Teori Himpunan - Binus Repository

Course Content Template
Matematika Diskrit
Type:ACADEMIC COURSE
Code: K0144
Product Development Center, Bina Nusantara
DC-PDC-4
Ver. 1.0 27/01/03 10:01
Table of Content
Table of Content .......................................................................................................................................... 1
Course Content ........................................................................................................................................... 2
Teori Himpunan ....................................................................................................................................... 2
3.1. Himpunan dan Himpunan Bagian ............................................................................................... 2
3.2. Operasi dan Sifat-sifat Himpunan ............................................................................................... 4
3.3. Diagram Venn .............................................................................................................................. 7
Activity ........................................................................................................................................................ 10
Quiz/Exam/Self-Assess ...................................................................................................................... 10
Asignments .......................................................................................................................................... 10
Course Content
1
Part
Teori Himpunan
SASARAN : Setelah mempelajari modul ini mahasiswa diharapkan memahami pengertian teori
himpunan, sifat-sifat operasi himpunan dan ilustrasi himpunan dengan diagram Venn.
POKOK BAHASAN : Untuk mencapai sasaran diatas disusun pokok bahasan untuk modul ini adalah
Pengertian himpunan dan himpunan bagian,operasi himpunan, hukum-hukum dan sifat-sifat operasi
himpunan, dan Diagram Venn.
3.1. Himpunan dan Himpunan Bagian
PENGERTIAN HIMPUNAN
Himpunan / set adalah kumpulan objek yang berbeda dan dari suatu segi ditanggapi sebagai suatu
kesatuan. Biasanya himpunan ditandai dengan kurung kurawal : { }. Objek-obyek yang berada di
dalam himpunan tersebut masing-masing disebut Elemen atau Anggota set.
NOTASI HIMPUNAN
Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital (upper case), misalnya A, B, C dan seterusnya.
Untuk menyatakan anggota atau elemen himpunan dinyatakan dengan huruf lower case, misalnya a,
b, c dan seterusnya. Bila obyek a adalah elemen dari himpunan A ditulis dengan a  A, sebaliknya jika
b bukan elemen himpunan A ditulis dengan b  A.
CONTOH HIMPUNAN :
1) Himpunan-himpunan bilangan Asli, bulat, rasional, riil dan kompleks didalam
matematika umumnya ditulis dengan notasi N, Z, Q, R dan C.
2) Misalkan A adalah himpunan bilangan genap positif maka A dapat dinyatakan
dengan notasi berikut (ada 2 cara), yaitu :


A = {2, 4, 6, 8, …}, ini merupakan penulisan himpunan dengan cara
mendaftarkan elemen-elemen himpunan tersebut (tabulasi), titik tiga
menunjukkan bahwa elemen masih berlanjut sampai tak hingga banyak.
A = {a  Z : a = 2n untuk suatu bilangan asli n}, ini merupakan penulisan
himpunan dengan notasi pembentuk himpunan.
PENJELASAN CONTOH : Pada contoh 1 diberikan notasi standard untuk himpunan bilangan didalam
matematika. Pada contoh dua ditunjukkan bahwa ada dua cara penulisan himpunan, yaitu dengan
mendaftarkan anggota-anggotanya (tabulasi) atau dengan notasi pembentuk himpunan.
HIMPUNAN SEMESTA : Himpunan semesta pembicaraan atau universal set adalah himpunan yang
memuat seluruh obyek yang sedang dibicarakan. Notasi dari himpunan semesta biasanya adalah S
atau U. Misal kita sedang membahas tentang bilangan riil maka himpunan semestanya adalah
himpunan bilangan rii, jadi U = R.
HIMPUNAN KOSONG : Himpunan kosong atau void set adalah himpunan yang tidak memiliki
anggota. Notasi dari himpunan kosong adalah { } atau .
KESAMAAN DUA HIMPUNAN : Dua himpunan adalah sama apabila keduanya memiliki elemen yang
sama. Dengan kata lain bila A sama dengan B ditulis dengan A = B, maka seluruh elemen A menjadi
elemen B dan seluruh elemen B menjadi elemen A.
HIMPUNAN BAGIAN : Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B apabila seluruh
elemen A menjadi elemen B dan ditulis dengan notasi A  B. Bila A bukan himpunan bagian B ditulis
dengan A  B.
SINGLETON SET : Adalah himpunan yang anggotanya tunggal (banyaknya anggota hanya satu).
HIMPUNAN TAK HINGGA : Adalah himpunan yang banyaknya anggota tak hingga. Himpunan
Berhingga adalah himpunan yang banyaknya anggota berhingga.
CONTOH :
1) Misalkan A = {x  R: x2 +2x+10 = 0} adalah himpunan kosong.
2) Bila B = {1, 3, 5, 7, …} dan C =
3) Bila D = {x  Z : x < 5 dan x
4) Himpunan E = {x
p

