Himpunan

Himpunan
Oleh :
Panca Mudji Rahardjo,
ST. MT.
Himpunan
z
z
z
z
z
z
Definisi himpunan
Penyajian himpunan
Definisi-definisi
Operasi himpunan
Prinsip inklusi dan eksklusi
Himpunan ganda
1
Definisi
z
Himpunan (set) adalah
–
z
Kumpulan objek-objek yang berbeda
Objek yang terdapat di dalam himpunan
disebut elemen atau anggota atau unsur
himpunan.
Penyajian himpunan
z
z
z
z
Enumerasi
Simbol baku
Notasi pembentuk himpunan
Diagram Venn
2
Penyajian himpunan
z
Enumerasi
–
–
Mengenumerasi artinya menuliskan semua
elemen himpunan di antara dua buah tanda
kurung kurawal.
Contoh:
z
z
z
z
A = {a,b,c,d,e}
B = {2,4,6,8}
C = {1,4,9,16}
D = {1,2,3,…,100}
Penyajian himpunan
z
Simbol baku
–
–
–
–
–
–
P = himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3, … }
N = himpunan bilangan alami (natural) = {1,2, … }
Z = himpunan bilangan bulat = {… ,-2,-1,0,1,2, …}
Q = himpunan bilangan rasional.
R = himpunan bilangan riil.
C = himpunan bilangan kompleks.
3
Penyajian himpunan
z
Notasi pembentuk himpunan
–
Notasi: {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}
–
Contoh:
z
z
z
A = {x | x adalah lima huruf kecil pertama}
B = {x | x adalah empat bilangan genap positif pertama}
C = {x | x = y2, 1 ≤ y ≤ 4 }
Penyajian himpunan
z
Diagram Venn
–
–
Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis, yang
diperkenalkan oleh matematikawan Inggris John Venn pada
tahun 1881.
Contoh: Misalkan U = {1,2, … 10}, A = {1,2,6,8} dan B =
{2,4,6,8}.
A
3
1
5
7
U
B
2
9
6
8
4
10
4
Definisi-definisi
z
z
z
z
z
z
z
z
Himpunan kosong
Himpunan bagian (set)
Keanggotaan vs himpunan bagian
Kesamaan himpunan
Kardinalitas
Himpunan ekivalen
Himpunan saling lepas
Himpunan kuasa
Himpunan Kosong
z
z
z
Definisi: Himpunan yang tidak mempunyai
satupun anggota disebut himpunan kosong
(null set).
Notasi
: { } atau ∅.
Contoh:
–
–
D = {x | x < x}
F = {s | s komputer tanpa prosesor}
5
Himpunan bagian (set)
z
z
Definisi : Untuk semua himpunan A dan B,
kita mengatakan bahwa A himpunan bagian
B, jika dan hanya jika setiap anggota A
adalah anggota B.
Notasi : A ⊆ B atau B ⊇ A (B terdiri dari A)
A subset B atau B superset A.
Himpunan bagian (set)
z
Contoh 1.6:
–
–
–
–
–
{1,2,3,1,1} ⊆ {4,3,2,1}
{1,2} ⊆ {1,2,3}
{1,2,3} ⊄ {1,2}
{1,2,1,3,2,2,1} ⊆ {1,2,3}
{1,2,3} ⊆ {1,3,1,2,2,1}
6
Himpunan bagian (set)
z
Perhatikan pernyataan berikut:
–
–
–
Untuk setiap himpunan A, A adalah himpunan
bagian dari A, (A ⊆ A).
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian
dari sembarang himpunan, namun, himpunan
kosong belum tentu menjadi unsur suatu
himpunan.
Himpunan {∅} bukan merupakan himpunan
bagian dari himpunan {{∅}}.
