integral tak wajar

PRESENTASI
KALKULUS LANJUT 1
Kelompok 9
1. Yuanita Dyah Ristianasari (4101414063)
2. Ekawati Yuli Setyaningsih (4101414065)
3. Amelia Octaviasari
(4101414066)
dalam bahasan:
INTEGRAL TAK WAJAR
dan
PENGENALAN DERET
INTEGRAL TAK WAJAR PADA SELANG HINGGA
Untuk fungsi f yang terintegralkan Riemann
pada selang [a,b],
definisi integralnya adalah
Hanya mempunyai arti bila a dan b
berhingga.
Konsep ini akan kita perluas untuk daerah asal
fungsi f berbentuk:
Selang hingga (a,b], [a,b) dan himpunan
[a,c) (c,b],
atau gabungan kasusnya.
Selang tak higga [a,∞),(-∞,b], dan (-∞,∞),
yang dapat juga memuat kasus hingga.
Untuk integral tak wajar pada selang hingga,
terdapat tiga definisi untuk kasus ini:
Kasus 1
1. Misalkan untuk setiap
dengan
fungsi f terintegralkan Riemann pada
b
dan andaikan lim
 0

,
b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx  L
c a 
a
c
Dalam hal ini integral tak wajar dari fungsi f pada (a,b]
didefinisikan sebagai:
b
b
b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx  lim  f ( x)dx  L
a
0 
c a 
a
c
Disini dikatakan bahwa integral tak wajar
b
Kemudian, jika
lim
 0 
b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx  
a
maka integral tak wajar
konvergen ke L.
c a 
atau tidak ada,
c
dikatakan divergen.
Y
x=b
x=a
f
b
 f xdx
c
x

c = a+
a
Contoh:
Fungsi
kontinu pada selang (1,5] dengan
integral tak wajar dari fungsi f pada
selang [1,5] adalah
5

1
dx
x 1
5
 lim 
c 1
c
dx
5
 lim (2 x  1)  lim (4  2 c  1)  4
c c 1
x  1 c 1
Jadi integral tak wajar dari fungsi f pada selang [1,5]
konvergen ke 4.
Kasus 2
2. Misalkan untuk setiap
dengan
, fungsi f
terintegralkan Riemann pada [a,b- , , lim f ( x)   , dan

andaikan
x b
b 
d
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx  L.
Dalam hal ini integral tak wajar dari fungsi f pada [a,b)
lim
 0 
a
d b 
a
didefinisikan sebagai;
b 
b
d
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx  lim  f ( x)dx  L.
a
0 
a
d b 
a
Disini dikatakan bahwa integral tak wajar
ke L. Kemudian, jika lim
 0 
atau tidak ada,
Integral tak wajar
b 
d
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx  
a
d b 
a
dikatakan divergen.
konvergen
x=b
x=a
Y
f
d
 f xdx
a
a
b- = d
b

x
Kasus 3
3. Misalkan fungsi f terintegralkan pada himpunan [a,c)
dengan integral tak wajar
konvergen ke L dan
konvergen ke M. Dalam hal ini integral tak wajar dari fungsi f
pada [a,b] didefinisikan sebagai
Disini dikatakan bahwa integral tak wajar
konvergen
ke L+M. jika ada satu integral tak wajar tersebut yang divergen,
dikatakan divergen.
x=c
Y
b
 f x dx
f
a
a
c
b
X
Contoh Soal 1
1. Tunjukkan integral tak wajar ini konvergen
atau divergen.
(Berkey halaman 503)
INTEGRAL TAK WAJAR PADA SELANG TAK HINGGA
Kita mempunyai tiga definisi untuk integral tak wajar
pada selang tak hingga :
1. Misalkan fungsi f terintegralkan Riemann untuk
setiap selang tertutup [a,b] dan andaikan
b
lim
b 
 f ( x)dx  L
a
• Dalam hal ini integral tak wajar dari fungsi f
pada [a, ] didefinisikan sebagai:

b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx  L
b 
a
a
• Disini dikatakan bahwa integral tak wajar
konvergen ke L. kecuali jika
b
lim
b 
 f ( x)dx   atau tidak ada, integral tak
a
wajar
dikatakan divergen.
Dalam integral tak wajar, jika nilai integralnya ada
maka dikatakan integral tersebut konvergen, dan jika
tidak ada, maka dikatakan divergen.
Y
b

a
a
 f x  dx  f x  dx
X
a
b
b→
∞
2. Misalkan fungsi f terintegralkan Riemann untuk setiap
b
selang tertutup [a,b] dan andaikan
lim
a  
 f ( x)dx  L.
a
.Dalam hal ini integral tak wajar dari fungsi f pada (
didefinisikan sebagai:
b
b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx  L

a 
a
Disini dikatakan bahwa integral tak wajar
konvergen ke L.
b
Kemudian jika
integral tak wajar
lim
a 
 f ( x)dx  
atau tidak ada,
a
dikatakan divergen.
Y
b
 f x  dx
a
b
 f x  dx
f

