himpunan - WordPress.com

Pertemuan 1, 2
BAB I. HIMPUNAN
DEFINISI
Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang didefenisikan dengan jelas.
Objek-objek itu kemudian disebut anggota atau elemen yang biasanya dinotasikan
dengan huruf kecil, obyek dilambangkan : a, b, c, ..... z
Himpunan biasanya di notasikan dengan huruf kapital atau secara umum himpunan
dilambangkan :
A, B, C, ...... Z
Notasi :
 p ϵ A
 A B
 A=B

p anggota A
A himpunan bagian dari B
himpunan A sama dengan B
ingkaran
Himpunan P disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan Q, jika setiap
anggota P merupakan anggota Q. Hubungan antara P dan Q tersebut dapat ditulis sebagai
P  Q. Dengan cara lain, hubungan antara P dan Q tersebut dapat ditulis sebagai Q  P
dan dibaca Q superset dari P atau P terdapat di dalam Q .
Contoh
Mahasiswa semester dua dari jurusan manajemen informatika di STMIK Jenderal
Achmad Yani merupakan anggota dari himpunan jurusan manajemen informatika
di STMIK Jenderal Achmad Yani (M). Jika P merupakan himpunan mahasiswa
semester dua tersebut, maka P merupakan himpunan bagian dari himpunan M
dan ditulis sebagai P  M. Dapat pula ditulis sebagai M  P dan dibaca M
superset dari P .
Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjoint) jika mereka tidak memiliki
anggota bersama.
Contoh
Himpunan mahasiswa D3 STMIK Jenderal Achmad Yani dan himpunan dosen
D3 STMIK Jenderal Achmad Yani merupakan himpunan yang saling lepas.
1
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dinyatakan
{ } atau  .
sebagai
Contoh 1.5.
A = { x  x bilangan asli dan x < 1 } = .
Dalam rangka menyelidiki hubungan antara beberapa himpunan, seringkali
dibutuhkan pendefinisian sebuah himpunan yang disebut himpunan semesta. Himpunanhimpunan lain yang dibicarakan merupakan himpunan bagian dari himpunan semesta
tersebut. Himpunan semesta biasanya dinyatakan sebagai himpunan S atau U .
Contoh.
Himpunan bilangan riil R
merupakan semesta dari himpunan bilangan asli N
dan himpunan bilangan bulat Z .
Dua buah himpunan dikatakan sama jika keduanya memiliki anggota yang benarbenar sama.
Contoh
{ x  x + 2 = 4 } = { y  3 y = 6 }.
PENYAJIAN HIMPUNAN
1. Enumerasi
Menyajikan himpunan dengan menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan
diantara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan
huruf kapital.
Contoh:

Himpunan A yang berisi lima anggota 1, 2, 3, 4, 5 dapat ditulis: A =
{1,2,3,4,5}

Himpunan B yang berisi lima bilangan genap positip pertama dapat ditulis: B
= {2, 4,6,8,10}
2
2. Notasi Pembentuk Himpunan
Cara penyajian himpunan ini dengan menuliskan notasi pembentuk himpunan (set
builder), dan himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh
anggotanya.
Notasi: {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}
Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan:

Bagian di kiri `|` tanda melambangkan elemen himpunan

Tanda `|` dibaca dimana atau sedemikian sehingga

Bagian di kanan tanda `|` menunjukkan syarat keanggotaan himpunan

Setiap tanda `,` di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan
Contoh:
1. A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5, dinyatakan sebagai
A = {x | x adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5}
Atau dalam notasi yang lebih ringkas
A = {x | x ϵ P, x < 5}
2. B adalah himpunan bilangan genap positip yang lebih kecil atau sama dengan 8,
dinyatakan sebagai
B = {x | x adalah himpunan bilangan genap positif yang kecil atau sama dengan
8}
Atau dalam notasi yang lebih ringkas
B = {x | x ϵ P, x ≤ 8}
3. Diagram Venn
Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh John Venn dari Inggris pada tahun
1881. Di dalam diagram venn, himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi
empat, sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat
tersebut. Anggota-anggota suatu himpunan berada di dalam lingkaran yang lain pula. Ada
kemungkinan dua himpunan mempunyai anggota yang sama, dan hal ini digambarkan
dengan lingkaran yang saling beririsan. Anggota U yang tidak termasuk di dalam
himpunan manapun digambarkan di luar lingkaran.
3
Contoh:
U
A
B
OPERASI HIMPUNAN
Dalam pelajaran aljabar dikenal operasi hitung seperti penjumlahan, perkalian,
pengurangan, pembagian, operasi itu membentuk bilangan baru dari bilangan yang
diketahui. Demikian juga dengan operasi himpunan. Pengertian operasi pada himpunan
tidak berbeda dengan operasi pada bilangan.
Operasi pada himpunan adalah cara membentuk himpunan baru dari himpunanhimpunan yang diketahui. Operasinya ada yang berbentuk uner dan ada yang berbentuk
biner. Operasi uner, bila himpunan baru tersebut dari satu himpunan yang diketahui dan
operasi biner bila himpunan baru diperoleh dari dua himpunan.
1. Gabungan Himpunan (Union)
Gabungan dua himpunan A dan B yang dilambangkan dengan ”A U B” adalah
himpunan baru yang anggota-anggotanya terdiri dari semua anggota A atau anggota B
atau anggota kedua-duanya. ”A U B” dibaca A gabungan B atau gabungan A dan B.
Jika dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan maka A U B =
x
x  A atau x  B atau x  A dan B, dan jika dinyatakan dengan diagram Venn maka
daerah yang diarsir merupakan daerah gabungan.
Diagram Venn A U B
4
Contoh 1.
Jika A = a, b, c
B = c, d , e
Maka A U B = a, b, c, , d 
Diagram Vennnya
A
B
a
d
c
b
e
AUB
Contoh 2.
Jika A = 1,2,3,4 dan
B = 1,2,3,4,5,6 berarti A  B
Maka A U B = 1,2,3,4,5,6 = B
Diagram Vennnya
Gambar 2
A B
.B
.5
.A .2
.3
.4
.6
AUB=B
.1
AUB
Contoh 3.
Jika A = 1,2,3 dan B = 4,5,6, maka A U B = 1,2,3,4,5,6
5
Diagram Vennnya
A
B
.4
.1
.5
.2
.6
.3
AUB
Contoh 4.
Jika A = a, b, c, maka A U A = a, b, c
Demikian juga A U  = a, b, c
Jadi A U A = A dan A U  = A
Contoh 5.
Jika A = a, b, c dan L = a, b, c, d , e
Maka A U L = a, b, c, d , e
Jadi A U L = L
2. Irisan Himpunan
Irisan himpunan A dan B, yang dilambangkan dengan ”A ∩ B” adalah himpunan
baru yang anggotanya terdiri dari anggota himpunan A dan anggota himpunan B, atau
dengan kata lain anggotanya adalah anggota sekutu A dan B. ”A ∩ B” dibaca ”A irisan
