PERSAMAAN KUADRAT Pengertian Persamaan Kuadrat Bentuk Umum Persamaan Kuadrat ax2 + bx + c = 0 Koefisien x2 Dimana a, b, c є R dan a ≠ 0. konstanta Koefisien x Bentuk Lain Persamaan Kuadrat : (jika b = 0) disebut Persamaan Kuadrat Sempurna : ax2 + c = 0 (jika c = 0) disebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap : ax2 + bx = 0 Dengan demikian persamaan kuadrat adalah persamaan berderajat dua dalam x Cara- cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat a. Memfaktorkan untuk bentuk ax2 + bx + c = 0), maka kalian harus menentukan dua buah bilangan yang jumlahnya b dan hasil kalinya c b. Melengkapkan kuadrat sempurna ialah mengubah suatu bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Misalnya x2 – 2x diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna x2 – 2x + 1 = (x - 1) c. Menggunakan rumus kuadrat x1,2 = -b ± √ b2 – 4 Dengan b2 – 4ac ≥ 2a Nilai diskriminan (D) Jika b2 – 4ac < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki penyelesaian Jika b2 Jika b2 – 4ac = 0 maka persamaan kuadrat memiliki tepat satu penyelesaian Jika b2 – 4ac > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian Menyusun Persamaan Kuadrat Untuk akar-akar sebuah persamaan yang telah diketahui. (x - x1) (x – x2) = 0 Memakai faktor : Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar Diperoleh dari penjumlahan dan perkalian rumus abc x1 + x2 = -b + √ b2 – 4ac + - b - √ b2 – 4ac 2a 2a = -2b 2a = -b a x 1 x x2 = -b + √ b2 – 4ac x - b - √ b2 – 4ac 2a 2a = b2 – (b2 – 4 ac) 4a2 = 4ac 4a2 = c a Sehingga dapat dinyatakan x2 – (x1 + x2) x + x1.x2 = 0 Contoh 1 : ☺ Bagaimana merubah persamaan 2x2 = 3x - 8 ke dalam bentuk umum??? Penyelesaian : 2x2 = 3x – 8 <=> 2x2 - 3x = 3x-3x -8 (kedua ruas dikurangi 3x) <=> 2x2 – 3x = -8 <=> 2x2 - 3x + 8 = -8 + 8 (kedua ruas ditambah 8) <=> 2x2 – 3x + 8 = 0 Jadi a = 2, b = - 3 dan c = 8 Contoh 2 : Cara memfaktorkan Contoh : x2 – 5 x + 6 = 0 <=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0 <=> x- 2 = 0 atau x - 3 = 0 <=> x = 2 atau x = 3 Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3} Contoh 3 Cara Melengkapakan Kuadrat Contoh : Jawab Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x2 + 2x – 15 = 0 ! : x2 + 2x – 15 = 0 x2 + 2x = 15 Agar x2 + 2x menjadii bentuk kuadrat sempurna, harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien x + (½ x 2)2 = 12 = 1 Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh : x2 + 2x + 1 = 15 + 1 <=> (x + 1)2 = 16 <=> x + 1 = ± √16 <=> x + 1 = ± 4 <=> x + 1 = 4 atau x + 1 = -4 <=> x = 4 - 1 atau x = -4 -1 <=> x = 3 atau x = -5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5} Contoh 4 a. Menggunakan rumus kuadrat Menentukan himpunan penyelesaian persamaan x2 + 4x – 12 = 0 a =1 b = 4 c = -12 penyelesaian x1,2 = - b ± √b2 – 4ac 2a <=> x1,2 = - 4 ± √42 – 4 x 1x (-12) 2x1 <=> x1,2 = - 4 ± √16 + 48 2 <=> x1,2 = - 4 ± √64 2 <=> x1,2 = - 4 ± 8 2 <=> x1,2 = - 4 + 8 atau x1,2 = - 4 - 8 2 2 <=> x1 = 2 atau x2 = -6 jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2} Contoh 5 : Bagaimana menetukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5??? Cara 1 : x1 = 2 dan x2 = 5 Maka (x-x1) (x-x2) = 0 <=> (x-2) (x-5) = 0 <=> x2 – 7x + 10 = 0 Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0 Cara 2 : x1 = 2 dan x2 = 5 Maka x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0 Dengan (x1 + x2) = 2 + 5 = 7 x1. x2 = 2.5 = 10 Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0 Contoh 6 : penerapan Persamaan Kuadrat Luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yaitu 4.320 m2. Jika panjang tanah itu 12m lebih panjang daripada lebarnya, berapakah panjang dan lebar tanah tersebut? Penyelesaian : Misalnya panjang tanah x meter dan lebar 4 meter maka Y = ( x- 12) meter Luas tanah = x . y 4.320 =x.y <=> 4.320 = x . (x-12) <=> x2 – 12x – 4320 = 0 <=> (x- 72) (x + 60) = 0 <=> x - 72 = 0 atau x + 60 = 0 <=> x = 72 atau x = - 60 karena panjang tanah harus positif, nilai yang memenuhi adalah x = 72. Untuk x = 72 maka y = x – 12 = 72 – 12 = 60 Jadi, panjang tanah adalah 72 meter dan lebar tanah adalah 60 meter. LATIHAN ☺ Nyatakan persamaan 2 (x2 + 1) = x (x + 3) ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat ! ☺ Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat 2x 2 – 5x – 3 = 0, jika x є R! ☺ Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya adalah 3 dan 0 ! ☺ Jumlah dua bilangan cacah adalah 12. jika hasil kali dua bilangan itu 35. Tentukan kedua bilangan cacah yang dimaksud ! Pemyelesaian 1) 2 (x2 + 1) = x (x + 3) <=> 2x2 + 2 = x2 + 3x <=> 2x2 – x2 + 2 = x2 – x2 + 3x (kedua ruas dikurangi x2) <=> x2 + 2 = 3x <=> x2 – 3x + 2 = 3x – 3x (kedua ruas dikurangi 3x) <=> x2 – 3x + 2 = 0 Jadi, a = 1, b = -3, dan c = 2 2) Dua bilangan yang jumlahnya -5 Dan hasil kalinya 2 x (-3) = -6 adalah 1 dan -6 sehingga diperoleh 2x2 – 5x – 3 = 0 <=> (2x + 1) (2x – 6) = 0 <=> 2x + 1 = 0 atau 2x – 6 = 0 <=> x = - 1 atau x = 3 2 Jadi HP = {- 1, 3} 2 3) dengan cara memfaktor x1 = 3 dan x2 = 0 (x - x1) (x – x2) = 0 (x – 3) (x-0) = 0 x (x – 3) = 0 x2 – 3x = 0 Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah x2 – 3x = 0 4) Misalkan kedua bilangan itu x dan y maka x + y = 12 Dan xy = 35. Oleh karena itu, kita peroleh persamaan berikut : x (12 – x) = 35 (karena y = 12 – x) <=> 12x – x2 = 35 <=> x2 – 12 = -35 <=> x2 – 12x 36 = -35 +36 <=> (x – 6)2 = 1 <=> x – 6 = ±1 <=> x - 6 = 1 atau x – 6 = -1 <=> x = 1 = 6 atau x = -1 + 6 <=> x = 7 atau x = 5 jika x = 7 maka y = 12 - 7 = 5 jika x = 5 maka y = 12 – 5 = 7 jadi, kedua bilangan yang dimaksud adalah 5 dan 7