Keanggotaan vs himpunan bagian
z
z
z
z
z
z
z
{1,2,3} ⊆ {1,2,3,4,5}
{1,3} ⊆ {3,2,1,0}
{1} ⊆ {1,3,6}
1 ⊄ {1,2}
1 ∈ {1,2}
{1} ∉ {1,2}
{1} ⊆ {1,2}
7
Kesamaan himpunan
Notasi : A = B, jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A
Contoh 1.7:
z
z
{1,2,3} = {3,1,2} = {2,3,1} = {1,2,1,3,2,1}
{{1,2,1},1,2} = {1,2,{1,2}}
{1,1,1,1,1} = {1,1} = {1}
{1,2,1,3,1,4} = {1,3,4,2} ≠ {1,2,3}
–
–
–
–
Sifat-sifat kesamaan himpunan:
z
–
–
–
A=A
jika A = B maka B = A
jika A = B dan B = C, maka A = C.
Kardinalitas
z
z
z
Kardinal himpunan A, adalah angka/bilangan
yang menyatakan jumlah elemen-elemen
berbeda dalam himpunan A tersebut.
Notasi : n(A) atau |A|
Contoh 1.8:
–
–
–
A = {a,b,c}
B = {1,{1,2},2,3,{5}}
C = {1,1,2,1,2}
|A|=3
|B|=5
|C|=2
8
Himpunan ekivalen
z
z
z
Definisi: himpunan A dikatakan ekivalen
dengan himpunan B, jika dan hanya jika
kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
Notasi: A ~ B ↔ |A| = |B|
Contoh 1.9: Jika A = {1,2,3,5,7,11} dan B =
{2,4,6,8,10,12}, maka A ~ B.
Himpunan saling lepas
z
z
z
Definisi: himpunan A saling lepas dengan
himpunan B, jika keduanya tidak mempunyai
elemen yang sama.
Notasi : A // B
Diagram Venn:
U
A
3
1
5
7
B
2
9
6
8
4
10
9
Himpunan kuasa
Definisi: Himpunan kuasa bagi himpunan A, ialah
himpunan yang unsur-unsurnya adalah semua
himpunan bagian dari himpunan A.
Notasi: P(A) atau ℘(A) atau 2A
Misal,
℘({1,2,3})={{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
Bila A mengandung n unsur, maka ℘(A)
mengandung 2n unsur.
Sifat-sifat himpunan kuasa:
z
z
z
z
z
–
–
℘(A) ∩ ℘(B) = ℘(A ∩ B)
℘(A) ∪ ℘(B) ⊆ ℘(A ∪ B)
Operasi Himpunan
z
z
z
z
z
z
z
z
Irisan (intersection)
Gabungan (union)
Komplemen
Beda relatif (selisih)
Beda setangkup
Pasangan terurut (ordered pairs)
Perkalian kartesian (cartesian product)
Perampatan operasi himpunan
10
Irisan (intersection)
z
z
z
Definisi: Irisan dua himpunan A dan B, ialah
himpunan yang unsur-unsurnya adalah
unsur-unsur didalam A dan B.
Notasi: A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}
Diagram Venn:
U
A
B
Gabungan (union)
z
z
z
Definisi: Gabungan dua himpunan A dan B,
ialah himpunan yang unsur-unsurnya adalah
unsur-unsur didalam A atau B (atau
keduanya).
Notasi: A ∪ B ={x | x ∈ A atau x ∈ B }
Diagram Venn:
U
A
B
11
Komplemen
z
z
z
Definisi: Komplemen himpunan A terhadap
himpunan semesta U adalah himpunan yang
elemennya merupakan elemen U yang
bukan elemen A.
Notasi: Ā = {x | x ∈ U dan x ∉ A}
Diagram Venn:
U
A
Beda relatif (selisih)
z
z
Definisi: Selisih dari dua himpunan A dan B
adalah himpunan dari semua elemen A yang
bukan elemen B.
