Bab I Matematika I

BAB I
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
1. Bentuk Pangkat Positif, Negatif Dan Nol
2. Bentuk Akar Dan Pangkat Pecahan
3. Penjumlahan, Pengurangan Dan Perkalian Bentuk Akar
4. Merasionalkan Bentuk Akar
5. Mengubah Bentuk Pangkat Ke Bentuk Logaritma Dan Sebaliknya
6. Menentukan nilai logaritma dengan grafik, tabel dan kalkulator
7. Sifat- Sifat Logaritma Dan Penggunaan Dalam Perhitungan Aljabar.
1
LEMBAR KERJA SISWA 1
Mata Pelajaran
: Matematika
Uraian Materi pelajaran : Bentuk pangkat positif, negatif dan nol
Kelas/Semester
: X / Gasal
Waktu
: 3 x 45 menit
___________________________________________________________
MATERI :
1. PANGKAT BULAT POSITIF
Proses perkalian bilangan berulang dapat ditulis sebagai :
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35
35
disebut bilangan berpangkat
3
disebut bilangan pokok
5
disebut pangkat
Untuk aR, dan n bulat positif maka
An = a x a x a x … x a
Sebanyak n faktor
Latihan 1.
1. Tuliskan perkalian berulang dengan notasi pangkat !
a. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = ….
b. a x a x a x a = …..
c. 3 x 3 x y x y x y = ……
2. Tuliskan tanpa menggunakan pangkat !
a. (-1)3
= ….
b. 4 p3
= ….
c. 32 + 53 = ….
d. (2m) 3 = ….
2
Sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif
1. Tentukan hasil perkalian bilangan pangkat
a. 34 x 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3… = 3…+…
4 faktor
5 faktor
b. a4 x a 3 = a x … x a x a x….. = a x a x …… x a = a
… faktor …faktor
…faktor
…
= a …+…
Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas ?
am x an =
a …+…
2. Tentukan hasil pembagian bilangan berpangkat :
a.
35

32
=
3 x …x…x…x….
 = 3 …
….. x 3
35
 = 3… = 3 …+…
32
b.
p7
 =
p5
px…x…x…
 = p …
p x …..
xp
p7

p5
p… = p
=
…-…
Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas ?
am
 = a …-…
an
3. Tentukan hasil perpangkatan bilangan berpangkat !
a. (23)2 = 23 x 23 = (2 x … x …) x ( 2 x … x …) = 2 …
(23) 2
= 2 … = 2 …x…
3
b.
(a2)5
a2 x a2 x … x … x …
=  =
5 faktor
(axa) x (axa) x …. x….x (axa)

… faktor
a x a x a x… x … x … x a

…. faktor
=
= a…
(a2)5 = a … = a … x …
Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas?
(am)n = a …x…
4. Tentukan hasil perpangkatan pada perkalian bilangan.
a. (4 x 3)3 = (4 x 3) x (… x …) x (… x…)
= (4 x … x … ) x (3 x … x …) = 4 … x 3…
b. (a x b)4 = (a x b) x ( … x …) x (… x …) x (a x b)
= (a x … x … x … ) x (b x … x … x … )
=a
…
x b…
Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas?
( a x b )n
= …. … x … …
5. Tentukan perpangkatan dari hasil bagi dua bilangan
a. (2/3)3 =
b. (a/b) 4
2x…x…
2…
(2/3) x (….) x ( …) =   = 
3 x…x…
3…
a x… x… x…
a…
= (a/b) x (….) x ( ….) x ( ….) =  = 
b x… x…x…
b…
Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas?
a n

=
b
a…

b…
4
Dari
hasil nomor 2 (a – b) di atas ditemukan sifat-sifat bilangan
berpangkat bulat positif, untuk a,b bilangan real dan m,n bulat positif
maka berlaku sifat :
1. am x an
= …
2. am : an
=…
3. (am)n
= ….
4. ( a x b )n
=…
5. ( a/b )n
= ….
2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL
Perhatikan sifat am : a n = a m – n dan definisi bilangan berpangkat :
a n = a x a x a x ………. x a

n faktor
Perhatikan hasil pembagian bilangan berpangkat
a 3 : a5
1. dengan menggunakan definisi perpangkatan :
a3
axax…
1
1
 =  =  = 
a5
a x .. x …x…x…
ax…
a…
2. dengan menggunakan rumus :
a3

a5
= (a) … - … = a …
1
Dari 1 dan 2 didapat
a
–n
1
= 
a…
dan
an
= 
a –n
Jika m = n maka :
a. dengan menggunakan rumus a m : a n = a … - …
= a
am
an
 =  = ….
an
…
b. dengan definisi pangkat
5
…
Kesimpulan apa yang dapat diambil ?
a
…
= ….
Latihan 3.
1. Tuliskan dalam bentuk pangkat positif.
a. 2-6
b. 3-5
c. 4/(2)-3
d. a-2. b-3
e. 1/3. a3 . b–4
f. 7. p-5. q2
g. a2 . b-3
a-1. b5
h. (2.y-2.z)-4
i.
a2
-----2.b-3
-2
2. Hitunglah :
a. 3 –2
b. 1/(5–2)
c. (1/2)-3
d. 3/(2–2)
e. 25 x 5-3
f. 3–2 x 4–2
g. (5-1)/2
h. 8 x 4–2
i. 5-4 x 2-1
j. (0,2) –4
6
LEMBAR KERJA SISWA 2
Mata Pelajaran
: Matematika
Uraian Materi Pelajaran : Bentuk akar dan pangkat pecahan
Kelas/Semester
: X / Gasal
Waktu
: 3 x 45 menit
MATERI :
1. PENGERTIAN BENTUK AKAR
a. Diketahui sebuah segitiga siku-siku ABC , panjang sisi AB = 1, BC=1
(lihat gambar)
A
Dengan menggunakan rumus phitagoras
dapat dihitung panjang sisi miring (AC)
(AC)2 = (AB) 2 + (BC) 2
= 1 2 + 12
B
C
=
2
panjang sisi AC dinyatakan dalam bentuk akar 2 = 1,414213562
...... (dengan kalkulator)
b. Hitung nilai dari suatu pecahan 1/3.
1/3 = 0,333333….. ( dgn kalkulator)
Dari kasus kedua di atas dapat dilihat bahwa bentuk pecahan 1/3 dan
bentuk akar 2 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan berulang.
1/3 = 0,33333………. (angka 3 dibelakang koma selalu berulang)
2 = 1,414213562 …(tidak dapat dinyatakan dalam bentuk desimal
berulang).
Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal
berulang disebut bilangan rasional, bilangan yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal berulang disebut bilangan
irrasional.
7
Berilah contoh –contoh bilangan rasional dan bilangan irrasional.
Bilangan rasional
: …..
Bilangan irrasional
: ….
Perhatikan . 3 = 1,732050808… (tak berulang dan tak terbatas)
4 = 2
4 disebut bilangan rasional dan bukan bentuk akar dan 3 bilangan
irrasional dan disebut bentuk akar.
Jadi bentuk akar merupakan akar dari suatu bilangan riil positif yang
hasilnya bukan merupakan bilangan rasional.
Latihan 1.
No
Bilangan
Bentuk akar
Ya atau Tidak
Alasan
8
9
 16
 18
 25
 27
 45
 50
 269
 (16/25)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR
Untuk setiap a,b bilangan bulat positif maka berlaku :
a. (axb) = a x b
dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam
bentuk kuadrat
b.
a

b
a
b
a0 , b0
Untuk memudahkan penggunaan bentuk akar dalam operasi aljabar
maka bentuk akar dituliskan dalam bentuk akar yang paling
sederhana.
8
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut !
1. 12 = (3x4) = 4 x 3 = 2x3 = 23
2. 8a2 = ( 4 x 2 x a2 x a ) = 4a2 x 2a = 2a2a
Latihan 2.
Sederhanakan bentuk akar berikut !
1. 24
2. 45
3. 12
4. 9a3
5. 20p2
6. 125
7. 0,48
8. a6.b2.c3
10. 1/27
11. 50 a2b2
a 2 .b 2
9.
a.b 4
81r 
2
12.
9r
3. MENYATAKAN BILANGAN PANGKAT PECAHAN DALAM BENTUK
AKAR DAN SEBALIKNYA
Definisi dan sifat-sifat bentuk pangkat pecahan.
a. 2
= 2a
(2) 2
= (2a) 2
kedua ruas dipangkatkan
gunakan sifat (am)n = a mxn
2
=
22a
21
=
22a
(2 = 21)

