FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK

FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK
BAB I
FUNGSI EKSPONEN
Definisi
Fungsi eksponen adalah fungsi f yang menentukan z ke e z . Rumusnya ialah f(z) = e z .
Fungsi eksponen dengan peubah bebas z =x + yi (x dan y bilangan real) adalah e z = e x
(cos y + i sin y ).
Dari definisi ini, jika :
 y = 0 maka e z = e z merupakan fungsi eksponen real
 x = 0 maka e iy = cos y + i sin y yng kita kenal sebagai rumus Euler dan
kebenaranya dapat diperiksa melalui deret Maclaurin untuk e z , dengan mengganti
z dengan iy.
Turunan fungsi f(z) = e z didapat sebagai berikut :
f(z) = e z = e x ( cos y + i sin y )
bagian real dan imaginer berturut-turut :
 u (x,y) = e x cos y
 v (x,y) = e x sin y
fungsi u, v, u x , u y , v x , v y adalah fungsi yang kontiniu untuk setiap x dan y dan
persamaan Cauchy Rieman dipenuhi dengan demikian diperoleh :
f(z) = u x + i v x
f(z) = e x cos y + i e x sin y , berarti :
d z
e = e z , ada untuk setiap z pada bidang z
dz
Jadi f(z) = e z merupakan fungsi yang menyeluruh . sifat-sifat fungsi eksponen
merupakan teorema-teorema ringan yang boleh dijadikan rumus.
Contoh ;
Tentukan nilai z yang memenuhi persamaan e ( 2 z 10)  1
Jawab :
Misalkan ; z = x + yi  2z – 1 = (2x-1)+2yi
e ( 2 z 1)  1
e ( 2 z 1) ( cos 2y + i sin 2y) + 1 (cos o0 + i sin 00)
Dengan menggunakan kesamaan dua bilangan kompleks dalam bentuk polar, diperoleh :
e 2 x 1 = 1 = e 0
2x – 1 = 0
1
x=
2
FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK
1
cos 2y = cos 00 dan sin 2y = sin 00 didapat y = k  , k bilangan bulat, memenuhi dua
persamaan tersebut. Maka nilai z yang memenuhi persmaan ialah :
z = x + yi
1
z = + k  i, k bilangan bulat
2
BAB II
FUNGSI TRIGONOMETRI
Definisi yang akn diberikan cukup konsisten dengan rumus Euler
e iy = cos y + sin iy
e iy = cos y – i sin y
Dengan menjumlahkan dn mengurangkan kedua rumus tersebut diperoleh :
e iy  e iy
cos y =
2
iy
e  e iy
sin y =
2i
jika z suatu bilangan kompleks, maka cos z dan sin z juga suatu bilangan kompleks,
sehingga didefinisikan ;
Definisi 1
e iy  e iy
2
iy
e  e iy
sin z =
2i
cos z =
fungsi h (z) e iz dan H(z) = e iz masing-masing merupakan fungsi yang menyeluruh.
Dengan demikian kombinasinya (jumlah dan selisih) merupakan fungsi yang menyeluruh.
Dari definisi diperoleh :
f(z) = cos z dan g(z) = sin z
Merupakan fungsi yang menyeluruh atau analitik pada setiap titik dibidang –z
Definisi 2
Empat bentuk fungsi trigonometri lain didefinisikan sebagai berikut ;
sin z
 tan z =
cos z
cos z
 cot z =
sin z
1
 sec z =
cos z
1
 csc z =
sin z
FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK
2
dari definisi tersebut, maka fungsi f1(z) = tan z dan f2(z) = sec z, analitik pada setiap
titik z di bidang z dengan cos z  0, sedangkan fungsi g1(z) = cot z dan g2(z) = csc z,
analitik pada setiap titik z di bidang z, dengan sin z  0.
Contoh :


Jabarkan dan sederhanakan cos   a 
4

Jawab :




cos   a  = cos
cos a – sin
sin a
4
4
4

1
1
=
2 cos a 2 sin a
2
2

 1
cos   a  =
2 (cos a – sin a)
4
 2
BAB III
FUNGSI HYPERBOLIK
Fungsi hyperbolik didefinisikan sebagai kombinasi dari fungsi eksponen, seperti
berikut :
Definisi 1
Fungsi sinus hyperbolik dan cosinus hyperbolik adalah
e z  ez
Sinh z =
2
cosh z =
e z  ez
2
Definisi 2
Empat fungsi hyperbolik lain didefinisikan seperti pada fungsi trigonometri :
sinh z
 tanh z =
cosh z
cosh z
 coth z =
sinh z
1
 sech z =
cosh z
1
 csch z =
sinh z
fungsi f1(z) = tanh z, f2(z) = sech z analitik disetiap titik pada bidang –z kecuali
untuk cosh z = 0, sedangkan fungsi g1(z) = coth z, g2(z) = csch z analitik disetiap titik pada
bidang –z, kecuali sinh z = 0.
FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK
3
Contoh :
Carilah turunan pertama dari fungsi hyperbolik f(x) = sinh (3x)
Jawab :
f(x) = sinh (3x) 
f1 (x) = cosh (3x) . (3)
= 3 cosh (3x)
Jadi f(x) = sinh (3x) maka f1 (x) = cosh (3x)
BAB IV
TEOREMA
A. Teorema I
Beberapa sifat fungsi eksponen
1). e z  0
Bukti :
Dengan kontradiksi, jika z = x + yi, andaikan e z = 0
ex cos y + i ex sin y = 0, berarti e x cos y = 0 dan ex sin y = 0, dari fungsi real telah
diketahui ex > 0, yaitu tidak nol, maka haruslah cos y = 0 dan sin y = 0. tidak ada y
yang bersamaan memenuhi kedua persamaan tersebut. Berarti tak ada z = x + yi,
pengandian salah maka ex  0.
2). e0 = 1
bukti :
e0 = 1
z = x + yi = 0  x = 0 dan y = 0
e0 = e0 (cos 00 + I sin 00)
(terbukti)
3). e z1 .e z2  e z1  z2
Bukti :
Misalkan z1  x1  iy1 dan z 2  x2  iy 2 . Maka :
e z1 .e z2 = e x1 (cos y1  i sin y1 ) . .e z2 (cos y 2  i sin y 2 )
= e z1  z2 cos( y1  y 2 )  i sin( y1  y 2 )
= e ( x1  x2 )( y1  y2 )2
= e ( x1  y1 )i ( x2  y2 )2
(terbukti)
e z1 .e z2 = e z1  z2
e z1
4). z = e z1  z2
e2
Bukti :
e x1 (cos y1  i sin y1 )
e z1
= x
e z2
e 2 (cos y 2  i sin y 2 )
2
cos( y1  y 2 )  i sin( y1  y 2 )
=e
( x1  x2 )  ( y1  y2 ) i
=e
= e ( x1  y2i )( x1  y2 )i
(x x )
FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK
4
e z1
= e z1  z2
z2
e
(terbukti)
5). e z = e z
Bukti :
Misalkan z = x + yi maka z = x - yi
e z = e x (cos( y)  i sin( y)
= e x (cos y  i sin y)
ez = ez
6). e z = e z  2 ki
, k bilangan bulat
Bukti :
Misalkan z = x + yi
e z  2 ki = e  ( y  2 ki ) i
= e x cos( y  2k )  i sin( y  2k )
= e x (cos y  i sin y)
e z  2 ki = e z
(terbukti)
7). Jika z = x +yi , e z  e x dan arg (ez) = y
Bukti :
Jika z = x +yi maka e z  e x dan arg (ez) = y
e z = e x (cos y  i sin y) dibaca sebagai bentuk polar dari e z ,
jelas e z  e x dan arg (ez) = y
(terbukti)
B. Teorema 2
 Teorema 2.1
Turunan fungsi trigonometri :
d
1.
sin z = cos z
dz
d
2.
cos z = -sin z
dz
d
3.
tan z = sec2 z
dz
d
4.
cot z = - csc2 z
dz
d
5.
sec z = sec z tan z
dz
d
6.
csc z = - csc z cot z
dz
FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK
5
-) Bukti Teorema No.1
d
d  e iz  e iz

sin z =
d z 
2i
dz



ie iz  ie iz
2i
iz
e  e iz
=
2
=
d
sin z = cos z (terbukti)
dz
-) Bukti Teorema No.2
d
d  e iz  e iz

=
cos z
d z 
2
dz



ie iz  ie iz
2
iz
 e  e iz
=
2
=
d
cos z = -sin z (terbukti)
dz
 Teorema 2.2
Sifat – sifat trigonometri :
1. sin z = 0  z = k  , k bilangan bulat
2. cos z = 0  z 

2
 k , k bilangan bulat
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
sin (-z) = - sin z
cos (-z) = cos z
sin2 z + cos2 z = 1
sin (z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2
cos (z1 + z2) = cos z1 cos z2 - sin z1 sin z2
sin 2z = 2 sin z cos z
cos 2z = cos2 z + sin2 z


