HIMPUNAN

HIMPUNAN
A. PENGERTIAN HIMPUNAN DAN NOTASINYA
Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu
dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan,
tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau
elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota
suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi
anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah
yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined
set).
Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan
sebagainya. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{….}” atau
biasa dikenal dengan symbol kurung kurawal. Sementara itu untuk melambangkan
anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y dan sebagainya.
Perlu diperhatikan bahwa penulisan anggota dalam suatu himpunan hanya sekali
saja Jadi tidak boleh kita menuliskan himpunan sebagai {1,a,b,8,b}. Demikian
pula kita tidak boleh menyatakan himpunan sebagai {bunga, kambing, sapi,
kerbau, sapi, tumbuhan}. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan
lambang “  ” (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu
himpunan digunakan lambing “  ” (baca: bukan anggota).
Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu :
1. Mendaftarkan semua anggotanya.
Contoh:
- A = {a,e,i,o,u}
- B = {2,3,5,7,11,13,17,19}
2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya
Contoh:
Perhatikan himpunan pada contoh 1 di atas dan bandingkan dengan
pendefinisian di bawah ini
- A = Himpunan vokal dalam abjad latin
- B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20
3. Menyatakan sifat dengan pola
Contoh:
- P = {0,2,4,8,10,…,48}
- Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}
Awas dalam kasus: R = { 2,3,5,7,…,19}. Penulisan himpunan seperti ini
bukan
merupakan well-defined karena memunculkan ambigu, yaitu R dapat diartikan
sebagai himpunan bilangan ganjil yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20.
Sementara itu R dapat diartikan pula sebagai himpunan bilangan prima yang
kurang dari 20. Oleh karena itu pendefinisian himpunan dengan menyatakan
pola seperti ini harus sangat hati-hati agar tidak menimbulkan tafsiran lain.
4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan
Contoh:
- P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}
(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})
- Q = { t | t biangan asli}
(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}
- R = { s | s2-1=0, s bilangan real}
(Maksudnya R = {-1,1})
B. HIMPUNAN KOSONG
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.
Dilambangkan dengan “  ” atau { }
Contoh:
- {x | x2 < 0, x bilangan real}
C. HIMPUNAN BAGIAN
Diberikan himpunan A dan B. Jika setiap anggota A merupakan anggota
B maka dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan
B memuat A dan dilambangkan dengan A  B. Jadi A  B jika dan hanya jika
x  A, x  B Jika ada anggota dari A yang bukan merupakan anggota B maka A
bukan bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan A  B.
Contoh:
-
A = {1,3,5} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka A  B.
-
C = {1,9} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka C  B, karena ada anggota
dari C yang bukan merupakan anggota B, yaitu 9. (Pengertian “ada”
berarti terdapat satu anggota C yang bukan merupakan anggota B,
sudah cukup)
Suatu himpunan pasti merupakan subset dirinya sendiri. Jadi H  H.
Bukti:
Ambil sebarang h  H, maka jelas h  H. Jadi H  H.
-
Himpunan kosong ( ) merupakan himpunan bagian dari semua
himpunan.
Bukti:
Kalimat “x  A  x  B” pada pengertian himpunan bagian (lihat definisi di
atas), selalu bernilai benar jika diambil A =  dan untuk sebarang himpunan
B. Hal ini disebabkan syarat cukupnya selalu tidak terpenuhi. Sama saja
dengan kita mengatakan “jika bulan bisa ngomong, maka dia tak akan
bohong”. Kalimat ini selalu bernilai benar karena syarat cukupnya yaitu
“bulan bisa ngomong” selalu tidak terpenuhi.
Jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan
bagian dari A adalah HB = 2n
contoh: jika A = {a,b,c}
maka himpunan bagian dari A adalah :
{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f
seluruhnya ada 2³ = 8
D. HIMPUNAN SEMESTA DAN DIAGRAM VENN
Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek
pembicaraan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U. Contoh : Kalau
kita membahas mengenai 1, ½ , -2, -½ ,… maka semesta pembicaraan kita adalah
bilangan real. Jadi himpunan semesta yang dimaksud adalah R. Apakah hanya R
saja? Jawabannya tidak. Tergantung kita mau membatasi pembicaraanya.
Himpunan semesta dapat disajikan dengan diagram venn.
Diagram Venn adalah suatu gambar untuk menyatakan dengan gambar
sebuah himpunan atau beberapa himpunan yang saling berhubungan.
Langkah - langkah membuat diagram Venn :
1. Himpunan semesta ( S ) digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan
notasi S ditulis pada pojok kiri atas.
2. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta digambarkan
dengan kurva tertutup ( seperti lingkaran ) dan nama himpunannya di tulis di
dekat kurva tersebut.
3. Anggota - anggotanya di tunjukan dengan noktah, dannama anggotanya di
tulis di dekat noktah tersebut.
Contoh :
S = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
L = { 1,3,5,7,9 }
P = { 2,3,5,7 }
Maka diagram venn dari ketiga himpunan tersebut adalah
S
4
6
L
1
9
3
5
7
P
8
2
E. OPERASI-OPERASI PADA HIMPUNAN
1. Irisan (Intersection)
Diberikan himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B ditulis dengan A  B
adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B.
Jadi A  B = { x | x  A dan x  B }
Diagram venn dari daerah yang diarsir menyatakan A  B
S
Contoh:
1. A = {a,b,c, } dan B = {c,d,e,f}. Maka A  B = {c}
2. P = {a,b,c} dan Q = {d,e,f}. Maka A  B = 
3. Siswa yang senang makan :
-
Rujak = 12 + 9 = 21 Orang
-
Bakso = 12 + 14 = 26 Orang
-
Rujak dan bakso = 12 orang
-
Siswa yang tidak senang makan rujak maupun bakso = 5 orang
berapa jumlah siswa seluruhnya:
Jawab :
S
Rujak
9
Bakso
12
14
5
Banyak siswa seluruhnya adalah = 9 + 12 + 14 + 5 = 40 orang
2. Gabungan (Union)
Diberikan himpunan A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan
A  B adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B.
Jadi A  B = { x | x  A atau x  B }
Diagram venn dari daerah yang diarsir menyatakan A  B
S
Contoh:
4. A = {a,b,c} dan B = {c,d,e,f}. Maka A  B = {a,b,c,d,e,f}
5. Siswa yang senang makan rujak 21 orang, siswa yang senang makan
bakso 26 orang dan siswa yang senang makan bakso dan rujak 12 orang.
Berapa siswa yang senang makan rujak maupun bakso.
Jawab :
n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B)
= 21 + 26 – 12
= 35
Jadi, yang senang makan rujak maupun bakso adalah 35 orang
3. Selisih
Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua
anggota A yang bukan anggota B. A - B = { x | x  A dan x  B }
Diagram Venn dari daerah yang diarsir menyatakan A - B
contoh:
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,6,7,10}
Maka A - B = {1,3,5}
4. Komplemen
Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua
anggota himpunan S yang bukan anggota A. Ac = { x | x  S dan x  A }
Diagram Venn daerah yang diarsir menyatakan Ac
S
contoh:
S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {1,2,3,4,5}
Maka Ac = {6,7,8,9,10}
F. SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN
1. Sifat komutatif : A  B = B  A ( irisan )
A  B = B  A ( gabungan )
2. Sifat asosiatif : ( A  B )  C = A  ( B  C )
( A  B )  C = A ( B C )
3. Sifat distributif : A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )
A  ( B  C ) = ( A B )  ( A C )