teori himpunan

sugiyono
A. Pengantar
 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang
mempunyai syarat tertentu dan jelas.
 Objek dapat berupa bilangan, manusia, hewan,
tumbuhan, negara, dan sebagainya,
selanjutnya objek ini dinamakan anggota atau elemen
dari himpunan.
 Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota
suatu himpunan untuk membedakan antara anggota
himpunan dan bukan anggota himpunan,
selanjutnya dinamakan himpunan yang terdefinisi
dengan baik (well-defined set).
B. Notasi baku
 Himpunan dinyatakan dengan huruf besar, dan
menggunakan simbol {...}
contoh: A = {1, 2, 3, ...}
 Anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil.
contoh: A = {a, b, c, x, y}
  = notasi anggota himpunan
contoh: A = {1, 2, 3}, maka 1A (1 anggota himpunan A)
  = notasi bukan anggota himpunan
contoh: A = {1, 2, 3}, maka (4 bukan anggota himpunan A).
B. Notasi baku
  = notasi himpunan bagian
contoh: , artinya himpunan A adalah himpunan bagian
dari himpunan B
  = notasi propersubset
Jika A dan B adalah himpunan sedemikian rupa sehingga
A  B tetapi A  B , maka A adalah propersubset
dari himpunan B, notasinya: .A  B
Contoh: A= {1, 2, 3, 4, 5} dan B= {1, 2, 3} , maka B  A
 || = banyaknya anggota himpunan,
contoh: A = {a, b, c, d, e}, maka |A| = 5
 U = himpunan Universal (Semesta),
contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5}
B. Simbol baku
 Simbol-simbol baku:
P = himpunan bil. bulat positip, contoh P = {1, 2, 3, ...}
N = himpunan bilangan natural, contoh N = {1, 2, ...}
Z = bilangan bulat, contoh Z = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
C. Cara Penulisan Himpunan
1. Listing method
Mendaftarkan semua anggotanya: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Description method
Menggunakan notasi pembentuk himpunan:
Notasi: { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh:
A = { x | x adalah bilangan bulat positip lebih kecil dari 5 }
atau
A = { x | x  P, x < 5 }
yang ekivalen dengan
A = { 1, 2, 3, 4 }
D. Diagran Venn
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} atau dapat ditulis
U = {1, 2, ..., 7, 8} dan B = {2, 5, 6, 8} dapat dibuat diagram Venn sebagai
berikut:
Kardinalitas:
 Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A
 Notasi: n (A) atau |A|
D. Diagran Venn
Contoh:
[1] B = {x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20}
atau : B = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }
maka |B| = 8
[2] T = { kucing, a, Amir, 10, paku }
maka |T| = 5
[3] A = { a, {a}, {{a}} }
maka |A| = 3
D. Diagran Venn
 Himpunan kosong:
 Himpunan dengan kardinal = 0
disebut himpunan kosong atau null set.
 Notasinya: { } atau 
Contoh:
E = { x | x < x },
Maka n (E) = 0 atau |E| = 0
E. Hubungan antar himpunan
1. Himpunan bagian
• Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subet) dari
•
•
•
•
himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A
merupakan elemen dari B.
Himpunan B disebut superset dari A
Notasi:
AB
Diagram Venn:
Contoh:
[1] {1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5}
[2] {1, 2, 3}  {1, 2, 3}
E. Hubungan antar himpunan
2. Himpunan saling lepas
 Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint)
jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
 Notasinya :
A // B
 Diagram Venn:
 Contoh:
Jika A = { x | x  P, x < 8 }
Dan B = {20, 20, 30}
Maka: A // B
F. Operasi himpunan
1. Irisan (intersection)
Notasi:
A  B = { x | x  A dan x  B }
Diagram Venn:
Contoh:
[1] Jika A = {2, 4, 6, 8. 10} dan B = {4, 10, 14, 18}
maka: A  B = {4, 10}
[2] Jika A = {3, 5, 9} dan B = {-2, 6}
maka: A  B = ; artinya: A // B
F. Operasi himpunan
2. Gabungan (union)
Notasi: A  B = { x | x  A atau x  B}
Diagram Venn:
Contoh:
[1] Jika A = {2, 5, 8}
dan B = {7, 5, 22}
maka: A  B = {2, 5, 7, 8, 22}
[2] A   = A
F. Operasi himpunan
3. Komplemen (complement)
Notasi:
atau
Diagram Venn:
Contoh:
Misalnya: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
[1] Jika A = (1, 3, 7, 9} maka
[2] Jika
maka
F. Operasi himpunan
4. Selisih (difference)
Notasi:
Diagram Venn:
Contoh:
F. Operasi himpunan
5. Perkalian kartesian (cartesian product)