ptp2-140504174509-phpapp01(1)

[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Dalam makalah ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang
danfungsi densitas, dan fungsi distribusi. Seperti yang kita ketahui bahwa materi
ini merupakan pengantar untuk kita dapat memahami materi selanjutnya
mengenai fungsi peluang untuk peubah acak diskrit dan fungsi densitas untuk
peubah acak kontinu dimana perananya sangat banyak yakni penghitungan
beberapa macam ekspetasi matematis, pembahasan beberapa distribusi khusus
yang dikenal, dan penentuan distribusi dari fungsi peubah acak. Sehingga dalam
hal ini fungsi peluang maupun fungsi densitas mempunyai bentuk yang berbedabeda.
B. RUMUSAN MASALAH
1. Apa yang dimaksud dengan peubah acak ?
2. Apa saja macam-macam peubah acak ?
3. Apa yang dimaksud dengan distribusi peluang?
4. Apa yang dimaksud dengan Fungsi distribusi ?
C. TUJUAN PENULISAN
1. Mampu membedakan peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu.
2. Mampu Menentukan distribusi peluang dari sebuah peubah acak diskrit dan
modifikasinya.
3. Mampu menghitung peluang dari sebuah peubah acak diskrit yang berharga
tertentu.
4. Mampu menentukan konstanta dari fungsi densitas
untuk peubah acak
kontinu berdasarkan sifatnya.
5. Mampu menghitung peluang dari peubah acak kontinu berharga tertentu.
6. Mampu menggambar grafik berdasarkan fungsi peluang dan densitas.
7. Mampu menentukan fungsi distribusi dari sebuah peubah acak, baik diskrit
maupun kontinu.
8. Mampu Menggambar grafik dari fungsi distribusi untuk satu peubah acak.
9. Mampu menghitung peluang serta menentukan distribusi peluang dari sebuah
peubah acak yang berharga tertentu berdasarkan fungsi distribusinya.
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
1
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
PEMBAHASAN
A. PEUBAH ACAK
Berikut ini akan dijelaskan definisi secara umum dari peubah acak (random
variable).
Definisi A.1 : PEUBAH ACAK
Misalnya E adalah sebuah eksperimen dengan ruang sampelnya S.
Sebuah fungsi X yang menetapkan setiap anggota s ∈ S dengan sebuah bilangan
real X(s) dinamakan peubah acak.
Berdasarkan definisi diatas, ada dua buah himpunan yang melibatkan peubah
acak, yaitu ruang sampel S yang berisi anggotanya (titik sampel) s dan Rx berupa
nilai-nilai yang mungkin dari X yang berkaitan dengan anggota S-nya.
Pendefinisian peubah acak bisa dijelaskan dalam gambar berikut.
X = Peubah Acak
X

s
S = Ruang Sampel
 X(s)
Rx = Nilai-nilai yang mungkin dari X sesuai s-nya
Teladan 1:
Misalnya sandy melakukan pelemparan dua buah mata uang logam Rp.100 yang
seimbang secara sekaligus. Jika X menunjukkan banyak huruf “BANK
INDONESIA” yang terjadi, maka apakah X merupakan peubah acak ?
Penyelesaian:
Ruang sampelnya S = {HH,HG,GH,GG}
Dengan G = Gambar “KARAPAN SAPI” dan H = Huruf “BANK INDONESIA”
Untuk s1 = HH, maka X(s1) = X(HH) = 2
Untuk s2 = HG, maka X(s2) = X(HG) = 1
Untuk s3 = GH, maka X(s3) = X(GH) = 1
Untuk s4 = GG, maka X(s4) = X(GG) = 0
Sehingga, nilai-nilai yang mungkin dari X, Rx = 0,1 atau 2.
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
2
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Karena X memenuhi syarat-syarat sebuah fungsi, maka X adalah peubah acak.
Apabila kita bisa memperoleh sebuah peristiwa berkenaan dengan ruang sampel
S dan sebuah peristiwa berkenaan dengan peubah acak X (yaitu himpunan
bagian dari ruang hasil Rx) maka dua peristiwa itu akan ekuivalen.
Definisi A.2 : DUA PERISTIWA YANG EKIVALEN
Misalnya E adalah sebuah eksperimen dengan ruang sampelnya S.
X adalah peubah acak yang didefinisikan pada S dengan Rx adalah ruang
hasilnya, dan B adalah peristiwa yang berkenaan dengan Rx artinya B ⊂ Rx.
Jika Peristiwa A didefinisikan sebagai : A = {s ∈ S | X(s) ∈ B}, artinya A berisi
semua hasil dalam S dengan X(s) ∈ B, maka A dan B dikatakan dua peristiwa
yang ekuivalen.
Dua Peristiwa yang ekuivalen bisa digambarkan sebagai berikut.
A

B
s
 X(s)
)
S = Ruang Sampel
Rx = Nilai-nilai yang mungkin dari X sesuai s-nya
Teladan 2:
Ketika kita mengundi dua mata uang logam Rp.100 yang seimbang secara
sekaligus, maka ruang sampelnya: S = { HH, HG, GH, GG }.
Jika X menunjukkan banyak G yang terjadi, maka nilai-nilai yang mungkin dari X
adalah Rx = { 0,1,2 }.
Dua peristiwa A dan B yang ekuivalen ada tiga buah yaitu :
1. Ruang peristiwa dari B : B = {0}
Karena X(HH) = 0 jika dan hanya jika X(s) = 0, maka s = (HH) dan ia
merupakan ruang peristiwa dari peristiwa lainnya, yaitu A. Jadi A = {HH}.
Akibatnya, A dan B merupakan dua buah peristiwa yang ekivalen.
2. Ruang peristiwa dari B : B = {1}
Karena X(HG) = X(GH) = 1 jika dan hanya jika X(s) = 1, maka s = (HG) atau s
= (GH) dan ia merupakan ruang peristiwa dari peristiwa lainnya, yaitu A. Jadi
A = {HG,GH}.
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
3
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Akibatnya, A dan B merupakan dua buah peristiwa yang ekivalen.
3. Ruang peristiwa dari B : B = {2}
Karena X(GG) = 2 jika dan hanya jika X(s) = 2, maka s = (GG) dan ia
merupakan ruang peristiwa dari peristiwa lainnya, yaitu A. Jadi A = {GG}.
Akibatnya, A dan B merupakan dua buah peristiwa yang ekivalen.
Kita sudah mengetahui bahwa peristiwa A yang berkaitan dengan ruang
sampel S ekivalen dengan peristiwa B yang berkaitan dengan nilai-nilai yang
mungkin dari peubah acak X.
