FDM3KB3-Profesional

FDM3KB3 – Profesional
Nama : IRYANI DEPISKA
User Name : 19081318010104
Soal:
Buktikanlah secara formal soal berikut ini.
Misal a  R , X merupakan barisan bilangan real yang konvergen ke x .
Buktikan bahwa lim ( a X 2 ) = a x 2 .
Jawab:
Diketahui:
𝒂∈𝑹
X barisan konvergen ke x,
Sehingga:
lim (X) = x (teorema barisan bilangan konvergen)
Akan dibuktikan bahwa:
𝒍𝒊𝒎 (𝒂𝑿𝟐) = 𝒂𝒙𝟐
Bukti:
Karna barisan X konvergen ke x, maka terdapat bilangan M > 0 dimana
|𝑿| ≤ 𝑴, dan pada setiap𝜺 > 𝟎 dengan 𝑛, 𝐾 ∈ 𝑁, terdapat 𝐾𝑖 sehingga untuk
setiap 𝑛 ≥ 𝐾𝑖 didapat:
|𝑿 − 𝒙| =
𝜺
𝟐𝑴(|𝒂|+𝟏)′
Sehingga:
|𝒂𝑿𝟐 − 𝒂𝒙𝟐| = |𝒂||𝑿𝟐 − 𝒙|
|𝒂𝑿𝟐 − 𝒂𝒙𝟐| = |𝒂||(𝑿𝟐 − 𝒙) + (𝑿𝒙 − 𝒙𝟐 )| ≤ |𝒂|(|𝑿 (𝑿 − 𝒙)| + |𝑿(𝑿 − 𝒙)|)
|𝒂𝑿𝟐 − 𝒂𝒙𝟐| = |𝒂|(|𝑿||𝑿𝟐 − 𝒙| + |𝑿||𝑿 − 𝒙|) ≤ |𝒂|(𝑴|𝑿 − 𝒙| + 𝑴|𝑿 − 𝒙|)
|𝒂𝑿𝟐 − 𝒂𝒙𝟐| = |𝒂|(𝟐𝑴|𝑿 − 𝒙|) ≤ |𝒂| (𝟐𝑴
|𝒂𝑿𝟐 − 𝒂𝒙𝟐| = |𝒂|
𝜺
<𝜺
|𝒂| + 𝟏
𝜺
)
𝟐𝑴(|𝒂| + 𝟏)
Atau:
|𝒂𝑿𝟐 − 𝒂𝒙𝟐| < 𝜀
Sehingga terbukti bahwa 𝒍𝒊𝒎 (𝒂𝑿𝟐) = 𝒂𝒙𝟐