RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM Berkaitan

Matematika Teknik
RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM
Berkaitan dengan matriks A∈ M mxn adalah dua sub ruang khusus yakni ruang
Null dari A dan ruang kolom dari A yang dinotasikan secara berturut-turut dengan
N(A) dan C(A). N(A) merupakan himpunan solusi dari SPL homogen dengan A
sebagai matriks koefisiennya, sedangkan C(A) merupakan ruang vektor yang dibangun
oleh vektor kolom dari A ( ruang kolom dari A ) atau dapat juga dikatakan sebagai
himpunan yang memuat B∈ ℜm sehingga SPL, AX = B konsisten.
Ruang Null dari matriks A, N(A) tidak lain merupakan ruang solusi
sebagaimana yang dibahas pada pembahasan sebelumnya. Dimensi ruang Null dari
matriks A dikatakan Nulitas ( A ).
Sedangkan ruang kolom akan dibahas bersamaan dengan ruang baris, sebab
keduanya mempunyai hubungan yang sangat dekat. Misal diberikan matriks
( )
A = aij dengan i = 1,2,..., m dan j = 1,2,..., n . atau A∈ M mxn . Maka vektor -vektor :
ri = (ai1 , ai2 ,..., ain ) dengan i = 1,2,..., m
disebut vektor baris dari A dan vektor-vektor :
 a1 j 


 a2 j 
 . 
 dengan j = 1,2 ,..., n.
cj = 
 . 
 . 


 amj 
disebut vektor kolom dari A
n
Sub ruang dari ℜ yang direntang oleh vektor-vektor baris disebut ruang baris
m
dari A. Sedangkan sub ruang dari ℜ yang direntang oleh vektor-vektor kolom disebut
ruang kolom dari A.
Basis ruang kolom dari A didapatkan dengan melakukan OBE pada A. Vektor
kolom yang merupakan unsur basis ditentukan oleh adanya bilangan satu ( 1 ) utama
pada kolom yang bersesuaian. Sedangkan basis ruang baris dari A didapatkan dengan
t
melakukan OBE pada A . Dimensi ruang kolom suatu matriks sama dengan dimensi
ruang barisnya dan dinamakan rank dari A.
Ada keterkaitan antara N(A) dan C(A), yakni jumlah dimensi dari kedua sub
ruang vektor tersebut akan sama dengan banyak kolom matriks A . Misal A∈ M mxn .
Maka Nulitas (A) + Rank (A ) = n
Contoh :
Diketahui matriks A,
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
 1 2 3


−2 1 0

A=
3 1 1


 5 0 − 1
Tentukan :
a. Semua vektor baris dan vektor kolom dari A.
b. Basis dan dimensi ruang kolom dari A.
c. Basis dan dimensi ruang baris dari A
Jawab :
a. Vektor baris :
r1 = (1,2,3), r2 = ( − 2,1,0) , r3 = (3,1,1) dan r4 = (5,0,−1)
Vektor kolom :
 1
 2
 3
 
 
 
− 2
1
0


c1 =   , c2 =   dan c3 =  
3
1
1
 
 
 
 5
 0
 − 1
 1

−2
b. A = 
3

 5
2
1
1
0
3
1


0
0
→
0
1


− 1
0
2 3

1 6 5
. Bilangan satu ( 1 ) utama terletak di semua
0 1

0 0
{
}
kolom maka basis dari ruang kolom adalah S = c1 , c2 , c3 .
1 − 2 3 5 
1 − 2 3
5




c. At =  2 1 1 0  →  0 1 − 1 − 2 . Bilangan satu utama terletak pada
 3 0 1 − 1
0 0
1
2 



kolom 1, 2 dan 3. Oleh karena itu vektor kolom ke 1, 2 dan 3 merupakan unsur basis
t
dari ruang kolom dari A . Jadi baris ke-1, 2 dan 3 merupakan unsur basis ruang baris
{
}
dari A, yaitu: S = r1 , r2 , r3 . Dimensi ruang baris dari A sama dengan 3.
Untuk menentukan basis dari ruang yang direntang oleh sejumlah vektor
dilakukan dengan membentuk sebuah matriks dengan vektor kolomnya adalah vektorvektor tersebut. Kemudian melakukan OBE sehingga diperoleh bilangan satu utama
seperti cara menentukan basis ruang kolom.
Contoh :
Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor berikut :
u = (1,1,−4,−3) , v = ( 2,0,2, −2 ) dan w = ( 2,−1,3,2)
Jawab :
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
2
2
 1
1 2 2 




1
0 − 1
0 1 32


A=
→ 
. Satu utama terletak di kolom 1, 2 dan 3. Basis
−4 2
3
0 0 1




−3 − 2 2 
0 0 0 
dari ruang kolom A sama dengan basis dari ruang yang direntang oleh ketiga vektor
tersebut, misal S, yaitu : S = u , v , w
{
}
Contoh :
Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor berikut :
u = (11
, ,1) , v = ( 2,2,0) dan w = (11
, ,0)
Jawab :
1 2 1
1 2
1  1 2 1 




 
A = 1 2 1 →  0 0
0  →  0 0 0  . Satu utama terletak di kolom 1dan 2.




1 0 0
 0 − 2 − 1  0 1 1 2 
Basis dari ruang kolom A sama dengan basis dari ruang yang direntang oleh ketiga
vektor tersebut, yaitu : S = u, v
{ }
Soal Latihan
( 1 sd 3 ) Tentukan : (a ) Basis ruang kolom , (b) basis ruang baris dan ( c ) rank dari
matriks berikut :
 1 1 2 1


1.  1 0 1 2
 2 1 3 4


 1 −1

2
0
2. 
−2 1

 3 −2
1

0
3.  2

3

5
3
−1
1
−3
2

1
1

3
−3 2
2
1

3
6
0 − 2
− 3 −2 4
4

−3 6
6
3

− 3 10 10 5 
( Nomor 4 sd 6 ) Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor berikut :
4. ( 1,1,0,0 ), ( 0,0,1,1 ), ( -2,0,2,2 ) dan ( 0,-3,0,3 )
5. ( 1,-1,5,2 ) , ( -2,3,1,0 ), ( 4,-5,9,4 ) dan ( 0,4,2,-3 ) dan ( -7,18,2,-8 )
6. ( 1,0,1,1 ) , ( -3,3,7,1 ) , ( -1,3,9,3 ) dan ( -5,3,5,-1 )
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
( Nomor 7 sd 11 ) Carilah basis dan dimensi dari ruang Null matriks A bila,
 1 4 5 2


7. A =  2 1 3 0
 − 1 3 2 2


1 −1 3 


8. A =  5 − 4 − 4
7 − 6 2 


 1 2 0 1


0 1 2 1

9. A = 
1 2 1 3


 0 1 2 3
4
5
6
9
 1


3 −2 1
4 − 1

10. A = 
− 1 0 − 1 − 2 − 1


3
5
7
8
 2
 1
2 1 5  
11. A = 
 0
 6 3 − 8 
− 2
2 − 1

4 1
1 − 1
 1 4 5 2


12. Diketahui SPL, AX = B dengan A =  2 1 3 0 . Carilah matriks B sehingga
 − 1 3 2 2


SPL tersebut :
a. Konsisten
b. Tidak konsisten.
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung