Barisan dan Deret Takhingga

Barisan Dan Deret
Tak Hingga
Matematika Wajib
Kelas XI
Disusun oleh :
Anna Mariska Diana P, S.Pd
dan Tim MGMP
Tahun Pelajaran 2016 – 2017
SMA Santa Angela
Jl. Merdeka No. 24 Bandung
=====================================================Matematika XI Wajib
Pengantar:
Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat
dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini
berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika
akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
Tujuan Pembelajaran :
1. Memahami notasi sigma dengan baik.
2. Menganalisis dan membuat kategori dari unsur-unsur yang terdapat pada
pengertian barisan dan deret tak hingga dengan tekun.
3. Mengingat kembali konsep barisan dan deret .
4. Menyelesaikan persoalan-persoalan yang terkait dengan barisan dan
deret dengan tekun.
5. Memahami deret konvergen dan tak konvergen.
Peta Konsep :
Barisan dan deret Tak Hingga
Konvergensi
Notasi Sigma
Deret
Konsep Barisan
Menghitung Barisan
Dan Deret
Dan Deret Tak Hingga
....................
hal 2
=====================================================Matematika XI Wajib
A.
Prasyarat
1.
2.
Misal diketahui pola :
B, U, R, S, A, B, U, R, S, A, B, ...
Berdasarkan barisan tersebut, Tentukan :
a. Suku ke – 15
b. Suku ke – 18
c. Suku ke – 20
d. Suku ke – 1.000
e. Suku ke – 1.009
Suku-suku suatu barisan bilangan memenuhi rumus : Un  7  5n .
Tentukan :
a. Suku ke – 100
b. Jumlah 100 suku pertama
3.
Jika jumlah n suku pertama suatu barisan adalah S n  3n2  4 .
Tentukan suku ke – 200.
Ingat :
Barisan Aritmatika :
1. Barisan U 1, U 2, U 3, ..., U n, ....
disebut barisan aritmatika jika U n
- U n-1 = konstan. U n disebut unsur ke n barisan itu, dan konstanta tersebut
disebut beda, yang dinotasikan dengan b.
2. Jika U 1, U 2, U 3, ..., U n, ....
merupakan
barisan
aritmatka
dengan beda b dan unsur pertama U 1 = a, maka rumus unsur ke n dari
barisan itu adalah U n = a + (n - 1)b
3. Jika U 1, U 2, U3, ..., U n, ....
merupakan
barisan
aritmatka,
maka U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n, ....disebut deret aritmatika. U n disebut suku
ke n dari deret itu.
....................
hal 3
=====================================================Matematika XI Wajib
4. Jumlah n suku deret aritmatika dengan beda b dan unsur pertama U 1 = a
adalah Sn =
1
1
n(a  U n ) atau Sn = n(2a  (n  1)b) .
2
2
Barisan Geometri :
U
n
1. Barisan U 1, U 2, U3,..., U n,...disebut barisan geometri jika
 konstan
U n1geometri di atas
dengan n = 2, 2, 3,....
Konstanta pada barisan
disebut rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan r.
2. Rumus unsur ke n barisan geometri U 1, U 2, U 3, U 4,..., U n,.... dengan
U 1 = a dan rasio r adalah: U n = ar
3. Jika U 1, U 2, U 3, ..., U n,....
n-1
merupakan barisan geometri dengan
unsur pertama adalah a = U 1 dan rasio r, maka
U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n + ....disebut deret geometri dengan
U n = ar
n-1
4. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio
r adalah:
Sn 
a(1  r n )
a(r n  1)
untuk r < 1 atau S n 
untuk r > 1
1 r
r 1
Jika n menuju tak hingga Sn berhingga, maka deret yang bersangkutan disebut
deret konvergen, dan jika tidak demikian disebut deret divergen.
5. Jumlah tak hingga suatu deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r
adalah Sn =
....................
a
1 r
hal 4
=====================================================Matematika XI Wajib
B. Notasi Sigma
Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan di bawah ini :
1 + 2 + 3 + 4 + ....... + 50
Penulisan notasi sigma :
Bentuk umum :
Keterangan : 1 = batas bawah
n = batas atas
k = indeks
= suku umum
Contoh :
Nyatakan dalam bentuk penjumlahan
Jawab
:
= .......................................
....................
hal 5
=====================================================Matematika XI Wajib
Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma :
a.
2 + 4 + 6 + 8 + 10
2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5
= 2 (1+2+3+4+5)
Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma :
a.
b.
c.
4 + 8 + 12 + 16 + .... + 40
3 + 4+ 5 + 6 + ... +100
3 + 6 + 9 + ... + 24
d.
1 2 3 4
   
2 3 4 5
e.
ab 5  a2b 4  a3b 3  a4b 2
2. Tentukan apakah
3. Apakah
hasilnya sama dengan ( 7-3 +1) x 5
sama dengan
Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.
1.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.
2.
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.
3.
1 1 1
.
 
