09. teori himpunan

09. TEORI HIMPUNAN
A Pengantar

Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas.

Objek dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara, dan sebagainya,
selanjutnya objek ini dinamakan anggota atau elemen dari himpunan.

Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan untuk membedakan
antara anggota himpunan dan bukan anggota himpunan,
selanjutnya dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).
B Notasi
Notasi dan simbol-simbol baku yang digunakan dalam penulisan himpunan:

Himpunan dinyatakan dengan huruf besar, dan menggunakan simbol {...}
contoh: A = {1, 2, 3, ...}

Anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil.
contoh: A = {a, b, c, x, y}

= notasi anggota himpunan
contoh: A = {1, 2, 3}, maka

(1 anggota himpunan A)
= notasi bukan anggota himpunan
contoh: A = {1, 2, 3}, maka

(4 bukan anggota himpunan A).
= notasi himpunan bagian
contoh:

, artinya himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B
= notasi propersubset
Jika A dan B adalah himpunan sedemikian rupa sehingga
propersubset dari himpunan B, notasinya:
Contoh:
dan
tetapi
, maka A adalah
.
, maka

= banyaknya anggota himpunan, contoh: A = {a, b, c, d, e}, maka |A| = 5

= himpunan Universal (Semesta), contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5}

Simbol-simbol baku:
P
= himpunan bilangan bulat positip, contoh P = {1, 2, 3, ...}
N
= himpunan bilangan natural, contoh N = {1, 2, ...}
Z
= bilangan bulat, contoh Z = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q
= himpunan bilangan rasional
R
= himpunan bilangan riil
C
= himpunan bilangan kompleks
Matematika: TEORI HIMPUNAN - Sugiyono | 1
C Cara Penulisan Himpunan
1. Listing method
Mendaftarkan semua anggotanya:
2. Description method
Menggunakan notasi pembentuk himpunan:
Notasi:
Contoh:
atau
yang ekivalen dengan
D Diagram Venn
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} atau dapat ditulis U = {1, 2, ..., 7, 8} dan B = {2, 5, 6, 8}
dapat dibuat diagram Venn sebagai berikut:
Kardinalitas:

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A

Notasi:
atau
Contoh:
[1]
atau :
maka
[2]
maka
[3] A = { a, {a}, {{a}} }
maka

Himpunan kosong:
 Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong atau null set.
 Notasinya: {} atau
Contoh:
, maka
atau
Matematika: TEORI HIMPUNAN - Sugiyono | 2
E Hubungan Antar Himpunan
1. Himpunan bagian

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subet) dari himpunan B jika dan hanya jika
setiap elemen A merupakan elemen dari B.

Himpunan B disebut superset dari A

Notasi:

Diagram Venn:
Contoh:
[1]
[2]
2. Himpunan saling lepas (disjoint)

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki
elemen yang sama.

Notasinya :

Diagram Venn:
Contoh:
Jika
dan
maka:
F
Operasi-operasi Himpunan
1. Irisan (intersection)
Notasi:
Diagram Venn:
Matematika: TEORI HIMPUNAN - Sugiyono | 3
Contoh:
[1] Jika
dan
,
Maka:
[2] Jika
Maka:
dan
, artinya :
2. Gabungan (union)
Notasi:
Diagram Venn:
Contoh:
[1] Jika
dan
maka:
[2]
3. Komplemen (complement)
Notasi:
atau
Diagram Venn:
Contoh:
Misalnya
[1] Jika
maka
[2] Jika
maka
Penjelasan:
adalah
adalah
Matematika: TEORI HIMPUNAN - Sugiyono | 4
4. Selisih (difference)
Notasi:
Diagram Venn:
Contoh:
[1] Jika
Maka
[2] Jika
dan
3, 5, 7, 9} dan
maka
5. Perkalian Kartesian (cartesian product)
Notasi:
Contoh:
[1] Misalkan
dan
Maka:
[2] Misalkan:
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun?
Penyelesaian:
kombinasi makanan dan minuman, yaitu:
Matematika: TEORI HIMPUNAN - Sugiyono | 5