1 = 2a

a = ½
jadi :
2 = 21/2
Beberapa konsep
1. a
= a1/2
2. 3
= a1/3
3. 7a
= a1/ 7
4. dan seterusnya dan didapat
dari
na
= a1/n
maka
na
= a1/n
nam
= (am)1/n
9
= (a)mx1/ n
= (a)m / n
n
am
dengan
= a m/n
a  0 , m , n bilangan bulat positif
Ingat! Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan pangkat bulat positif
berlaku juga pada bilangan pangkat pecahan.
1. am x a n
= am+n
2. am : a n
= am-n
3. (am) n
= amn
4. (a x b) n
= an . b n
5. (a/b) n
= an / bn
6. a-n
= 1 / an
Contoh :
Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya.
1. 3y2
= (y2) 1/ 3 = (y2.1/ 3 ) = y2/ 3
2. 5a.b
= (a.b) … = a…x b…
3. 3a.4b
= a …x b …
4. 122/3
= (12 2) …
= 3 12…
5. 2. a2/ 3. b1/ 3 = 2. ….x……
Latihan 3.
I. Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat !
1. 5
2. 316
3. 5p4
4. (3xy)5
5. 76. 67
6. 2 -3
7. 21/a
8. 3x .4x3
II. Ubah bentuk pangkat menjadi bentuk akar !
1. 71/ 2
2. 122/ 3
5. 2.a2 /3.b1/ 3 6. (m2.n2)5/ 3
10
3. a-3/ 2
4. x1/2 . y1/ 2
7. 1/7
8. 1/a-3
III. Dengan menggunakan sifat-sifat pada pangkat pecahan sederhanakan
operasi-operasi aljabar berikut !
1. 21/3 x 21/5
2. a2/ 3 : a7/ 3
3. (32/ 3)3/ 4
4. (27)-2/3
5. (2 x 3)3/4
6. (0,25)0,5 + (0,04) 0,5
7. 2x16-1/ 2 + 27 4/ 3 – 3x16 0
8. (27) -2/ 3 + 5 2/ 3x 51/ 3
9. Jika p = 8 , q = 4 dan r = 9 hitung 3p-1/ 3 q2 r -3/ 2
10. Jika p = 8 dan q = 9 hitung 2p-1/ 2 + q 4/ 3 – 3p 0
11
LEMBAR KERJA SISWA 3
Mata Pelajaran
Uraian Materi Pelajaran
: Matematika
: Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian
Bentuk Akar
Kelas/Semester
: X / Gasal
Waktu
: 2 x 45 menit
___________________________________________________________
MATERI :
1. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK AKAR
Sifat !
a.b + a.c = ( b + c ) a
a.b – ac = ( b – c ) a
3a + 2b = tidak dapat dijumlahkan karena peubah a
dan b tidak sejenis
begitu pula dengan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar.
Bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangi jika sejenis.
Kedua sifat ini berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan
bentuk akar.
ac + bc = ( a + b ) c
ac - bc = ( a – b ) c
Contoh :
1. 37 + 27 = ( 3 + 2 ) 7 = 5 7
2. 43 - 3 = ( 4 - … ) 3 = …3
3. 18 - 8 = (…x 2 ) - (…x 2) = …2 - …2 = (… - …)2 = ……
4. 75 -25 + 5 = ( … - … + … ) 5 = ……
5. 2 + 3 - 52 + 23 = (2 - …2) + (3 + …3) = ….2 + …3
( tidak dapat dijumlahkan kenapa? )
Latihan 1.
Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut !
a. 53 + 3
12
b. 35 + 55 - 25
c. 63 + 7 - 28
d. 125 - 45 + 20
e. (9/2) 3 + (1/2) 27
2. PERKALIAN BENTUK AKAR
Pada sifat bentuk akar berlaku (a x b) = a x b , dengan a , b  0
Contoh :
1. 2 x 3 = (2x3) = 6
2. 32 x 53 = (3 x 5) (2x3) = 156
3. 8 x 10 = (8x10) = 80 = (16x5) = 16 x 5 = 45
Rumus- rumus aljabar seperti :
1. a ( b + c ) = a.b + a.c
2. ( a + b ) 2 = a2 + 2 ….. + b2
3. ( a – b ) 2 = … - 2 …. + ….
4. (a + b) ( a – b) = a2 - b2
5. (a + b) (c + d) = a.c + … + ….+ b.d
Contoh :
1.3 (2 + 23)=(3x2) + 3x23 = (3x2) + 2x3x3 = 6 +2.3= 6 6
2. (2 + 1) 2 = (2) 2 + 2x ….x1 +12 = … + 2 … + … +… + … ( rms. 2 )
3. (3 – 2) (3 + 2) = (3) 2 – 22 = …. – …. = ……
(rms 4)
4. (5+4) (3+2) = 5 x3 +…3 + …5 + 4x2 = … +... +… + 8 (rms.5)
Latihan 2.
Sederhanakan !
1. 8 (2 + 3)
2. (3 - 5 )2
3. (32 + 1 ) 2
4. (23 + 2 ) (23 -2)
13
5. (2 +3) (2 – 5)
6. ( 312 –2) 2
7. (23 - 46)(22 + 36)
8. 5 (2- 32) 2
14
LEMBAR KERJA SISWA 4
Mata pelajaran
: Matematika
Uraian Materi Pelajaran
: Merasionalkan bentuk akar
Kelas/Semester
: X / Gasal
Waktu
: 2 x 45 menit
__________________________________________________________
MATERI :
A. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK
a
b
2 = 1,4142….. jika dihitung dengan menggunakan kalkulator.
Bagaimana jika membagi sebuah bilangan dengan 2 ?
Contoh :
2
2