B” atau ”irisan A dan B”. Jika dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan maka A 
B = { x  x A dan
x B }
Jika dinyatakan dengan dengan diagram Venn, irisan himpunan A dan B
ditunjukkan dengan daerah yang diarsir.
A∩B
6
Contoh 6.
Jika A = 1,2,3 dan B = 3,4,5,6 , maka A ∩ B = ?.
Diagram Venn
A
B
.4
.1
.5
.3
.2
.6
Contoh 7.
Jika A = a, b, c dan B = d , e, f , maka A ∩ B = 
Diagram Venn
A
B
.a
.b
.c
.d
.e
.f
A B
Irisan A dan B tidak ada , hubungan antara A dan B adalah himpunan lepas, yang
berarti A
B
A∩B=
Contoh 8.
Jika A = 1,2,3,4,5 dan B = x x bilangan asli  8
Maka A ∩ B = 1,2,3,4,5 = A
7
Diagram Venn
B
A
.2 A
.3 .1
.4 .5
.6
.7
Ternyata A merupakan bagian B sehingga A ∩ B = A
Contoh 9.
Jika A = a, i, u maka A ∩ A = a, i, u = A dan bila A ∩  =
 , berarti tidak ada
anggotanya. Jadi A ∩ A = A dan A ∩  = .
Contoh 10.
Jika U = 1,2,3,4,5 dan A = 1,2,3 maka A ∩ S = ?
U = himpunan semesta. Jadi A ∩ U = ?.
3. Selisih
Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B,
adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan
merupakan anggota himpunan B.
A - B = { x  x A dan
x B }.
B - A = { x  x B dan
x A }.
Jelas bahwa
Selisih simetri (symetric difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis
sebagai A  B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota gabungan
himpunan A dan B, tetapi bukan merupakan anggota irisan himpunan A dan B.
AB = (AB)–(AB)
atau
A  B = ( A – B )  ( B - A ).
8
4. Complement
Jika U adalah himpunan semesta dan himpunan A  U, komplemen dari A,
ditulis A’, adalah himpunan dari semua anggota U yang bukan merupakan anggota A .
A’ = { x  x A }
PERHITUNGAN ANGGOTA HIMPUNAN
Jika himpunan S memiliki n buah elemen yang berbeda, maka S adalah himpunan
berhingga (finite set), dan n adalah kardinalitas (cardinality) dari S, kardinalitas dari S
dinyatakan sebagai n(S) atau S.
Contoh 1.
Hitung kardinalitas dari S =.{ 0,1,2,3,4,5}
jawaban n(S) = 6
Contoh 2.
Hitung kardinalitas dari M =.{ 0,1,2,3,4,5,4,3,2,1}
jawaban n(S) = ?
KAIDAH-KAIDAH DALAM OPERASI HIMPUNAN
Himpunan di bawah operasi gabungan, irisan dan komplemen memenuhi berbagai
hukum aljabar. Tabel berikut menampilkan hukum-hukum yang berlaku pada operasi
himpunan tersebut.
Hukum Asosiatif
(AB) C
= A(BC)
(A B)C = A(BC)
Hukum Komutatif
A B = B A
A B = BA
Hukum Distributif
A  ( B  C ) = ( A  B )  (A  C )
A  ( B  C ) = ( A  B )  (A  C )
(A’) ’ = A
Hukum Involusi
Hukum Idempoten
A A = A
A A = A
Hukum Identitas
A  = A
A  S = A
9
Hukum Komplemen
A  A’ = S
A  A’ = 
Hukum de Morgan
( A  B ) ‘ = A’  B’
( A  B )’ = A’  B’
Contoh.
Jika P, Q dan R adalah himpunan, tunjukkan bahwa
( P  Q )  ( P’  R )’ = P  ( Q’  R )’ .
Jawab :
Pernyataan
Alasan
( P  Q )  ( P’  R )’ = ( P  Q )  ( (P’ )’  R’ )
hukum de Morgan
(P’ )’ = P
hukum involusi
( P  Q )  ( P’  R )’ = ( P  Q )  ( P  R’ )
substitusi
( P  Q )  ( P  R’ ) = P  ( Q  R’ )
hukum distribusi
( Q  R’ ) = ( Q’  R )’
hukum de Morgan
( P  Q )  ( P’  R )’ = P  ( Q’  R )’
substitusi
Contoh.
Jika P, Q dan R adalah himpunan,
tunjukkan bahwa P’  (Q  R)’  (P’  Q’ ) = P’  Q’  R’
Jawab : ...diserahkan kepada mahasiswa. he…he ....
Soal Latihan .
1. Buktikan bahwa (A  B)  (A  B’ ) = A.
2. Buktikan bahwa, jika A  B = S, maka A’ B. (S = semesta).
3. Buktikan bahwa A  (A’  B ) = A  B.
10