Akibatnya, peluang dari kedua peristiwa itu akan sama, yaitu P(A) = P(B). Hal
ini bisa dilihat dari definisi dibawah ini.
Definisi A.3 : PELUANG DUA PERISTIWA YANG EKIVALEN
Jika B adalah sebuah peristiwa dalam ruang hasil Rx, maka P(B) didefinisikan
sebagai: P(B) = P(A), dengan A = { s ∈ S | X(s) ∈ B }.
Pemahaman penghitungan peluang dari kedua peristiwa yang ekivalen
dijelaskan melalui teladan di bawah ini.
Teladan 3:
Dalam pengundian dua mata uang logam Rp.100 yang seimbang, maka P(HG) =
P(GH) = P(GG) = P(HH) = ¼, Hitunglah P(X=0), P(X=1), dan P(X=2).
Penyelesaian:
a. Karena X=0 ekivalen dengan peristiwa yang ruang peristiwanya {HH} dan
P(HH) = ¼ , maka P(X=0) = P(HH) = ¼
b. Karena X=1 ekivalen dengan peristiwa yang ruang peristiwanya {GH} atau
{HG} dan P(GH atau HG) = P(HG) + P(GH) = ¼ + ¼ = ½ , maka P(X=1) =
P(HG atau GH) = ½.
c. Karena X=2 ekivalen dengan peristiwa yang ruang peristiwanya {GG} dan
P(GG) = 1/4, maka P(X=2) = P(GG) = ¼
Terdapat dua macam peubah acak, yaitu peubah acak diskrit dan peubah acak
kontinu. Pengertian kedua macam peubah acak tersebut bisa dilihat dalam
definisi dibawah ini :
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
4
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Definisi A.4 : PEUBAH ACAK DISKRIT
Misalnya X adalah peubah acak. Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dari X (yaitu
ruang hasil dari Rx) berhingga atau tak berhingga tapi dapat dihitung, maka X
adalah peubah acak diskrit.
Nilai-nilai yang mungkin dari X bisa ditulis sebagai: x1,x2,x3,…,xn,…
Pemahaman pengertian peubah acak diskrit diperjelas melalui teladan seperti
dibawah ini:
Teladan 4:
Coba lihat teladan 2 diatas, nilai-nilai yang mungkin dari Rx = {0,1,2}.
Karena banyak anggota dari Rx berhingga, maka X termasuk peubah acak
diskrit.
Teladan 5:
Misalnya sandy mengundi sebuah dadu yang seimbang. Jika peubah acak X
menunjukkan banyak pengulangan percobaan sampai mata dadu 5 muncul
pertama kali, maka nilai-nilai yang mungkin dari X adalah:
Rx = { 1,2,3,… }.
Karena banyak anggota dari Rx tak berhingga tapi dapat dihitung, maka X
termasuk peubah acak diskrit.
Definisi A.5 : PEUBAH ACAK KONTINU
Misalnya X adalah peubah acak. Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dari X (yaitu
ruang hasil dari Rx) merupakan sebuah interval pada garis bilangan real, maka X
dinamakan peubah acak kontinu.
Pemahaman peubah acak kontinu akan dijelaskan melalui teladan dibawah ini :
Teladan 6 :
Misalnya sebuah universitas mempunyai mahasiswa berjumlah 25.000 orang dan
para mahasiswa itu diberi nomor induk mahasiswa mulai dari 00001 sampai
25.000. Kemudian seorang mahasiswa dipilih secara acak dan ia diukur berat
badannya. Dalam hal ini, ruang sampelnya adalah:
S = {s:s=00001,00002,00003,…,25.000}
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
5
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Misalnya X menunjukkan berat badan dari mahasiswa yang terpilih, maka ia bisa
ditulis sebagai X(s), dengan s ∈ S. Kita mengasumsikan bahwa tidak ada
mahasiswa di universitas tersebut yang mempunyai berat badan kurang dari
20kg atau lebih dari 175kg, sehingga ruang hasil dari X adalah:
Rx = {X: 20≤ X ≤ 175}
Karena Rx merupakan sebuah interval, maka X termasuk ke dalam peubah acak
kontinu.
B. DISTRIBUSI PELUANG
Dalam sebuah peubah acak diskrit, nilai-nilai yang mungkin dari peubah acaknya
merupakan bilangan bulat. Seperti pada teladan 4 nilai-nilai dari X adalah 0,1
atau 2. Akan tetapi, dalam soalnya mungkin saja ada yang bertanda negative.
Kemudian kita dapat menghitung nilai peluang dari masing-masing nilai peubah
acak tersebut., dengan sebelumnya diasumsikan lebih dahulu nilai peluang untuk
masing-masing titik sampel dalam ruang sampel S. Nilai peluang dari peubah
acak yang berharga tertentu diperoleh berdasarkan nilai peluang dari titik-titik
sampelnya. Apabil nilai peluang dari peubah acak tersebut memenuhi
persyaratan tersebut tertentu, maka nilai peluang tersebut dinamakan fungsi
peluang. Berikut ini kita akan menjelaskan definisi fungsi peluang.
Definisi B.1 : FUNGSI PELUANG
Jika X adalah peubah acak diskrit, maka p(x) = P(X=x) untuk setiap x dalam
range X dinamakan fungsi peluang dari X.
Nilai fungsi peluang dari X, yaitu p(x) harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut.
a. p(x) ≥ 0
b. ∑𝑥 𝑝(𝑥) = 1
Adapun kumpulan pasangan yang diurutkan { x, p(x) } dinamakan distribusi
peluang dari X.
Bentuk umum dari fungsi peluang ada dua kemungkinan, yaitu berupa konstanta
dan berupa fungsi dari nilai peubah acak.
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
6
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
 Fungsi peluang berupa konstanta bisa terdiri atas satu nilai atau lebih dari
satu nilai.Fungsi peluang berupa konstanta yang terdiri atas satu nilai artinya
untuk setiap nilai peubah acak yang diberikan, maka nilai fungsi peluangnya
sama. Misalnya fungsi peluang dari peubah acak Y berbentuk:
P(y) = ¼ ; y = -1,0,1,2
Fungsi peluang berupa konstanta yang terdiri atas lebih dari satu nilai artinya
untuk setiap nilai peubah acak yang diberikan masing-masing mempunyai
nilai fungsi peluangnya. Misalnya fungsi peluang dari peubah acak X
berbentuk :
p(x) = 1/3; x = 2, p(x) = 1/3; x = 3, p(x) = ¼; x = 4, p(x) = 1/12; x = 5
 Fungsi peluang berupa fungsi dari nilai peubah acak (FPBF) sebenarnya
sama dengan funsi peluang berupa konstanta yang terdiri atas lebih dari
satu nilai (FPBK), hanya bedanya FPBF ditulis secara umum dan berlaku
untuk nilai peubah acak tertentu sedangkan FPBK ditulis satu per satu yang
berlaku untuk masing-masing nilai peubah acaknya. Misalnya fungsi peluang
dari peubah acak X berbentuk :
p(x) = x/15; dimana x = 1,2,3,4,5
Pemahaman distribusi peluang dari sebuah peubah acak diperjelas melalui
teladan dibawah ini :
Teladan 7:
Misalkan percobaan kita berupa pelemparan 3 uang logam setimbang, Jika
kita misalkan Y menyatakan berapa kali sisi gambar muncul, maka Y adalah
suatu peubah acak yang mengambil nilai 0,1,2 atau 3 dengan peluang :
Penyelesaian :
Dalam hal ini, kita harus menghitung nilai peubah acak Y, yaitu y dan nilai
peluangnya.
Dik : S = {(A,A,A),(A,A,G),(A,G,A),(G,A,A),(A,G,G),(G,A,G),(G,G,A),(G,G,G)},
Karena Y menyatakan banyak G yang muncul, maka:
1. Untuk titik sampel AAA, bilangan bulat yang sesuai adalah 0, ditulis Y(s)
= Y(AAA) = 0
2. Untuk titik sampel AAG,AGA,GAA, bilangan bulat yang sesuai adalah 1,
ditulis Y(s) = Y(AAG) = Y(AGA) = Y(GAA) = 1
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
7
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
3. Untuk titik sampel AGG,GAG,GGA bilangan bulat yang sesuai adalah 2,
ditulis Y(s) = Y(AGG) = Y(GAG) = Y(GGA) = 2
4. Untuk titik sampel GGG, bilangan bulat yang sesuai adalah 3, ditulis Y(s)
= Y(GGG) = 3
Karena mata uang logam yang digunakan adalah seimbang maka peluang
masing-masing titik sampel sama yaitu : 1/8. Maka peluang untuk setiap nilai
peubah acaknya adalah sebagai berikut :
P{Y=0} = P{(A,A,A)} = 1/8
P{Y=1} = P{(A,A,G),(A,G,A),(G,A,A)} = 3/8
P{Y=2} = P{(G,G,A),(G,A,G),(A,G,G)} = 3/8
P{Y=3} = P{(G,G,G)} = 1/8
Jadi, distribusi peluang dari Y adalah :
y
0
1
2
3
p(y)
1/8
3/8
3/8
1/8
Teladan 8:
Misalnya fungsi peluang dari peubah acak X berbentuk :
1
(𝑘𝑥 + 1); 𝑥 = 0,1,2,3
𝑝(𝑥) = {5
0; 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Tentukan nilai k.
Penyelesaian:
∑ 𝑝(𝑥) = 1
𝑥
3
1
∑ ( ) (𝑘𝑥 + 1) = 1
5
𝑥=0
(1/5){1+(k+1)+(2k+1)+(3k+1)} = 1
6k + 4 = 5
6k = 1
K = 1/6.
Apabila kita menggambar grafik dari fungsi peluang atau distribusi peluang
maka grafiknya dapat berupa diagram batang atau histogram peluang.
x
0
1
2
3
p(x)
1/5
7/30
4/15
3/10
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
8
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Teladan 9 :
Lihat kembali teladan 7, Gambarkan grafik distribusi peluang dari Y
Penyelesaian :
Berikut ini distribusi peluang pada teladan 7 ;
y
0
1
2
3
p(y)
1/8
3/8
3/8
1/8
Diagram batang dan histogram peluangnya masing-masing dapat dilihat
dalam gambar dibawah ini :
p(y)
Diagram
Batang
3/8
1/8
y
0
1
2
3
p(y)
3/8
Histogram
1/8
y
0
1
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
2
3
9
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Dalam peubah acak kontinu, fungsi yang memenuhi sifat-sifat tertentu
dinamakan fungsi densitas peluang atau fungsi densitas.
Definisi B.2 : FUNGSI DENSITAS
Misalnya X adalah peubah acak kontinu yang didefinisikan dalam himpunan
bilangan real. Sebuah fungsi disebut fungsi densitas dari X, jika nilainilainya yaitu f(x) memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
∞
a. f(x) ≥ 0; untuk x ∈ (−∞, ∞)
𝑏. ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
c. Untuk setiap a dan b, dimana −∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞, maka
𝑏
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
Sifat (c) diatas menunjukkan penghitungan peluang dari peubah acak kontinu
X yang mempunyai nilai dari a sampai b.
f(x)
f
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏)
= 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐷𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠
x
a
b
Berdasarkan gambar diatas, 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) sama dengan luas daerah dibawah
kurva f dari x = a sampai x = b.
Dalam peubah acak diskrit, peluang dari peubah acak yang berharga lebih
dari satu nilai yang membentuk sebuah interval bisa dihitung dengan mudah
tergantung bentuk intervalnya. Artinya jika kita akan menghitung 𝑃(0 < 𝑋 < 3)
hasilnya akan berbeda dengan 𝑃(0 ≤ 𝑋 < 3), 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 3) atau 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 3).
Akan tetapi, penghitunga peluang dari peubah acak kontinu yang harganya
membentuk sebuah interval apa saja, hasilnya akan sama. Hal ini bisa dilihat
dalam dalil dibawah ini :
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
10
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Dalil B.1 : PELUANG PEUBAH ACAK KONTINU BERBENTUK INTERVAL
Jika X adalah peubah acak kontinu serta a dan b adalah dua konstanta real,
dengan a < b, maka :
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)
Bukti :
𝑎
Jika A = {x : x = a}, maka P(A) = P(X∈A) = P(X=a) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝑏
Jika A = {x : x = b}, maka P(B) = P(X∈B) = P(X=b) = ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
Berdasarkan hasil diatas, kita akan membuktikan :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
𝑃(𝑎
𝑃(𝑎
𝑃(𝑎
𝑃(𝑎
𝑃(𝑎
𝑃(𝑎
≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎
≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎
≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎
≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎
≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎
< 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎
≤𝑋
<𝑋
<𝑋
<𝑋
<𝑋
<𝑋
< 𝑏)
≤ 𝑏)
< 𝑏)
≤ 𝑏)
< 𝑏)
< 𝑏)
Pembuktiannya bisa dilihat dibawah ini :
a. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) + 𝑃(𝑋 = 𝑏)
= 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) + 0
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖.
b. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑋 = 𝑎) + 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏)
= 0 + 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏)
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖.
c. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑋 = 𝑎) + 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) + 𝑃(𝑋 =
= 0 + 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) + 0
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖.
d. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑋 = 𝑎) + 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑋 = 𝑏)
= 0 + 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) − 0
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖.
e. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑋 = 𝑎) + 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)
= 0 + 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖.
f. 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) + 𝑃(𝑋 = 𝑏)
= 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) + 0
𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖.
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
11
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Grafik dari fungsi densitas berupa sebuah kurva atau sebuah garis atau
bahkan kombinasi keduanya, yang penggambarannya disesuaikan dengan
bentuk fungsi densitasnya.
Pemahaman penghitungan peluang dari peubah acak kontinu yang
berharga tertentu sampai penggambaran grafiknya diperjelas melalui teladan
berikut ini :
Teladan 10:
Diketahui :
𝑘𝑥 2 ; 0 < 𝑥 < 2
𝑓(𝑥) = {
0; 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Tentukan nilai k agar f(x) merupakan fungsi densitas dari peubah acak X.
a. Hitung P(1<X<2).
b. Gambarkan grafik dari fungsi densitasnya.
Penyelesaian:
a. Berdasarkan sifat kedua dari fungsi densitas, maka:
∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
−∞
2
∫ 𝑘𝑥 2 𝑑𝑥 = 1
0
𝑘. (
𝑥3 2
] )=1
3 0
k = 3/8
7
23
𝑥3 2
b. P(1 < X < 2) = ∫1 8 𝑥 2 𝑑𝑥 = ( 8 ] ) =
1
8
c.
f(x)
Grafik Fungsi Densitas
3/2
f(x) = 3/8x2
0
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
2
12
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Fungsi densitas dari suatu peubah acak kontinu bisa mempunyai beberapa
nilai bergantung pada nilai peubah acaknya. Jika setiap nilai fungsi densitas itu
merupakan fungsi dari konstanta yang belum diketahui, maka penghitungan
konstanta itu tidak dilakukan terhadap masing-masing interval nilai peubah
acaknya melainkan terhadap semua interval nilai peubah acaknya.
Pemahaman uraian diatas akan diperjelas pada teladan berikut ini :
Teladan 11:
𝑘𝑥;
0≤𝑥<1
𝑘;
1≤𝑥<2
𝑔(𝑥) = {
−𝑘𝑥 + 3𝑘; 2 ≤ 𝑥 ≤ 3
0;
𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
a. Hitunglah nilai k.
b. Gambarkan grafik dari g(x).
Penyelesaian:
Dalam hal ini, penghitungan nilai k tidak dilakukan untuk setiap interval nilai x
melainkan terhadap nilai x dari 0 sampai 3. Adapun batas-batas pengintegralannya diisi dengan setiap interval nilai x
a. Berdasarkan sifat kedua dari fungsi densitas
∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
−∞
0
1
3
2
∞
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 1
−∞
0
0
1
1
2
2
3
3
∞
∫ 0 𝑑𝑥 + ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑘 𝑑𝑥 + ∫ −𝑘𝑥 + 3𝑘 𝑑𝑥 + ∫ 0 𝑑𝑥 = 1
−∞
0
1
2
3
𝑘𝑥 2 1
−𝑘𝑥 2
2
3
0+(
)] + 𝑘𝑥] + (
+ 3𝑘𝑥)] + 0 = 1
0
1
2
2
2
1
5
1
𝑘 + 𝑘 − 𝑘 + 3𝑘 = 1,
2𝑘 = 1,
𝑘=
2
2
2
Jadi fungsi densitas dari X berbentuk:
1
𝑥;
0≤𝑥<1
2
1
;
1≤𝑥<2
𝑔(𝑥) = 2
1
3
− 𝑥 + ;2 ≤ 𝑥 ≤ 3
2
2
{ 0;
𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
13
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
b. Grafik dari g(x) bisa dilihat pada gambar dibawah ini:
g(x)
1
𝑥;
0≤𝑥<1
2
1
;
1≤𝑥<2
𝑔(𝑥) = 2
1
3
− 𝑥+ ; 2≤𝑥≤3
2
2
{ 0;
𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
1
1/2
x
0
1
2
3
C. FUNGSI DISTRIBUSI
Apabila kita mempunyai distribusi peluang dari sebuah peubah acak diskrit, maka
kita bisa menghitung peluang dari peubah acak tersebut yang berharga tertentu.
Nilai peluang dari peubah acak tersebut bisa mempunyai beberapa kemungkinan
yaitu :
a. 𝑃(𝑋 < 𝑎)
b. 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)
c. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏)
d. 𝑃(𝑋 > 𝑏)
e. 𝑃(𝑋 ≥ 𝑏)
f. 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎)
g. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏)
h. 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏)
Dengan a dan b adalah dua buah konstanta.
Jika kita memperhatikan bentuk 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎), maka bentuk umumnya ditulis
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). Bentuk 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) dinamakan fungsi distribusi kumulatif atau fungsi
distribusi saja.
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
14
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Definisi C.1 : FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF
Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Kita
mendefinisikan F sebagai fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak X,
dengan:
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)
Definisi C.2 : FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF DISKRIT
Misalnya X adalah peubah acak diskrit,maka fungsi distribusi kumulatif dari X
berbentuk:
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∑
𝑝(𝑡)
𝑡≤𝑥
Dengan p(t) adalah fungsi peluang dari X di t
Pada pembahasan selanjutnya, fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak
diskrit akan dinyatakan sebagai fungsi distribusi saja. Jika peubah acak X
mempunyai nilai-nilai yang banyaknya berhingga yaitu x1, x2, x3,…xn dan masingmasing mempunyai peluangnya p(x1), p(x2), p(x3),….,p(xn), maka fungsi
distribusinya ditentukan sebagai berikut.
F(x) = 0
; 𝑥 < 𝑥1
= p(x1)
; 𝑥1 ≤ 𝑥 < 𝑥2
= p(x1) + p(x2)
; 𝑥2 ≤ 𝑥 < 𝑥3
= p(x1) + p(x2) + p(x3)
; 𝑥3 ≤ 𝑥 < 𝑥4
= p(x1) + p(x2) + p(x3) + … + p(xn) = 1 ; 𝑥𝑛 ≤ 𝑥
Jika kita memperhatikan bentuk fungsi distribusi diatas, maka nilainya berupa
konstanta semua untuk setiap interval nilai x yang diberikan.
Seperti halnya fungsi peluang atau distribusi peluang dan fungsi densitas,
fungsi distribusi jug adapt digambarkan grafiknya. Dalam hal ini, grafik fungsi
distribusi dari peubah acak diskrit berupa fungsi tangga.