2
(perhitungan seperti ini sulit jika tidak menggunakan
1,4142
kalkulator)
Untuk memudahkan perhitungan ada cara yang mudah yaitu dengan
merasionalkan penyebut, contohnya :
2
2

2
2
.
2
2

2 2
 2
2
Merasionalkan bentuk
a

b
a
b
=  x  =
b
b
a
b
, dengan b> 0 (ingat sifat a x a = a)
ab
 =
b
a
 b
b
Contoh : Rasionalkan penyebut bentuk pecahan berikut !
3
3
x  = 
3
3
1).
1

3
1
= 
3
2).
2

8
2
…
2…
=  x  = 
8
…
….
15
3.
10

22
10
…
10 x …
….
=  x  =  = 
22 2
….
….
Latihan 1.
a.
8

2
b.
3

53
c. 52

25
d.
33

12
e.
c
B. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK 
a  b
4

53
c
DAN 
a  b
Perlu diingat kembali bahwa ( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2
( a – b ) ( a + b) = a2 – b2
( a – b ) disebut kawan dari ( a + b )
( a + b ) disebut kawan dari ( a – b )
Hasil kali dari pasangan sekawan selalu menghasilkan bilangan
rasional.
Perhatikan perkalian dari :
( a + b ) ( a – b )
= a2 - (b) 2
= a2 – b
(a + b) (a – b )
= (a) 2 - (b) 2
= a–b
Terlihat di atas ( a + b ) sekawan dengan ( a - b )
(a + b ) sekawan dengan (a - b )
Contoh : tentukan sekawan dari
1. 1 + 5
sekawannya
1 - 5
2. 3 – 8
sekawannya
……..
3. 4 + 7
sekawannya
……..
4. 2 - 6
sekawannya
.…….
5. 23 + 1
sekawannya
……..
16
berikan alasannya!
sekawannya
…….
7. 36 + 2 sekawannya
…….
6. 1 - 53
8. 25 - 3 sekawannya
…….
Merasionalkan penyebut yang bentuk akarnya berupa jumlah atau
selisih dari dua bilangan adalah dengan mengalikan baik pembilang
dan penyebut dengan pasangan bentuk sekawan.
Contoh :
1. 10
10
4 + 6 10 ( 4 + 6 ) 10 ( 4 + 6 ) 10 ( 4 + 6 )
 =  x  =  =  = 
4+ 6 4 + 6 4 + 6 (4)2 – (6) 2
16 – 6
10
2. 2 + 5
2 + 5
2 + 5 ( 2 + 5 ) 2
22+ 2x2x5 + (5) 2
 =  x  =  =  =
2 - 5
2 - 5
2 +5 (2) 2 – (5) 2
4–5
4 + 45 + 5
 =
-1
3.
4.
9 + 45
 = -9 - 45
-1
5
5
…. + …. 5 ( … + ….)
( …. + ….)
…..
 =  x  =  =  = 
6 + 7 6 + 7 6 - 7
( … ) 2 – ( …)2
… - …..
…….
3
3
3 – 2 3 ( … - ….) 3 ( … - …)
 =  x  =  =  =  = ...
3 + 2 3 + 2 … - … ( …)2 – ( … ) 2
…-…
…..
Latihan 2.
Rasionalkan bentuk akar di bawah ini.
1.
3

2 + 5
2.
2

3 – 1
3.
17
7

5 + 32
4.
5

6 - 7
5.
5

5 - 6
6
p
q
7. Hitunglah p + q ; p – q ; p x q ;  ;  jika :
q
p
a.
4
p = 
3 + 2
b.
1
p =  dan
2 + 3
c.
2
p = 
2+2
dan
dan
9
q = 
2
1
q = 
2 - 3
-2
q = 
2 + 2
18
5 – 2

