Basis dan dimensi

BASIS
DEFINISI BASIS
•
Misalkan V ruang vektor dan S  {s1, s2 ,..., sn } S disebut basis dari V jika memenuhi
dua syarat, yaitu :
1. S bebas linear
2. S membangun V
• Basis dari suatu ruang vektor bisal lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita
kenal, yaitu:
a. Basis standar.
Contoh:
 1   0   0  
      
0 
 0 1
S    ,   ,...,   
      
 0   0  1  
adalah basis standar dari vektor di 𝑅𝑛
•
Basis tidak standar.
Contoh:
misalkan
1
 2
 3
 
 
 
v1   2  , v2   9  , v3   3 
1
0
 4
 
 
 
adalah basis bagi 𝑅3 .
. Tunjukkan bahwa himpunan S = {
v1 , v2 , v3
}
VEKTOR KORDINAT DAN MATRIKS TRANSISI
•
DEFINISI VEKTOR KORDINAT
•
misalkan V adalah ruang vektor dengan basis B = b1 , b2 ,..., bn  dan 𝑣 ∈ 𝑉. Vektor
kordinat 𝑣 terhadap basis B adalah:
•
•
 1 
 

v    2 
 B  
 
n 
dimana
1 b1  2 b2 
Contoh : tentukan vektor kordinat
 n bn  v
1
 
v  0
 3
 
terhadap basis
 1   1   1  
      
B   0  ,  2  ,  1 
 0   0   2  
      
•
Teorema
Koordinat vektor terhadap suatu basis tertentu adalah tunggal.
•
DEFINISI MATRIKS TRANSISI
Pandang

B  b1 , b2 ,..., bn
dari B ke U adalah.
 dan U  u , u ,..., u  untuk ruang vektor V. Matriks transisi
1
2
n

P  b1  , b2  ... bn 
U
U
U

dan memenuhi persamaan
v   P v  , 𝑣 ∈ 𝑉
 U
 B
•
•
•
Matriks P adalah matriks tak singular dan P’ adalah matriks transisi dari U ke B.
Contoh: a). Carilah matriks transisi dari perubahan basis v1 , v2  ke u1 , u2  dimana
5
7
v1    , v2   
 2
 3
dan
 3
 1
u1    , u2   
 2
 1
•
b. Jika
1
a    
 V
 2 
tentukan
a 
 U
RANK DAN NULITAS
•
DEFINISI RUANG NULL
•
Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen Ax  0 adalah subruang dari
𝑅𝑛 disebut ruang null/ruang kosong dari A dinotasikan N(A) .
•
Teorema
Operasi baris elementer tidak mengubah ruang null dari suatu matriks
 1 2 1 1 


A   2 4 3 0 
1 2 1 5


•
Contoh : diketahui
•
Tentukan basis untuk ruang kosong A (N(A))
•
Jawab:
•
Definisi ruang null adalah ruang penyelesaian atau solusi dari persamaan homogen Ax  0
oleh karena itu akan dicari solusi homogen matriks A dengan OBE.
𝑥1
0
−1 1 𝑥
0
3
−3 0 𝑥 =
0
2
1 5 𝑥
0
4
1
1 2 0 3
0 ~ 0 0 1 2 sehingga solusi spl homogennya adalah
5
0 0 0 0
1 2
2 4
1 2
Hasil OBE
1
2
1
2 −1
4 −3
2 1
•
 x1   2  3 
 2 
 3 
  

 
 

 x2   
   1   0 
 x3   2  
 0
 2 
  

 
 


 0
 1
 x4  
dengan 𝛼 dan 𝛽 adalah parameter.
jadi basis untuk ruang nul N(A) adalah  2,1, 0, 0 T
dan  3, 0, 2,1T
•
DEFINISI DIMENSI
•
Dimensi suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan
dim(V), didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V.
•
CONTOH : untuk contoh sebelumnya maka dimensi dari ruang nul matriks A,
adalah 2.
•
DEFINISI RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM
•
Jika A adalah matriks mxn maka subruang 𝑅𝑛 yang direntang oleh vektor-vektor
baris dari A disebut ruang baris dari A. Subruang dari 𝑅𝑚 yang direntang oleh
vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A.
•
TEOREMA
•
Jika suatu matriks U berada dalam bentuk baris eselon maka vektor-vektor baris
dengan utama 1 (yaitu vektor-vektor tak-nol) membentuk suatu basis untuk ruang
baris U dan vektor-vektor kolom dengan utama 1 dari vektor-vektor baris
membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari U.
Misalkan matriks :
 1  2 1 1 


A 1
2
3 1 
 1

2
2

1


Vektor baris
Vektor kolom
dengan melakukan OBE diperoleh :
Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE
11
matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :
  1   1 
    
 1 ,  3  
 1   2  
    
basis ruang baris diperoleh dengan cara,
Mentransposkan terlebih dahulu matriks A,
lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :
12
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki
satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A).
Ini berarti,
matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :
  1   1  
    
  2   2  
 ,   
  1   3  
 1    1 


Dimensi basis ruang baris = ruang kolom
dinamakan rank.
Jadi rank dari matriks A adalah 2.
13