modul praktikum responsi kalkulus diferensial

I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI
MUTLAK
1. Buatlah diagram sistem bilangan riil.
2. Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak di antara kedua bilangan
itu.
aba
ab
b
2
3. Selesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkan solusinya pada garis
bilangan.
a. 2 x  1  x  3
b.
6
5
x 1
4. Selesaikan 1  x  x 2  x3  ...  x99  0 .
5. Sebuah gelas berukuran 3 4 liter mempunyai jari-jari 7 cm. Seberapa dekat
kita dapat mengukur tinggi air h dalam gelas untuk meyakinkan kita
mempunyai 3 4 liter air dengan galat/eror lebih kecil dari 2%?
6. Buktikan bahwa:
a. 1  x  3  x  1
b.
x  3  0,5  5 x  15  2,5
7. Tunjukkan: x  2 
2 x 2  3x  2
8
x2  2
8. Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan berikut.
a.
3x  4  8
b.
4 x  2  10
c.
x
7  2
2
9. Buktikan bahwa:
x 2
x2  2x  7
 15
x2  1
RESPONSI KALKULUS DIFERENSIAL
1
10. Buktikan bahwa:
x  1  x4 
1 3 1 2 1
1
x  x  x
2
2
4
8
16
RESPONSI KALKULUS DIFERENSIAL
2
II.
FUNGSI DAN LIMIT
1. Untuk f  x   x 2  1 , hitunglah masing-masing nilai :
a.
f  6 
b.
f  2t 
c.
f 1
 x
2. Tentukan daerah asal (domain) dari: f  x  
4  x2
x2  x  6
3. Carilah nilai limit berikut:
a.
b.
lim 3 x  5
x 3
lim  x 2  3x  1
x 2
c.
lim
d.
lim
e.
9  x2
x3
x4
x 0
tan x
2x
lim  x 2  3x  1
x 2
f.
lim
g.
lim
x 1
5x  x2
x2  2x  4
x 9
x 9
x 3
4. Sebuah pabrik mempunyai kapasitas memproduksi lemari es tiap hari mulai 0
sampai 100. Biaya overhead harian untuk pabrik adalah Rp.2.200.000 dan
biaya langsung (karyawan dan bahan) Rp.151.000. Tuliskan rumus untuk
T(x), biaya total memproduksi x lemari es dalam satu hari, dan juga biaya
satuan u(x) (biaya rata-rata tiap lemari es). Tentukan daerah asal untuk
fungsi-fungsi ini.
5. Tentukan daerah hasil dari fungsi f jika f(n) adalah angka ke-n pada deretan
desimal
3
.
13
RESPONSI KALKULUS DIFERENSIAL
3
6. Jika f  x   x3  2 dan g  x  
2
,
 x  1
tentukan rumus untuk  f  g  x  dan
nyatakan daerah asalnya.
7. Setelah berkecimpung dalam bisnis selama x tahun, seorang pengusaha
tractor membuat 100  x  2 x 2 buah tiap tahun. Harga penjualan (dalam ribuan
rupiah) tiap buahnya telah meningkat sesuai dengan rumus P = 500 + 6x.
tuliskan rumus untuk pendapatan tahunan pengusaha tersebut R(x) setelah x
tahun.
8. Buktikan bahwa:
sin u cos u