5 + 2
LEMBAR KERJA SISWA 5
Mata pelajaran
Uraian Materi Pelajaran
: Matematika
: Mengubah bentuk pangkat ke bentuk
logaritma dan sebaliknya
Kelas / semester
: X / Gasal
Waktu
: 2 x 45 menit
___________________________________________________________
MATERI :
1. MENGUBAH BENTUK PANGKAT KE BENTUK LOGARITMA DAN
SEBALIKNYA.
Pada pembahasan yang lalu, anda diminta untuk menentukan nilai-nilai
bilangan berpangkat, misalnya :
22
= 4
32
= 9
3-1
= 1/3
51/2
= 5
Sekarang bagaimana menentukan pangkatnya jika bilangan pokok dan
hasil perpangkatannya diketahui ?
2 … = 16
5 … = 25
10 … = 100
16 … = 4
Masalah di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan notasi
logaritma
2 … = 16 ditulis
5 … = 25 ditulis
16…= 4 ditulis
2log
16 = …. 2 log 16 = 4 karena 24 = 16
25 = …  5 log 25 = 2 karena 52 = 25
16log 4
= …  16log 4 = ½ karena 161/2 = 4
5log
dari permasalahan tersebut terlihat ada hubungan antara perpangkatan
dengan logaritma, yaitu logaritma adalah invers dari perpangkatan.
a
log c = b jika dan hanya jika a b = c
a = bilangan pokok dengan syarat a  0 dan a  1
c = numerus ( bilangan yang dicari logaritmanya ) syarat c  0
b = hasil logaritma , syarat bias positif atau negatif atau nol
19
Contoh : tuliskan dalam bentuk logaritma pada bilangan berpangkat
dan sebaliknya.
35
42
5-2
72
51/2
1.
2.
3.
4.
5.
= 234
= 16
= 1/25
= 49
= 5
6. 3 log 81
7. b. 2 log 16
8. c. 3 log 27
9. log 1000
10. 5 log 1/5





=
=
=
=
=
4
4
3
3
-1
3 log
234 =
log 16 =
5 log 1/25 =
7 log …
=
5 log …
=
4





34 =
2… =
3… =
…3 =
… -1 =
5
2
-2
…
….
81
16
….
…
.....
Latihan 1
Tuliskan dalam bentuk logaritma pada bilangan berpangkat dan
sebaliknya
1. 30
=1
2. 2 n
=8
3. a2/ 5
=4
4. 9-1/ 2
= 1/3
5.
5
log 1/125 = -3
6.
2
log 6 = x
7.
a
log ¼ = -2
8.3 log 3 = ½
2. MENGHITUNG NILAI LOGARITMA
a. 3log 27 = x  ubah ke bentuk pangkat 3 x = 27 maka x = 3
jadi 3 log 27 = 3
b.
log 5 = y
 ubah ke bentuk pangkat 5 y = 5 maka y = 1
5
jadi log 5 = 1
5
20
Latihan 2
Tentukan nilai :
1.
4
log 2
= ….
2.
2
log ½
= ….
3. log 10.000 = …
4.
4
log 64
= …
5 . 5 log 125 = …
6. ½ log 1/8
= …
= …
7.
3
log 81
8.
3
log 1/9 = …
9. log 100
= …
10. 4 log ¼
= …
11. 3 log 3 = …
12. 7 log 49 = ….
13.
81
log 9 = ….
14.
½
log 4
15.
6 log
= ….
36 = ….
21
LEMBAR KERJA SISWA 6
Mata Pelajaran
Uraian Materi Pelajaran
: Matematika
: Menentukan nilai logaritma dengan grafik,
tabel dan kalkulator
Kelas/Semester
: X / Gasal
Waktu
: 2 x 45 menit
___________________________________________________________
MATERI :
I. MENENTUKAN NILAI LOGARITMA
Anda telah mempelajari dan memahami LKS 5, telah dibahas beberapa
contoh dan latihan menentukan bilangan–bilangan logaritma yang bias
langsung ditentukan nilainya, karena bilangan tersebut merupakan hasil
dari perpangkatan dari bilangan pokoknya. Seperti :
2log
4 = 2 sebab 4 = 22
3log81
= 4 sebab 81 = 34
Bagaimana jika kita menghitung nilai 2log 7 = x ?
Terlihat bahwa bilangan 7 tidak bias diperoleh secara langsung dari 2x.
Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai x
tersebut, yaitu :
a. dengan menggunakan grafik y = a x , a  1 atau 0  a  1
b. dengan menggunakan tabel
c. dengan menggunakan kalkulator
1. Menentukan nilai logaritma dengan menggunakan grafik y = a x ,
dengan a  1 atau 0  a  1
Contoh : tentukan nilai
2
log 6 dengan menggunakan grafik !
Langkah-langkah :
1. Menentukan grafik yang akan digunakan
2
log 6 = x