 : p, q  Z , q  0 maka B  C.
q

 0 } adalah himpunan berhingga.
 R : x2 – 2x + 1 = 0} adalah singleton set.
PENJELASAN CONTOH :
1) Bentuk x2 +2x+10 = 0 merupakan persamaan kuadrat. Karena diskriminan dari
persamaan kuadrat ini adalah D = b2-4ac = 4-40 = -36 bilangan negatif maka
persamaan kuadrat tidak memiliki akar riil. sehingga tidak ada x  R yang memenuhi
x2 +2x+10 = 0, jadi A = {x  R: x2 +2x+10 = 0} = .
2) Misalkan b sembarang elemen B maka b dapat ditulis dalam bentuk
p
dengan p = b
q
dan q = 1, sehingga b  C. Ini menunjukkan bahwa setiap anggota B adalah anggota
C, jadi B himpunan bagian dari C atau ditulis B  C.
3) Bila kita tulis himpunan D dengan cara tabulasi maka D = {0, 1, 2, 3, 4}, sehingga
dapat dihitung banyaknya elemen dari D adalah 5. Jadi D himpunan berhingga.
4) Bila kita cari solusi dari x2 – 2x + 1 = 0 kita peroleh (x-1)2 = 0, sehingga x = 1. Ini
merupakan satu-satunya solusi dari x2 – 2x + 1 = 0. Jadi E = {x  R : x2 – 2x + 1 = 0}
hanya memiliki satu anggota, dengan kata lain E singelton set.
3.2. Operasi dan Sifat-sifat Himpunan
OPERASI PADA HIMPUNAN : Dua buah himpunan dapat dioperasikan (dengan operasi biner)
sehingga menghasilkan suatu himpunan baru sebagai hasil operasi tersebut. Operasi tersebut adalah
irisan (intersection) dan gabungan (union). Satu himpunan dapat dioperasikan (dengan operasi uner)
sehingga menghasilkan himpunan baru. Operasi tersebut adalah komplemen.
IRISAN DUA HIMPUNAN : Irisan dua himpunan A dan B adalah A  B yang merupakan himpunan
semua elemen semesta x sehingga x  A dan x  B, atau dapat ditulis dengan notasi pembentuk
himpunan A  B = {x  U : x  A dan x  B}.
GABUNGAN DUA HIMPUNAN : Gabungan dua himpunan A dan B adalah A  B yang merupakan
himpunan semua elemen semesta x sehingga x  A atau x  B, atau dapat ditulis dengan notasi
pembentuk himpunan A  B = {x  U: x  A atau x  B}.
KOMPLEMEN HIMPUNAN : Komplemen dari suatu himpunan A adalah himpunan A’ atau Ac yang
memuat semua elemen semesta x yang bukan elemen A, atau dapat ditulis dengan notasi pembentuk
himpunan A’ = { x  U: x  A}.
CONTOH :
1) Misalkan Himpunan semesta U = N (himpunan bilangan asli), A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B
= {2, 4, 6, 8, 10} maka A  B = {2, 4}, A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} dan A’ = {6, 7, 8,
9, 10, …}.
2) Bila universal set U = R (himpunan bilangan riil), A = {x
 R : x < 3} dan B = {x  R:
x 1 > 1} maka hasil dari A  B={x  R : -3 < x < 0 atau 2 < x < 3} , A  B = R, dan
A’ = {x
 R: x  3}.
PENJELASAN :
1) Contoh 1 sudah jelas.
2) Karena
A = {x
 R : x < 3} = {x  R : -3 < x < 3}, dan
B = {x
 R: x 1 > 1} = {x  R: x –1 > 1 atau x-1 < -1}
= {x
 R: x > 2 atau x < 0}
Maka
A  B={x
 R : -3 < x < 0 atau 2 < x < 3}
A B = R
A’ = {x
 R: x  3 atau x  -3} = {x  R: x  3}
HUKUM-HUKUM OPERASI HIMPUNAN: Apabila A, B, dan C adalah sub set (himpunan bagian) dari
himpunan semesta U maka berlaku hukum-hukum berikut:
1) Hukum Idempotent.
A A= A , A A= A
2) Hukum Associative.
( A  B)  C = A  ( B  C )
( A  B)  C = A  ( B  C )
3) Hukum Commutative.
A B
= B  A , A B = B  A
4) Hukum Distributive.
A  ( B  C ) = ( A  B)  ( A  C )
A  ( B  C ) = ( A  B)  ( A  C )
5) Hukum Identity
A   = A , A U  A
A U  U , A    
6) Hukum Involution.
( Ac) c
= A
7) Hukum Complement.
A  AC = U , A  AC = 
U C =  , C = U
8) Hukum De Morgan’s
(A  B) C = AC  B C
(A  B) C = AC  B C
SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN : Apabila A, B, C dan D adalah sub set (himpunan
bagian) dari himpunan semesta U maka berlaku sifat-sifat berikut:
1. A  A = A
2. A  A = A
3. A   = A
4. A   = 
5. A - B  A
6. jika A  B dan C  D
maka : ( A  C )  ( B  D )
7. jika A  B dan C  D
maka : ( A  C )  ( B  D )
8. A  A  B
9. A I B  A , A I B  B
10. jika A  B , maka
11. jika A  B , maka
A B = B
A B = A
12. A   = A
13. A  ( B - A) = 
14. A  ( B - A) = A  B
15. A - ( B  C ) = ( A - B )  ( A - C )
16. A - ( B  C ) = ( A - B )  ( A - C )
CONTOH :
Gunakan hukum-hukum dan sifat-sifat operasi himpunan untuk membuktikan pernyataanpernyataan berikut:
1) (  A)  (B  A) = A
2) (A  B)
 (A  B’) = A
PENJELASAN CONTOH:
Dengan hukum-hukum dan sifat-sifat yang sudah dijelaskan di atas kita dapat buktikan
pernyataan 1 s/d 3, sebagai berikut:
1) (  A)
 (B  A) = A  (B  A),
hk identity
= (A  B)  (A  A), hk distributif
= (A  B)  A,
sifat 1
= A, sb A  B  A dan sifat 10
2) (A  B)
 (A  B’)
= [(A  B)  A]  [( A  B)  B’],
hk distributif
= [(A  A)  (B  A)]  [(A  B’)  (B  B’)], hk distributif
= [A  (B  A)]  [(A  B’)  ], sifat 1 dan komplemen
= A  (A  B’),
sb B  A  A dan identity
= A,
sb A  B’  A
3.3. Diagram Venn
DIAGRAM VENN: Cara untuk mempermudah memahami hubungan antara himpunan-himpunan, dan
untuk memvisualisasikan bagaimana operasi-operasi himpunan bekerja adalah dengan menggunakan
DIAGRAM VENN. Umumnya suatu himpunan digambarkan dalam diagram venn daerah yang dibatasi
oleh kurva tertutup, misalnya lingkaran atau persegi panjang. Penggambaran dalam diagram venn
digunakan untuk ilustrasi hubungan antara operasi-operasi himpunan dan demonstrasi secara phisik
kebenaran suatu teorema dalam teori himpunan. Walaupun demikian hasil dari diagram venn umunya
tidak dapat dipakai sebagai bukti kebenaran suatu teorema.
ILUSTRASI OPERASI HIMPUNAN : Metode yang disepakati dalam diagram venn untuk
menggambarkan himpunan dengan memakai daerah arsiran. Secara khusus persegi panjang dipakai
untuk menggambarkan universal set dan himpunan-himpunan bagian dari U dengan memakai
lingkaran. Komplemen dari himpunan adalah bagian dari universal set yang tidak di himpunan.
A
’
A
Diagram venn untuk operasi himpunan irisan dan gabungan pada dua himpunan A dan B
digambarkan sebagai berikut:
A
B
A
B
A
B
Hukum De’Morgan dapat digambarkan
dengan Diagram Venn sebagai berikut:
( A  B) C  A C  B C
A
B
A
A
B
B
AC  B C
( A  B) C
DIAGRAM VENN UNTUK HUBUNGAN TIGA HIMPUNAN: Apabila ada 3 himpunan A, B dan C maka
kita bias menggambarkan hubungan antara ketiganya dengan diagram venn sebagai berikut:
A
B
C
A  (B  C)
(A  B  C)’
CONTOH :
1) Gambarkan himpunan-himpunan berikut dengan diagram venn.

