Barisan dan Deret Halaman

FMIPA - ITB. MA1201 Matematika 2A.
Semester 2, 2016-2017
Tutorial Bab 9 Bag. 1: Barisan dan Deret
Halaman: 1
1. Daftarkan lima suku pertama dari barisan-barisan
berikut
(a) an =
(b) an =
(c) an =
2 n
3
sin n⇡
2
1 + n2
13. Periksa apakah uji integral bisa diterapkan. Jika bisa
diterapkan, tentukan kekonvergenan/kedivergenan
deretnya.
(a)
3
n2
(d) a1 = 3, ak+1 = 2(ak
(e) a1 = 3, ak+1 =
(a) an
(b) an
(c) an
(d) an
(e) an
(f) an
✓
n
= ( 1)
n+1
1 + ( 1)n
=
n2
1 + 2n + 3n2
=
4 5n + 6n2
ln(n3 )
=
2n
(n + 1)!
=
n!
n2017
= n
e
◆
(b)
(b)
(c)
5.
3
n=1
6.
1
X
( 1)n
n=1
7.
1
X
2n+1
n=1
7
6n
9.
1
X
1
9n2 + 2n
n=1
5n 2 2n
2 6
10.
n=1
1
X
✓
ln 1
n=2
1
n2
(a)
(b)
n=1
1
X
n=1
1
1+
n
n
en
◆n
(a)
(c)
(d)
n=1
1
X
n=1
1+n
1
p
n=2 n ln n
1
X
tan
n=1
1n
1 + n2
1
X
1
(d)
ln n
n=2
◆
1 ✓
X
2016n + 2017 n
(e)
2018n + 2019
r
p
n+4
n2 + 4
n=1
1
X
1
n(n + sin2 n)
n=1
P1
1
(g)
n=1 ln(1 + n2 )
(f)
5n
n · 4n
1
X
8n
n=1
1
X
n=1
(c)
n!
n!
n100
(d)
1
X
n=1
1
X
n=1
n(1/3)n
3n + n
n!
16. Periksa kekonvergenan/kedivergenan deret berikut
dengan menggunakan metoda apapun yang anda
pilih.
◆
(a)
(b)
2
◆
(c)
(d)
1
X
n=1
1
X
15. Gunakan uji rasio untuk menentukan kekonvergenan/kedivergenan deret-deret berikut
12.
11. Gunakan uji kedivergenan untuk menentukan deret
yang mana yang divergen. Tentukan juga deret yang
mana yang memerlukan pengujian lebih lanjut untuk
menentukan kekonvergenannya.
1 ✓
X
1
X
n=1
n
1
1
X
n=1
(b)
1 ✓
X
1
8.
2n
1
(f)
n=1
4. Periksa apakah masing-masing deret berikut konvergen atau divergen, jika ya cari jumlahnya
1 ✓ ◆n
X
2
(e)
1
X
n 1
(a)
n4 + 2
(c) an = tan1 n
(d) an = n5 e
en
1
X
sin2 n
14. Gunakan uji banding langsung atau uji banding limit
untuk menentukan kekonvergenan/kedivergenan
deret-deret berikut
sin n
n
cos(⇡n)
(h) an =
n2
✓
◆
1 n
(i) an = 1 +
n
✓
◆
1
(j) an = n 1 cos
n
p
(k) an = n
n2 n
p
n
(l) an = n2 + n
(g) an =
3. Tunjukkan bahwa masing-masing barisan berikut
merupakan barisan yang monoton mulai dari suku
tertentu, yakni terdapat K sehingga barisan an
monoton untuk semua n K. Apakah barisan juga
terbatas?
(a) an = n 2n
10n
(b) an =
(2n)!
n=1
1
X
(d)
n
1 + n4
n=1
p
1
X
n
(c)
1 + n3/2
n=1
3)
1 2
3 ak
2. Periksa apakah barisan berikut konvergen atau divergen. Jika barisannya konvergen, hitung limitnya.
n
1
X
cos n
(e)
(f)
1 ✓
X
n=1
1
X
n=1
1
X
1
1
n+1
n=1
1
X
n=1
1
X
nn
(2n)!