Notasi :
z
z
A – B atau A \ B = {x | x ∈ A dan x ∉ B }
Diagram Venn:
U
A
B
12
Beda relatif (selisih)
z
z
z
z
z
z
z
z
Contoh 1.14: Misal
Jika B
{1,2}
{3,4}
{1,2,3,4}
{3,4,5,6,7,8}
∅
{7,8}
A = {1,2,3}
maka A-B
{3}
{1,2}
{},∅
{1,2}
A
{1,2,3}
Beda setangkup
z
Definisi: Beda setangkup antara himunan A dan B
adalah himpunan yang mengandung tepat semua
unsur yang ada di dalam A atau dalam B, namun
tidak di dalam keduanya.
z
Notasi:
A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A - B) ∪ (B - A)
Diagram Venn:
U
z
A
B
13
Beda setangkup
z
z
z
Contoh 1.15:
{1,2,3} ⊕ {3,4,5} = {1,2,4,5}
{1,2,3} ⊕ { } = {1,2,3}
{1,2,3} ⊕ {1,2,3} = { }
Pasangan terurut (ordered pairs)
z
z
z
Definisi: Pasangan terurut (a,b) adalah
himpunan {{a},{a,b}}
Pasangan terurut (a,b) bukan himpunan
{a,b}, karena {a,b}={b,a}, namun (a,b) ≠ (b,a),
kecuali a=b.
(a,b) = (x,y) jika dan hanya jika a=x dan b=y.
14
Perkalian Cartesian
z
z
z
Definisi: Perkalian kartesian himpunan A dan
himpunan B sebagai himpunan dari semua
pasangan terurut (a,b) dimana a dalam A dan b
dalam B.
Notasi : A x B = {(a,b) | a ∈ A dan b ∈ B}
Contoh 1.16:
–
–
–
Bila A = {1,2} dan B = {2,3,4}, maka
A x B = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)}
A x B ≠ B x A, kecuali A = B, atau A = {} atau B = {}
Perampatan operasi himpunan
z
Misalkan A1, A2, A3,… , An, merupakan
himpunan, maka:
n
A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ...... ∩ An =
∩A
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ...... ∪ An =
∪A
A1 × A2 × A3 × ...... × An =
i =1
n
i =1
i
i
n
×A
i =1
A1 ⊕ A2 ⊕ A3 ⊕ ...... ⊕ An =
i
n
⊕A
i =1
i
15
Prinsip inklusi dan eksklusi
z
Sifat-sifat kardinalitas:
–
|P ∪ Q| ≤ |P| + |Q|
|P ∩ Q| ≤ min(|P|,|Q|)
|P ⊕ Q| = |P| + |Q| - 2|P ∩ Q|
|P - Q| ≥ |P| - |Q|
–
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
–
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C||B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
–
–
–
Prinsip inklusi dan eksklusi
z
Secara umum untuk himpunan A1, A2, … , Ar,
dengan prinsip inklusi dan eksklusi diperoleh:
| A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ar |=
∑| A | − ∑| A
i
1≤i ≤ r
+
∑| A
i
i
∩ Aj |
1≤ i < j ≤ r
∩ A j ∩ Ak | + ... + (−1) r −1 | A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Ar |
1≤i < j < k ≤ r
z
Contoh
16
Himpunan ganda
z
z
z
z
Himpunan ganda adalah: suatu kumpulan bendabenda yang tidak harus berbeda.
Contoh: {a,a,a,b,b,c}, {a,a,a,a}, {a,b,c}
Multiplisitas suatu unsur didalam sebuah himpunan
ganda didefinisikan sebagai berapa kali unsur
bersangkutan muncul di dalam multihimpunan
tersebut.
Misal, multiplisitas unsur a di dalam himpunan ganda
{a,a,a,c,d,d} adalah 3, multiplisitas unsur b = 0, dan
multiplisitas unsur c = 1.
Himpunan ganda
z
z
Misal, A = {a,a,a,c,d,d} dan B = {a,a,b,c,c}
maka:
–
–
–
–
z
A ∪ B = {a,a,a,b,c,c,d,d}
A ∩ B = {a,a,c}
A – B = {a,d,d}
A + B = {a,a,a,a,a,b,c,c,c,d,d}
Contoh:
17
Terima Kasih
18