Penentuan fungsi distribusi dan gambarnya dari peubah acak diskrit
diperjelas melalui teladan dibawah ini :
Teladan 12:
Apabila kita mengundi dua mata uang logam Rp.100 yang seimbang secara
sekaligus, maka distribusi peluangnya berbentuk:
x
0
1
2
Dimana X menunjukkan banyak huruf “BANK
p(x)
1/4
1/2
1/4
INDONESIA”
a. Tentukan fungsi distribusi dari X.
b. Gambarkan grafik fungsi distribusinya.
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
15
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Penyelesaian:
a. Untuk x < 0,
F(x) = 0
Untuk 0 ≤ 𝑥 < 1,
𝐹(0) = ∑
𝑝(𝑡) = 𝑝(0)
𝑡≤0
1
4
Untuk 1 ≤ 𝑥 < 2
𝐹(0) =
𝐹(1) = ∑
𝑝(𝑡) = 𝑝(0) + 𝑝(1) =
𝑡≤1
1 1
+
4 2
3
𝐹(1) =
4
Untuk 2 ≤ 𝑥
𝐹(2) = ∑
𝑝(𝑡) = 𝑝(0) + 𝑝(1) + 𝑝(2) =
𝑡≤2
1 1 1
+ +
4 2 4
𝐹(2) = 1
Jadi, fungsi distribusi dari X berbentuk:
0;
𝑥<0
1
; 0≤𝑥<1
𝐹(𝑥) = 4
3
; 1≤𝑥<2
4
{1;
2 ≤𝑥
b. Grafik dari fungsi distribusinya bisa dilihat pada gambar dibawah ini :
F(x)
1
Grafik Fungsi
3/4
Distribusi Diskrit
1/2
1/4
x
0
1
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
2
3
16
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Hal yang perlu diperhatikan dalam fungsi distribusi untuk peubah acak
diskrit adalah penulisan notasinya. Notasi untuk fungsi distribusi bisa ditulis
dengan huruf besar F, G, H atau lainnya yang diikuti dengan nilai peubah
acaknya.
Apabila fungsi peluang dari peubah acak X dinotasikan dengan p(x), maka
notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan F(x), G(x), H(x).
Definisi C.3 : FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF KONTINU
Misalnya X adalah peubah acak kontinu,maka fungsi distribusi kumulatif dari X
berbentuk:
𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
−∞
Dengan f(t) adalah nilai fungsi densitas dari X di t
Pada pembahasan selanjutnya, fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak
Dengan p(t) adalah fungsi peluang dari X di t
kontinu akan dinyatakan sebagai fungsi distribusi saja.
Nilai fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu biasanya berupa konstanta
dan fungsi.
Grafik fungsi distribusinya berupa kombinasi dari beberapa kemungkinan
berikut ini : garis lurus, garis yang sejajar dengan sumbu datar, garis yang
berimpit dengan sumbu datar dan sebuah kurva.
Jadi grafik fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu mempunyai
beberapa kemungkinan diantaranya sebagai berikut :
1. Grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbu datar dan kurva.
2. Grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbu datar, garis lurus dan
garis yang sejajar dengan sumbu datar.
3. Grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbu datar, kurva, dan garis
yang sejajar dengan sumbu datar.
Penentuan fungsi distribusi dan grafiknya untuk peubah acak kontinu
diperjelas melalui teladan berikut ini :
Teladan 13:
Misalnya fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk:
3 2
𝑥 ; 0<𝑥<2
𝑓(𝑥) = {8
0; 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
a. Tentukan fungsi distribusi F(x).
b. Gambarkan grafik dari F(x).
Penyelesaian :
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
17
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
a. Untuk x < 0,
F(x) = 0
Untuk 0 ≤ 𝑥 < 2,
0
𝑥
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
−∞
0
0
𝑥
3
= ∫ 0 𝑑𝑡 + ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡
8
−∞
0
𝑡3 𝑥
= 0+ ]
8 0
𝑥3
𝐹(𝑥) =
8
Untuk 2 ≤ 𝑥
0
𝑥
2
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
−∞
0
0
2
𝑥
2
3
= ∫ 0 𝑑𝑡 + ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 + ∫ 0 𝑑𝑡
8
−∞
0
2
𝑡3 2
= 0+ ] + 0
8 0
𝐹(𝑥) = 1
Jadi, fungsi distribusinya berbentuk:
0;
𝑥<0
3
𝑥
𝐹(𝑥) = { ; 0 ≤ 𝑥 < 2
8
1; 𝑥 ≥ 2
b. Grafiknya bisa dilihat pada gambar dibawah ini:
F(x)
1
Grafik Fungsi
Distribusi Kontinu
1/2
𝐹(𝑥) =
0
1
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
𝑋3
8
2
3
x
18
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Jika kita memperhatikan gambar diatas, maka grafiknya berupa garis yang
berimpit dengan sumbu datar, kurva, dan garis yang sejajar dengan sumbu
datar.
Hal yang perlu diperhatikan pada fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu
adalah penulisan notasinya. Karena dari definisi fungsi distribusi notasi yang
digunakannya adalah F, notasi untuk fungsi distribusinya tidak selalu dengan F.
Notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan huruf besar F,G, H atau
lainnya yang diikuti dengan nilai peubah acaknya dan sebaiknya disesuaikan
dengan notasi fungsi densitasnya. Apabila fungsi densitas dari peubah acak Y
dinotasikan dengan g(y) maka notasi untuk fungsi distribusinya sebaiknya
digunakan G(y).
Kita sudah menjelaskan bahwa penghitungan peluang dari peubah acak yang
mempunyai nilai dalam bentuk interval dapat dilakukan berdasarkan fungsi
peluang atau fungsi densitas. Selain itu, nilai peluang tersebut, baik peubah
acak diskrit maupun kontinu, dapat diperoleh berdasarkan fungsi distribusi. Hal
ini bisa dilakukan dengan menggunakan rumus :
𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
Dimana, a dan b adalah dua bilangan real a < b.
