RUANG VEKTOR BAGIAN RANK KONSTAN DARI BEBERAPA

Prosiding Seminar Nasional
ISSN 2443-1109
Volume 02, Nomor 1
RUANG VEKTOR BAGIAN RANK KONSTAN DARI BEBERAPA RUANG
VEKTOR MATRIKS
Iin Karmila Putri1, Andi Jumardi2
Universitas Cokroaminoto Palopo1,2
[email protected], [email protected]
Suatu ruang vektor 𝑉 atas lapangan 𝔽 adalah suatu himpunan 𝑉 yang dilengkapi dengan operasi
penjumlahan 𝑢 + 𝑣, 𝑢, 𝑣𝜖𝑉 dan perkalian dengan skalar 𝛼𝑢, 𝛼𝜖𝔽, 𝑢𝜖𝑉 yang memenuhi syarat
tertentu. Penelitian ini bertujuan mengkaji pengembangan berdasarkan sifat atau teori tentang ruang
vektor bagian dengan rank konstan. Penelitian ini bekerja pada ruang vektor matriks Hermit atas
bilangan kompleks dan matriks simetri atas bilangan riil. Dengan melakukan pengembangan pada
rank konstannya, yaitu jika terdapat subruang 𝑈 dengan rank konstan 𝑘 maka terdapat subruang 𝑈′
dengan rank konstan 2𝑘. Dikembangkan menjadi jika terdapat jika terdapat subruang 𝑈 dengan rank
konstan 𝑘 maka terdapat subruang 𝑈′ dengan rank konstan 𝑝𝑘. Hasil penelitian ini menunjukkan
bahwa jika subruang 𝑈 rank konstan 𝑘 dari ruang vektor matriks 𝑀𝑚×(𝑛−𝑚) (ℝ) yang berdimensi 𝑑
atas ℝ , maka terdapat subruang 𝑈′ rank konstan 𝑝𝑘 dari ruang vektor matriks 𝐻𝑝𝑛 (ℂ) yang
2
berdimensi 2𝑑 atas ℂ . Dan jika terdapat subruang 𝑈 rank konstan 𝑘 dari ruang vektor matriks
𝑀𝑚×(𝑛−𝑚) (ℝ) yang berdimensi 𝑑 atas ℝ. Maka terdapat subruang 𝑈′ rank konstan 𝑝𝑘 dari ruang
vektor matriks 𝑆𝑝𝑛 (ℝ) yang berdimensi 𝑑 atas ℝ dan setiap elemen taknolnya bertipe positif.
2
Kata kunci: ruang vektor, subruang vektor, rank konstan, matriks hermit, matriks simetri
1. Pendahuluan
Pada saat pertama kali teori vektor dikembangkan, hanya dikenal vektorvektor di 𝑅 2 dan 𝑅 3 saja, tetapi dalam perkembangannya ternyata didapatkan
permasalahan yang lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor-vektor di ruang
berdimensi 4,5 atau secara umum merupakan vektor-vektor di 𝑅 𝑛 . Secara geometri
vektor-vektor di 𝑅 4 dan seterusnya belum bisa digambarkan, tetapi dasar yang
digunakan seperti operasi-operasi vektor masih sama seperti operasi pada vektorvektor di 𝑅 2 dan 𝑅 3 . Konsep vektor pertama kali dijumpai pada “School Of Euclid”
sekitar 300 sebelum masehi, ruang vektornya disebut ruang-𝑛 Euclidis. Suatu ruang
vektor 𝑉 atas lapangan 𝔽 adalah suatu himpunan 𝑉 yang dilengkapi dengan operasi
penjumlahan 𝑢 + 𝑣, 𝑢, 𝑣𝜖𝑉 , dan perkalian dengan skalar 𝛼𝑢, 𝛼𝜖𝔽, 𝑢𝜖𝑉 yang
memenuhi syarat tertentu.