10. sin   z  = cos z
2

-) Bukti Teorema No.2
Jika cos z = 0 maka
1 iz
(e  e iz ) = 0
2
eiz = - e-iz
eiz = - 1
FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK
6
apabila z = x + yi, maka e 2 y  2 xi  1
e 2 y (cos 2 x  i sin 2 x) = 1(cos   i sin  )
Dengan demikian didapat :
e 2 y  1 , cos 2 x  cos  , sin 2 x  sin 
Nilai yang memenuhi ialah :
y = 0 dan x 


2
 k , k bilangan bulat
 k (terbukti)
2
-) bukti Teorema No.6
Sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2
1
1
1
 1

=  (e iz1  e iz1 ). (e iz2  e iz2 )   (e iz1  e iz1 ). (e iz2  e iz2 )
2
2i
 2i
 2

1
=
2e i ( z1  z2 )  2e i ( z1  z2 )
4i
1 i ( z1  z2 )
=
e
 e i ( z1  z2 )
2i
Sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 = sin ( z1 + z2)
jadi z = x + yi 




-) bukti Teorema No.8
Sin 2z = sin (z + z)
= sin z cos i + cos z sin z
Sin 2z = 2 sin z cos z
( terbukti)
B. TEOREMA 3
 Teorema 3.1
Turunan fungsi hyperbolik :
d
1.
sinh z = cosh z
dx
d
2.
cosh z = sinh z
dx
d
3.
tanh z = sech2 z
dx
d
4.
coth z = - csch2 z
dx
d
5.
sec h z = sech z tanh z
dx
d
6.
csc h z = - csch z coth z
dx
FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK
7
Bukti Teorema No. 1
d
d  e z  ez

sinh z =
d x 
2
dx
e z  ez
=
2
d
sinh z = cosh z
dx



Bukti Teorema No.2
d
d  e z  ez 


cosh z =
d x 
2
dx

z
z
e e
=
2
d
cosh z = sinh z
dx
Bukti Teorema No.3
d
d  sinh z 


tanh z =
d x  cosh z 
dx
 e z  ez 
 z

z 
e

e


z
z
z
(e  e )(e  e  z )  (e z  e  z )(e z  e  z )
=
(e z  e  z ) 2
4
=
2
e z  e z
=
d
dx


d
tanh z = sech2 z (terbukti)
dx
 Teorema 3.2
Sifat – sifat fungsi hyperbolik ;
1. sinh z = 0  z = k  i, k bilangan bulat
2. cosh z = 0  z 
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

2
 k i, k bilangan bulat
sin (-z) = - sinh z
cos (-z) = cosh z
cosh2 z + sinh2 z = 1
sinh (z1 + z2) = sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2
cosh (z1 + z2) = cosh z1 cosh z2 - sinh z1 sinh z2
sinh 2z = 2 sinh z cosh z
cosh 2z = cosh2 z + sinh2 z
FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK
8
Bukti Teorema No.6
Sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2
1
1
1
 1

=  (e iz1  e iz1 ). (e iz2  e iz2 )   (e iz1  e iz1 ). (e iz2  e iz2 )
2
2
2
 2

1
= 2e i ( z1  z2 )  2e i ( z1  z2 )
4
1 i ( z1  z2 )
= e
 e i ( z1  z2 )
2
Sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2 = sinh ( z1 + z2) (tebukti)




Bukti Teorema No.8
Sinh 2z = sinh (z + z)
= sinh z cosh i + cosh z sinh z
Sinh 2z = 2 sinh z cosh z
( terbukti)
 Teorema 3.3
Jika z = x + yi maka
1. cos z = cos (x + yi) = cos x cosh y – isin x sinh y
2. sin z = sin (x + yi) = sin x cosh y + i sin cos x sinh y
akibat :
cos(iy) = cosh y
sin (iy) = i sinh y
Bukti 1.

1 ix  y
e
 e ix  y
2
cos z = cos (x + yi) =

1 -y ix 1 y ix
e .e + e .e
2
2
1
= 1
e-y (cos x + i sin x) + ey ( cos x – i sin x)
2
2
cos z = cos x cosh y – i sin x sinh y (terbukti)
=
 Teorema 3.4
1. sin (iz) = i sin z
2. sin (iz) = i sinh z
3. cosh (iz) = cos z
4. cos (iz) = cosh z
Bukti 2


2
1 zi2
e  e  zi
2i
1 z
e  ez
=
2i
1
= i. e z  e  z
2
sin (iz) = i sin z (terbukti)
sin (iz) =




FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK
9
 Teorema 3.5
Jika z = x + yi maka
1. sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y
2. cos z = cosh x cos y +i sinh x sin y
Bukti No. 1
sinh z = sin (x + yi)
1
1
1
= e x  yi  e  x  yi = e x .e yi  e  x .e  yi
2
2
2
1
1
= e x cos y  i sin y   e  x cos y  i sin y 
2
2
1 x
1
= (e  e  x ) cos y  i (e x  e  x ) sin y
2
2
sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y (terbukti)


FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK
10
LATIHAN SOAL
1. tentukan nilai z yang memenuhi persamaan ez = -i
2. a). Hitung nilai dari cos (-1200)
b). Buktikan (sin A + cos A)2 – 2 sin A cos A = 1
3. Carilah f1(x) dari tiap fungsi f(x) berikut :
a). f(x) = tanh (sin x)
b). f(x) = x sinh x
FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK
11
PENYELESAIAN
1. tentukan nilai z yang memenuhi persamaan e z = -i
Jawab :
Misalkan z = x + yi
ez = -i
z
e (cos y + i sin y) = 0 –i, maka
ez cos y = 0 dan ez sin y= -i

 k , k bilangan
2
bulat. Apabila kedua persamaan dikuadratkan kemudian dijumlahkan, maka
(ez)2= -i dan ez =  1
Dari persamaan pertama cos y = 0, karena ez  0 diperoleh y 
jawab yang memenuhi hanya mungkin e z = -i berarti x = 0
untuk x = 0, persamaan kedua menjadi sin y = -1, menghasilkan y  
bulat.
Dari dua nilai yang diperoleh , yang memenuhi adalah y  
sehingga nilai z memenuhi persamaan adalah z = 0 + (
2. a) cos (-1200) = cos 1200
= cos (180 -60)0
= -cos 600
1
= 
2
b). (sin A + cos A)2 – 2 sin A cos A = 1
Bukti :
(sin A + cos A)2 – 2 sin A cos A
Sin2 A + 2 sin A cos A + cos2 A – 2 sin A cos A
Sin2 A + cos2 A
1
3. a). f(x) = tanh (sin x)
Misalkan u = sin x dan u1 = cos = x
F(x) = tan u  f1(x) = sech2 u . u1
= sech2 (sin x) . (cos x)
f1(x) = cos x sech2 (sin x)
b). f(x) = x sin x
misalkan u = x ,
v = sinh x
u1 = 1 ,
v1 = cosh x
1
1
f(x) = u . v  f (x) = u . v + u . v1
= (1)(sinh x) + (x)(cosh x)
1
f (x) = sinh x + x cosh x
FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK

2

2

2
 2k , k bilangan
 2k , k bilangan bilat,
 2k )i = (

2
 2k )i .
=1
=1
=1
= 1 (terbukti)
12
RANGKUMAN
Fungsi eksponen
z =x + yi
e z = e x (cos y + i sin y ).
Fungsi trigonometri
e iy  e iy
cos z =
2
iy
e  e iy
sin z =
2i
Fungsi Hiperbolik
e z  ez
Sinh z =
2
z
e  ez
cosh z =
2
sin z
cos z
cos z
cot z =
sin z
tan z =
sinh z
cosh z
cosh z
coth z =
sinh z
tanh z =
1
cos z
1
csc z =
sin z
sec z =
1
cosh z
1
csch z =
sinh z
sech z =
Turunan fungsi Eksponen
d z
(e )  e z
dz
Turunan Fungsi Trigonometri
d
1.
sin z = cos z
dz
d
2.
cos z = -sin z
dz
d
tan z = sec2 z
dz
d
4.
cot z = - csc2 z
dz
3.
d
sec z = sec z tan z
dz
d
6.
csc z = - csc z cot z
dz
5.
Turunan fungsi hyperbolik :
d
1.
sinh z = cosh z
dx
d
2.
cosh z = sinh z
dx
d
3.
tanh z = sech2 z
dx
d
4.
coth z = - csch2 z
dx
d
5.
sec h z = sech z tanh z
dx
d
csc h z = - csch z coth z
6.
dx
FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK
13
DAFTAR PUSTAKA




Churchill, Complex variabels, new york, mc graw hill book company inc 1960
John D paliouras, complex variebles for scientist and engginers new york, maemillan
publishing. 1975
Prayitno Budhi dan Chairani Zahra, Matematika untuk SMU jilid 3A semester 1,
Jakarta : Erlangga 2003
Wirodikromo sartono, Matematika 2000 untuk Smu jilid 6, semester 2 Jakarta :
Erlangga, 2003
FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK
14