X
a
a→-∞
0
b
3. Misalkan fungsi f terintegralkan Riemann untuk
setiap selang tertutup yang hingga, dengan integral
tak wajar
konvergen ke L dan
konvergen M.
dalam hal ini integral tak wajar dari fungsi f pada
didefinisikan sebagai
Disini dikatakan bahwa integral tak wajar
konvergen ke L+M. Jika salah satu
integral tak wajar tersebut divergen,
dikatakan divergen.
Y

 f ( x) dx
f

a
0
c
X
b
Contoh :
Fungsi
kontinu pada selang
Integral tak wajar dari fungsi f pada selang ini adalah:
Jadi integral tak wajar dri fungsi f pada selang
konvergen ke
Integral tak wajar pada selang
tak hingga mungkin juga memuat
integral tak wajar pada selang
hingga.
Misalkan fungsi f terintegralkan secara Riemann untuk
setiap selang tertutup [a+ , b], > 0 dengan

lim f ( x )  .
xa
Andaikan pada selang [a,c] integral tak wajar
konvergen ke L dan


c
 f ( x)dx
a
 f ( x)dx
c
konvergen ke M. Dalam hal ini integral tak wajar dari fungsi f
pada [ a, ) didefinisikan sebagai

Disini dikatakan bahwa integral tak wajar  f ( x)dx
a
konvergen ke L + M. Jika salah satu integral tak wajar
tersebut divergen ,  f ( x)dx dikatakan divergen.

a
Integral tak wajar pada selang tak hingga

b
 f ( x)dx

dan
 f ( x)dx

yang memuat integral tak wajar pada selang hingga
didefinisikan dengan cara serupa.
Penyelesaian integral tak wajar:
1. Temukan ketakwajaran
2. Nyatakan sebagai limit integral wajar
3. Hitung integral wajarnya
4. Hitung limitnya
5. Nilai limitnya ada, dikatakan integral tak
wajar bersifat konvergen
Contoh SOAL 2
2. Tentukan hasil dari integral tak wajar
berikut
(K. Martono 2 hlm.252)
PENGENALAN
BARISAN DAN DERET
BARISAN MONOTON
Definisi Barisan a n 
(a) dikatakan naik jika an  an 1 untuk setiap
n = 1, 2, 3, ...
(b) dikatakan tidak turun jika an  an1 untuk
setiap n = 1, 2, 3, ...
(c) dikatakan turun jika an  an1 untuk setiap
n = 1, 2, 3, ...
(d) dikatakan tidak naik jika an  an1 untuk
setiap n = 1, 2, 3, ...
Suatu barisan yang tidak turun atau tidak naik
disebut monoton, sedangkan barisan yang
naik atau turun disebut monoton murni.
Pengujian kemonotonan
a) Untuk sembarang barisan an 
an  an 1
Klasifikasi
0
Barisan turun
0
Barisan naik
0
Barisan tidak naik
0
Barisan tidak turun
b) Untuk barisan an  dengan suku-suku
positif
an
a n 1
Klasifikasi
1
Barisan turun
1
Barisan naik
1
Barisan tidak naik
1
Barisan tidak turun
Contoh
1 2 3
n
,
(a) Barisan
, ,...,
,... adalah naik.
2 3 4
n 1
Bukti:
Cara 1:
n
n 1
a

Jelas n
dan an1 
n 1
n2
Untuk n  1 berlaku
Jelas
⟺
2 3
n
Jadi barisan 1 , , ,...,
,... naik.
2 3 4
n 1
Cara 2:
Jelas
(b) Barisan 1, 1, 2, 2, 3, 3,... adalah tidak turun.
(c)
(d)
(e)
1 1 1
1
Barisan 1, , , ,..., ,... adalah turun.
2 3 4
n
1 1 1 1
Barisan 1,1, , , , ,... adalah tidak naik.
2 2 3 3
Barisan 1, 1 , 1 , 1 ,... adalah barisan tidak
2 3 4
monoton.
BARISAN TERBATAS
Konsep keterbatasan barisan bilangan real
dirancang seperti keterbatasan fungsi pada
suatu selang, definisinya sebagai berikut.
Definisi:
Barisan bilangan real a n  dikatakan terbatas
jika terdapat bilangan real m dan M sehingga
m  a n  M untuk setiap n N .
Contoh:
Selidikilah keterbatasan barisan bilangan real
berikut.
an
n