Subhimpunan 𝑊 dari sebnuah ruang vektor 𝑉 dinamakan subruang
(subspace) 𝑉 jika 𝑊 itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan
perkalian skalar yang didefinisikan pada 𝑉, maka 𝑊 adalah subruang dari 𝑉 jika dan
hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku, yaitu jika 𝑢 dan 𝑣 adalah vektor-vektor
pada 𝑊, maka 𝑢 + 𝑣 berada di 𝑊, 𝑘𝑢 berada di 𝑊. Kondisi-kondisi tersebut sering
Halaman 754 dari 896
Iin Karmila Putri, Andi Jumardi
dijelaskan dengan menyatakan bahwa 𝑊 tertutup pada penambahan dan tertutup pada
perkalian skalar. Setiap ruamg vektor pada 𝑉 mempunyai paling sedikit dua subruang.
𝑉 sendiri adalah sebauh subruang, dan himpunan {0} yang terdiri dari vektor nol saja
pada 𝑉 yang merupakan sebuah subruang yang dinamakan subruang nol.
Subruang 𝑅 𝑛 yang direntang oleh vektor-vektor baris matriks 𝐴 dinamakan
ruang baris 𝐴 dan subruang 𝑅 𝑚 yang direntang oleh vektor-vektor kolom dinamakan
ruang kolom 𝐴. Rank (𝐴) adalah dimensi ruang baris atau ruang kolom dari suatu
matriks 𝐴. Dalam hal ini, dimensi ruang baris suatu matriks selalu sama dnegan
dimensi ruang kolom. Pada sisi lain, misalkan 𝑊 adalah subruang taknol dari ruang
vektor matriks 𝑀𝑛×𝑛 (ℝ) . Subruang 𝑊 dinamakan suatu subruang dengan rank
konstan jika semua unsur taknol dari 𝑊 mempunyai rank yang sama.
Penelitian sebelumnya pada tahun 2010 oleh Jean Guillaume Dumas, Rod
Gowa, dan John Sheekey dalam penelitian “Rank Properties of Subspaces of
Symmetric and Hermitian Matrices over Finite Fields” menjelaskan mengenai sifatsifat rank matriks dari suatu subruang matriks simetris dan matriks Hermit atas
lapangan berhingga. Pada kesempatan berbeda pada tahun 2011, Sheeley dalam
penelitiannya yang berjudul “On Rank Problems forSubspaces of Matrices over Finite
Field” membuktikan beberapa sifat tentang subruang vektor rank konstan dari
beberapa ruang vektor matriks dengan rank konstan 2𝑘. Salah satu teori yang berlaku
adalah jika ada subruang vektor rank konstan dengan rank 𝑘, maka dapat dibentuk
subruang vektor rank konstan yang baru dengan rank 2𝑘 dan untuk dimensi dan tipe
yang sama dengan ruang vektor sebelumnya.
Sehingga penelitian ini bertujuan untuk menentukan ruang vektor bagian
rank konstan dari beberapa ruang vektor matriks agar berlaku lebih luas yaitu jika ada
subruang vektor rank konstan dengan rank 𝑘, maka dapat dibentuk subruang vektor
rank konstan yang baru dengan rank 𝑝𝑘.
2. Metode Penelitian
Rancangan Penelitian
Langkah awal dari penelitian adalah mengidentifikasi masalah yang bertujuan
untuk menetapkan fokus permasalahan penelitian. Studi pustaka dilakukan terhadap
jurnal-jurnal penelitian yang berkaitan dengan bidang penelitian sebagai tahap
melengkapi pengetahuan daftar peneliti untuk keperluan pelaksanaan penelitian.
Analisis Data
Halaman 755 dari 896
Iin Karmila Putri, Andi Jumardi
Penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah yaitu, mencermati sifatsifat dan teori yang mendukung mengenai subruang vektor bagian rank konstan,
mengumpulkan sifat-sifat dan teori yang mendukung mengenai subruang vektor
bagian rank konstan, membuktikan sifat ruang vektor bagian rank konstan dengan
rank 𝑝𝑘 berlaku untuk beberapa contoh, membuktikan sifat ruang vektor bagian rank
konstan dengan rank 𝑝𝑘 berlaku secara umum dan terakhir verifikasi hasil.
3. Hasil dan Pembahasan
Teorema 1. Misalkan terdapat subruang 𝑈 dengan rank konstan 𝑘 dari ruang
vektor matriks 𝑀𝑚×(𝑛−𝑚) (ℝ) yang berdimensi 𝑑 atas bilangan riil ℝ dengan 1 ≤
𝑚 < 𝑛. Maka terdapat subruang 𝑈 ′ dengan rank konstan 2𝑘 dari ruang vektor matriks
𝑆𝑛 (ℝ) yang berdimensi 𝑑 atas bilangan riil ℝ dan setiap elemen taknolnya bertipe
positif.
Bukti: Misalkan 𝑈 ′ adalah himpunan matriks-matriks yang berbentuk
(
0𝑚
𝐴𝑇
𝐴
0𝑛−𝑚
)
dengan 𝐴 ∈ 𝑈. Dapat dilihat bahwa setiap elemen tak nol dari 𝑈 ′ yaitu 𝐴 yang
berukuran 𝑚 × (𝑛 − 𝑚) memiliki rank 𝑘 dan 𝐴𝑇 yang berukuran (𝑛 − 𝑚) × 𝑚 juga
memiliki rank 𝑘 sehingga 𝑈 ′ adalah subruang dengan rank konstan 𝑝𝑘 dan merupakan
subruang dari matriks simetri 𝑆𝑛 (ℝ) yang berdimensi 𝑑 atas bilangan riil ℝ .
Selanjutnya dibuktikan, 𝑈 ′ merupakan suatu subruang berdimensi 𝑑 atas bilangan riil
ℝ.
Misalkan basis dari 𝑈 adalah
𝐵 = {𝐵1 , 𝐵2 , 𝐵3 , … , 𝐵𝑑 }
maka dapat dilihat bahwa
𝐵′ = {𝐵1′ , 𝐵2′ , 𝐵3′ , … , 𝐵𝑑′ },
dengan
0
𝐵1′ = ( 𝑇
𝐵1
𝐵1
) ∈ 𝑈′
0
0
𝐵2′ = ( 𝑇
𝐵2
𝐵2
) ∈ 𝑈′
0
0
𝐵3′ = ( 𝑇
𝐵3
𝐵3
) ∈ 𝑈′
0
⋮
0
𝐵𝑑′ = ( 𝑇
𝐵𝑑
𝐵𝑑
) ∈ 𝑈′
0
adalah basis dari 𝑈′.
Halaman 756 dari 896
Ruang Vektor Bagian Rank Konstan Dari Beberapa Ruang Vektor Matriks
Misalkan 𝑈 adalah subruang vektor dari matriks 𝑀𝑚×(𝑛−𝑚) (ℝ) berdimensi 𝑑 dan
misalkan 𝐵 = {𝐵1 , 𝐵2 , 𝐵3 , … , 𝐵𝑑 } adalah basis dari 𝑈.
Misalkan
0𝑚
𝑈 ′ = {( 𝑇
𝐴
𝐴
)| 𝐴 ∈ 𝑈}
0𝑛−𝑚
Karena 𝐴 ∈ 𝑈 maka,
𝐴 = 𝑎1 𝐵1 + 𝑎2 𝐵2 + 𝑎3 𝐵3 + ⋯ + 𝑎𝑑 𝐵𝑑 .
Maka untuk setiap 𝑢 ∈ 𝑈′ dapat ditulis
𝑢=(
0𝑚
𝐴𝑇
𝐴
𝑢=(
0𝑚
𝑎1 𝐵1𝑇 + 𝑎2 𝐵2𝑇 + ⋯ + 𝑎𝑑 𝐵𝑑𝑇
0𝑛−𝑚
0𝑚
=(
𝑎1 𝐵1𝑇
= 𝑎1 (
0𝑚
𝐵1𝑇
)
𝑎1 𝐵1
0𝑚
)+(
0𝑛−𝑚
𝑎2 𝐵2𝑇
𝑎1 𝐵1 + 𝑎2 𝐵2 + ⋯ + 𝑎𝑑 𝐵𝑑
)
0𝑛−𝑚
0𝑚
𝑎2 𝐵2
)+ ⋯+ (
𝑇
𝑎
0𝑛−𝑚
𝑑 𝐵𝑑
𝑎𝑑 𝐵𝑑
)
0𝑛−𝑚
0𝑚
) + ⋯ + 𝑎𝑑 ( 𝑇
𝐵𝑑
0𝑛−𝑚
𝐵1
0𝑚
) + 𝑎2 ( 𝑇
0𝑛−𝑚
𝐵2
𝐵𝑑
).
0𝑛−𝑚
𝐵2
Jadi, 𝑢 dapat ditulis dengan kombinasi linear dari
{𝐵1′ , , 𝐵2′ , 𝐵3′ , … , 𝐵𝑑′ }
0𝑚
𝐵𝑖𝑇
dimana 𝐵𝑖′ = (
𝐵𝑖
)
0𝑛−𝑚
Jadi, {𝐵1′ , , 𝐵2′ , 𝐵3′ , … , 𝐵𝑑′ } membangun 𝑈′.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa {𝐵1′ , , 𝐵2′ , 𝐵3′ , … , 𝐵𝑑′ } bebas linear sebagai berikut,
0 = 𝑎1 𝐵1′ + 𝑎2 𝐵2′ + ⋯ + 𝑎𝑑 𝐵𝑑′
= 𝑎1 (
0𝑚
𝐵1𝑇
0𝑚
=(
𝑎1 𝐵1𝑇
0𝑚
𝐵2
) + ⋯ + 𝑎𝑑 ( 𝑇
𝐵𝑑
0𝑛−𝑚
𝐵1
0𝑚
) + 𝑎2 ( 𝑇
0𝑛−𝑚
𝐵2
𝑎1 𝐵1
0𝑚
)+(
0𝑛−𝑚
𝑎2 𝐵2𝑇
0𝑚
𝑎2 𝐵2
)+ ⋯+ (
𝑎𝑑 𝐵𝑑𝑇
0𝑛−𝑚
0𝑚
=(
𝑎1 𝐵1𝑇 + 𝑎2 𝐵2𝑇 + ⋯ + 𝑎𝑑 𝐵𝑑𝑇
𝐵𝑑
)
0𝑛−𝑚
𝑎𝑑 𝐵𝑑
)
0𝑛−𝑚
𝑎1 𝐵1 + 𝑎2 𝐵2 + ⋯ + 𝑎𝑑 𝐵𝑑
).
0𝑛−𝑚
Karena 𝑎1 𝐵1 + 𝑎2 𝐵2 + 𝑎3 𝐵3 + ⋯ + 𝑎𝑑 𝐵𝑑 = 0, jika dan hanya jika
𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = ⋯ = 𝑎𝑑 = 0
Maka
0 = 𝑎1 𝐵1′ + 𝑎2 𝐵2′ + ⋯ + 𝑎𝑑 𝐵𝑑′
jika dan hanya jika 𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = ⋯ = 𝑎𝑑 = 0. Karena itu, {𝐵1′ , 𝐵2′ , … , 𝐵𝑑′ } bebas
linear. Sekarang elemen 𝑋 ∈ 𝑆𝑛 (ℝ) dari rank 2𝑘 bertipe positif jika dan hanya jika
Halaman 757 dari 896
Iin Karmila Putri, Andi Jumardi
terdapat subruang berdimensi (𝑛 − 𝑚) dari 𝑆𝑛 (ℝ) yang total isotropik terhadap
bentuk kuadratik 𝑄𝑋 .
Hal ini menjelaskan bahwa subruang dari vektor (0,0, … ,0, 𝑣𝑚+1 , … , 𝑣𝑛 ) membentuk
suatu subruang berdimensi 𝑑 yang total isotropik untuk setiap elemen taknol dari
matriks simetri atas bilangan riil ℝ, yaitu 𝑆𝑛 (ℝ).
Teorema 1 hanya berlaku untuk subruang 𝑈 ′ dari matriks-matriks yang berbentuk
0𝑚
( 𝑇̅
𝐴
𝐴
0𝑛−𝑚
)
akan dikembangkan menjadi seperti pada teorema berikut ini:
Teorema 2. Misalkan terdapat subruang 𝑈 dengan rank konstan 𝑘 dari ruang
vektor matriks 𝑀𝑚×(𝑛−𝑚) (ℝ) yang berdimensi 𝑑 atas bilangan riil ℝ dengan 1 ≤
𝑚 < 𝑛. Maka terdapat subruang 𝑈 ′ dengan rank konstan 𝑝𝑘 dari ruang vektor matriks
𝑆𝑝𝑛 (ℝ) yang berdimensi 𝑑 atas bilangan riil ℝ dan setiap elemen taknolnya bertipe
2
positif.