1 n
n2n
ln n
n + sin n
n + cos n
(h)
n=1
1
n
3 +1
1
X
52n
n=1
(j)
1
X
n!
n tan(1/n)
n=1
1
(k)
1
X
2n + 3 n
n=1
1 + n3
1
(g)
2 + sin2 n
n=1
1
X
(i)
n + 2017
n3 2017
(1/n)
p
2
n=3 ln n (ln n)
1
X
n sin2 n
n=1
1
X
1
◆n
(l)
1
X
n=1
(m)
X
n=2
(n)
1
X
3n + 4 n
ln
✓
1
n ln(n3 )
tan
n=1
(o)
1
X
tan
n=1
n
n+1
✓ ◆
1
n
1n
n1,1
◆
FMIPA - ITB. MA1201 Matematika 2A.
Semester 2, 2016-2017
Tutorial Bab 9 Bag. 1: Barisan dan Deret
Halaman: 2
17. Periksa apakab pernyataan berikut benar atau salah
(g) Deret
n=1
(b) Jika lim an = L, maka lim a3n+4 = L.
n!1
(c) Jika lim amn = L untuk setiap bilangan asli
n!1
m 2, maka lim an = L.
n=1
n!1
parsialnya tak terbatas.
(d) JIka lim a2n = L dan lim a2n+1 = L, maka
n!1
n!1
lim an = L.
(i) Jika 0  an  bn untuk setiap bilangan asli n
1
1
X
X
dan jika
bn divergen, maka
an . divergen.
n!1
(e) Jika lim (an an+1 ) = 0, maka lim an ada dan
n!1
n!1
berhingga.
(f) Jika
1 ✓ ◆n
X
1
konvergen dan mempunyai
n
jumlah S dengan 1 < S < 2.
1
X
(h) Jika deret
an divergen, maka barisan jumlah
n!1
1
X
a2n
n=1
(a) Jika 0  an  bn untuk setiap bilangan asli n
dan lim bn ada, maka limn!1 an ada.
n!1
1
X
gan
n=1
n=1
(j) JIka deret positif
1
X
an kovergen,
maka
n=1
an konvergen, maka demikian juga den-
lim (an+1 /an ) < 1.
n!1
n=1
Problem Solving
12. Akan ditunjukkan bahwa barisan bn =
gen ke suatu bilangan.
p
n
n!
konvern
16. Misalkan a dan b bilangan positif
p dengan a > b.
Definisikan a1 = a+b
dan
b
=
ab. Ulangi proses
1
2
ini, secara umum,
n
1X
(a) Tunjukkan bahwa ln bn =
ln(k/n).
n
an+1 =
k=1
n
1X
(b) Nyatakan lim
ln(k/n) sebagai suatu inn!1 n
k=1
tegral.
(c) Tentukan lim bn .
a n + bn
2
bn+1 =
p
a n bn
(a) Tunjukkan bahwa an monoton turun dan bn
monoton naik dengan menunjukkan bahwa
an > an+1 > bn+1 > bn .
n!1
13. Tentukan limit dari barisan
r q
q
p
p
p
{ 2, 2 2, 2 2 2, . . .}
(b) Simpulkan bahwa barisan an dan bn konvergen.
(c) Tunjukkan bahwa limn!1 an = limn!1 bn .
14. Pada gambar terdapat takberhingga banyak
lingkaran dengan setiap lingkaran menyinggung
lingkaran yang lain dan sisi segitiga sama sisi. Jika
diketahui panjang sisi segitiga adalah 1, hitung jumlah luas total semua lingkaran.
17. Tentukan
1
X
k=1
6k
(3k+1
2k+1 )(3k
2k )
.
18. Barisan Fibonacci didefinisikan secara rekursif
melalui an+2 = an +an+1 , dengan a1 = 1 dan a2 = 1.
1
X
1
Tunjukkan bahwa
= 1.
an+1 an+3
n=0
1
X
1
konvergen?
(n+1)/n
n
n=1
pernyataan anda.
19. Apakah deret
Buktikan
20. Periksa kekonvergenan deret-deret berikut.
(a)
1
X
e
p
n
n=1
◆n
1 ✓p
X
n 1
p
(b)
n
n=1
(c) Tanpa menghitung limitnya
✓ p secara
◆n langsung, jen 1
p
laskan mengapa lim
= 0.
n!1
n
1
X
ln n
p konvergen.
15. Tunjukkan bahwa deret
n n
n=1
2