 1

n
Penyelesaian:
Karena an    1, 1 , 1 , 1 ,,... maka  1  an  1
2
2 3 4 

untuk setiap n  N , akibatnya a n  adalah suatu
barisan terbatas.
Deret Tak Hingga dan Notasi Sigma
Barisan tak terhingga (infinite sequence) adalah
fungsi daerah asal (domain) nya adalah himpunan
bulat positif dan daerah hasil (range)-nya adalah
himpunan bilangan real. Kita dapat menotasikan
sebuah barisan dengan a1 , a2 , a3 , a4 ...dengan
{an }
n 1
atau secara sederhana dengan {a}n
Contoh:
• Sebuah barisan dapat ditentukan dengan
memberikan suku awal yang cukup untuk
membentuk sebuah pola, seperti pada
1, 4, 7, 19, 13, . . .
• Dengan sebuah rumus eksplisit (explicit
formula) untuk suku ke-n, adalah:
an  3n  2, n  1
Dinyatakan dengan sebuah rumus rekursi
(recursion formula)
a1  1, an  an1  3,
n2
Dari ketiga rumus tersebut,melukiskan barisan
yang sama.
Perhatikan Jumlah Parsial Berikut:
1
s1 
2
1 1 3
s2   
2 4 4
1 3 1 7
s3    
2 4 8 8
..
.
1 3 1
1
1
s3     ...  n  1  n
2 4 8
2
2
Jumlah-jumlah parsial tersebut semakin
mendekati 1
1 

S n  lim 1  n   1
lim
2 
n 
n  
Jumlah tak terhingga kemudian didefinisikan
sebagai limit dari jumlah parsial S n
Perhatikan deret tak hingga berikut:
a1  a2  a3  a4  ...

yang juga dapat dilambangkan dengan a k .
k 1
Maka S n jumlah parsial ke-n (n-th partial
sum), dapat dinyatakan dengan
S n  a1  a2  a3  ...  an 
n
a
k 1
k
Notasi Sigma

2
2
2
2
2
2
1

2

3

4

...

n

...

n

a)
n 1
3
n 1 n
n 1 n

x
(

1
)
x
(

1
)
x
2
b) x  x  2  ...  (n  1)!  ...  
n 1 ( n  1)!
DERET PANGKAT
Ada bermacam-macam jenis deret yang telah
kita ketahui, contohnya deret aritmatika, deret
geometri, dan deret tak hingga yang telah
dijelaskan sebelumnya.
Pada bagian ini akan dijelaskan sebuah deret
di mana suku ke n adalah perkalian konstanta
a dengan xn atau perkalian konstanta a
dengan (x - c)n.
Hal ini disebut dengan deret pangkat, karena
suku-sukunya adalah perkalian pangkat dari x
atau (x - c).
Definisi Deret Pangkat
Ungkapan berbentuk
disebut deret pangkat dalam dan berpusat di
sedangkan ungkapan berbentuk
disebut deret pangkat dalam
dan berpusat
di
Suku
disebut suku ke-n.
Bilangan c disebut pusat.
Contoh:
(1)
(2)
(3)
Dilihat dari contoh-contoh di atas, deret pangkat
terlihat seperti polinom, namun deret pangkat
bukanlah polinom karena suku penjumlahannya
tak berhingga.
TEOREMA
Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret
pangkat pada sebuah selang I,maka
dan
DERET KUASA
Deret kuasa adalah deret tak hingga yang
berbentuk  a k x k .
k 0
Deret tak terhingga ini selalu konvergen
untuk x  R , untuk suatu bilangan positif R.
R dalam hal ini disebut radius konvergensi dari
deret kuasa di atas.
Deret kuasa yang hanya menekankan kepada
koefisien – koefisien dari x n , dikenal dengan
Deret Kuasa Formal.
Bentuk umum deret kuasa dalam (x-a) yaitu:
(*)
Sedang untuk a=0 maka bentuk deretnya
sebagai berikut:
(**)
Deret kuasa bentuk (*) konvergen untuk x=a
dan deret kuasa bentuk (**) konvergen untuk
x=0 (yaitu konvergen ke a0).
Rumus – rumus dasar:

1 n
1
1
x  1  x  x 2  x 3 ...untuk x  
2!
3!
n 0 n!
1 2 1 3
 1  x  x  x  ...
2!
3!
1)e x  
2)e  x
1
3)
 1  x  x 2  x 3  x 4  x 5  ..., untuk x  1
1 x

1
4)
  x n  1  x  x 2  x 3  x 4  x 5  ..., untuk x  1
1  x n 0
1
2
4
6
8
5)