A  (B  C C )

( A  B) C  C
2) Daerah 1 mengekspresikan himpunan
A C  B C  C C . Tentukan himpunan-
himpunan yang mengekspresikan daerah 2 s/d 8.
1
A
5
7
2
3
6
4
B
8
C
PENJELASAN CONTOH:
1) Diagram venn dari
A
A  ( B  C C ) dan ( A  B) C  C adalah :
A
B
B
C
C
2) Ekspresi himpunan untuk daerah-daerah pada contoh 2 adalah

Daerah 2 =
A  (B  C) C

Daerah 3 =
A B CC

Daerah 4 =
B  ( A  C) C

Daerah 5 = A  C  B

Daerah 6 =

Daerah 7 = B  C  A

Daerah 8 =
C
A B C
C
C  ( A  B) C
Activity
2
Part
Quiz/Exam/Self-Assess
Asignments
1. Mis himpunan U = {1,2,3,…10} dan A = {1,4,7,10}, B= {1,2,3,4,5} dan C = {2,4,6,8} Daftarkan
masing-masing himpunan
( A  B)
C
C
2. Mis X = {1,2 } dan Y = {a,b,c} Daftarkan anggota dari masing-masing himpunan X x X x X ?
dan -X x Y x Y ?
3.Jika X mempunyai 10 anggota, berapa banyak anggota yg dimiliki P(X) ? Berapa banyak sub
himpunan murni yang dimiliki ?
4. Jika X dan Y himpunan tak kosong dan X x Y = Y x X, apa yang bisa disimpulkan tentang X dan Y ?