Adapun penghitungan peluang dari peubah acak yang berharga satu nilai
dapat dilakukan dengan menggunakan rumus :
𝑃(𝑋 = 𝑏) = 𝐹𝑥 (𝑏) − 𝐹𝑥 (𝑏−)
Pemahaman penggunaan kedua rumus diatas untuk peubah acak diskrit dan
kontinu masing-masing diperjelas melalui teladan dibawah ini:
Teladan 14:
Misalnya fungsi distribusi dari peubah acak X berbentuk :
0; 𝑥 < −1
125
; −1 ≤ 𝑥 < 1
216
200
𝐹(𝑥) =
;1 ≤ 𝑥 < 2
216
215
;2 ≤ 𝑥 < 3
216
{
1; 3 ≤ 𝑥
a. Hitung 𝑃(0 ≤ 𝑋 < 3)
b. Hitung 𝑃(𝑋 ≤ 0)
c. Hitung 𝑃(𝑋 > 1)
d. Hitung 𝑃(−1 ≤ 𝑋 < 0)
e. Hitung 𝑃(𝑋 = 1)
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
19
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Penyelesaian :
a. 𝑃(0 ≤ 𝑋 < 3) = 𝐹𝑥 (3) − 𝐹𝑥 (0)
125
=1−
216
91
𝑃(0 ≤ 𝑋 < 3) =
216
125
b. 𝑃(𝑋 ≤ 0) = 𝐹(0) = 216
c. 𝑃(𝑋 > 1) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1)
= 1 − 𝐹𝑥 (1)
200
=1−
216
16
𝑃(𝑋 > 1) =
216
d. 𝑃(−1 ≤ 𝑋 < 0) = 𝐹𝑥 (0) − 𝐹𝑥 (−1)
125 125
=
−
216 216
𝑃(−1 ≤ 𝑋 < 0) = 0
e. 𝑃(𝑋 = 1) = 𝐹𝑥 (1) − 𝐹𝑥 (1−)
200 125
=
−
216 216
75
𝑃(𝑋 = 1) =
216
Teladan 15:
Misalkan fungsi distribusi dari peubah acak X berbentuk :
0;
𝑥<0
𝑥
;0 ≤ 𝑥 < 1
𝐹(𝑥) =
2
𝑥 − 0,5 ; 1 ≤ 𝑥 < 1,5
1,
𝑥 ≥ 1,5
{
a. Hitung 𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1,1)
b. Hitung 𝑃(𝑋 > 0,7)
c. Hitung 𝑃(1,1 < 𝑋 ≤ 2)
d. Hitung 𝑃(𝑋 ≤ 1,4)
e. Hitung 𝑃(𝑋 = 1)
Penyelesaian:
a. 𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1,1) = 𝐹(1,1) − 𝐹(0,5)
0,5
= (1,1 − 0,5) −
2
= 0,6 − 0,25
𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1,1) = 0,35
b. 𝑃(𝑋 > 0,7) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 0,7)
= 1 − 𝐹(0,7)
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
20
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
0,7
2
= 1 − 0,35
𝑃(𝑋 > 0,7) = 0,65
c. 𝑃(1,1 < 𝑋 ≤ 2) = 𝐹(2) − 𝐹(1,1)
= 1 − (1,1 − 0,5)
= 1 − 0,6
𝑃(1,1 < 𝑋 ≤ 2) = 0,4
d. 𝑃(𝑋 ≤ 1,4) = 𝐹(1,4)
= 1,4 − 0,5
𝑃(𝑋 ≤ 1,4) = 0,9
e. 𝑃(𝑋 = 1) = 𝐹𝑥 (1) − 𝐹𝑥 (1−)
= (1 − 0,5) − 0,5
𝑃(𝑋 = 1) = 0
=1−
Kita sudah menjelaskan penghitungan peluang dari peubah acak yang
berharga tertentu berdasarkan fungsi peluangnya atau fungsi densitasnya dan
fungsi distribusinya.
Berikut ini akan diberikan contoh penghitungan peluang tersebut dengan
kedua cara di atas untuk peubah acak diskrit maupun kontinu, kemudian kita
akan membandingkan kedua hasilnya.
Teladan 16:
Misalnya distribusi peluang dari peubah acak Y berbentuk :
y
0
1
2
p(y)
¼
½
¼
Fungsi distribusi dari peubah acak Y berbentuk:
0;
𝑦<0
1
;0 ≤ 𝑦 < 1
4
𝐺(𝑦) =
3
;1 ≤ 𝑦 < 2
4
{
1;
𝑦≥2
Hitunglah peluang berikut ini dengan menggunakan perumusan fungsi peluang
dan fungsi distribusi.
a. 𝑃(0 < 𝑌 ≤ 2)
b. 𝑃(𝑌 ≤ 1)
c. 𝑃(𝑌 > 0,5)
Penyelesaian:
1. Fungsi Peluang
a. 𝑃(0 < 𝑌 ≤ 2) = 𝑃(𝑌 = 1,2)
= 𝑃(𝑌 = 1) + 𝑃(𝑌 = 2)
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
21
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
1 1
+
2 4
3
𝑃(0 < 𝑌 ≤ 2) =
4
b. 𝑃(𝑌 ≤ 1) = 𝑃(𝑌 = 0,1)
= 𝑃(𝑌 = 0) + 𝑃(𝑌 = 1)
1 1
= +
4 2
3
𝑃(𝑌 ≤ 1) =
4
c. 𝑃(𝑌 > 0,5) = 𝑃(𝑌 ≥ 1)
= 𝑃(𝑌 = 1,2)
1 1
= +
4 2
3
𝑃(𝑌 > 0,5) =
4
=
2. Fungsi Distribusi
a. 𝑃(0 < 𝑌 ≤ 2) = 𝐺𝑦 (2) − 𝐺𝑦 (0)
1
=1−
4
3
𝑃(0 < 𝑌 ≤ 2) =
4
b. 𝑃(𝑌 ≤ 1) = 𝐺𝑦 (1)
3
𝑃(𝑌 ≤ 1) =
4
c. 𝑃(𝑌 > 0,5) = 1 − 𝑃(𝑌 ≤ 0,5)
= 1 − 𝐺𝑦 (0,5)
1
=1−
4
3
𝑃(𝑌 > 0,5) =
4
Teladan 17:
Jika fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk :
3. 𝑒 −3𝑥 ,
𝑥>0
𝑓(𝑥) = {
0,
𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
dan fungsi distribusinya setelah ditentukan diperoleh:
0,
𝑥≤0
𝐹(𝑥) = {
1 − 𝑒 −3𝑥 ,
𝑥>0
Maka hitung peluang berikut ini dengan menggunakan perumusan fungsi
densitas dan fungsi distribusi.
a. 𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1)
b. 𝑃(𝑋 ≤ 0,5)
c. 𝑃(𝑋 > 1,2)
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
22
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Penyelesaian:
1. Fungsi Densitas
1
1
a. 𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1) = ∫0,5 3. 𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 −3𝑥 ]
0,5
𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1) = 𝑒 −1,5 − 𝑒 −3
0,5
0,5
𝑏. 𝑃(𝑋 ≤ 0,5) = ∫0 3. 𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 −3𝑥 ]
0
−1,5
𝑃(𝑋 ≤ 0,5) = 1 − 𝑒
𝑐. 𝑃(𝑋 > 1,2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1,2) = 1 − ∫0 3. 𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 = 1 + 𝑒 −3𝑥 ]1,2 = 1 + 𝑒 −3,6 − 1
1,2
0
𝑃(𝑋 > 1,2) = 𝑒 −3,6
2. Fungsi Distribusi
a. 𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1) = 𝐹𝑥 − 𝐹0,5 (0,5) = (1 − 𝑒 −3 ) − (1 − 𝑒 −1,5 )
𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1) = 𝑒 −1,5 − 𝑒 −3
𝑏. 𝑃(𝑋 ≤ 0,5) = 𝐹𝑥 (0,5)
𝑃(𝑋 ≤ 0,5) = 1 − 𝑒 −1,5
𝑐. 𝑃(𝑋 > 1,2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1,2) = 1 − 𝐹𝑥 (1,2) = 1 − (1 − 𝑒 −3,6 )
𝑃(𝑋 > 1,2) = 𝑒 −3,6
Jika fungsi peluang atau fungsi densitas dari sebuah peubah acak diketahui,
maka kita dapat menentukan fungsi distribusinya. Sebaliknya, kita bisa
menentukan fungsi peluang atau fungsi densitas dari sebuah peubah acak, jika
fungsi distribusinya diketahui.