3 9 27
4.
1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola
dapat dituliskan dengan notasi

(dibaca: sigma), sehingga jumlahan bilangan
diatas dapat ditulis kembali :
....................
hal 6
=====================================================Matematika XI Wajib
7
1 2  3  4  5  6  7  n
1.
n 1
6
2  4  6  8  10  12   2n
2.
n 1
3.
3
1 1 1
1
 
 n
3 9 27 n 1 3
4.
1  3  5  7  9   (2n  1)
5
n 1
Beberapa sifat notasi sigma
Jika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c  R ,maka berlaku:
n
n
n
k m
k m
k m
1.  (ak  bk )   ak   bk
n
n
k m
k m
2.  cak  c  ak
n
p
p
k m
k n1
k m
3.  ak   ak   ak
n
4.  c  (n  m  1)c , c Є R, c = konstanta
k m
n
np
n
np
k m
k mp
k m
k mp
5.  ak   ak p atau  ak   ak p
n
n
n
n
k m
k m
k m
k m
2
2
6.  (ak  bk )2   ak  2  ak .bk   bk
Ex. 1 Nyatakan dalam bentuk penjumlahan  kk  1
5
k 1
....................
hal 7
=====================================================Matematika XI Wajib
 kk  1  11  1  22  1  33  1  44  1  55  1
5
k 1
 1 2  2 3  3 4  4  5  5 6
 2  6  12  20  30
Ex. 2 Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma:
a. 2+ 4 + 6 + 8 + 10
=2x1+2x2+2x3+2x4+2x5
=2(1 + 2 + 3 + 4 + 5)
5
=  2k
k 1
b. 
1 2 3 4
  
2 3 4 5
  1
1
2
3
4
2
3
4
  1
  1
  1
11
2 1
3 1
4 1
4

k k
   1 

 k 1
k 1
c. ab 5  a2b 4  a3b 3  a4b 2
 a1b 61  a2b 62  a3b 63  a 4 b 64
4
  ak b 6k
k 1
Ex. 3 Tentukan nilai dari :
10
a.  p
p 1
6
b.  2n2
n 3
....................
hal 8
=====================================================Matematika XI Wajib
c.  2k  1
5
k 1
3n  22n  3
n1
n  1
5
d. 
4
e.  3k 2  4
k 2
Ex. 4 Buktikan :
2
 2k  4   4  k  16  k  16n
n
2
k 1
n
n
k 1
k 1
Ex. 5 Ubahlah batas bawah sigma menjadi 4 dari notasi sigma berikut:
a.
b.
4 6
10 k  6
k
k 6
 

k  2 2k  1
k  26 2k  6   1
k 42k  13
4

10

2
 k 1
k 6

C. Deret Khusus dalam Notasi Sigma
 Deret Bilangan Asli
Himpunan bilangan asli {1, 2, 3, 4, 5,....,n}
Suku ke- n adalah Un  n
1
Sn  n1  n , sehingga dapat ditulis :
2
1
2
 i  n1  n
n
i1
 Deret Kuadrat Bilangan Asli
....................
hal 9
=====================================================Matematika XI Wajib

Himpunan kuadrat bilangan asli 12 ,22 ,32 ,....,n2

Suku ke-n adalah Un  n2
1
S n  nn  12n  1 ,sehingga dapat ditulis :
6
n
i
2

i 1
1
nn  12n  1
6
 Deret Kubik Bilangan Asli

Himpunan kuadrat bilangan asli 13 ,23 ,33 ,....,n3

Suku ke-n adalah Un  n3
2
1

Sn   nn  1 , sehingga dapat ditulis :
2

1
2


3
 i   nn  1
n
i1
2
Ex. 6 Diketahui barisan : 1, 4, 9,16, 25, 36, ...., n2. Tentukan jumlah dari
suku ke-50 sampai suku ke-60.
Ex. 7 Berapakan nilai dari 262  252  24 2  232  ....  42  32  22  12
Jawab :
262  252  24 2  232  ....  42  32  22  12

 
= 262  242  ....  42  22  252  232  ....  32  12
....................

hal
10
=====================================================Matematika XI Wajib


 22 132  122  ....  22  12 
213  1  212  1  ....  22  1  21  1 
2
2
2
2
= 4  i2   2i  12
13
13
i1
i1
13
13
i1
i1


