah 10:
Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n ganjil maka n2 ganjil.
Penyelesaian:
Misalkan: p  n bilangan Bulat ganjil, dan q  n2 bilangan Bulat ganjil
Harus dibuktikan bahwa p 
q
bernilai BENAR.
Bukti:
Oleh karena n ganjil (p), maka dapat dimisalkan : n = 2a + 1, dengan a
bilangan Bulat, Dengan demikian:
n2
= ( 2a + 1 )2
= ........ + ........ + 1 [ Bulat ganjil (q) ]
Terbukti bahwa:
p 
q
bernilai .......................
LKS-Mat.X-66
B.2.2. Bukti tidak langsung.
Metode bukti tak langsung yang sering disebut reductio ad absurdum atau
bukti dengan kemustahilan banyak digunakan dalam Geometri.
(i) Dengan Kontradiksi:
Misal akan dibuktikan : p  q
bernilai BENAR.
Dari yang diketahui p benar, diandaikan q salah atau  q benar.
Dengan langkah logis diturunkan bahwa  p benar.
Hal ini berarti terjadi kontradiksi (karena diketahui p benar), dengan
demikian pengandaian bahwa q salah harus diingkar yang berarti
benar.
Masalah 11:
Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n2 ganjil maka n
ganjil.
Penyelesaian:
Misalkan: Diketahui n2 bilangan ganjil, akan dibuktikan n
ganjil
bilangan
Bukti:
Andaikan n bukan bilangan genap, karena n bilangan genap, Dapat
dimisalkan : n = 2k, dengan k bilangan Bulat,
Dengan demikian:
n2
= ( 2k )2
= ........
= 2 (...... )
= 2 m , dengan m = ........
Karena n
2
= 2m berarti n
2
bilangan genap.
Hal ini bertentangan
(kontradiksi) dengan yang diketahui bahwa n2 ganjil.
Oleh karena itu pengadaian harus diingkar yaitu yang benar adalah n
bilangan ganjil. (terbukti)
(ii) Dengan Kontraposisi
Bukti dengan kontraposisi dapat dilakukan dengan langkah logis sbb:
Misalkan harus dibuktikan p  q (BENAR)
Kita andaikan q Salah
atau  q Benar, dengan langkah logis
diturunkan p salah atau  p benar, maka diperoleh :  q   p
(BENAR)

Oleh karena :  q   p
p  q maka Jika  q   p
(BENAR), akibatnya p  q juga BENAR.
Masalah 12:
Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n ganjil maka n2
ganjil.
Penyelesaian:
Diketahui
Harus dibuktikan
Andaikan
Maka
Karena
ekuivalen
: n2 bilangan bulat ganjil.
: n bilangan bulat ganjil
: n bukan bilangan bulat ganjil
: n2 bukan bilangan bulat ganjil.
:  q   p kontraposisi dari
(p)
(q)
( q )
( p )
p  q dan
Maka terbukti bahwa pernyataan benar.
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Gunakan bukti langsung
guna membuktikan kebenaran masing-masing
pernyataan di bawah ini!
a. Untuk setiap bilangan n, jika n genap maka n2 genap.
b. Setiap bilangan real x, jika x = 3 maka x2 = 9
c. Terdapat bilangan real sehingga r2 > r
d. Jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga ama dengan 180o
e. Untuk setiap bilangan real x, 1 + cos x  0
LKS-Mat.X-67
2. Gunakan bukti tak langsung guna membuktikan kebenaran masing-masing
pernyataan di bawah ini!
a. Untuk setiap bilangan n, jika n genap maka n2 genap.
b. Untuk setiap himpunan A dan B, jika A  B = B maka A  B
c. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika ab ganjil maka a dan b
kedua-duanya ganjil.
d. Jika dua garis a dan b sejajar dipotong oleh garis ke tiga c, maka
sudut-sudut dalam berseberangan sama besar.
e. Untuk setiap bilangan real x, Jika x2 > 1 maka x < -1 atau x > 1
B.2.2. Induksi matematika.
Salah satu cara pembuktian yang penting dalam matematika adalah jenis ini.
Dengan prinsip sebagai berikut:
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli
n.
Apabila P(1) bernilai BENAR, dan apabila P(k) juga bernilai BENAR
maka P(k +1) juga bernilai BENAR.
Maka dapat dipastikan P(n) bernilai BENAR untuk semua n bilangan
Asli
Masalah 13:
Buktikanlah bahwa 1 + 3 + 5 + ..... + (2n – 1) = n2 , untuk semua bilangan
Asli n.
Penyelesaian:
Misalkan: P(n) adalah ” 1 + 3 + 5 + ..... + (2n – 1) = n2 ”
(a). Untuk n = 1 , maka P(1) bernilai Benar, Sebab
1 = ( ….. ) 2
=1
(b).
Andai untuk n = k sehingga
P(k) bernilai Benar,
yaitu
apabila:
1 + 3 + 5 + ..... + (2 …. – 1) = .....2 , maka:
(c). Akan dibuktikan berlaku (Benar) untuk n = k +1
1 + 3 + 5 + ..... + (2k -1) + (2 (k+1) – 1)
= [1 + 3 + 5 + ..... + (2k -1) + [(2k + ..... – 1) ]
k2
= ...... 2 + (..... +1)
= k2 + ..... +1
= ( ..... + 1)2
Jadi untuk P(k + 1) bernilai Benar, dengan demikian P(n) Benar.
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
Buktikan kebenaran dari argumentasi di bawah ini dengan Induksi Matematika !
1. Buktikan bahwa ” n3 +5n habis dibagi oleh 6”
2. Buktikan bahwa ” 1 +2 +3 +4 + ...... + n = ½ n (n +1) ”
3. Buktikan bahwa ” 1 +2 + 22 + 23 + ...... + 2n -1 = 2n -1 ”
4. Buktikan bahwa ” 33n + 22n +2 habis dibagi 5 ”
5. Buktikan bahwa ’’ 24n +3 + 33n +1
habis dibagi oleh 11 “
LKS-Mat.X-68
A. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat !
1. Jika kita akan membuktikan kebenaran implikasi ” p  q “, kita dapat melakukannya
dengan bukti tidak langsung yaitu kontraposisi, hal ini sah karena ………………
a. kedua ruas di negasi sehingga nilai kebenarannya sama
b. kontraposisi ekuivalen dengan implikasi
c. invers ekuivalen dengan implikasi
d. pembuktian dengan kontraposis selalu bernilai benar
e. kontraposisi sama dengan implikasi
02. Kesimpulan dario tiga premis:
a. p
b.  p
03. Ditentukan premis-premis :
 pvq

