f+g

PERTEMUAN VI
TURUNAN
1. Definisi

Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca f
aksen) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah :
f (c  h)  f (c )
f ' (c )  lim
h0
h
Jika limit ini memang ada, dikatakan bahwa f
terdiferensiasikan di c. Pencarian turunan disebut
diferensiasi
2. Pencarian turunan





Contoh 1. Jika f(x) =13x-6, tentukan f’(4)
Contoh 2. Jika f(x) =x2+7x, tentukan f’(c)
Contoh 3. Jika f(x) =1/x, tentukan f’(x)
Contoh 4. Jika f(x) =x2+x+1, tentukan f’(x)
2x 1
f
(
x
)

Contoh 5. Jika
x  4 tentukan f’(x)
3. RUMUS TURUNAN
FUNGSI ALJABAR
 Jika
f(x) = k, dengan k suatu konstanta, maka :
f(x+h) = k dan f(x) = k, sehingga :
f(x  h) - f(x)
f' (x)  lim
h 0
h
kk
 lim
 0
h 0
h
Jadi :
Jika f(x) = k, maka f’(x) = 0, untuk k konstanta
sebarang
Jika
f(x) = x, maka didapatkan f(x+h) = x+h,
sehingga :
f(x  h) - f(x)
f' (x)  lim
h 0
h
xh-x
h
 lim
 lim
1
h 0
h 0 h
h
Jadi :
Jika f(x) = x , maka f’(x) = 1
dst….
Atau secara umum :

Jika f(x) = xn maka f(x+h) =(x+h)n, untuk n
bilangan bulat positif, sehingga didapatkan :
(x  h) n - x n
f' (x)  lim
h 0
h
 lim
h 0
h[nx
lim
h 0
 nx
n(n - 1) n  2 2
x
h  ...  nxh n 1  h n  x n
2

h
n(n  1) n - 2

x
h  ...  nxh n - 2  h n 1
2
h
x n  nx n - 2 h 
n -1
n -1
Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali
suku pertama mempunyai h sebagai faktor,
sehingga masing-masing suku ini mempunyai
limit nol bila h mendekati nol
Jadi :
Jika f(x) = x n, maka
f’(x) = nx n-1, untuk n anggota bilangan bulat
positif
Hal yang sama bisa diperluas, sehingga berlaku
untuk semua n anggota bilangan real.
Dengan adanya rumus turunan di atas, maka
kita akan lebih mudah menentukan turunan
dari suatu fungsi, karena tanpa
menggunakan limit terlebih dahulu.
Contoh :
1. Jika f(x) = x3 maka f’(x) = 3 x 3-1 = 3 x 2
2. Jika f(x) = x5 maka f’(x) = 5 x 5-1 = 5 x 4
3
2
1
3
3
2
3. f(x)  x  x maka f' (x)  x 2
2
4. TEOREMA TURUNAN FUNGSI
Teorema 1
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang dapat
diturunkan, maka (k.f(x))’ = k. f’(x)
Teorema 2
Jika f dan g adalah fungsi yang dapat diturunkan
maka (f+g)’(x) = f’(x) + g’(x)
Teorema 3
Jika f dan g adalah fungsi yang dapat diturunkan,
maka
(f-g)’(x) = f’(x)-g’(x)
Teorema 4
Jika f dan g adalah fungsi yang dapat
diturunkan, maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x) +
g(x).f’(x)
Teorema 5
Jika f dan g adalah fungsi yang dapat
diturunkan, maka
f
g(x).f' (x) - f(x).g' (x)
[ ]' ( x) 
2
g
g ( x)
Latihan
1. f(x) = x4+x3+x2+x+1
2. f(x) = x12 + 5/x + x + 2
3.
f ( x) 
2
1
 4 
3
x
x
x5
4. f(x) = x (x2+1)
5. f(x) = (x4+2x)(x3+2x2+1)
5x  4
3x 2  1
6.
f ( x) 
7.
5x 2  2x  6
f ( x) 
3x  1
8.
x 2  2x  5
f ( x)  2
x  2x  3
5. TURUNAN FUNGSI
TRIGONOMETRI
Jika f(x) = sin x maka f’(x) = cos x
 Jika f(x) = cos x, maka f’(x) =
- sin x
 Jika f(x) = tg x, maka f’(x) =
sec 2 x
 Jika f(x) = ctg x, maka f’(x) =
- csc2 x
 Jika f(x) = sec x, maka f’(x) = sec x tg x
 Jika f(x) = cosec x, maka f’(x) = - cscx ctg
x

Contoh : Tentukan turunan dari :
1. f(x) = 3 sin x – 2 cos x
2. F(x) = sin x cos x
3. F(x) = cot x
sinx
4. f(x) 
sinx  cos x
tgx
5.f(x) 
sinx - cosx
cosx
6.f(x) 
x
6.ATURAN RANTAI
TEOREMA A
Andaikan y=f(u) dan u=g(x) menentukan fungsi
komposit y=f(g(x))=(fog)(x). Jika g
terdefferensialkan di x dan f
terdefferensialkan di
u=g(x), maka fog terdefferensialkan di x dan :
(fog)’(x) = f’(g(x))g’(x)
Atau :
Dxy = Duy Dxu
Contoh




Contoh 1 : Jika f(x) = (2x2-4x+1)60,tentukan f’(x)
Contoh 2 : Jika f(x) = 1/(2x5-7)6, tentukan f’(x)
Contoh 3 : Jika f(x) = sin (x3-3x), tentukan f’(x)
3
x
 2x  1
Contoh 4 : Jika f(x) =
, tentukan f’(x)
4
x 3
Teorema B
Aturan Rantai Bersusun:
Jika y=f(u) dan u=g(v) dan v=h(x)
maka :
Dx y = Du y Dv u Dx v
Contoh
Contoh 1 : Jika f(x) =sin3(4x), tentukan f’(x)
 Contoh 2 : Jika f(x) =sin (cos(x2), tentukan
f’(x)
 Contoh 3 : Jika f(x) =x sin2(2x) tentukan
f’(x)

Soal Latihan
Carilah f’(x)
y
1
y  cos 4 ( 2 x )
2x2  3
y  sec ( 4 x  1)
3
y  1 x

y  1  x3
y  sin 2 (3 x  1)

5
y  3 1  x3
y  1  4 x 
5