= 4  i2   4i2  4i  1
13
13
13
13
i1
i1
i1
i1
= 4  i2  4  i2  4  i   1
= 4  i  113 
13
i1
D. Barisan dan Deret Tak Hingga
Misal :
Barisan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 100 dinamakan barisan berhingga.
1 1 1
Barisan bilangan 1, , , ,.... dinamakan barisan tak hingga.
2 3 4
Bagaimana dengan deret??
Deret bilangan merupakan penjumlahan suku-suku barisan.
Misal : barisan u1 ,u2 ,u3 ,u4 ...
Deret : u1  u2  u3  u4  ...
Ex. 8 Tentukan suku ke-2, suku ke-5, dan suku ke 12 jika diketahui un 
....................
1
n 1
2
hal
11
=====================================================Matematika XI Wajib
E.
Limit dari Suatu Barisan
Suatu bilangan L dikatakan sebagai limit dari sebuah barisan tak
berhingga u1 ,u2 ,u3 ,u4 ... apabila untuk setiap bilangan Є > 0 yang
diberikan (berapa pun kecilnya), dapat ditrmukan sebuah bilangan N
sedemikian sehingga un L   ,untuk semua bilangan bulat n > N.
1 3n  1
Misalnya : un  3  
. Barisannya adalah 4.
n
n
Teorema Limit Pusat
Jika diketahui lim an dan lim b n ada maka :
n
1.
2.
3.
n
lim an  b n   lim an  lim b n
n
n
n
lim an  b n   lim an  lim b n
n
n
n
lim a
an n   n
lim

, asal lim b n  0
n b
n
lim b n
n
n
4.
lim an p   lim an 
n
n 
p
Ex. 9 Diketahui sebuah barisan dengan rumus suku ke-n adalah
n1
. Tentukan nilai limitnya.
un 
n
Jawab :
lim un  lim
n
....................
n
n1
1
 1
 lim  1    lim 1  lim  1  0  1
n  
n
n  n n n
hal
12
=====================================================Matematika XI Wajib
F. Barisan Konvergen dan Divergen
1. Konvergen
Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya
disebut deret geometri tak berhingga.
a. 1 + 2 + 4 + 8 + ....
b. 5 – 10 + 20 – 40 + ....
c.
1 1
1    ....
2 4
1
d. 9  3  1   ....
3
Dalam contoh a dan b rasionya 2 dan -2, jika deret tersebut
diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tak terbatas. Deret
yang demikian disebut deret divergen, dengan r  1 .
1
1
dan  , dapat dihitung
2
3
jumlahnya,deret ini disebut deret konvergen dengan r  1 .
Dalam contoh c dan d rasionya
n

a 1  rn
n 1  r
S   lim S n  lim

Karena deret konvergen r  1 ,untuk n → ∞ maka r n  0 ,sehingga :
n


a 1  rn
a  ar n a  0
a
 lim


n 1 r
n 1  r
1 r 1 r
S   lim S n  lim
Jadi rumus jumlah deret geometri tak hingga :
....................
hal
13
=====================================================Matematika XI Wajib
S 
a
, dengan r  1
1 r
Ex. 10 Tentukan jumlah deret tak berhingga suku dari deret berikut :
a.
1 1 1
1     ....
2 4 8
Deret ini konvergen,
Dengan a = 1 dan r =
b. 2
a
1
1
1
S 

 2
1
1
1r
2
1
2 2
1 1
21  ....
2 4
Deret ini konvergen,
Dengan a = 2 dan r =
a
2
1

4
, S 
1
1r
2
1
2
Ex. 11 Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m danmemantul kembali
3
dengan ketinggian
kali tinggi sebelumnya.pemantulan berlangsung
4
terus menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan
bola.
u0  10 m; r 
3
4
3
30
u1   10 m 
m
4
4
....................
hal
14
=====================================================Matematika XI Wajib
 3 


 u1 
S   10  2S   10  2
  10  2 4   70 m
1 3 
 1 r 


4

Cara lain :
Suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H secara vertikal dan memantul
a
ke atas dengan tinggi pantulan
kali dari ketinggian semulamaka
b
panjang lintasan pantulan S  hingga berhenti adalah :
ba
S  
 H
 ba 
Uji Rasio untuk Konvergensi Suatu Deret
Misal diketahui deret
dengan tanda yang sama
atau campuran (berselang-seling antara + dan -) kita dapat menunjukkan
konvergensinya dengan menggunakan uji rasio, yaitu dengan
Deret akan konvergen jika r < 1 dan divergen jika r > 1. Jika r = 1 maka uji
rasio gagal
....................
hal
15