1
csc u sec u
9. Buktikan bahwa lim
 x 2  x  5  7
x 3
 x, x  0
.
 x  2, x  0
10. Diberikan fungsi f  x   
Carilah nilai limit berikut: lim
f  x .
x 0
Sketsa garfik fungsi f tersebut.
RESPONSI KALKULUS DIFERENSIAL
4
III.
TURUNAN
1. Cari kemiringan garis singgung pada kurva y  f  x   x 2 di titik (2,4).
2. Cari persamaan garis singgung pada kurva y 
1
2x
1
di titik  ,1 .
2 
3. Andaikan f  x   13x  6 , cari f '  4  .
4. Cari turunan F jika F  x   x , x  0 .
5. Diketahui definisi: f ' c  lim
h 0
a.
f '  3 jika f  x   x 2  x
b.
f '  2  jika f  x   x3
c.
f '  1 jika f  x   x3  2 x 2
d.
f '  4  jika f  x  
f c  h  f c
h
. Tentukan turunan dari:
3
x 1
6. Diketahui f  x  y   f  x   f  y  untuk setiap x dan y. Tunjukkan bahwa jika
f '  0  ada, maka f '  a  ada dan f '  a   f  a  f '  0  .
7. Diketahui:
 mx  b jika x  2
f  x  
2
jika x  2
 x
Tentukan m dan b sedemikian sehingga f dapat dideferensialkan di mana saja.
8. Turunan simetris f s  x  didefinisikan dengan:
f s  x   lim
f  x  h  f  x  h
h 0
2h
Tunjukkan bahwa jika f '  x  ada, maka f s  x  ada, tetapi tidak demikian
sebaliknya.
9. Buktikan bahwa turunan dari suatu fungsi ganjil adalah suatu fungsi genap
dan turunan suatu fungsi genap adalah fungsi ganjil.
10. Cari turunan dari 5 x 2  7 x  6 dan 4 x 6  3 x 5  10 x 2  5 x  16 .
11. Cari turunan dari
 3x  5
x
2
 7
12. Cari Dy untuk:
RESPONSI KALKULUS DIFERENSIAL
5
a.
y  3x 4
b. y   x 2
y
2
x4
d. y 
2
3x6
c.
e.
y   x3  2 x
f.
y  5 x 6  3 x 5  11x  9
g. y 
1
 2x
2x
h. y  3 x  x 3  1
i.
y   x 4  1 x 2  1
j.
y
k. y 
l.
y
1
3x  1
2
x 1
x 1
5x  4
3x 2  1
m. y 
2 x 2  3x  1
2x  1
n. y 
x2  x  1
x2  1
o. y 
x2  2x  5
x2  2x  3
p. y  3sin x  5cos x
q. y  sin 2 x
sin x
sin x  cos x
r.
y
s.
y  sin 2 x  cos 2 x
t.
y
cos x
x
13. Gunakan aturan hasil kali untuk menunjukkan bahwa
D  f  x    2  f  x   f '  x  .
2
RESPONSI KALKULUS DIFERENSIAL
6
14. Gunakan definisi turunan untuk memperlihatkan bahwa D  sin 5 x   5cos 5 x .
15. Cari Dx y dari:
a.
y   4x  7
b.
 3x  1 
y  sin 

 2x  5 
c.
y   3 x 2  5   x 3  11
16. Cari
23
2
dy
dx
dari:
a.
y  4 3x 2  4 x
b.
y
c.
4
1
3
2
x sin x
y  tan 2 x  sin 2 x
IV.
APLIKASI TURUNAN FUNGSI
RESPONSI KALKULUS DIFERENSIAL
7
1. Sebuah bola menggelinding sepanjang bidang miring sehingga jarak s dari
titik awal setelah t detik adalah s  4,5t 2  2t kaki. Kapan kecepatan sesaatnya
akan sebesar 30 kaki/detik?
2. Seekor lalat merayap dari kiri ke kanan di sepanjang puncak kurva y  7  x 2 .
Seekor laba-laba menunggunya pada titik (4,0). Tentukan jarak antara kedua
serangga itu pada saat mereka pertama kali saling melihat.
3. Hitunglah kecepatan sesaat dari sebuah benda jatuh, beranjak dari posisi diam
pada t = 3,8 detik dan pada t = 5,4 detik.
4. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s, jarak berarah dalam
sentimeter yang diukur dari titik asal ke titik yang dicapai setelah t detik,
diberikan oleh s  5t  1 . Hitunglah kecepatan partikel pada akhir 3 detik.
5. Jika diketahui sebuah benda menjelajahi garis sehingga posisi s nya adalah
s  2t 2  2 meter setelah t detik.
a. Berapa kecepatan rata-rata pada selang 2  t  3 ?
b. Berapa kecepatan rata-rata pada selang 2  t  2  h
c. Cari kecepatan pada t = 2.
6. Jika sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat sehingga jarak
berarah dari titik asal ke titik setelah t detik adalah  t 2  4t  meter, kapan
partikel akan berhenti (yaitu, bilamana kecepatannya menjadi nol) ?
7. Tentukan laju perubahan luas suatu lingkaran terhadap kelilingnya pada saat
panjang garis kelilingnya 6 cm.
8. Dimanakah garis singgung kurva y  x 2 cos 2  x  pada x   akan memotong
2
sumbu-x ?
9. Sebuah peluru kendali ditembakkan langsung ke atas dari tanah dengan
kecepatan awal y0 kaki/detik. Ketinggiannya setelah t detik diberikan oleh
s  v0 t  16t 2
kaki. Berapa seharusnya kecepatan awal peluru kendali itu agar
mencapai ketinggian maksimum 1 mil?
10. Minyak dari kapal tangka yang pecah menyebar dalam pola melingkar. Jika
jari-jari lingkaran bertambah pada laju tetap sebesar 1,5 dm/detik, seberapa
cepat meluasnya daerah yang cukup setelah 2 jam?
RESPONSI KALKULUS DIFERENSIAL
8