2x = 6
sehingga grafik yang digunakan y = 2 x
2. Membuat tabel yang menyatakan hubungan x dan y = 2 x
22
Tabel hubungan x dan y
X
0
x
Y= 2
1
( x , 2x )
( 0,1 )
1
2
( 1,2 )
2
4
( 2,4 )
3
8
( 3,8 )
4
16
( 4,16)
3. melukis grafik y = 2 x
4. lihat bilangan 6 pada sumbu y, tarik garis sejajar sumbu x hingga
memotong grafik.
5. pada titik perpotongan tarik garis sejajar sumbu y sehingga memotong
sumbu x
6. titik perpotongan dengan garis sejajar sumbu y pada sumbu x adalah
hasil dari
2
log 6 yaitu 2, …
jadi 2log 6 = 2, …
( pembulatan satu desimal)
Gambar grafik :
23
Latihan 1
1. Lukis pada kertas millimeter grafik y = 2 x untuk menentukan nilai
a. 2 log 3
b. 2 log 5
d. 2 log ½
c. 2 log 7
2. Lukis pada kertas millimeter grafik y = 3 x untuk menentukan nilai
a. 3 log 5
b. 3 log 7
c. 3 log 9
d. 3 log 12
2a. Menentukan nilai logaritma bilangan antara 1 dan 10 dengan
menggunakan tabel
Tabel logaritma menyajikan logaritma dengan bilangan pokok 10 dan
e (logaritma natural yang disingkat dengan ln )
Pada tabel kita hanya dapat menentukan nilai logaritma dengan
bilangan pokok 10, sedang untuk bilangan pokok lain dapat ditentukan
dengan menggunakan sifat-sifat logaritma. Logaritma dengan pokok
10 , misalnya 10 log x , dapat ditulis log x.
Pada tabel logaritma disajikan nilai-nilai logaritma untuk bilangan 1
sampai 10, dapat dilihat langsung nilai yang dimaksud.
Misalnya: log 1,03
= 0,0128 (lihat tabel )
log 2,04
= 0,3096
log 6,25
= 0,7959
Keterangan tabel :
1. kolom N memuat bilangan logaritma antara 1 sampai 10
2. Kolom 0 sampai 9 memuat mantis yaitu bagian desimal yang
menyatakan hasil logaritma suatu bilangan dengan pokok 10
Contoh
1.
log 1,03 = 0,0128