Berikut ini akan dijelaskan penentuan fungsi peluang atau fungsi densitas
untuk peubah acak diskrit dan kontinu, jika fungsi distribusinya diketahui.
A. Peubah Acak Diskrit
Misalnya bilangan real t terletak dalam interval (b-h, b] yaitu b-h < t ≤ b,
dengan h adalah bilangan positif.
Apabila nilai h menuju nol, maka interval tersebut akan menuju ke satu nilai,
yaitu t = b, dan ditulis :
lim 𝑃(𝑏 − ℎ < 𝑋 ≤ 𝑏) = lim [𝐹𝑥 (𝑏) − 𝐹𝑥 (𝑏 − ℎ)] = 𝐹𝑥 (𝑏) − 𝐹𝑥 (𝑏 −)
ℎ→∞
ℎ→∞
Jadi, jika b adalah nilai diskontinu dari Fx maka b adalah nilai dari peubah
acak X dengan peluangnya positif. Peluang bahwa X = b merupakan ukuran
loncatan pada Fx(b).
Untuk lebih jelasnya, lihat gambar berikut ini:
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
23
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
Fx(t)
1
P(x=c)
Fungsi Distribusi
dan Fungsi
Peluang
P(x=b)
P(x=a)
t
0
a
b
c
Jadi, langkah-langkah untuk menentukan fungsi peluang berdasarkan fungsi
distribusi adalah sebagai berikut:
1. Tentukan nilai-nilai peubah acak X yang menyebabkan fungsi distribusi
Fx(x) diskontinu.
2. Tentukan peluang untuk setiap nilai x yang diskontinu, dengan rumus:
𝑃(𝑋 = 𝑥0 ) = 𝐹𝑥 (𝑥0 ) − 𝐹𝑥 (𝑥0 −)
𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎, 𝑥0 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑏𝑢𝑎ℎ 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑦𝑒𝑏𝑎𝑏𝑘𝑎𝑛 𝐹𝑥 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢.
Untuk lebih memahami penentuan fungsi peluang sebuah peubah acak diskrit
berdasarkan fungsi distribusinya akan diperjelas dalam teladan berikut ini:
Teladan 18:
Misalnya fungsi distribusi dari peubah acak X berbentuk:
0;
𝑥<0
1
;0 ≤ 𝑥 < 2
2
𝐹𝑥 (𝑥) =
5
;2 ≤ 𝑥 < 3
6
{
1;
𝑥≥3
Tentukan fungsi peluangnya.
Penyelesaian:
Jika kita memperhatikan 𝐹𝑥 (𝑥), maka ada tiga nilai x yang menyebabkan 𝐹𝑥 (𝑥)
diskontinu, yaitu x=0,2 dan 3.
Ketiga nilai itu merupakan nilai peubah acak X dengan peluangnya sebagai
berikut.
1
1
 𝑝(0) = 𝐹𝑥 (0) − 𝐹𝑥 (0 −) = 2 − 0 = 2
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
24
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
5
1
1
5
1
KELOMPOK 7
 𝑝(2) = 𝐹𝑥 (2) − 𝐹𝑥 (2 −) = 6 − 2 = 3
 𝑝(3) = 𝐹𝑥 (3) − 𝐹𝑥 (3 −) = 1 − 6 = 6
Jadi, fungsi peluang dari X adalah:
1
;
𝑥=0
2
1
;
𝑥=2
𝑝(𝑥) =
3
1
;
𝑥=3
6
{
0; 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
B. Peubah Acak Kontinu
Dalil C.1 : PENENTUAN FUNGSI DENSITAS
Jika f(x) dan F(x) masing-masing merupakan fungsi densitas dan fungsi
distribusi dari peubah acak X di x, maka ;
𝑓(𝑥) =
𝑑
𝐹(𝑥)
𝑑𝑥
Apabila hasil turunanya ada.
Pemahaman
akan
penentuan
dari sebuah peubah acak
Dengan
p(t) adalah
fungsi
peluangfungsi
dari Xdensitas
di t
kontinu berdasarkan fungsi distribusinya akan dijelaskan pada teladan berikut
ini:
Teladan 19:
Misalnya fungsi distribusi dari peubah acak X berbentuk:
0; 𝑥 ≤ 0
𝐹(𝑥) = {𝑥 2 ; 0 < 𝑥 ≤ 1
1;
𝑥>1
Tentukan fungsi densitasnya.
Penyelesaian:
Untuk 𝑥 ≤ 0
: f(x)=F’(x)=0
Untuk 0 < 𝑥 ≤ 1 : f(x)=F’(x)=2x
Untuk x > 1
: f(x)=F’(x)=0
Jadi fungsi densitasnya berbentuk:
2𝑥 ; 0 < 𝑥 ≤ 1
𝑓(𝑥) = {
0; 𝑥𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Setelah kita menjelaskan teknik penentuan fungsi distribusi berdasarkan
fungsi peluangnya atau fungsi densitasnya atau sebaliknya, kita perlu
mengetahui beberapa sifat dari fungsi distribusi.
1. 0 < 𝐹(𝑥) ≤ 1, 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 0 < 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) ≤ 1
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
25
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
2. 𝐹(𝑥)𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛 𝑑𝑖 𝑥. 𝐴𝑟𝑡𝑖𝑛𝑦𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ′ < 𝑥 ′′ , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐹 ′ (𝑥) <
𝐹 ′′ (𝑥), ℎ𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑡 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑢𝑟𝑎𝑖𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 𝑖𝑛𝑖.
𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑥 ′ < 𝑥 ′′ , 𝑚𝑎𝑘𝑎
{𝑥: 𝑥 ≤ 𝑥 ′′ } = {𝑥: 𝑥 ≤ 𝑥 ′ } ∪ {𝑥: 𝑥 ′ < 𝑥 ≤ 𝑥 ′′ }
𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥 ′′ ) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥 ′ ) + 𝑃(𝑥 ′ < 𝑋 ≤ 𝑥 ′′ )
𝐹(𝑥 ′′ ) = 𝐹(𝑥 ′ ) + 𝑃(𝑥 ′ < 𝑋 < 𝑥 ′′ )
𝐹(𝑥 ′′ ) − 𝐹(𝑥 ′ ) = 𝑃(𝑥 ′ < 𝑋 ≤ 𝑥 ′′ ), 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑃(𝑥 ′ < 𝑋 ≤ 𝑥 ′′ ) ≥ 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 ∶
𝐹(𝑥 ′′ ) − 𝐹(𝑥 ′ ) ≥ 0
𝐹(𝑥 ′′ ) ≥ 𝐹(𝑥 ′ ) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐹(𝑥 ′ ) ≤ 𝐹(𝑥 ′′ )
3. 𝐹(∞) = lim 𝐹(𝑥) = 1 𝑑𝑎𝑛 𝐹(−∞) = lim 𝐹(𝑥) = 0
𝑥→∞
𝑥→−∞
Hal ini bisa dibuktikan dengan uraian berikut ini:
𝑆 = {−∞ < 𝑥 ≤ 0} ∪ {0 < 𝑥 < ∞} 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛,
{−∞ < 𝑥 ≤ 0} = {−1 < 𝑥 ≤ 0} ∪ {−2 < 𝑥 ≤ −1} ∪ {−3 < 𝑥 ≤ −2} ∪ …
{0 < 𝑥 < ∞} = {0 < 𝑥 ≤ 1} ∪ {1 < 𝑥 ≤ 2} ∪ {2 < 𝑥 ≤ 3} ∪ …
∞
∞
𝐽𝑎𝑑𝑖, 𝑆 = ([⋃{−𝑥 < 𝑋 ≤ −𝑥 + 1}] ∪ [⋃{𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑥 + 1}])
𝑥=1
∞
𝑥=1
∞
𝑃(𝑆) = 𝑃[⋃{−𝑥 < 𝑋 ≤ −𝑥 + 1}] + 𝑃[⋃{𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑥 + 1}]
∞
𝑥=1
∞
𝑥=1
= ∑ 𝑃{𝑥 < 𝑋 ≤ −𝑥 + 1} + ∑ 𝑃{𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑥 + 1}
𝑥=1
𝑥=1
𝑎
𝑏
1 = lim ∑ 𝑃{𝑥 < 𝑋 ≤ −𝑥 + 1} + lim ∑ 𝑃{𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑥 + 1}
𝑎→∞
𝑏→∞
𝑥=1
𝑎
𝑥=1
𝑏
1 = lim ∑[𝐹(−𝑥 + 1) − 𝐹(−𝑥)] + + lim ∑[𝐹(𝑥 + 1) − 𝐹(𝑥)]
𝑎→∞
𝑏→∞
𝑥=1
𝑥=1
1 = lim [𝐹(0) − 𝐹(−𝑎)] + lim [𝐹(𝑏 + 1) − 𝐹(0)]
𝑎→∞
𝑏→∞
1 = [𝐹(0) − 𝐹(−∞)] + [𝐹(∞) − 𝐹(0)]
1 = 𝐹(∞) − 𝐹(−∞) … (1)
Karena −∞ < ∞, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐹(−∞) ≤ 𝐹(∞) 𝑑𝑎𝑛 𝐹(−∞) ≥ 0, 𝐹(∞) ≤ 1;
𝑗𝑎𝑑𝑖, 0 ≤ 𝐹(−∞) ≤ 𝐹(∞) ≤ 1 … (2)
𝐷𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 (1)𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ ∶ 𝐹(∞) = 1 + 𝐹(−∞)
𝐷𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 (2)𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ ∶ 0 ≤ 𝐹(−∞) ≤ 1 + 𝐹(−∞)
≤ 1, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ: 𝐹(−∞) ≤ 0
𝐾𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎, 𝐹(−∞) ≤ 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎𝐹(−∞) = 0 ∶ 𝐴𝑘𝑖𝑏𝑎𝑡𝑛𝑦𝑎, 𝐹(∞) = 1
4. F(x) kontinu kanan pada setiap nilai x.
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
26
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
PENUTUP
A. KESIMPULAN
1. Misalnya E adalah sebuah eksperimen dengan ruang sampelnya S.
Sebuah fungsi X yang menetapkan setiap anggota s ∈ S dengan sebuah
bilangan real X(s) dinamakan peubah acak.
2. Misalnya X adalah peubah acak. Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dari X
(yaitu ruang hasil dari Rx) berhingga atau tak berhingga tapi dapat dihitung,
maka X adalah peubah acak diskrit.
3. Misalnya X adalah peubah acak. Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dari X
(yaitu ruang hasil dari Rx) merupakan sebuah interval pada garis bilangan
real, maka X dinamakan peubah acak kontinu.
4. Jika X adalah peubah acak diskrit, maka p(x) = P(X=x) untuk setiap x dalam
range X dinamakan fungsi peluang dari X.Nilai fungsi peluang dari X, yaitu
p(x) harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut.
p(x) ≥ 0
∑ 𝑝(𝑥) = 1
𝑥
5. Misalnya X adalah peubah acak kontinu yang didefinisikan dalam himpunan
bilangan real. Sebuah fungsi disebut fungsi densitas dari X, jika nilai-nilainya
yaitu f(x) memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
∞
a. f(x) ≥ 0; untuk x ∈ (−∞, ∞)
𝑏. ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
c. Untuk setiap a dan b, dimana −∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞, maka
𝑏
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
B. SARAN
Demikianlah makalah yang dapat kami buat, sebagai manusia biasa kita
menyadari dalam pembuatan makalah ini masih terdapat banyak kesalahan dan
kekurangan. Untuk itu kritik dan saran yang bersifat konstruktif sangat kami
harapkan demi kesempurnaan makalah ini dan berikutnya. Semoga makalah ini
bermanfaat bagi kita semua. Amin.
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
27
[PENGANTAR TEORI PELUANG]
KELOMPOK 7
DAFTAR PUSTAKA
Herrhyanto Nar &Tuti Gantini. 2009. ”Pengantar Statistika Matematika”. Yrama
Widya. Bandung.
Ross Sheldon terj. Bambang Sumantri. 1996. “Suatu Pengantar Ke Teori Peluang”.
University Of California.Barkeley
Antou, Neltje Konda. 2009. “Pengantar Teori Peluang”. Universitas Negeri Manado.
Tondano
Peubah Acak Diskrit dan Kontinu
28