RUANG VEKTOR REAL

KANIA EVITA DEWI
RUANG VEKTOR REAL
VEKTOR KOORDINAT
Misalkan V adalah ruang vektor dengan basis
B = {v1, v2, …, vn} dan v V
Vektor Koordinat terhadap basis B adalah:
v
v
B
 k1 
 k  dimana
2


   k1v1  k 2v2  ...  k n vn  v
 
k n 
Vektor koordinat terhadap suatu basis tertentu
adalah tunggal
CONTOH
 3
Tentukan vektor koordinat v  4 terhadap basis
 
2
1 2 1 


B  0, 1 , 0 
 0   0   3  
      
MATRIKS TRANSISI
Misalkan B = {b1, b2, …,bn} dan U = {u1, u2, …,un}
basis untuk ruang vektor V. Matriks transisi dari
B ke U adalah
  b 
P  b1 U
2 U
 
 bn U


Dan memenuhi persamaan v U  P v
B
CONTOH
a.
Carilah matriks transisi dari perubahan basis
v1 , v2 ke u1 ,u2 dimana

 

 4
8 
 2
1
v1   , v2    dan u1   , u2   
 3
7 
1 
1
3
tentukan x U 
b. Jika x v  

  2


RANK DAN NULITAS
Jika A adalah matriks mxn maka subruang Rn
yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A
disebut ruang baris dari A. Subruang dari Rm
yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A
disebut ruang kolom dari A. Ruang penyelesaian
dari sistem persamaan homogen Ax  0
adalah subruang dari Rn disebut ruang
null/ruang kosong dari A dinotasikan N(A)
CONTOH
 2  1 0 1
Misal A  3 5 7  1


 1 4 2 7 
Tentukan vektor baris dan vektor kolom matriks A
TEOREMA
1.
2.
Operasi baris elementer tidak mengubah
ruang baris sebuah matriks
Vektor-vektor baris taknol berbentuk eselon
baris dari matriks A membentuk basis untuk
ruang baris A.
NB: untuk ruang kolom transpose ruang baris
CONTOH
 2  1 0 1
Misal A  3 5 7  1


 1 4 2 7 
Tentukan basis untuk ruang baris dan ruang
kolom
DEFINISI
Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A
dinamakan rank A dan dinyatakan dengan
rank(A).
Nulitas adalah dimensi dari ruang nol.
Pada umumnya jumlah rank dan nulitas akan
selalu sama dengan banyak kolom dari matriks.
CONTOH 1
Tentukan basis dan dimensi dari ruang kosong A
jika ada
1  1 3 
a. A  5  4  4
7  6 2 
 1 4 5 2
b. A   2 1 3 0 
 1 3 2 2
CONTOH 2
Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh
vektor-vektor berikut ini!
1 
 3
 1
  5
0 
3
3
3
v1    v2    v3    v4   
1 
7
9
5
 
 
 
 
1 
1
3
  1