q  r
 r

, adalah ...............
c. q
d.  q
e. p   p
1. Jika Adi rajin, maka ia disayang ibu.
2. Jika Adi disayang ibu, maka ia disayang bapak.
3. Adi tidak disayang bapak.
Kesimpulan yang sah dari ke-tiga premis tersebut adalah ..........
a. Adi rajin tapi tidak disayang ibu.
d. Adi tidak rajin
b. Adi rajin
e. Adi disayang nenek
c. Adi disayang ibu
04. Semua peserta UMPTN ingin diterima di Perguruan Tinggi Negeri.
Soni tidak ingin diterima di perguruan tinggi negeri
.
Kesimpulan: ................................................................................... , Isian yang tepat
adalah:
a. Soni ingin diterima di perguruan tinggi negeri
b. Soni tidak ingin lulus UMPTN
c. Soni peserta UMPTN
d. Soni bukan peserta UMPTN
e. Soni peserta UMPTN yang tidak ingin diterima di perguruan tinggi negeri.
05. Semua lelaki berrambut gondrong berjiwa seni.
Ali berjiwa seni
Amir berambut gondrong, Penarikan kesimpulan berikut:
1. Ali berambut gondrong.
3. Ali dan Amir berambut gondrong.
2. Amir berjiwa seni
4. Ali atau Amir berambut gondrong.
Penarikan kesimpulan yang valid adalah ...................
a. 1, 2 dan 3
b. 1 dan 3
c. 2 dan 4
d. 4
e. 1, 2, 3 dan
4
06. Pembuktian berikut termasuk bukti langsung, kecuali ........
a. Modus ponens b. kontraposisi c. Silogisme
d. Modus Tollens
e. Induksi
Matematika
3 irrasional menggunakan bukti tak langsung,
07. Jika kita akan membuktikan bahwa
maka langkah yang benar adalah ..........
a. lihat
3 dalam tabel
b. lihat
3 lewat kalkulator d.
c.
6
2
a
3 =
b
3 =
e. dengan menggunakan kalkulator
,
a , b bulat yang tidak punya faktor
persekutuan.
08. Jika kita akan membuktikan kebenaran Implikasi ” p  q ” , kita dapat melakukanya
dengan bukti tak langsung melalui kontraposisi, hal ini syah karena ..............
a. ke-dua ruas dinegasi sehingga nilai kebenarannya sama.
b. kontraposisi ekuivalen dengan implikasi
c. invers ekuivalen dengan implikasi
d. pembuktian dengan kontraposisi selalu bernilai benar.
e. kontraposisi sama dengan implikasi.
LKS-Mat.X-69
B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar!
1. Semua siswa kelas X memakai baju baru.
Semua siswa kelas X tidak memakai dasi.
Budi memakai dasi,
Tentukan kesimpulan yang syah dari ke-tiga premis tersebut !
2. Buktikan bahwa ” 2 +4 +6 +8 + ........ + 2n = n (n +1)
3. Buktikan bahwa 72n +1 + 1 habis dibagi 8 untuk semua n bilangan asli !
MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR
Menurut anda materi belajar tentang Logika Matematika (lingkari angka diantara pernyataan
berikut):
Menyenangkan
1
2
3
4
5
Membosankan
Bermanfaat
1
2
3
4
5
Tidak Bermanfaat
Menarik
1
2
3
4
5
Tidak Menarik
Sangat perlu dipelajari
1
2
3
4
5
Tidak perlu dipelajari
Menantang
1
2
3
4
5
Tidak Menantang
Perlu disebar luaskan
1
2
3
4
5
Tidak Perlu disebar luaskan
Mempunyai korelasi dengan
masalah sehari-hari
1
2
3
4
5
Tidak Mempunyai korelasi
dengan masalah sehari-hari
Petunjuk Penilaian:
1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik
minat siswa.
2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak
menarik minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi
pembelajaran, dll.