Bukti: Misalkan 𝑈 ′ adalah himpunan matriks-matriks yang berbentuk
0𝑚
( 𝐴𝑇
0
0
⋯
0
0
0
⋯
0
⋮
⋮
0
0
0
𝐴
0𝑛−𝑚
0𝑚
𝐴𝑇
⋮
𝐴
0𝑚
𝐴𝑇
0
0𝑚
𝐴𝑇
𝐴
⋰
0𝑛−𝑚
0
𝐴
0𝑛−𝑚
0
⋮
0
⋯
0
⋰
0𝑛−𝑚
0
⋯
0
0
0
…
0
⋯
0
)
dengan 𝐴 ∈ 𝑈 . Dapat dilihat bahwa setiap elemen tak nol dari 𝑈 ′ yaitu 𝐴 yang
berukuran 𝑚 × (𝑛 − 𝑚) memiliki rank 𝑘 dan 𝐴𝑇 yang berukuran (𝑛 − 𝑚) × 𝑚 juga
memiliki rank 𝑘 sehingga 𝑈 ′ adalah subruang dengan rank konstan 𝑝𝑘 dan merupakan
subruang dari matriks simetri 𝑆𝑝𝑛 (ℝ) yang berdimensi 𝑑 atas bilangan riil ℝ .
2
Selanjutnya dibuktikan, 𝑈 ′ merupakan suatu subruang berdimensi 𝑑 atas bilangan riil
ℝ.
Misalkan basis dari 𝑈 adalah
𝐵 = {𝐵1 , 𝐵2 , 𝐵3 , 𝐵4 , … , 𝐵𝑑 }
maka dapat dilihat bahwa
𝐵 ′ = {𝐵1′ , 𝐵2′ , 𝐵3′ , 𝐵4′ , … , 𝐵𝑑′ },
Halaman 758 dari 896
Ruang Vektor Bagian Rank Konstan Dari Beberapa Ruang Vektor Matriks
dengan
𝐵1′ =
0
0
⋯
0
0
0
⋯
0
⋮
⋮
0
0
0
0
(𝐵2𝑇
𝐵3′ =
0
(𝐵3𝑇
⋮
𝐵1
0
0
𝐵1𝑇
𝐵1
0
𝐵1
0
0
⋰
0
⋮
0
⋯
0
⋰
0
⋯
0
0
0
…
0
⋯
0
0
0
⋯
0
0
0
0
⋯
0
⋮
⋮
0
0
0
(𝐵1𝑇
𝐵2′ =
0
𝐵1𝑇
0
𝐵1𝑇
0
𝐵1
0
0
0
𝐵2𝑇
⋮
𝐵2
0
0
𝐵2𝑇
0
𝐵2𝑇
𝐵2
0
0
⋰
0
⋮
0
⋯
0
0
⋯
0
0
0
…
0
⋯
0
0
0
⋯
0
0
0
0
⋯
0
⋮
⋮
0
0
0
𝐵3
0
0
𝐵3𝑇
⋮
𝐵3
0
0
𝐵3𝑇
)
𝐵2
0
⋰
𝐵2
0
∈ 𝑈′
0
𝐵3𝑇
𝐵3
0
∈ 𝑈′
)
𝐵3
0
0
⋰
0
⋮
0
⋯
0
⋰
0
⋯
0
0
0
…
0
⋯
0
0
∈ 𝑈′
)
⋮
𝐵𝑑′ =
0
(𝐵𝑑𝑇
0
0
⋯
0
0
0
⋯
0
⋮
⋮
0
0
0
𝐵𝑑
0
0
𝐵𝑑𝑇
⋮
𝐵𝑑
0
0
𝐵𝑑𝑇
0
𝐵𝑑𝑇
𝐵𝑑
0
𝐵𝑑
0
0
⋰
0
⋮
0
⋯
0
⋰
0
⋯
0
0
0
…
0
⋯
0
∈ 𝑈′
)
dengan mengambil 𝑢 adalah sebarang himpunan vektor pada subruang 𝑈′ dan
kombinasi linearnya yaitu,
Halaman 759 dari 896
Iin Karmila Putri, Andi Jumardi
𝑢 = 𝑎1′ 𝐵1′ + 𝑎2′ 𝐵2′ + 𝑎3′ 𝐵3′ + ⋯ + 𝑎𝑑′ 𝐵𝑑′
Untuk setiap 𝑢 ∈ 𝑈′. Sehingga 𝐵 ′ adalah basis dari 𝑈 ′ atas ℝ.