karakteristik
mantis
karakteristiknya adalah 0, yaitu bilangan yang dilogaritmakan
terletak antara 1-10
24
mantisnya adalah
0128, yaitu bagian desimal hasil logaritma
dengan pokok 10
2.
log 25,3 = 1,4031
karakteristiknya adalah 1, yaitu bilangan yang dilogaritmakan
terletak antara 1-100
mantisnya adalah 4031
2b. Menentukan nilai logaritma dengan menggunakan kalkulator.
Kalkulator yang kita butuhkan dalam menghitung nilai logaritma
adalah kalkulator yang mempunyai fasilitas log. Langkah-langkahnya
tergantung pada type kalkulatornya.
Coba anda sebutkan langkah-langkah dalam menentukan nilai
logaritma dengan kalkulator sesuai type kalkulator yang anda punya.
1. ...
2. ...
3. ...
4. ...
Latihan 2
1. Tentukan nilai logaritma berikut dengan menggunakan tabel.
a. log 7,75 b. log 5,58
c. log 8,66
d. log 3,49
e. log 9,17
f. log 20,5 g. log 75,2
h. log 62,9
i. Log 123
j. log 350
2.Tentukan nilai logaritma berikut dengan kalkulator.
a. log 1,79 b. log 4,57
c. log 8,65
d. log 12,6
e. log 80,1 f. log 325
g. log 675
h. log 930
25
II. MENENTUKAN ANTILOGARITMA SUATU BILANGAN
Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan Antara 0 dan 10 Dengan
Tabel.
Antilogaritma merupakan kebalikan dari logaritma yaitu menentukan
bilangan bila diketahui nilai logaritmanya.
Contoh tentukan nilai x dari logaritma berikut :
1. log x = 0,2718
log x = 0,2718 maka x = antilog 0,2718
caranya dengan tabel logaritma ( lihat dan simak tabel log ) cari
bilangan 2718 dalam tabel log , yaitu terletak pada kolom
7,
kemudian telusuri ke kiri pada baris sampai kolom N , diperoleh
angka 1.8 maka bilangan tersebut adalah 1,87.
Jadi antilog 0,2718 = 1,87
2. log x = 0,3538
log x = 0,3538 maka x = antilog 0,3538
caranya dapat digunakan tabel antilog (lihat dan simak tabel antilog)
cari bilangan 0,35 ( pada tabel 35 ) pada kolom x tabel antilog.
Telusuri baris ke kanan sampai kolom 3, didapat angka
2254,
kemudian pada baris telusuri lagi ke kanan sampai kolom 8 (pada
kolom tambahan) kita dapatkan angka 4, selanjutnya angka pada
kolom 3 dan angka pada kolom 8 (kolom tambahan) dijumlahkan
sehingga 2254 + 4 = 2258.
Karena karakteristik logaritma di atas adalah 0, maka bilangannya
terletak antara 1 sampai 10 .
Jadi antilog 0,3538 = 2,258
3. log x = 1, 2711 maka x = antilog …..
cari bilangan pada tabel (tabel antilog) . 27
telusuri baris ke kanan sampai kolom …. Didapat angka
….. ,
kemudian telusuri lagi pada baris(kolom tambahan) ke kanan sampai
kolom …. Didapat angka ….
26
Kemudian jumlahkan didapat ….. + …. = ……
Karena karakteristik logaritma di atas adalah 1, maka bilangannya
terletak antara 10 sampai 100.
Jadi antilog 1,2711 = …..
Latihan 3
1. Gunakan tabel log untuk menentukan nilai x
a. log x = 0,6990
b.log x = 0,7520
d. log x = 0,9350 e.log x = 1,2923
c. log x = 0,8225
f. log x = 2,4099
2. Gunakan tabel antilog untuk menentukan nilai x
a. log x = 0,4065
b. log x = 0,4771
c. log x = 0,5670
d. log x = 0,3579
e. log x = 0,190
f. log x = 0,7615
3. Dengan menggunakan kalkulator hitung antilog bilangan berikut
a 0,190
b. 0,2711
c .0,3579
d. 0,76
27
LEMBAR KERJA SISWA 7
Mata Pelajaran
Uraian Materi Pelajaran
: Matematika
: Sifat-sifat logaritma dan penggunaan dalam
perhitungan aljabar
Kelas / Semester
: X / Gasal
Waktu
: 3 x 45 menit
___________________________________________________________
MATERI :
Sifat-sifat logaritma yang akan dipelajari banyak digunakan untuk
menentukan logaritma bilangan yang lebih dari 10 atau bilangan-bilangan
antara 0 sampai 10 serta penerapannya dalam hitungan aljabar.
Beberapa sifat-sifat logaritma
1. Sifat :
alog
b=b
Contoh : Sederhanakan logaritma berikut
a)
3
log 2 = 2
c)
z
log y = ...
b)
6
log 7 = ...
d)
2
log 3 = ...
2. Sifat :
jika a, b, c bilangan real positif dan a ≠ 1
a log b x c  a logb  a logc
Contoh : Sederhanakan dengan menggunakan sifat 2
a) 2log 4 + 2log 16 = 2log 4.16
b) 7log 7 + 7log 49 =
7
= 2log 64
log (…x…) = 7log ….
c) log 5 + log 2
= log (…x…)
d) 3log 4 + 3log 2
=
3log(
= log …
…x …) = 3log …
= 6
= …
= ….
= ….
3. Sifat : Jika a,b dan c bilangan real positif, a  1 maka
alog
b
 = alog b - alog c
c
28
Contoh : Sederhanakan dengan menggunakan sifat 3
a. 2log 16 - 2log 4
=
b. 3log 9 - 3log 1/3
2 log
16

4
= 2log 4
= 2
9
= 3log 
…
= 3log ….
= …..
c. 5log 625 - 5log 5
625
= 5log 
….
= …..
= …..
d. log 100 - log 10
….
= log 
….
= log ….
= …..
Latihan 1.
Sederhanakan dengan menggunakan sifat 1, 2 dan 3
1. 6 log 9
2. 2 log 5 + 3 log 7
3. 7 log 9 x 8 log 2
4. 5 log 7 – 6 log 3
5. log 2 + log 6
6.
2log
7.
8
8 + 2log 32
log 32 + 8log 16 + 8log 128
8. log 25 - log 32
9.
3log
7 ½ + 3log 5/6 + 3log (36/25)
10. log 16 + log 25 - log 4
11. 5log 20 + 5log 15 - 5log 12
12. 2log 144 + 2log 125 - 2log 15 - 2log 150
29
4. Sifat : jika b  0 , n bilangan rasional maka
alog
bn = n . alog b
Contoh :
Sederhanakan dengan menggunakan sifat 4
a. 2log 53
= 3. 2log 5
b. log 100
= log 10… = … log 10 = … x 1 = …
c.
3 log
= 3log 3 … = …. 3log 3 = … x 1 = …
d.
1/2log
27
1
 = 1/2 log (1/2)…. = ….x 1/2log ½ = … x …= ...
24
5
…
= log 5 = … x 5log … = …..
2–4 =
e. 5log 1/5
1/2log
5. Sifat : Mengubah bilangan pokok logaritma
clog
alog
b
b = 
clog a
jika a  0 , a  1 , c  0 , c 1
Pada kasus khusus jika c = b
alog
1
b = 
blog a
Contoh : sederhanakan dengan menggunakan sifat 5
a.
2
Log 5 0,699
log 5 =  =  = 2,322
log 2 0,301
log 23
b. 3log 23 = 
log 3
3log 2
3(0,301)
=  = 
0,477
0,477
= 1,893
log 125
log 5 …
c. jika 2log 5 = x maka 4log 125 =  = 
=
log 4
log 2 …
30
…log 5