1

x

x

x

x
 ..., untuk  1  x  1
2
1 x
1
2
3
4
6)
 1  2 x  3x  4 x  5 x  ..., untuk x  1
2
(1  x)
x x 2 x3 x 4
7) ln( 1  x)      ...
1 2 3 4
x x 2 x3 x 4
8) ln( 1  x)       ...
1 2 3 4
x x3 x5
9) sin x     ...
1! 3! 5!
0
2
4
6
x
x
x
x
10) cos x      ...
0! 2! 4! 6!
e x  e x x0 x2 x4 x6
11)




 ...
2
0! 2! 4! 6!
e x  e x x x3 x5 x7
12)
   
 ...
2
1! 3! 5! 7!

1
n  k 1 k
2
3
4
n
13)
 k
x  (1  x  x  x  x  ...)
n
(1  x)
k 0


1 xn
14)
 1  x  x 2  ...  x n i
1 x
15) Teorema Binomial
Untuk bilangan real u, bilangan non negative k, dan
berlaku:

(1  x) u  
k 0
 x
u
k
k
di mana
Misalkan
barisan bilangan.
adalah sebuah
Fungsi pembangkit biasa (ordinary generating
function) dari barisan
adalah deret
kuasa.

f ( x)   ak x k  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  ...
k 0
Contoh:
Tentukan FPB dan bentuk umum dari deret
kuasanya jika diketahui:
untuk
Penyelesaian:
Jelas
dan
,
dengan syarat
.
3. DERET TELESKOPIS
Sifat penting dari jumlah suku – suku yang banyaknya
berhingga adalah sifat teleskopis seperti berikut.
n
 b
k 1
k
 bk 1   b1  bn 1
Bila sifat ini dapat diterapkan pada deret takhingga  ak
yakni a k dapat dinyatakan dalam bentuk bk  bk 1 ,
maka deret seperti itu disebut Deret Teleskopis.
Contoh:
Andaikan
1
ak  2
k k
maka
1 
1
1
S n   ak    

1


k 1
n 1
k 1
k 1  k
n
Sehingga diperoleh
1
1
ak  
k k 1
n
Dengan demikian

1 

ak  lim  ak  lim S n  lim 1 
1


n 
n 
n 
 n 1
k 1
k 1
n
4. DERET DENGAN SUKU – SUKU
POSITIF
Suatu deret
S
n
yang suku-sukunya adalah
positif disebut deret positif.
Deret suku positif dapat dinyatakan sebagai
S n  s1  s 2  s3  ...
Contoh:
1)
S n  s1  s 2  s3  ...
2)

1 1 1
1
1
 

 ...  2
 ...   S n
2 5 10 17
n 1
n 1
3)
5 10
n2 1
1 
 ...  3
 ... 
9
28
n 1

S
n 1
n
5. DERET DENGAN SUKU – SUKU
NEGATIF
Suatu deret yang suku – sukunya adalah
negatif yang dapat dinyatakan sebagai negatif
dari deret dengan suku – suku positif.
Jadi :  s1  s2  s3  .......  s1  s2  s3  ...
Contoh:

  i  3  4  5  6  7  ...
1
 (4  5  6  7  ...)
6. DERET GANTI TANDA
Deret alternating (deret berayun / deret ganti
tanda) adalah suatu deret yang suku – sukunya
bergantian tanda dari positif ke negatif dan
seterusnya.
Ditulis sebagai:
n 1
n 1





1
.
S

S

S

S

S

S

...


1
Sn  ...

n
1
2
3
4
4
yang mana setiap Si adalah positif.
Contoh:

  1
n 1
n 1
.3  3  3  3  3  ...   1
n 1
.3  ...
7. DERET GEOMETRI
Bentuk umum deret geometri adalah

n 1
2
ar

a

ar

ar
 ...

n 1
Jumlah parsial deret ini adalah
n
S n   ar k 1  a  ar  ar 2  ...  ar n 1
k 1
yang dapat ditulis sebagai
a(1  r n )
Sn 
, r  1.
1 r
Contoh :
• Dipunyai suatu deret geometri :
81 + 27 + 9 + 3 + 1+….
a) Tentukan rumus suku ke n (Un)!
1
b) Suku keberapakah
?
243
• Penyelesaian:
1
Dipunyai : a = 81 , r = 3
a) rumus : Un  ar n1
n 1
1
 81  
 3
4
1 n 1
 3  3 
 34  3 n1
 35  n
b) Un  35n
1

 35  n
243
 35  35n
 5  5  n
 n  10
Jadi, 1
243
adalah suku ke 10.
Terimakasih