aljabar linear merentang dan kombinasi

ALJABAR LINEAR
KOMBINASI LINEAR, MERENTANG
AFLICH YUSNITA FITRIANNA, M.Pd.
STKIP SILIWANGI BANDUNG
Kombinasi Linear
Vektor v dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor –
vektor v1, v2,..., vn, bila v bisa dinyatakan sebagai :
v
k v
1
1
 k 2 v2  ...  k n v n,
Dengan k1, k 2, ..., k n, = skalar.
Contoh:
1 
  1
2
 
 

u    1, v   0 , w  1
Andaikan s, u, v, w  V; dengan:     
2 
1 

 1 

 
, s    3 

6 
  1
 
Jika mungkin nyatakan v sebagai kombinasi linear dari u, s dan w!
 Solusi
v  k1 u  k1 s  k 3 w
  1
1 
 1 
2 
 
 
 
 
 0   k 1   1  k 2   3   k 3 1 
1 
2 
6 
  1
 
 
 
 
 2k 3 
  1  k 1    k 2 


 
 0     k 1     3k 2   k 3  k 3 


 

1  






   2k 1   6k 2 
k
3


  1  k 1  k 2  2k 3 
 
 0     k 1  3k 2  k 3 

1  
   2k 1  6k 2  k 3 
Maka diperoleh persamaan:
k  k  2k  1...(1)
 k  3k  k  0...(2)
2k  6k  k  1...(3)
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Selesaikan persamaan di atas menggunakan Operasi Baris
Elementer(OBE)
1 2 1
1
b b
6  1 1  2b  b
1  3 1 0
2
1
2
1
2
1 1
2 1
0 4
3 1
0
5 3
8
1 1 2 1
2b  b
2
3
1 1
2
3
0  4 3  1  1 b2 0 1 
4
4
0 0 1 1
0 0 1
Sehingga diperoleh persamaan baru:
k  k  2k
1
2
3
3
1
k2  4 k3  4
k3 1
 1
Dari persamaan baru diperoleh:
k
1
 2, k 2  1, k 3  1
Sehingga diperoleh kombinasi linear:
-2u+s+w
1
1
4
1
RENTANG
 Teorema 1
Jika v1, v2, …, vr adalah vektor-vektor dalam suatu ruang
vektor V, maka:
(a) HimpunanW semua kombinasi linear dari v1, v2, …, vr
merupakan suatu subruang dari V.
(b) W adalah subruang terkecil dari V yang berisi v1, v2, …, vr
dalam pengertian bahwa setiap subruang lain dari V yang
berisi v1, v2, …, vr pasti mengandung W.
Definisi
 Jika S= {v1, v2, …, vr } adalah suatu himpunan vektor dalam
suatu ruang vektor V, maka subruang W dari V yang
mengandung semua kombinasi linear dari vektor-vektor
dalam S disebut ruang terentang oleh v1, v2, …, vr, dan kita
katakan bahwa vektor-vektor v1, v2, …, vr adalah rentang W.
untuk menunjukkan bahwa W adalah ruang terentang oleh
vektor-vektor dalam himpunan S= {v1, v2, …, vr }
dituliskan:
W=rent(S) atau W= rent {v1, v2, …, vr }
Teorema 2
 Jika S={v1, v2, …, vr } dan S’= {w1, w2, …, wr } adalah dua
himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka
rent {v1, v2, …, vr }=rent {w1, w2, …, wr }
jika dan hanya jika setiap vektor dalam S adalah suatu kombinasi liner
dari vektor-vektor dalam S’ dan sebaliknya setiap vektor dalam S’
adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S.
Contoh
1.
Tentukan apakah v1 = (1,1,2), v2 = (1,0,1) v3 = (2,1,3)
merentangkan ruang vektor R3
Penyelesaian
Harus ditentukan apakah suatu vektor sembarang b=(b1,b2,b3)
dalam R3 dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear
b  k1 v  k 2 v  k 3 v dari vektor-vektor v , v , v
1
2
3
1
2
3
Maka didapat:
b1, b2 , b3  k1 1,1,2 k 2 1,0,1  k 3 2,1,3 atau
b , b , b   k  k  2k , k  k , 2k  k  3k 
1
2
3
1
2
3
1
3
1
2
3
Sehingga diperoleh persamaan:
k  k  2k  b ...(1)
k  k  b ...(2)
2k  k  3k  b ...(3)
1
2
1
3
1
3
1
2
2
3
3
Persamaan diselesaikan menggunakan OBE,
 1 1 2


 1 0 1  b b
 2 1 3   2b2  b3


1
2
2
2
1 1
1 1




 0  1  1
 0  1  1
 0  1  1    0 0

0
b
b
2
3




Terdapat baris 0 pada matriks setelah direduksi, sehingga ada vektor
di R3 yang bukan merupakan kombinasi linear dari v1, v2, v3. .
Jadi v1, v2, v3 tidak membangun R3.
Latihan
Diketahui s  (9,7,15), u  (2,1,4), v  (1,1,3), w  (3,2,5)
tunjukkan bahwa s merupakan kombinasi linear dari u, v dan w.
2. Nyatakan p1=6+11x+6x2 sebagai kombinasi linear dari
p2=2+x+4x2 , p3= 1-x+3x2 , p4= 3+2x+5x2
3.. Pada setiap bagian tentukan apakah vektor-vektor yang
diberikan merentangkan R3 .
a. v1 =(2,2,2) v2 = (0,0,3) v3 =(0,1,1)
b. v1 =(2,-1,3) v2 = (4,1,2) v3 =(8,-1,8)
1.