….log2
(gunakan sifat 5)
….
=  2log … =
….
…
 x
…
6. Sifat : jika a>0, a1, b>0, b1, c>0
alog
b . blog c = alog c
Contoh :
a.
3log7
. 7log 81 = 3log 81 = 3log 3 … = ……
b. xlog 5 . 5log y . ylog x = xlog …. = xlog x
c.
7log
…
= ….
1/5 . 5log 49 = 7log 5 … . 5log 49 = …. 7log 5 . 5log 49
( sifat … )
= …
…log
…..
= ……..
Latihan 2
sederhanakan dengan menggunakan sifat logaritma 4, 5, dan 6
log 81
1. 
log 9
2log
8
2. 
2log 2
3. 343 log 49
31
4. 3log 18 -
1/2log
3
5.
alog
x . xlog b
6.
alog
(1/x) . xlog a
7.
1/5
8.
x
log 7 . 5log 49
log y2

xlog y
7. Sifat :
am log bm =
a
log b
Contoh :
jika 2log 3 = x , tentukan nilai logaritma di bawah dalam x.
1.
8log
27
=
23
2.
4log
9
=
2```
3.
½
log 33
= 2log 3 = x
log 3 … = …. = …..
log 3 … = ….. = ….
log 1/3 =
8. Sifat :
an
log b m = m/n . a log b
Contoh :
2
nyatakan dalam
1. 8log 9
=
2.
16
log 27
=
3.
½
log 3
=
log 3 = a
23
log 32
= 2/3 . 2log 3
24
log 33
= (….)
2...
log 33
= (….) 2log 3
32
2
= 2/3 a
log 3 = …. a
= …. a
Penerapan logaritma dalam perhitungan-perhitungan
1. Penerapan logaritma untuk perkalian dan pembagian bilangan
Digunakan sifat logaritma
a. log (a x b ) = log a + log b
b. log ( a/b ) = log a - log b
Contoh :
1. hitung 38,3 x 82,97 = ….
misal a
log a
= 38,3 x 82,97
= log ( 38,3 x 82,97 )
= log 38,3 + log 82,97
(cari dalam tabel logaritma)
= ( ….. .....) + (... …….)
log a
= …….
a
= antilog …..
a
= ……
(cari dalam tabel antilogaritma)
2. hitung 2,714 : 19,83 = ….
misal a
= 2,714 : 19,83
Log a = log (2,714 : 19,83)
= log 2,714 - log 19,83
( cari dalam table logaritma)
= (……......) - ( …...…..)
log a
= ………
a
= antilog …….
a
= ………..
(cari dalam table antilogaritma)
Latihan 3 A
Selesaikan
bentuk
perkalian
dan
pembagian
bilangan
menggunakan logaritma.
1. 6,74 x 2,95
4. 4,68 : 3,21
2. 0,236 x 0,042
5. 412,6 : 40,85
3. 8,65 x 94,37
6. 0,216 : 1,47
33
dengan
2. Penerapan logaritma untuk perpangkatan dan penarikan akar.
Gunakan sifat :
a. log ab
= b . log a
b. log nab = log a b/n = b/n . log a
Contoh : Hitung nilai
3. ( 23,49 ) 3
= …..
a = ( 23,49 ) 3
Misal
Log a
= log ( 23,49 ) 3
= 3 . log 23,49
= 3 . ( ……..) ( cari dalam table log )
= ……….
a
= antilog ……
= ……
4.
 465,7
= ….
Misal
a =  465,7
(cari dalam table antilog)
log a = log  465,7
= log (465,7 )1/2
= ½ log 465,7
= ½ ( …… )
log a
(cari dalam table log )
= ……….
a
= antilog ……
a
= ………. ( cari dalam table antilog )
Latihan 3B
Selesaikan bentuk perpangkatan dan penarikan akar dengan logaritma.
1. ( 3,18 )3
4.  17,35
2. ( 5,864 )5
5.  53
3. ( 0,875 )10
6. 0,8021
34
Selesaikan dengan menggunakan logaritma.
1)
4230

3,142 x 28
0,015 x 30,19
2) 
20
35