Sekarang elemen 𝑋 ∈ 𝑆𝑝𝑛 (ℝ) dari rank 𝑝𝑘 bertipe positif jika dan hanya jika terdapat
2
subruang berdimensi (𝑛 − 𝑚) dari 𝑆𝑝𝑛 (ℝ) yang total isotropik terhadap bentuk
2
kuadratik 𝑄𝑋 .
Hal ini menjelaskan bahwa subruang dari vektor
(0 … 0 𝑣𝑚+1
…
𝑣𝑛
0 …
0 𝑣𝑚+1
… 𝑣𝑛
… 0 … 0
𝑣𝑚+1
… 𝑣𝑛 )
membentuk suatu subruang berdimensi 𝑑 yang total isotropik untuk setiap elemen
taknol dari matriks simetri atas bilangan riil ℝ, yaitu 𝑆𝑝𝑛 (ℝ).
2
4. Kesimpulan dan saran
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah penulis lakukan, serta
pengembangan teorema-teorema yang telah dibuktikan, maka dapat diambil
kesimpulan untuk teorema-teorema berikut terbukti dan berlaku secara umum yaitu,
misalkan terdapat subruang 𝑈 rank konstan 𝑘 dari ruang vektor matriks
𝑀𝑚×(𝑛−𝑚) (ℝ) yang berdimensi 𝑑 atas ℝ. Maka terdapat subruang 𝑈 ′ rank konstan
𝑝𝑘 dari ruang vektor matriks 𝑆𝑝𝑛 (ℝ) yang berdimensi 𝑑 atas ℝ dan setiap elemen
2
taknolnya bertipe positif. Dimana 𝑝 adalah bilangan genap positif yang lebih besar
dari 2. Mengacu pada hasil-hasil yang dicapai dan manfaat yang diharapkan dari hasil
penelitian, maka penulis menyarankan agar peneliti selanjutnya yang berminat dengan
materi ini sebaiknya bekerja dalam ruang vektor matriks lain yaitu selain matriks
simetri 𝑆𝑝𝑛 (ℝ). Pada penelitian ini penulis bekerja pada bilangan real ℝ. Jadi, penulis
2
menyarankan untuk penelitian lebih lanjut dapat bekerja dalam lapangan hingga
dengan 𝑞 elemen yaitu 𝔽𝑞 ( 𝑆𝑛 (𝔽𝑞 ) ) .
Daftar Pustaka
[1] Gallian, J.A. Contemporary Abstract Algebra. 2nd Edition. Massachussets : D.C.
Heath and Company. 1990.
[2] Grillet, P. Antoine. Abstract Algebra. 2nd Edition. New York : Spgelangganger
Science and Business Media, LLC. 2007.
[3] Guillaume, Jean., Gow, Row., McGuire, Gary and Sheekey, John. Subspaces Of
Matrice with Special Rank Properties. Journal Of Mathematic. Science
Foundation Ireland Grant 06/MI/006. 2010.
[4] Haryanto, Loeky dan Amir Kamal, Amir. Bahan Ajar Untuk Pasca Sarjana
Aljabar Linear Lanjut. Bagian I. Universitas Hasanuddin: Jurusan Matematika.
2012.
Halaman 760 dari 896
Ruang Vektor Bagian Rank Konstan Dari Beberapa Ruang Vektor Matriks
[5] Herstein, I. N. Abstract Algebra. 3rd Edition. New Jersey : Prentice Hall
International,Inc. 1996.
[6] Horward, Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Application
Version, John Wiley & Sons. 2005.
[7] Lidl, Rudolf and Harald Niederreiter. Introduction to Finite fields and Their
Applications. United Kingdom : Cambridge University Press. 1994.
[8] Lipschutz, Seymour and Lipson Marc. Schaum’s Outlines Linear Algebra. Third
Edition. Mc Graw-Hill. 2004.
[9] Sheekey, John. On Rank Problems for Subspaces of Matrices over Finite Field.
Disertasi. Ireland: Program Studi Doktor Matematika-Universitas Dublin. 2011.
[10] Spindler, Karlheinz. (1994). Abstract Algebra with Applications In Two Volumes.
Volume II. Germany: Darmstadt. 1994.
Halaman 761 dari 896